λ: ضریب مقیاس
چون شدت یک زلزله به انواع مختلفی تعریف شده است، می‌توان یک زلزله را به انواع گوناگونی مقیاس نمود. برای مثال می‌توان به موارد ذیل اشاره نمود: بیشینه شتاب زمین (PGA)، بیشینه سرعت زمین (PGV)، شتاب طیفی برای مود اول ارتعاش سازه یا S_a(T₁)، ضریب مقیاس که معادل عددی کاهش مقاومت R می‌باشد، گشتاور لرزه‌ای، مدت زمان لرزش، شدت تصحیح شده و مرکالی و… ]۶[.

۳-۲-۵- شاخص خسارت
همان‌طور که بیان شد IDA شامل انجام یک سری تحلیل دینامیکی غیرخطی برای هر رکورد است. این رکوردها با مقیاس‌بندی چندین سطح از شدت زلزله که به‌طور مناسبی انتخاب شده‌اند، محدوده کاملی از رفتار مدل را به نمایش می‌گذارند: از محدوده الاستیک تا تسلیم و غیرالاستیک غیرخطی و سرانجام ناپایداری دینامیکی کلی. هر تحلیل دینامیکی حداقل با دو کمیت مشخص می‌شود، اندازه شدت (IM)، که ضریب مقیاس رکورد را نشان می‌دهد (مثلاً شتاب طیفی اولین مد با میرایی ۵% S_a(T₁,5%)) و مقیاس خرابی (DM) که واکنش سازه‌ای مدل را نشان می‌کند (مثلاً نسبت انحراف بین طبقه‌ای بیشینه _maxθ یا نسبت بیشینه انحراف سقف θ_roof).
شاخص خسارت یک مقدار مثبت اسکالر است که مشخص کننده پاسخ یک سازه در برابر بارهای لرزه‌ای ورودی می‌باشد. به بیان دیگر ، یک مقدار محاسبه شده است که می‌تواند یک قسمت از پاسخ سازه در تحلیل دینامیکی غیرخطی باشد. شاخص‌های خسارت متعددی را می‌توان انتخاب کرد که از جمله آن‌ ها می‌توان به موارد ذیل اشاره نمود:
برش پایه، چرخش گره‌ها، بیشینه شکل‌پذیری طبقات، شاخص خسارت انرژی، تغییر مکان نسبی طبقات و بیشینه مقادیر چرخش نسبی طبقات و…
انتخاب یک DMمناسب بستگی به نوع سازه و مشخصات آن دارد، بطور مثال اگر خسارت وارده به اجزاء غیر سازه‌ای در یک قاب چند طبقه مورد مطالعه است، یک انتخاب می‌تواند بیشینه شتاب مطلق طبقات باشد]۶[.
۳-۲-۶- منحنی IDA یگانه^[۱۲]
منحنی IDA یگانه شامل مطالعه تحلیل دینامیکی یک سازه مشخص تحت سطوح مختلف بارهای لرزه‌ای می‌باشد. در واقع تحلیل دینامیکی فزاینده یک سری تحلیل‌های دینامیکی غیرخطی می‌باشند که برای سطوح مختلف مقیاس شده یک شتابنگاشت انجام می‌شوند، که رفتار سازه را را در مرحله الاستیک تا غیرخطی شدن سازه و در مرحله پایانی فروریزش سازه نشان می‌دهد. در اینجا هدف بدست آوردن DM‌ ها در هر مرحله از تحلیل می‌باشد چرا که DMمیزان خسارت وارده به سازه را مشخص می‌کند. یک منحنی IDA مقادیر DM (خسارت) را برحسب یک یا چند IM نشان می‌دهد. یک منحنی IDA می‌تواند به صورت دو یا چند بعدی (بسته به تعداد IMها) رسم شود.
شکل۳- ۱٫ نمونه‌ای از منحنی IDA یگانه برای یک سازه ۲۰ طبقه با قاب خمشی فولادی با پریود ۴ ثانیه
در هر منحنی IDA محور افقی بیان کننده شاخص خسارت (DM) و محور قائم مشخص کننده شاخص شدت تحریک زلزله (IM) می‌باشد. بعنوان مثال در منحنی IDA نشان داده شده در شکل۳-۱ یک زلزله خاص و یک سازه ۲۰ طبقه یا قاب خمشی فولادی که پریود اصلی آن ۴ ثانیه می‌باشد، انتخاب شده است. زلزله انتخابی براساس شتاب طیفی در مود اول سازه مقیاس می‌گردد و برای هرکدام از این سطوح زلزله یک تحلیل دینامیکی غیرخطی انجام می‌شود و در هر تحلیل، بیشینه مقادیر چرخش نسبی طبقات محاسبه می‌شود. در نهایت این تغییر مکان‌های نسبی برحسب مقیاس‌های مختلف زلزله رسم می‌گردند که بعنوان منحنی IDA شناخته می‌شوند.
در منحنی IDA نشان داده شده در شکل۳-۲ رفتار یک قاب ۵ طبقه‌ فولادی مهاربندی شده با پریود اصلی (s)8/1=T₁ تحت ۴ زلزله مختلف بررسی شده است. کلیه منحنی‌ها بوضوح یک ناحیه الاستیک خطی را نشان می‌دهند که تا مقادیر g2/0 برای شتاب طیفی و ۲/۰ درصد برای چرخش حداکثر ادامه می‌یابد. در این نقطه اولین کمانش بادبندی رخ می‌دهد. درحقیقت تمامی مدل‌های سازه‌ای با المان‌های الاستیک خطی اولیه، این رفتار را از خود نشان می‌دهند. این رفتار وقتی به پایان می‌رسد که اولین غیرخطی شدن در سیستم اتفاق افتد و به عنوان مثال یکی از المان‌ها به پایان رفتار خطی خود برسد.
نسبت شیب IM/DM در این قسمت برای هر منحنی IDA به نام سختی الاستیک (Elastic stiffiness) برای IM و DM مشخص در آن منحنی خوانده می‌شود. درحالت کلی این نسبت از یک شتابنگاشت به شتابنگاشت دیگر فرق می‌کند، به عبارتی می‌توان گفت که مقدار سختی الاستیک به رکورد مورد نظر و ضریب مقیاس آن وابسته می‌باشد.
شکل۳- ۲٫ منحنی‌های IDA برای یک سازه ۵ طبقه با قاب فولادی مهاربندی شده که پریود اصلی آن ۸/۱ ثانیه می‌باشد]۶[
درشکل۳-۲ توصیف هر یک از بخش‌های الف تا د به شرح زیرمی‌باشد:
الف) تغییر مکان‌های قابل ملاحظه بعداز ناحیه خطی مشاهده می‌شود.
ب) پس از غیرخطی شدن سازه، مقداری بر سختی آن اضافه می‌شود.
ج) در ناحیه غیرخطی شدن سازه، مقداری بر سختی آن اضافه می‌شود.
د) سخت شدگی‌های پیاپی سازه رفتاری موجی شکل را باعث شده است.
با دقیق شدن در انتهای دیگر منحنی‌ها در شکل۳-۲ مشخص می‌شود که منحنی‌ها در سطوح مختلف IM قرار دارند. در منحنی (الف)، بعد از کمانش اولیه، سازه تغییر مکان‌های نسبی زیادی داده تا به حد فرو‌ریزش برسد. در رفتاری که سازه از خود نشان می‌دهد به صورت متوالی حالت‌های سخت‌شدگی (Hardening) و نرم‌شدگی (Softening) مشاهده می‌شود. در مسائل مهندسی این بدان معناست که با افزایش IM یا شدت زلزله، سازه گاهی اوقات افزایش DM (خسارت) را تجربه می‌کند و گاهی اوقات کاهش آن ‌را که این موضوع می‌تواند یک فاکتور مثبت برای افزایش مقاومت سازه و جلوگیری از خسارات وارده باشد. همین‌طور از طرف دیگر می‌تواند با رفتار معکوس آن، در جهت عدم اطمینان رفتار کند، بنابراین می‌تواند منحنی IDA را به صورت موضعی به صورت غیر یکنواخت درآورد که در شکل (۳-۲-د) قابل بررسی می‌باشد.
اغلب یک یا چند مکانیسم خرابی برای یک سازه فرض می‌گردد که DM می‌تواند برای آن مکانیسم تعریف شده باشد. یک ناحیه نرم‌شدگی پایانی وقتی اتفاق می‌افتد که مقدار تجمعیDM در نرخ‌های افزایشی زیاد، ناپایداری دینامیکی ایجاد نماید. این ناپایداری دینامیکی دقیقاً مثل ناپایداری‌های استاتیکی تعریف می‌شود و در نقطه‌ای اتفاق می‌افتد که تغییر مکان از یک تغییر مکان تعریف شده تجاوز نماید، که در این محدوده تغییرات IM باید بسیار آهسته اعمال شود. در این قسمت از منحنی شیب تقریباً به صفر میل پیدا می‌کند و معنای فیزیکی آن این است که سازه به سمت خرابی کامل پیش می‌رود (شکل ۳-۲- الف و۳-۲- ب).
سخت‌شدگی بیان شده در منحنی‌های IDA یک موضوع غیر واقعی نیست، بلکه به دفعات برای سیستم‌هایی با رفتار دو خطی (الاستوپلاستیک) کامل گزارش شده است. برای ساختمان‌های چند طبقه یک زلزله قوی ممکن است باعث جاری شدن یک طبقه گردد و باعث گردد آن طبقه مانند یک فیوز عمل کرده و باعث کاهش پاسخ دیگر طبقات گردد. در شکل ۳-۳ رفتار جداگانه طبقات برای یک قاب فولادی مهاربندی شده با ۸/۱T= ثانیه مشاهده می‌شود. در این سازه طبقه دوم با رفتاری پیچیده و با جاری شدن زود هنگام مانند یک فیوز عمل کرده و باعث کاهش پاسخ طبقات ۳، ۴ و ۵ شده است. هم‌چنین یک سیستم سازه‌ای که در یک سطح شدت زلزله آسیب‌های حد بالائی دیده است، ممکن است در سطح بعدی زلزله مقدار پاسخ کمتری، به علت سخت‌شدگی بیش از اندازه از خود نشان دهد که این احیاء مجدد سازه^[۱۳] در شکل ۳-۴ نشان داده شده است.
شکل۳- ۳٫ منحنی‌های IDA برای هرکدام از طبقات یک ساختمان ۵طبقه با قابفولادی مهاربندی شده مشخص شده با پریود اصلی برای ۸/۱ ثانیه]۶[
شکل۳- ۴٫ احیاء مجدد سازه‌ای روی یک منحنی IDA برای یک قاب خمشی فولادی سه طبقه با دوره تناوب ۳/۱ ثانیه ]۶[
همچنین، همانطور که در شکل۳-۵ مشاهده می‌شود رفتار یک نوسانگر با پریود ۱ و رفتاری الاستوپلاستیک در سطوح مختلف، کمتر از سطح قبلی یعنیg2/2 می‌باشد (بعلت سخت‌شدگی) و سیستم شکل‌پذیری کمتری از خود نشان می‌دهد. البته باید توجه داشت که این موضوع برای یک سیستم سازه‌ای و یک زلزله خاص می‌باشد.
شکل۳- ۵٫ پاسخ شکل‌پذیری یک نوسانگر با پریود (sec1= T₁)تحت مقیاس‌های مختلف یک زلزله جاری شدن زودهنگام در سطح زلزله بالاتر باعث شده است که سازه مقدار پاسخ کمتری از خود نشان دهد]۶[.
۳-۲-۷- مفهوم ظرفیت و مقاومت نهایی در منحنی‌های IDA یگانه
حالت‌های حدی مانند IO، CP و یا ناپایداری دینامیکی کلی (که توسط خط یکنواخت روی هر IDA معلوم می‌شود) براحتی می‌توانند روی منحنی‌ها تعریف شوند،که در واقع یکی از اهداف نهایی مهندسی زلزله بر اساس عملکرد نیز می‌باشد. سطوح عملکرد^[۱۴]را باید طوری تعریف کردکه به صورت خلاصه، احساسی از نوع عملکرد را بوجود آورد. مثلاً با یک رابطه یا قانون مشخص بیانگر یک سطح عملکرد سازه‌ای است و هنگامی محقق می‌شود که DM که معمولاً با بیان می‌شود مطابقFEMA351 ، به مقدار مشخص برسد. در حالت کلی فروریزش نهایی بستگی به مقدار IM و DM دارد به قسمتی که ناپایداری دینامیکی مشاهده گردد. همانطور که در شکل ۳-۶ دیده می‌شود، قانون یا رابطه موردنظر، می‌تواند محدود کننده یکی از مقادیر IM یا DM باشد. سوال اینجاست که یک فرض مناسب کدامیک از ایندو هستند؟ IM یا DM. اغلب محدود کردن تنها یکی از این دو، باعث انتخابی محافظه‌کارانه می‌گردد. دلیل اصلی که چند ملاک مختلف می‌تواند برای ارضای سطوح عملکرد لرزه‌ای ملاک بهتری باشد، این است که سخت‌شدگی مجدد (و در نهایت احیاء سازه‌ای) در رفتار اغلب سازه‌ها وجود دارد. در حالت کلی محدود کردن یک پارامتر، حالتی محافظه‌کارانه می‌باشد و کمترین مقدار را درنظر می‌گیرد. برای مثال اگر مقدار DM محدود شود، تعمیم دادن آن مفهوم برای تمامی منحنی‌های IDA بدین معناست که قسمت بالایی منحنی را کنار گذاشته و اولین صاف‌شدگی منحنی به عنوان نشانه ناپایداری دینامیکی درنظر گرفته می‌شود. باید درنظر داشت که در اغلب مباحث، ناپایداری دینامیکی معادل ناپایداری درنظر گرفته می‌شود]۱۹[. در مرحله اول قانون محدود کردنِ شاخص خسارت (DM-based rule) درنظر گرفته می‌شود، که اغلب به صورت زیر بیان می‌شود:
اگر آن‌گاه مقاومت نهایی اتفاق افتاده است.
در رابطه بالا مقدار حد مجاز DM برای سطح عملکرد لرزه‌ای موردنظر می‌باشد که با رسیدن DM به این مقدار نهایی () فرض می‌شود که سازه به مقاومت نهایی خود رسیده است. مقادیر می‌تواند از آزمایشات تجربی یا از روابط تئوری و یا از تجربه‌های مهندسی بدست آمده باشد. هم‌چنین ممکن است مقدار یک مقدار معینی^[۱۵] نباشد، بلکه ماهیت آماری داشته باشد و تابعی از یک نوع توزیع آماری باشد. برای مثال مشخص کننده بهره‌برداری بی وقفه یا Immediate Occupancy می‌باشد[۲۰].
FEMA 351 یک فروریزش موضعی را طوری تعریف می‌کند که باعث شرایطی شود که مقدار دوران اتصالات افزایش یابد و موجب خرابی اتصالات تحت بارهای ثقلی گردد. این مقادیر برای هر نوع اتصال بوسیله مقادیر نتیجه گرفته شده از آزمایشات، تحلیل‌ها و قضاوت‌های مهندسی، مقادیر متفاوتی را نتیجه می‌دهند. در کل قوانین محدود کردن شاخص خسارت (DM–based rule) دارای مزیت سادگی در استفاده از آن می‌باشد.
شکل۳- ۶٫ قانون محدود نمودن DM برای مشخص کردن ظرفیت یک سازه ۳ طبقه با قاب خمشی فولادی
در مطالعه آستانه فروریزش یک سازه احتمال وجود نقص سازه‌ای نیز به مفروضات اضافه می‌شود. اگر مدل سازه‌ای مبتنی بر تمامی اطلاعات کامل باشد، آستانه فروریزش با واگرایی در حل مسأله مشخص می‌شود ولی بخاطر پیچیده شدن این موضوع، روش محدود کردن شاخص خسارت یک روش کاربردی برای تعیین آستانه فروریزش می‌باشد.
برای بسط مفهوم فروریزش روش دیگری بوجود آمد که به قانون محدود کردن پتانسیل لرزه‌ای معروف است. در شکل ۳-۶ که با وجود یک مقدار برای IM، منحنی IDA به دو قسمت تقسیم می‌شود. ناحیه پایینی، ناحیه‌ای است که سازه در این ناحیه فروریزش ندارد و ناحیه بالایی ناحیه‌ای است که سازه در آستانه ورود به آن، دچار فروریزش می‌شود که این قانون بدین‌صورت بیان می‌گردد: اگر آنگاه مقاومت نهایی رخ می‌دهد. یکی از تفاوت‌های اساسی که این روش با روش قبلی دارد، این است که مشخص کردن یک مقدار C_IM برای تمامی منحنی‌های IDA کاری بس دشوار می کند و این انتخاب الزاماً از یک منحنی به منحنی دیگر تفاوت است. ولی از طرف دیگر، نقطه قوت این روش در این است که در این روش یک ناحیه برای فروریزش سازه مشخص می‌گردد، که این کار باعث درنظر گرفتن سخت‌شدگی قبلی سازه می‌گردد، به همین دلیل در این روش کمترین صاف‌شدگی با کمترین شیب ملاک انتخاب قرار می‌گیرد و تمامی صاف‌شدگی‌های با شیب بیشتر از آن مجاز شناخته نمی‌شوند.
آیین‌نامه FEMA/SAC[43] پیشنهاد می‌کند که آخرین نقطه‌ای که بر روی منحنی به شیب ۲۰% شیب الاستیک برسد، ملاک انتخاب قرار گیرد. که در حقیقت این صاف‌شدگی منحنی ملاک ناپایداری دینامیکی سازه فرض می‌شود که بعد از این مرحله مقدار DM نرخ افزایش بیشتری پیدا کرده و مقدار آن به سمت بی‌نهایت فیزیکی سوق پیدا می‌کند. اما از آنجایی‌که بی‌نهایت نمی‌تواند یک نتیجه عددی بدست آمده باشد، مثلاً قرارداد می‌شود که تحلیل‌ها تا ۵ برابر اولیه ادامه یابد.
مفاهیم ارائه شده قبل، ساختار اصلی انتخاب را پیچیده‌تر می‌سازد اما اغلب ترکیب منطقی از مسائل ذکر شده می‌تواند انتخاب مناسب‌تری باشد. در این حالت می‌توان برای تعریف ظرفیت سازه از یک ظرفیت کلی استفاده کرد. مثلا FEMA/SAC[43]بدین صورت بیان می‌کند که ۲۰% شیب اولیه و ۱۰% ماکزیمم تغییر مکان نسبی موردنظر قرار گرفته شود اگر هر دو شرط صادق بود، آنگاه فروریزش رخ داده است. این بدان معناست که یک پارامتر مانند ۲۰% شیب اولیه برای قابل اطمینان بودن سازه نمی‌تواند کافی باشد.
۳-۲-۸- منحنی IDA چندگانه^[۱۶]
همان‌طور که آشکار است، یک منحنی IDA یگانه که مربوط به یک شتابنگاشت می‌باشد، نمی‌تواند به تنهایی رفتار یک سازه را در زلزله احتمالی پیش‌بینی نماید. یک منحنی IDA یگانه تا حد زیادی وابسته به شتابنگاشت مربوطه می‌باشد. پس یک سری شتابنگاشت لازم است تا بتوان به صورت آماری، خصوصیات تعداد زیادی شتابنگاشت را در پاسخ سازه وارد کرد. یک منحنی IDA چندگانه همانند شکل(۳-۷)و(۳-۸)یک استنتاج از یک‌سری منحنی‌های یگانه IDA می‌باشند که مربوط به تحلیل یک سازه می‌باشد. برای مثال منحنی‌های IDA یگانه در شکل۳-۱در یک مختصات رسم شده‌اند، که می‌توان با میانگین‌گیری ۱۶% (میانگین منهای دو برابر انحراف معیار) و ۸۴% (میانگین بعلاوه دو برابر انحراف معیار) منحنی‌ها را بدست آورد که در شکل ۳-۹ نشان داده شده است[۲۱].
شکل۳- ۷٫ منحنی‌های چندگانه IDA برای یک قاب خمشی فولادی ۹ طبقه ]۲۱[
شکل۳- ۸٫ منحنی‌های چندگانه IDA در برای ۳۰ شتابنگاشت برای یک ساختمان ۵ طبقه با قاب فولادی مهاربندی شده ]۲۱[
شکل۳- ۹٫ منحنی‌های ۱۶% و ۵۰% و ۸۴% IDA در مقیاس لگاریتمی برای ۳۰ شتابنگاشت برای یک ساختمان ۵ طبقه با قاب فولادی مهاربندی شده با پریود اصلی ۸/۱ ثانیه
در یک مطالعه IDA چندگانه چند نکته مثبت وجود دارد و آن اینکه نتایج اجرای یک رکورد را می‌توان برای رکوردهای بعدی بکار برد.
۳-۲-۹- تعریف شرایط حدی روی یک منحنی IDA
برای اینکه بتوان محاسبات مورد نیاز برای مهندسی زلزله عملکردی) (PBEE^[17] را به انجام رساند، بایستی شرایط حدی روی IDA‌ ها تعریف شود، که سه تا از آن‌ ها بر روی نمودار نشان داده خواهند شد. این شرایط حدی شامل IO، CP و ناپایداری دینامیکی کلی می‌باشد. برای یک قاب خمشی فولادی، IO بر طبقFEMA 351 در θmax=2% شکسته می‌شود. ازطرف دیگر، CP روی منحنی IDA، تا نقطه نهایی که مماس به ۲۰% شیب الاستیک نرسد یا θmax=10%، اتفاق نمی‌افتد. و سرانجام ناپایداری دینامیکی کلی هنگامی اتفاق می‌افتد که منحنی به خط راست می‌رسد و هر افزایش در IM موجب بینهایت شدن پاسخ‌های DM می‌شود. برای نمونه، در شکل ۳-۱۰ سطح حدی IOبرای Sa (T₁, 5%) > 0.26g یا θmax>2% رخ می‌دهد درحالیکه سطح حدی CP هنگامی به وقوع می‌پیوندد که >0.72g Sa (T₁, 5%)یا θmax>6.4% باشد، سرانجام ناپایداری دینامیکی کلی در Sa>0.81g اتفاق می‌افتد[۲۲].
شکل۳-۱۰٫ حالات حدی، تعریف شده طبق منحنی IDA ]22[.
شکل۳- ۱۱٫۲۰ منحنی‌ IDA و ظرفیت‌های حدی مربوطه ]۲۲[
۳-۲-۱۰- خلاصه سازی IDAها
با تولید منحنی IDA برای هر رکورد و در نتیجه تعریف ظرفیت‌های وضعیت حدی، اطلاعات زیادی را می‌توان جمع‌ آوری کرد، که قسمتی از آن در نمودار‌های قبل دیده می‌شود. با توجه به محدوده رفتاری که منحنی‌های IDA نشان می‌دهند، مشاهده می‌شوند که تغییرات رکورد به رکورد وسیعی در آن نمایش داده شده است، پس ضروری است که داده‌ها خلاصه شوند.
ظرفیت‌های حالت حدی براحتی به مقدار مرکزی و مقدار پراکندگی خلاصه می‌شود. درنتیجه، همانطور که در جدول ۳-۱ آمده مقادیر ۱۶%، ۵۰% و ۸۴% DM و IM برای هر حالت حدی محاسبه می‌شود. در شکل ۳-۱۲خلاصه منحنی‌های IDA نشان داده شده است.