d- هسته­ای با ۳ نوترون (هسته­ای با ۳ کوارک بالا و ۶ کوارک پایین)
(۵-۸) 
در حالت کلی از رابطه زیر برای شمارش تعداد حالت­ها می­توان استفاده کرد.

(۵-۹) 
در اینجا A تعداد کل نوکلئون­های هسته و Z تعداد پروتون­هاست. به منظور ساده سازی این رابطه جمله­های ترکیباتی را بسط می­دهیم، و از رابطه  استفاده می­کنیم. بنابراین رابطه بالا به صورت زیر دوباره نویسی می­ شود.
(۵-۱۰)
(۵-۱۱)
که با ساده­سازی به رابطه زیر تبدیل می­ شود.
(۵-۱۲)
چون فقط بزرگی نسبی این کمیت برای ما مهم است، رابطه را بر  تقسیم می­کنیم. و بهتر است کمیت زیر را محاسبه کنیم.
(۵-۱۳)
در هسته­های با A یکسان، هسته­ای که تعداد حالت­های ممکن بیشتری برای تشکیل دارد، احتمال وجود آن نیز باید بیشتر است. نتایج عددی برای چندین هسته در جدول (۵-۱) و پیوست ج، نشان داده شده است.
۵-۳- بررسی اثر نیروی الکترومغناطیسی در پایداری هسته­ها
در هسته­های سبک پایدار تقریباً تعداد پروتون­ها و نوترون­ها برابر است، اما هر چه هسته­ها سنگین­تر می­شوند، و عدد جرمی آنها بیشتر می­ شود، تفاوت بین تعداد پروتون­ها و نوترون­ها بیشتر می­ شود تا جایی که تعداد نوترون­ها تقریباً به ۵_/۱ برابر تعداد پروتون­ها می­رسد. این اختلاف بین پروتون­ها و نوترون­ها را به نیروی کولمبی پروتون­ها ربط می­ دهند، که با افزایش عدد اتمی سریعاً افزایش می­یابد. بنابراین و به همین منظور در اینجا تأثیر نیروی الکترومغناطیسی را بر تشکیل هسته­ها مد نظر قرار می­دهیم، و انتظار داریم که بتوانیم انحراف هسته­های پایدار را از خط  توضیح دهیم. تاثیر نیروی الکترومغناطیسی را در دو مرحله زمانی بررسی می کنیم. ۱- در هنگام فرایند تشکیل نوکلئون و هسته، ۲- پس از تشکیل نوکلئون و هسته.
قبل از تشکیل نوکلئون­ها کوارک­ها هستند که با هم برهم­کنش دارند، که در نهایت تبدیل به پروتون و نوترون می­شوند. نوترون ذره­ای خنثی است و نیروی الکترومغناطیسی همواره موافق تشکیل ذره­­ای خنثی از یک سری ذرات باردار است، به عبارتی دیگر ذرات ناهمنام همدیگر را جذب می­ کنند، پس این تأثیر، موافق نیروی جاذبه­ی قوی است و بنابراین باید با تأثیر نیروی قوی جمع شود. ولی در مورد پروتون که ذره­ای با بار مثبت است، نیروی الکترومغناطیسی با تشکیل پروتون مخالف است. بنابراین در این مورد تأثیر نیروی الکترومغناطیسی باید از تأثیر نیروی قوی کسر شود. در جمع این دو نیرو باید در نظر داشته باشیم که اندازه نیروی الکترومغناطیسی به مراتب از نیروی قوی ضعیف­تر است. در واقع نیروی الکترومغناطیسی به نسبت ثابت جفتیدگی،  ، از نیروی قوی ضعیف­تر است. با این اوصاف تشکیل هر نوترون را باید در عامل  و تشکیل هر پروتون را در عامل  ضرب کنیم. حال چون هر نوکلئون با در نظر گرفتن رنگ کوارک­های آن به ۳ حالت می ­تواند وجود داشته باشد (به عنوان مثال برای پروتون u_ru_gd_b , u_gu_bd_r , u_bu_rd_g )، بنابراین تشکیل هر پروتون در عامل  و تشکیل هر نوترون در عامل  ضرب می­ شود و تا این مرحله رابطه (۵-۱۳) به صورت زیر تعمیم می­یابد.
(۵-۱۴)
در اینجا  ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی است و مقدار رابطه جدید را با حرف R نشان داده­ایم. حال نوکلئون­ها شکل گرفته­اند و هسته تشکیل شده است. اما همچنان نیروی الکترومغناطیسی بین پروتون­ها و نیروی هسته­ای بین نوکلئون­ها وجود دارند و بر روی پایداری هسته تاثیر می­گذارند. برای اینکه تأثیر نیروی الکترومغناطیسی و هسته­ای در این مرحله را وارد محاسباتمان بکنیم، خصوصیات زیر را در نظر می­گیریم.
نیروی الکترومغناطیسی (کولنی) بلند برد است.
نیروی هسته­ای (نیروی بین نوکلئون­ها) کوتاه برد است.
قدرت نیروی الکترومغناطیسی  برابر نیروی هسته­ای است. (  ، ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی یا ثابت ساختار ریز)
فرض می کنیم که نوکلئون­ها در درون هسته شبکه­ ای منظم تشکیل داده­اند. این شبکه را همانند اتم­های کربن در الماس در نظر می­گیریم (شکل (۵-۱))، و فرض می­کنیم که هر نوکلئون تنها با نوکلئون­های همسایه­اش برهم­کنش هسته­ای دارد.
هسته­ها دارای چگالی ثابت هستند، طوری که رابطه  بین شعاع هسته و تعداد نوکلئون­های تشکیل دهنده هسته برقرار باشد.
شکل(۵-۲): شبکه چهار وجهی منتظم که نوکلئون­ها تشکیل می­ دهند
حال تعداد برهم­کنش­هایی که هر نوکلئون با دیگر نوکلئون­ها دارد را هم از دیدگاه الکترومغناطیسی و هم از دیدگاه هسته­ای شمرده و تأثیر آن را در محاسبات دخیل می­کنیم. هسته­ای با Z پروتون را در نظر می­گیریم، هر پروتون با (Z-1) پروتون دیگر برهم­کنش الکترومغناطیسی دارد و برای جلوگیری از دو باره شمرده شدن، تعداد برهم­کنش­­های الکترومغناطیسی آن برابر با  خواهد بود. چون برهم­کنش هسته­ای کوتاه برد است، فرض می­کنیم که هر پروتون تنها با نوکلئون­های همسایه­اش برهم­کنش دارد. بر این اساس هر پروتون با چهار نوکلئون همسایه­اش برهم­کنش هسته­ای دارد، که برای جلوگیری از دوبار شمرده شدن تعداد برهم­کنش­های هسته­ای نیز برابر با  خواهد بود. بنابراین وجود هر پروتون باعث می شود که رابطه (۵-۱۴) را به ازای هر پروتون در عبارت  ضرب کنیم. در این عبارت عدد ۲ نماینده تعداد برهم­کنش­های هسته­ای هر پروتون است، عدد  نشان دهنده تعداد برهم­کنش­های الکترومغناطیسی است که هر پروتون دارد،  ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی به خاطر ضعیف بودن نیروی الکترومغناطیسی در مقابل نیروی هسته­ای وارد شده است و علامت منها نشان دهنده دافعه بودن نیروی الکترومغناطیسی در میان پروتون­هاست. اگر هسته­ای دارای Z پروتون باشد، آنگاه عامل  وارد محاسبه می شود. به ازای هر نوترون چون عامل الکترومغناطیسی وجود ندارد فقط عامل  در رابطه (۵-۱۴) ضرب خواهد شد. بنابراین در مجموع با در نظر گرفتن هم پروتون­ها و هم نوترون­ها، رابطه (۵-۱۴) در عامل  ضرب خواهد شد. عامل  برای هسته­های با A یکسان ثابت است، چون فقط بزرگی نسبی این عامل برای ما مهم است، می­توان آن را از محاسبات حذف کرد. بنابراین به رابطه زیر می­رسیم.
(۵-۱۵)
با A ثابت، ماکزیمم مقداری که برای R به دست خواهد آمد، نشان دهنده پایداری هسته خواهد بود. نتایج حاصله از این رابطه برای برخی از هسته­ها در جدول (۵-۱) آورده شده است. که نشان دهنده سازگاری بسیار خوب با هسته های پایدار کشف شده در طبیعت است. (به خصوص برای هسته­های  ) در شکل (۵-۳) نمودار ماکزیمم R برای هسته­های مختلف رسم شده است.

شکل (۵-۳): پیش بینی رابطه (۵-۱۵) برای هسته های پایدار، در هسته­های با تعداد نوکلئون بالا انحراف از هسته­های پایدار موجود در طبیعت مشاهده می­ شود.
در به دست آورد معادله (۵-۱۵)، نیروی برهم­کنش الکترومغناطیسی بین دو پروتون بدون در نظر گرفتن فاصله بین آنها یکسان در نظر گرفته شده، در حالی که نیروی الکترومغناطیسی به فاصله بین دو بار بستگی دارد. در هسته­های سبک چون تعداد نوکلئون­های هسته کم است می­توان با تقریب فاصله هر دو پروتون در هسته را یکسان در نظر گرفت. در هسته های سنگین، چون شعاع هسته بزرگ شده است دیگر نمی­ توان انتظار داشت که برهم­کنش الکترومغناطیسی بین هر دو پروتونی را یکسان در نظر گرفت. بنابراین باید وابستگی نیروی الکترومغناطیسی به شعاع را در نظر گرفت. انتظار داریم که در هسته­های سنگین تاثیر نیروی الکترومغناطیسی با شعاع کاهش یابد. اگر این کاهش را به صورت یک ضریب که وابسته به شعاع است، وارد رابطه کنیم، تأثیر نیروی الکترومغناطیسی به صورت  در می ­آید. در اینجا  ، ضریبی است که تأثیر نیروی الکترومغناطیسی را بر حسب شعاع نشان می­دهد. این ضریب برای هسته­های سنگین کوچک­تر از یک است. به عنوان مثال این ضریب برای U-238 باید برابر با ۰.۸۳ باشد. اگر قرار دهیم  ، (که ۱۲۰ عدد اتمی یک هسته میان وزن است) سازگاری با مقادیر تجربی بسیار خوب می­ شود. بنابراین با وارد کردن این ضریب در معادله (۵-۱۵)، تعداد حالت­های تشکیل یک هسته با تعداد مشخص پروتون و نوترون به دست خواهد آمد.
(۵-۱۶)
با مقایسه ماکزیمم مقدار به دست آمده به ازای مقادیر ثابت A با هسته­هایی که در طبیعت وجود دارد، سازگاری خوبی مشاهده می­ شود. نتایج حاصل از مقادیر ماکزیمم که از این رابطه به دست می ­آید به همراه هسته­های پایدار موجود در طبیعت در شکل (۵-۴) رسم شده است. همان­گونه که در شکل (۵-۴) نشان داده شده، سازگاری خوبی بین مقادیری که ما به دست آورده­ایم و هسته­های پایدار موجود در طبیعت ملاحظه می­ شود [۵۱].

شکل (۵-۴): نمودار هسته­های پایدار موجود در طبیعت و ماکزیمم­های به دست آمده از رابطه (۵-۱۵) و مقایسه آنها با همدیگر
نتیجه گیری و پیشنهادات
مدل شبه کوارکی هسته سعی دارد با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده نوکلئون­ها برخی خواص هسته را استخراج نماید. نوکلئون­ها در درون هسته با همدیگر هم­پوشانی دارند و در این ناحیه به خاطر نزدیکی زیاد کوارک­های دو نوکلئون با همدیگر برهم­کنش قوی دارند و بنابراین احتمال اینکه این کوارک­ها که با همدیگر برهم­کنش دارند، تشکیل نوکلئونی جدید بدهند وجود دارد. و همین امر باعث می­ شود که نوکلئون­های هسته به کوارک­های سازنده­یشان شکسته شده و سپس نوکلئون­های جدید تشکیل گردند. همین امر مستلزم این است که در بررسی ساختار هسته­ها، کوارک­های سازنده آنها را نیز در نظر بگیریم. در همین راستا در فصل دوم برهم­کنش­های مواد بخصوص برهم­کنش بین کوارک­ها و نوکلئون­ها بررسی شد. با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده هسته­ها، اعداد جادویی هسته­ای استخراج شده، انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی مشخص گردیده و رابطه­ای برای انرژی بستگی هسته­ها استخراج شده است.
گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون بر اساس ساختار کوارکی آن مورد بررسی قرار گرفته است. با به دست آوردن تابع موج دوترون بر اساس کوارک­های سازنده­ی دو نوکلئون آن و محاسبه مقدار انتظاری عمگر گشتاور دو قطبی مغناطیسی آن بر اساس این تابع موج، مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون را به دست آورده­ایم، که با مقایسه با محاسبات مدل پوسته­ای نتایج قابل ملاحظه است و به مقدار اندازه ­گیری شده همخوانی بهتری دارد. در مرحله بعد با فرض اینکه کوارک­های دوترون تنها تشکیل دو نوکلئون نمی­دهند بلکه ممکن است تشکیل باریون­های دلتا نیز بدهند دوباره تابع موج دوترون بر اساس احتمال تشکیل باریون­های دلتا محاسبه شده و بر اساس این تابع موج، دوباره مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون محاسبه شده است. با مقایسه این مقدار به دست آمده با مقدار اندازه ­گیری شده ملاحظه می­ شود که در این حالت سازگاری بهتری نسبت به مقدار قبلی با مقدار اندازه ­گیری شده وجود دارد.
پایداری هسته­ها موضوعی است که در فیزیک هسته­ای همیشه مد نظر بوده و سعی شده که دلیلی برای نسبت بین پروتون­ها و نوترون­ها در هسته­های پایدار بیان شود. در این پایان نامه، به منظور پیدا کردن خط پایداری هسته­ها، تشکیل هسته­ها را از کوارک­های سازنده­ی آنها در نظر گرفته­ایم، تعداد راه­های تشکیل هسته را از کوارک­های سازنده­اش شمرده­ایم. ترکیبی خاص از پروتون­ها و نوترون­ها که بیشترین فراوانی را دارد، احتمال تشکیل بیشتری نیز دارد. سپس با اعمال برهم­کنش الکترومغناطیسی در دو مرحله (یک مرحله قبل از تشکیل نوکلئون­ها بین کوارک­های باردار و مرحله دیگر پس از تشکیل نوکلئون­ها به خاطر برهم­کنش الکترومغناطیسی بین پروتون­ها)، روابط را اصلاح کردیم و در نهایت ترکیب خاص پروتون­ها و نوترون­های هسته­های پایدار را استخراج نمودیم که با مقایسه با هسته­های پایدار موجود در طبیعت، سازگاری بسیار خوبی مشاهده می­ شود.
در نظر گرفتن ساختار کوارکی هسته­ها می ­تواند بعضی خواص هسته­ها رابه خوبی بیان و باز تولید کند. مواردی در این رساله ذکر گردیدند، موارد دیگری که می­ شود بر اساس این مدل مورد پیگیری و تحقیق قرار داد در زیر بیان شده ­اند؛
محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های هلیوم-۳ و تریتیم؛
محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های سنگین­تر با در نظر گرفتن مدل پوسته­ای و در نظر گرفتن ساختار کوارکی نوکلئون­هایی که در لایه آخر یا همان لایه ظرفیت قرار دارند؛
محاسبه گشتاور چارقطبی الکتریکی دوترون با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده آن و پتانسیل بین کوارک­های آن؛
بررسی نیروی تزویج بین نوکلئون­ها با در نظر گرفتن راه­های مختلف تشکیل زوج­های نوکلئونی، همانند روش استخراج خط پایداری هسته­ها که در این رساله انجام گرفت؛
ایجاد رابطه­ای برای انرژی بستگی هسته­ها با بهره گرفتن از تعداد پیوند­های کوارکی موجود در هر هسته و برخی دیگر از خواص هسته­ای همچون انرژی زوجیت و هسته­های با لایه­ های پر یا همان هسته­های جادویی.
A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC
[۲] [۰] [۲] [ ۱] [ ۱]
[۲] [۱] [۱] [ ۱.۵۰۰۰e+000] [1.4357e+000]
[۲] [۲] [۰] [ ۱] [۹.۵۳۶۶e-001]
[۳] [۰] [۳] [ ۱] [ ۱]
[۳] [۱] [۲] [ ۲] [۱.۹۱۴۳e+000]
[۳] [۲] [۱] [ ۲] [۱.۹۰۷۳e+000]
[۳] [۳] [۰] [ ۱] [۹.۴۶۷۱e-001]
[۴] [۰] [۴] [ ۱] [ ۱]
[۴] [۱] [۳] [ ۲.۵۰۰۰e+000] [2.3929e+000]