مدل ایجاد توافق که در بازی‌های همکارانه استفاده می‌شود، در اقتصاد نیز عملاً زیاد به کار بسته می‌شود. بسیاری از معاملات در کسب و کار ها مبتنی بر انعقاد قرارداد و در نظر گرفتن جریمه در صورت تخطی طرفین درگیر از توافق می‌باشد.

در بازی‌های غیرهمکارانه، بازیگران معمولاً بر استراتژی های پایدار تأکید دارند. به طور مثال، تعادل نش مثال مناسبی از مفهوم حل برای بازی‌های غیرهمکارانه است، که در آن هدف، پیدا کردن مجموعه های استراتژی مناسب می‌باشد. اما در بازی‌های همکارانه معمولاً هدف پیدا کردن توزیع‌های پیامد پایدار می‌باشد که همه اعضاء ائتلاف بتوانند آن را قبول کنند^[۵۵]. بازی‌های همکارانه بر نتایج همکاری و اینکه چطور این نتایج در میان بازیگران توزیع می‌شود، تمرکز بیشتری نسبت به استراتژی ها (که در بازی‌های غیرهمکارانه مهم است) دارد^[۵۶]. بازی‌های همکارانه به شکل مطلوبیت قابل انتقال‌پذیر^[۵۷] رایج ترین نوع بازی‌های همکارانه است و راه حل‌های ارائه شده در ادامه تحقیق، همگی در این بخش قرار دارند.

بازی همکارانه نفره را در نظر بگیرید که هیچ محدودیتی برای تشکیل ائتلاف ندارند و هر بازیکن با هر کس یا کسانی از مجموعه N (مجموعه بازیکنان) که دارای اهداف نزدیک و منافع مشترک باشند می‌توانند ائتلاف تشکیل دهند. برای تسهیل تشکیل ائتلاف به بازیکنان اجازه داده می‌شود بین یکدیگر پرداختی داشته باشند. این پرداختی ‌به این دلیل انجام می‌شود تا بعضی از بازیکنان را تشویق به انتخاب آن استراتژی کند که در راستای منافع ائتلاف باشد و اصطلاحاً به آن بازی با مطلوبیت انتقال‌پذیر نیز می‌گویند. ساختار یک بازی همکارانه از بازی غیرهمکارانه ساخته می‌شود، ‌بنابرین‏ اولین قدم در ساخت یک بازی همکارانه، نمایش بازی همکارانه در فرم مشخصه^[۵۸]می‌باشد. فرم مشخصه بازی با n نفر بازیکن را با (N,V) نشان می‌دهند که در آن بوده، V تابع مشخصه و نشان دهنده پیامد هر ائتلاف است و دارای ویژگی ذیل می‌باشد:

• اگر S و Tدو ائتلافی باشند که هیچ عضو مشترکی نداشته باشند، شرط زیر برآورده می‌شود:

شرط مذکور بیان می کد دو ائتلاف S و Tموقعی با هم ائتلاف جدید تشکیل می‌دهند که پیامد ائتلاف جدید یعنی V(SUT) حداقل برابر جمع پیامد ائتلاف‌های مستقل S و T باشد و می توان نشان داد که شرط فوق همیشه برقرار است^[۵۹].

تابع مشخصه نشان می‌دهد که هر ائتلاف در یک بازی حداکثر چقدر پیامد به دست می آورد. بالاخص اینکه در بازی‌های همکارانه، هدف بهره مندی هر چه بیشتر از منافع ائتلاف است که از طریق تشکیل ائتلاف جمعی حاصل می‌شود. زیرا طبق ویژگی تابع مشخصه، پیامدی که در صورت تشکیل هر ائتلاف بالاخص ائتلاف جمعی عاید ائتلاف می‌شود، حداقل به اندازه مجموع عایدی ائتلاف‌های مستقل (بدون عضو مشترک) است. بعد از تشکیل ائتلاف، مسأله مهم نحوه تقسیم پیامد ائتلاف بین اعضاست.

تقسیم پیامد (منافع) ائتلاف بین اعضای آن باید عادلانه و به گونه‌ای باشد که هیچ ائتلاف دیگری مطلوب بازیکنان آن ائتلاف نباشد که به از هم پاشیدن آن ائتلاف منجر می‌شود. تقسیم یا تخصیصی که به رضایت اعضای ائتلاف منجر شود گفته می‌شود تخصیص عقلایی بوه و بار بردار X=(X₁, …,X_n) نشان می‌دهند که در آن X_i نشان دهنده میزان پیامد تخصیص یافته به بازیکن i از تقسیم منافع ائتلاف است. هر تخصیص عقلایی باید دو ویژگی داشته باشد: اول آنکه، کل پیامد تخصیص یافته به اعضاء برابر با مجموع پیامد تخصیص یافته به اعضاء یعنی باشد. دوم آنکه، پیامدی که از پیوستن به ائتلاف، عاید هر بازیکن می‌شود نباید کمتر از پیامد تنها عمل کردن در مقابل ائتلاف (با ائتلاف وارد بازی شدن) باشد که اصطلاحاً به آن عقلانیت فردی گفته و ‌به این صورت بیان می‌شود:

پس تخصیص عقلایی به صورت مجموعه نقاط زیر نشان داده می‌شود:

حال با توجه به مفاهیم ابتدایی بازی‌های همکارانه و همچنین معرفی فرم مشخصه و ویژگی‌های تابع مشخصه، می‌توان انواع راه حل های این نوع بازی‌ها را به شرح ذیل ارائه نمود.

فرض می‌شود که بازیگران بازی همکارانه n نفره در فرم مشخصه جهت همکاری توافق می‌کنند و ائتلاف کلی^[۶۰]n نفره را تشکیل می‌دهند. بازیگران باید بر توزیع پیامد V(N) در میان اعضای ائتلاف کلی توافق کنند. اولین چیزی که باید مشخص باشد این است که راه تقسیم کردن منافع، امکان پذیر باشد.

مجموعه مجموعه ای از بردارهای پیامد ممکن برای بازی است، اگر در تساوی زیر برقرار باشد:

بردار منافع ، ائتلاف نامیده می‌شود که پیامد را برای هر بازیگر i تعریف مشخص می‌کند. بردارهای پیامد ممکن همه ائتلاف‌ها می‌باشد که پیامد کل V(N) را افزایش نمی‌دهد. اگر بردارهای اصل کارایی را تأمین کند و بردارهای پیامد ارزش کل V(N) را جدا کند، بردارهای پیامد کارآ نامیده می‌شوند.

۲-۳-۲- ارزش شپلی

ارزش شپلی، مقداری یگانه است که دارای خصوصیات ذیل می‌باشد:

۱٫ اگر برای همه و برقرار باشد،‌ آنگاه می‌شود.

۲٫ اگر برای همه و و برقرار باشد،‌ آنگاه می‌شود.

۳٫ اگر آنگاه می‌شود.

۴٫ همیشه رابطه برقرار می‌باشد. در ادامه با توجه به خصوصیات بالا، منحصر به فرد بودن ارزش شپلی را اثبات می‌کنیم^[۶۱].

لم ۱: با برقراری روابط بالا، اثبات می‌شود که ارزش شپلی، مقداری منحصر به فرد خواهد بود. برای این کار مقدار ثابت در نظر گرفته می‌شود و تابع مشخصه فزاینده^[۶۲] را به شکل زیر تعریف می‌کنیم.

برای تابع مشخصه فوق، روابط زیر را تعریف می‌کنیم:

اگر i, j ∈ T آنگاه φ_i(w) = φj (w)، همچنین، اگر k T آنگاه φ_k (w) = 0 را در نظر بگیریم آنگاه،

با توجه به = ۱ برای همه i ∈ T رابطه φ_i = برقرار می‌شود.

این نوع از تابع مشخصه، منحصر به فردی می‌دهد که تمام خصوصیات ذکر شده برای ارزش شپلی را تأمین می‌کند. حال برای تابع مشخصه cw_T نیز که به صورت زیر تعریف می‌شود، شرایط مشابه وجود دارد.

به روش مشابه روابط زیر وجود دارند: