این ناتوانی در ایجاد کوارک تنها، برای بعضی دانشمندان باعث شک کردن به مدل کوارکی شده، در حالی که بهانه دانشمندانی که هنوز به این مدل اعتقاد دارند این است که شاید کوارک باید در باریون و یا مزون بسته بندی باشد. هر چقدر که انرژی صرف کنیم، بیرون آوردن یک کوارک غیر ممکن است. البته این قضیه چیزی را توضیح نمی­دهد و تنها اسمی برای نا امیدی ما است. با این حال تلاش­ های بسیاری انجام می شود تا سازوکار بسته بندی بودن کوارک­ها را توضیح دهد.

اما این که کوارک­ها نمی ­توانند به صورت آزاد دیده شوند باعث نمی­ شود که ما نتوانیم آن­ها را آشکار سازی کنیم. روش کار همان است که رادرفورد برای تشخیص این که اتم­ها از ذرات ریزتری تشکیل شده اند استفاده کرد. باید با ذرات پر انرژی هادرون­ها را بمباران کنیم و نتیجه­ پراکندگی را بررسی کنیم. این نتایج نشان دهنده این است که هادرون­ها ساختار درونی دارند (شکل ۲-۵).
البته در مورد پروتون این پراکندگی نشان دهنده این است که بار مثبت در سه نقطه وجود دارند که حمایت کننده­ نظریه­ کوارکی است.
در این زمان به نظر می­رسید که کوارک­ها که دارای اسپین هستند اصل طرد پائولی را نقض می­ کنند. دلیل آن­ها هم این بود که ذره ی که از سه کوارک آپ تشکیل شده است که با توجه به این که هر سه دارای یک طعم (آیزواسپین) هستند و فقط دو حالت اسپینی برای آن­ها وجود دارد، نمی ­توانند هر سه تای آن­ها در یک حالت وجود داشته باشند. این موضوع برای مدت زیادی ذهن دانشمندان را مشغول کرده بود، تا این که گرینبرگ^[۶۶] این مشکل را حل کرد. او بیان کرد که کوارک­ها نه تنها از طعم­های مختلف تشکیل شده اند بلکه هر کدام از این طعم­ها دارای سه رنگ مختلف هستند (قرمز، سبز و آبی). در مورد باریون­ها به سادگی هر کوارک را از یک رنگ در نظر می­گیریم. این باعث می­ شود که دیگر کوارک­های بالا موجود در یکسان نباشند. از آنجایی که اصل طرد پائولی فقط برای ذرات تمیز ناپذیر است پس مشکل حل شده است.
بررسی کردن باریون­ها به چند دلیل سخت تر از مزون­ها است. اول این که باریون­ها سیستم های سه ذره ای هستند، در اینجا دو تکانه زاویه ای مداری به جای یکی وجود دارد که البته برای سادگی کار ما هردو آن­ها را در حالت پایه در نظر می گیریم . در این حالت تکانه زاویه­ای کل باریون فقط از اسپین­های کوارک­ها تشکیل می­ شود. حال ما ۳ کوارک داریم که هر کدام می ­تواند دو حالت اسپینی داشته باشد، بنابر این ۸ حالت مختلف برای این ۳ ذره وجود دارد.

حال باید حالت­هایی را که ویژه حالت­های تکانه زاویه­ای کل باشد را تشکیل دهیم:
ترکیبات با اسپین کاملا متقارن^[۶۷] هستند، به این معنی که هرکدام از جفت ذرات را با هم جابه­جا کنیم، حالت تغییری نخواهد کرد. اما ترکیبات با اسپین کل به طور جزئی پاد متقارن^[۶۸] هستند، یعنی اگر جای دو ذره خاص را با هم عوض کنیم، حالت به دست آمده قرینه می‌شود. در دسته­ی اول، حالت نسبت به جا به جایی ذرات ۱و۲ و در دسته­ی دوم، حالت سیستم نسبت به جابه جایی ذرات ۲و۳ پادمتقارن هستند.
می­توان حالتی را که ذرات نسبت به ذرات ۱و۳ پادمتقارن باشند را نیز در نظر گرفت، اما این حالت چیزی جز ترکیب خطی از دو حالت دیگر نیست:
به زبان نظریه­ گروه­ ها، ضرب مستقیم سه نمایش بنیادی (با دو بعد) از SU(2) به جمع مستقیم یک نمایش چهار بعدی و دو نمایش دو بعدی تبدیل می شود:
دومین علت پیچیده­تر بودن باریون­ها مربوط به اصل طرد پائولی می شود. در فرمول­بندی اولیه، پائولی این قضیه را این طور بیان کرد که هیچ دو الکترونی نمی ­توانند در یک حالت کوانتمی قرار گیرند. این اصل برای توضیح این که چرا الکترون­ها در یک اتم به راحتی در تراز انرژی حالت پایه قرار نمی گیرند، طراحی شد. آن­ها نمی ­توانند این کار را انجام دهند چون فقط دو تا از آن­ها، یکی با اسپین بالا و یکی پایین، می توانند در آن باشند. بعد از این که این تراز­ها پر شد، الکترون بعدی مجبور به قرار گرفتن در تراز اول برانگیخته می شود و این اتفاق همین طور تکرار می شود تا الکترون­ها هر کدام در تراز خود قرار گیرند. در اینجا به نظر می­رسد که اصل طرد پائولی فقط به این یک کار می ­آید، اما این اصل ریشه در چیزی عمیق­تر دارد.[۱۴]
۲-۲-۲- ساختار درونی باریون­ها
در حالت خاص، اگر بخواهیم دو فرمیون مشابه را در یک حالت قرار دهیم، تابع موج کلی سیستم صفر خواهد شد. که این اصل طرد پائولی است. همان طور که می­بینیم این اصل، تک کاره نیست و بلکه یکی از نیاز های ساختاری تابع موج ذرات تمیزناپذیر است. برای بوزون­ها اصل طرد پائولی وجود ندارد و ما می توانیم مثلا هر تعداد مزون را در یک حالت کوانتومی قرار دهیم. در مورد ذرات تمیز پذیر نیز چنین مشکلی وجود ندارد و به هیچ تقارنی نیازی نیست، مثلا مزون­ها از یک کوارک و یک پاد کوارک تشکیل شده ­اند که از هم تمیز پذیر هستند. اما در مورد باریون­ها، ما باید ۳ کوارک را در کنار یکدیگر قرار دهیم که اگر دو یا بیش تر این کوارک­ها مشابه باشند، باید پاد متقارن بودن تابع موج را در محاسبات بیاوریم.
تابع موج باریون­ها از چند قسمت تشکیل شده است؛ قسمت فضایی که مکان­های سه کوارک را توصیف می­ کند؛ قسمت اسپینی که اسپین آن ها را بررسی می­ کند؛ قسمت طعم^[۶۹] که نشان می­دهد چه ترکیبی از کوارک­ها در باریون قرار دارند؛ و قسمت رنگ^[۷۰] که بیان می­ کند هرکدام از این کوارک­ها چه رنگی دارند:
کل این تابع موج است که باید نسبت به جا­به­جایی هر دو ذره مشابه پاد متقارن باشد. ما در مورد شکل تابعیت حالت پایه کوارک­ها چیزی نمی­دانیم، تنها می­توان گفت که متقارن است، چون به عدد کوانتومی تکانه زاویه­ای بستگی ندارد، چون .
قسمت اسپینی می ­تواند هم کاملا متقارن باشد() و یا این که تقارن جزیی داشته باشد (). همین نکته نیز در مورد طعم وجود دارد. با کمی تحقیق می­توان دید که برای سه کوارک سبک یک ده­تایی، دو هشت­تایی و یک یک­تایی^[۷۱] وجود دارد:[۱۴]
در انتها نوبت به قسمت رنگ می­رسد. تمام ذراتی که در طبیعت یافت می­شوند بی­رنگ هستند. مزونی که دارای یک کوارک قرمز است باید یک پاد کوارک با پاد­­­قرمز داشته باشد و هر باریون باید یک کوارک از هر رنگ داشته باشد. این دید ساده به یک نظریه­ عمیق­تر است:
« تمام ذراتی که به طور طبیعی در طبیعت یافت می­شوند تکتایی رنگ هستند.»
سه رنگ یک گروه را تشکیل می­ دهند. دقیقا مثل سه طعم کوارک­های سبک. بنا­بر­این رنگ­ها هم یک ده­تایی، دو هشت­تایی و یک یک­تایی تشکیل می­ دهند، اما طبیعت فقط یک­تایی را انتخاب می کند، چون اگر این طور نبود از یک ذره باید با رنگ­های مختلف موجود بود و در نتیجه قسمت رنگ باریون به شکل زیر در می آید:
چون قسمت رنگ برای تمام باریون­ها یکسان است معمولا آن را به طور مستقیم وارد محاسبات نمی­کنیم. اما بسیار مهم است که به خاطر بسپاریم که این قسمت از تابع موج پاد متقارن است که موجب می­ شود باقی مانده­ی تابع موج، متقارن باشد. در حالت خاص که قسمت فضایی را در حالت پایه در نظر می­گیریم که متقارن است، باید ضرب قسمت­ های اسپین و طعم کاملا متقارن باشد. این به این معنی است که اگر با قسمت متقارن در اسپین شروع کردیم باید طعم نیز متقارن باشد.
قسمت تقارن­های ترکیبی کمی پیچیده­تر است، چون در این­جا باید حالت­هایی با تقارن ترکیبی را طوری در کنار هم قرار دهیم تا یک حالت کاملا متقارن بسازیم. برای این کار ابتدا حالتی را که تابع موج اسپینی نسبت به ذره ۱و۲ پادمتقارن است را در نظر بگیرید. اگر این قسمت در حالت طعم که آن هم نسبت به ۱و۲ پاد متقارن باشد ضرب شود نتیجه نسبت به ذره­ی ۱و۲ متقارن خواهد بود. به همین ترتیب در مورد تابع موج­هایی که نسبت به ذرات ۲و۳ و همچنین ۱و۳ پاد متقارن­اند. و اگر این ۳ حالت را با هم جمع کنیم نتیجه نسبت به هر سه ذره متقارن خواهد بود:
برای محاسبه ی ضریب این تابع موج باید به این نکته توجه داشت که قسمت پادمتقارن تابع موج اسپین و طعم نسبت به ذره‌ی ۱و ۳ از قسمت پادمتقارن تابع موج اسپین و طعم نسبت به ذره‌ی ۱و۲ و نسبت به ۲و۳ مستقل خطی نیست بلکه جمع این دو حالت است. این باعث وجود جمله های تکراری در تابع موج کل می شود. به عنوان نمونه:
که با بهنجار کردن به این نتیجه می‌رسیم که:
چگونگی محاسبه­ی این تابع موج در فصل سوم آمده است.
فصل سوم
محاسبه گشتاور مغناطیسی توسط مدل کوارکی ساده
۳-۱ ساختار تابع موج دوترون
برای ساختن تابع موج دوترون باید از ضرب چهار قسمت مکانی، زمانی، طعم و رنگ استفاده کنیم. در این پایان نامه سعی بر این است که هسته­ی دوترون را متشکل از ۶ کوارک در نظر بگیریم. اما این ۶ کوارک به طور ساده نوترون و پروتون نیستند. نکته­ی کلیدی در این محاسبات مربوط به قسمت رنگ تابع موج است که به زودی توضیح داده خواهد شد.
برای قسمت مکانی برای ساده سازی، کوارک­ها را در حالت پایه یعنی تکانه زاویه­ای صفر قرار می­دهیم. در این حالت قسمت مکانی کاملا متقارن است و تکانه­ی کل فقط از اسپین ذرات تشکیل شده است. حال از باقی تابع حالت فقط قسمت اسپینی ، طعم و رنگ باقی می ماند. قسمت اسپینی دوترون باید طوری طراحی شود که اسپین کل برابر با ۱ باشد. برای محاسبه‌ی گشتاور مغناطیسی از بزرگ­ترین مولفه‌ی گشتاور روی محور z استفاده می­کنیم. از آنجایی که دوترون ذره­ای با اسپین ۱ است پس حالت مورد نظر ما است که می­باشد.
در عین حال باید قسمت طعم که بیانگر آیزو اسپین^[۷۲] است را نیز بررسی کنیم. شش کوارک تشکیل دهنده دوترون سه کوارک بالا و سه کوارک پایین هستند. بنابر این آیزو اسپین کل صفر مورد نظر ماست. یعنی حالت یگانه^[۷۳] که بعدا به آن اشاره خواهد شد را در نظر بگیریم. اما مهم ترین نکته­ای که تا کنون هنوز به آن نپرداخته ایم، قسمت رنگ است که نتیجه گیری­های ما را کاملا تغییر می­دهد.
همان طور که می­دانیم، رنگ نیز یکی از اعداد کوانتومی نشان دهنده حالت دستگاه است. این موضوع زمانی اهمیت پیدا می­ کند که ما در دستگاه با ذرات مشابه کار می­کنیم. به خصوص اینکه در این حالت مورد بررسی، شش فرمیون داریم که از دو دسته­ی سه تایی از ذرات مشابه تشکیل شده است. با توجه به این که حالت­های اسپینی کل قابل قبول برای این فرمیون­ها (کوارک ها) برابر ۲ است، حد اقل دو تا از این سه ذره برای تشکیل حالت اسپینی کل ۱ در حالتی مشابه قرار می گیرند؛ بنا بر این تنها نکته ای که برای رعایت اصل طرد پائولی باقی می ماند عدد کوانتومی رنگ است. پس حالت رنگی که در آن­ها ضرب می شود باید رنگ­های متفاوتی به این ذرات مشابه با اسپین­های یکسان بدهد.
نکته­ی دوم که باید در نظر گرفته شود اصلی است که در مورد عدد کوانتومی رنگ وجود دارد: « تمام ذراتی که به طور طبیعی در طبیعت وجود دارند حالت یگانه­ی رنگ (بی رنگ) هستند». این اصل که از یکتا بودن مقدار تابع موج نتیجه گیری می شود علاوه بر این که بیان کننده­ بی­رنگ بودن تمام ذرات طبیعی موجود در طبیعت مثل دوترون است به ما می گوید که قسمت رنگ تابع موج باید پاد متقارن باشد چون حالت یگانه، کاملا پادمتقارن است.
ولی این جا مشکلی وجود دارد: تعداد رنگ­های قابل دسترس برای کوارک­ها سه­تا است (قرمز، آبی و سبز). مجموعه­ این سه رنگ با هم حالت بدون رنگ را به وجود می­آورد، بنابر­این در قسمت رنگ تابع موج، برای بی­رنگ بودن از هر رنگی دو تا باید وجود داشته باشد. اگر به هر کدام از کوارک­های بالا رنگ های متفاوت داده شود و به هریک از کوارک های پایین رنگی متفاوت، مشکلی از این لحاظ برای اصل طرد پائولی وجود ندارد اما با این کار ما به کل دسته‌ی شش تایی کوارک ها متمایز نگاه کرده­ایم و نمی­ توان یک حالت کاملا پاد متقارن برای قسمت رنگ تابع موج کلی به دست آورد. در غیر این صورت با جا­به­جایی رنگ­ها بین کل کوارک­ها حالت کاملا پاد متقارن برابر با صفر خواهد بود، زیرا حد اقل دو سطر از سطر­های دترمینان تشکیل دهنده حالت یگانه با هم برابر می شود. پس باید چاره­ای اندیشید.
در مورد باریون­ها چون از هر ۳ رنگ در آن­ها وجود دارد و آن­ها نیز از ۳ کوارک تشکیل شده ­اند، و هر کوارک یک رنگ را انتخاب می کند تا باریون بی­رنگ باشد، چنین مشکلاتی پیش نمی­آید چون در هر حالت تمام کوارک ها حد اقل در یکی از اعداد کوانتومی خود با یکدیگر تفاوت دارند. بنابر این تنها حالتی که با سه رنگ و سه کوارک در حالت پایه و تکانه زاویه­ای مداری صفر می­توان یک ذره­ی طبیعی با کوارک­های مشابه بی رنگ ساخت باریون­ها هستند.
چاره­ای که در این پایان نامه اندیشیده شده است این است که این کوارک­های درون هسته به طور مداوم به دو خوشه­ی سه­تایی تقسم می­ شود و در لحظه­ بعد دوباره به دو سه تایی جدید تقسیم می­شوند. چون با وجود سه رنگ، حالت­های بی­رنگ طبیعی و پادمتقارن فقط در باریون­ها اتفاق می­افتد، بنا بر این شش کوارک را باید طوری در نظر بگیریم که تمام دسته­های سه­تایی ممکن را در بر بگیرند.
با پاد متقارن بودن قسمت رنگ، فقط حل کردن قسمت طعم و اسپین برای هر کدام از ین سه تایی ها باقی می­ماند که باید متقارن باشد. این باعث پاد متقارن بودن تابع موج کلی می­ شود،چون سیستم از فرمیون­ها تشکیل شده است.
تمام سه­تایی­هایی که از این شش کوارک تشکیل می­شوند عبارتند از: