رنگ­های کرومودینامیک نقش بار الکتریکی را بازی می­ کنند و فرایند اصلی و عمده آن شبیه  به صورت  بیان می­ شود. در اینجا g گلوئون و q کوارک است. از آنجایی که لپتون­ها نمی ­توانند رنگ­ها را با خود حمل کنند، پس در برهم­کنش­های قوی شرکت نمی­کنند. مانند حالت قبل، برای نشان دادن مراحل پیچیده­تر دو یا چند گره را با هم ترکیب می­کنیم. به عنوان مثال نیروی بین دو کوارک، که در نخستین لحظه مسئول یکپارچگی و پیوستن کوارک­ها به یکدیگر در ساختن باریون­ها و نیز مسئول به هم پیوستن پروتون­ها و نوترون­ها در هسته است، در پایین­ترین مرتبه در نمودار a شکل (۳-۲) نشان داده شده است. گفته می­ شود نیروی بین دو کوارک به وسیله­ تبادل گلوئون تأمین می­ شود، شکل (۳-۲).

 

b

a

شکل (۳-۲): نمودار a فرایند اصلی برهم­کنش قوی در نمودارهای فاینمن است و نمودار b برهم­کنش دو کوارک است که از طریق مبادله یک گلوئون بین آنها صورت گرفته است.

کرومودینامیک تا حدود زیادی همانند الکترودینامیک است، هر چند که تفاوت­های بسیاری بین آنها موجود است. در حالی که در الکترودینامیک تنها یک نوع بار الکتریکی وجود دارد، در کرومودینامیک سه نوع رنگ وجود دارد. در پدیده­  رنگ کوارک ممکن است تغییر یابد ولی طعم آن ثابت است. به عنوان مثال یک کوارک آبی رنگ بالا ممکن است به یک کوارک سبز بالا تبدیل شود. بنابراین گلوئون­ها باید با خود رنگ حمل کنند، و حامل یک واحد رنگ مثبت و یک واحد رنگ منفی خواهند بود. بنابراین احتمال وجود ۹ گلوئون وجود دارد، اما به دلایل فنی ۸ گلوئون وجود دارد. برخلاف فوتون در الکترودینامیک، که بدون بار الکتریکی است و با همدیگر برهم­کنش ندارند. گلوئون­ها دارای رنگ هستند، می­توانند با همدیگر برهم­کنش داشته باشند. بنابراین، افزون بر گره­های کوارک- گلوئون اولیه، گره­های گلوئون- گلوئون اولیه هم وجود دارد، که در حقیقت دو نوع گره هستند. گره­های سه گلوئونی و گره­های چهار گلوئونی. اندازه ثابت جفتیدگی تفاوت دیگر بین کرومودینامیک و الکترودینامیک است. هر گره در QED معرف یک فاکتور  است. کوچکی این عدد باعث می­ شود که نمودارهای فاینمن با تعداد گره­های کم را در نظر بگیریم. از نظر تجربی ثابت جفتیدگی مربوطه در نیروی قوی،  ، بیش از یک است. بزرگی این عدد باعث نگرانی فیزیک ذرات در چند دهه شد. زیرا به جای اینکه با افزایش پیچیدگی نمودارهای فاینمن ثابت جفتیدگی کوچک و کوچک­تر شود، برعکس بزرگ­تر می­ شود و نمودارهای فاینمن که در الکترودینامیک کارایی داشتند در این مورد کاملاً بی­ارزش و بدون کارایی هستند. در QCD عددی که نقش جفتیدگی و مقدار “ثابت” را بازی می­ کند، در حقیقت ثابت نیست. بلکه به فاصله جدایی بین ذرات برهم­کنش کننده بستگی دارد. اگر چه ثابت جفتیدگی قوی در فاصله­های به نسبت زیاد، متعلق به ویژگی­های هسته­ای، بزرگ می­باشد، اما در فاصله­های کوتاه (کمتر از اندازه­ یک پروتون) بسیار کوچک می­ شود. این پدیده به عنوان آزادی مجانبی شناخته شده است. بدان معنا که در درون یک پروتون یا پایون، کوارک­ها بدون هیچ برهم­کنشی به اطراف حرکت می­ کنند. از نظر نظریه کشف آزادی مجانبی محاسبه فاینمن برای QCD در حالت انرژی زیاد را نجات داد. حتی در الکترودینامیک هم جفتیدگی کارآمد، تا حدی به فاصله از منبع بستگی دارد.

۲-۴- برهمکنش­های ضعیف

تمامی کوار­ک­ها و لپتون­ها در برهمکنش­های ضعیف شرکت می­ کنند. دو نوع برهم­کنش ضعیف وجود دارد: دارای بار (به واسطه­ W­ها) و خنثی (به واسطه­ Z). گره باردار بنیادی در شکل (۴-۲) نشان داده شده است. همانند همیشه، گره­های اولیه را به یکدیگر پیوند می­زنند تا واکنش­های پیچیده­تری تولید کنند.

 

شکل (۴-۲): فرایند اصلی برهم­کنش ضعیف و برهم­کنش دو کوارک که از طریق ضعیف صورت می­گیرد.

۲-۵- برهمکنش­های نوکلئون­ها

نوترون با واپاشی بتا به پروتون، الکترون و آنتی­نوترینوی الکترون واپاشیده می­ شود. طبق رابطه زیر:

(۱-۲)

این واکنش که از طریق برهم­کنش ضعیف امکان­ پذیر است، در شکل (۵-۲) نشان داده شده است. برهم­کنش­های پروتون­ها و نوترون­ها با همدیگر بیشتر از طریق قوی رخ می­دهد، که در شکل­های (۶-۲) نشان داده شده است.

شکل (۵-۲): فرایند واپاشی نوترون به پروتون که از طریق برهم­کنش ضعیف رخ می­دهد.

 

شکل (۶-۲): برهم­کنش قوی بین دو پروتون که از طریق تبادل یک پایون خنثی صورت گرفته است.

۲-۵-۱- خواص نیروی هسته­ای

بسیاری از خصوصیات نیروی هسته­ای از آزمایش­های پراکندگی نوکلئون­ها به دست آمده است. در این بخش، ویژگی­های اصلی بین نوکلئون­ها را به طور خلاصه شرح می­دهیم.

برهم­کنش بین دو نوکلئون از پایین­ترین مرتبه­ی پتانسیل جاذبه­ای حاصل می­ شود. ویژگی مشترک همه پتانسیل­هایی که به عنوان پتانسیل هسته­ای در نظر گرفته می­ شود، وابستگی انحصاری همه آنها به فاصله بین نوکلئونی r است.

برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون قویاً وابسته به اسپین است. این نتیجه ­گیری از عدم موفقیت در مشاهده حالت مقید تک­تایه دوترون و همچنین از اندازه ­گیری اختلاف سطح مقطع­های حالت­های تک­تایه و سه­تایه حاصل شده است. روشن است این جمله باید به اسپین دو نوکلئون بستگی داشته باشد، اما با در نظر گرفتن تقارن­های پاریته و برگشت زمان، هر ترکیبی از اسپین­ها قابل قبول نیست. جملاتی که می­توان در نظر گرفت به شکل  یا  می ­تواند باشد.

پتانسیل بین نوکلئونی شامل یک جمله­ غیر مرکزی، به نام پتانسیل تانسوری، است. عمده­ترین دلیل وجود نیروی تانسوری از مشاهده­ گشتاور چارقطبی در حالت پایه دوترون حاصل می­ شود. برای نوکلئون منفرد، بدیهی است که انتخاب یک جهت مشخص در فضا اختیاری است. تنها جهت مرجع برای نوکلئون جهت اسپین آن است، از این رو جمله­ای که می­توان در نظر گرفت به صورت  یا  است، که بردار مکان r را به جهت اسپین s ارتباط می­دهد.

نیروی نوکلئون- نوکلئون نسبت به بار نوکلئون تقارن دارد. این بدان معنی است که پس از تصحیح نیروی کولونی در سیستم پروتون- پروتون، فرقی بین برهم­کنش پروتون- پروتون و برهم­کنش نوترون- نوترون نیست. منظور از «بار» خصوصیت یا جنس نوکلئون است.

نیروی نوکلئون- نوکلئون تقریباً مستقل از بار الکتریکی است. این بدان معنی است پس از تصحیح نیروی کولونی، هر سه نیروی هسته­ای nn، pp و np با هم مساوی­اند. به این ترتیب، استقلال بار شرطی قوی­تر از تقارن بار است. در این مورد شواهد امر چندان قاطع نیست.

برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون در فواصل خیلی کوتاه دافعه می­ شود. این نتیجه از بررسی کیفی چگالی هسته­ای حاصل می­ شود. رشد هسته در اثر افزایش نوکلئون­ها به صورتی است که چگالی مرکزی آن تقریباً ثابت می­ماند، و از این رو باید عاملی وجود داشته باشد که از تجمع و نزدیک شدن بیش از حد نوکلئون­ها جلوگیری کند.

برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون می ­تواند به تکانه یا سرعت نسبی نوکلئون­ها هم بستگی داشته باشد. نیروهای وابسته به سرعت یا تکانه را نمی­ توان با پتانسیل نرده­ای نشان داد، اما با بهره گرفتن از جملات درجه اول p، درجه دوم p و غیره، که هر کدام از آنها به یک پتانسیل مشخصه  متناظرند، می­توان آنها را به طرز قابل قبولی در نظر گرفت. یکی از صورت­های قابل قبول که شامل توان­های درجه اول p می­ شود و نسبت به پاریته و برگشت زمان هر دو ناورداست،  است؛ که در آن  اسپین کل دو نوکلئون مورد بررسی است. تکانه زاویه­ای نسبی نوکلئون­ها برابر  است، و در نتیجه این جمله که به خاطر مشابهت با فیزیک اتمی جمله اسپین- مدار نامیده می­ شود، به صورت  نوشته می­ شود. فرض برهم­کنش اسپین- مدار، با این مشاهده تجربی تقویت می­ شود که اسپین نوکلئون­های پراکنده ممکن است سمت­گیری خاصی در فضا داشته باشدکه در این حالت اسپین نوکلئون­ها را قطبیده می­گویند [۶].

۲-۶- هسته سازی

تولید هسته­های جدید، از پروتون­ها، نوترون­ها و هسته­های موجود هسته سازی گفته می­ شود. اولین هسته­ها در حدود ۳ دقیقه پس از مهبانگ از طریق فرایندی به نام سنتز هسته­ای تشکیل شدند. پس از آن هیدروژن و هلیوم تشکیل شدند. با تشکیل ستارگان، هسته­های سنگین­تر به وجود آمدند. هسته­های سبک تا آهن و نیکل از طریق همجوشی به وجود می­آیند، ولی هسته­های سنگین­تر نیاز به واکنش انفجاری و گیراندازی نوترون دارند. چهار نوع اصلی فرایند هسته­سازی عبارتند از: فرایند هسته­سازی در مهبانگ، فرایند هسته­سازی ستاره­ای، فرایند هسته­سازی انفجاری و فرایند هسته­سازی با اسپلاشی اشعه کیهانی.

۲-۷- فرایند هسته­سازی در مهبانگ

فرایند هسته­سازی مهبانگ در سه دقیقه اول خلقت اتفاق افتاده است. به نوعی علت فراوانی نسبی بیشتر هیدروژن،  ، دوتریوم،  ، هلیوم-۳،  و هلیوم-۴،  ،در جهان می­باشد. تولید  توسط مکانیسم­های دیگر مانند همجوشی ستاره­ای و واپاشی آلفا ادامه دارد، و مقدار کمی از  توسط فرایند اسپلاشی تولید می­ شود. همچنین هیدروژن توسط پاره­ای واکنش­های مشخص هسته­­ای تولید می­ شود. تصور می­ شود که اکثر هسته­های موجود در جهان، در مهبانگ به وجود آمده­اند. اعتقاد بر این است که هسته­هایی که در اینجا ذکر شده ­اند به همراه  و  بین ۱۰۰ تا ۳۰۰ ثانیه پس از انفجار بزرگ به وجود آمدند. یعنی پس از اینکه پلاسمای کوارک-گلوئون اولیه به قدری سرد شد که پروتون و نوترون تشکیل شوند، هسته سازی شروع شد. حدود ۲۰ دقیقه پس از انفجار بزرگ، به خاطر سرد شدن و انبساط هسته سازی متوقف شد. به دلیل دوره کوتاهی که طی آن فرایند هسته سازی مهبانگ اتفاق افتاده است، هیچ هسته سنگین­تر از بریلیوم (یا احتمالاً برم) نمی­توانسته به وجود آید. عناصری که در طی این زمان کوتاه تشکیل شده ­اند در یک حالت پلاسما بوده ­اند و به حالت اتمی خنثی سرد نشده­اند، این پروسه بعدها اتفاق افتاده است. واکنش­هایی که در مهبانگ رخ داده و مسئول فراوانی نسبی عناصر در جهان می­باشد در زیر آورده شده ­اند.

 

۲-۸- فرایند هسته سازی ستاره­ای

فرایند هسته­سازی ستاره­ای درون ستارگان، در طول فرایند تحول ستاره­ای اتفاق می­افتد و این فرایند مسئول نسل دیگری از عناصر یعنی از کربن تا کلسیوم با بهره گرفتن از فرایند­های همجوشی است. ستارگان کوره­های هسته­ای هستند که در آنها هیدروژن و هلیوم به هسته­های سنگین­تر جوش می­خورند [۷]. فرایند زنجیره پروتون-پروتون در ستارگان سردتر از خورشید و چرخه CNO (چرخه کربن، نیتروژن و اکسیژن) در ستارگان داغ­تر از خورشید، اتفاق می­افتد. کربن اهمیت خاصی دارد، زیرا تشکیل آن از هلیوم در کل فرایند وجود دارد. کربن توسط فرایند سه گانه آلفا در تمام ستارگان تولید می­ شود. همچنین، کربن عنصر اصلی استفاده شده در تولید نوترونهای آزاد در ستارگان است که در فرایند s آزاد می­شوند، فرایندی که شامل جذب آهسته نوترون­ها برای تولید عناصر سنگین­تر از آهن و نیکل می­باشد [۸]. کربن و دیگر عناصر ایجاد شده با این فرایند در زندگی ما نقش اساسی و بنیادیی دارند.

اولین اثبات مستقیم فرایند هسته­سازی در ستارگان با آشکار سازی تکنتیوم رادیواکتیو در اتمسفر یک غول قرمز در اوایل دهه ۱۹۵۰ اتفاق افتاد [۹] از آنجا که تکنتیوم رادیواکتیو است (با نیمه عمر خیلی کمتر از سن ستارگان)، توزیع فراوانی­اش بایستی بیان کننده تولید آن در ستاره در مدت زمان عمرش باشد. مدارک متقاعدکننده­ای مبنی بر توزیع فراوانی بیشتر برای عناصر پایدار خاص در یک اتمسفر ستاره­ای وجود دارد. اهمیت تاریخی این موضوع به مشاهده فراوانی باریوم که ۲۰ تا ۵۰ برابر بیشتر از درون ستارگان بود، برمی­گردد. بسیاری از مشاهدات جدید در ترکیب­های ایزوتوپی که از شهاب­سنگ­های آسمانی خارج شده ­اند، حکایت از غبار ستاره­ای^[۱۷] دارند که از گازهای چگال شده ستارگان تشکیل شده ­اند. ذره ستاره­ای یکی از اجزای ذرات کیهانی است. ترکیبهای ایزوتوپی اندازه ­گیری شده، بسیاری از جنبه­ های فرایند هسته­سازی را درون ستارگان از چگالش غبار ستاره­ای، نشان می­ دهند. [۱۰]

۲-۹- فرایند هسته­سازی انفجاری

این فرایند شامل­ هسته­سازی ابرنواخترهاست. و عناصر سنگین­تر از آهن را با بهره گرفتن از انفجار شدید برهم­کنش­های هسته­ای تولید می­ کند. این فرایند در مدت چند ثانیه در طول انفجار هسته ابرنواختر اتفاق می­افتد. در محیط انفجاری ابرنواختر، عناصر بین سیلیکون و نیکل با یک همجوشی سریع تولید می­شوند. همچنین در ابرنواخترها فرایندهای هسته­سازی بیشتری می ­تواند رخ دهد، از قبیل فرایند r (فرایند سریع^[۱۸]) که در آن بیشترین ایزوتوپ­های غنی نوترونی مربوط به عناصر سنگین­تر از نیکل، با جذب سریع نوترون­های آزاد شده در طول انفجار، تولید می­شوند. این پدیده توضیح دهنده­ عناصر رادیواکتیوی مانند اورانیوم و توریوم است که بیشترین ایزوتوپ­های غنی نوترونی را دارند. فرایند rp شامل جذب سریع پروتون­های آزاد، مشابه نوترون­ها، است که نقش آن کمتر از نوترون­هاست [۱۱ و ۱۲].

بهترین و بیشترین مشاهدات قانع کننده مربوط به فرایند هسته­سازی در ابرنواخترها در سال ۱۹۸۷ اتفاق افتاد. وقتی که طیف اشعه گاما از ابرنواختر A1987 استخراج شد. اشعه­های گاما که مشخص کننده  و  بودند (نیمه عمر رادیواکتیو آنها تقریباً به یک سال محدود می­شوند) اثبات می­ کنند که توسط والدین رادیواکتیو آنها تولید شده ­اند. این پدیده­ اخترفیزیکی در سال ۱۹۶۹ پیش ­بینی شده بود [۱۳]، که تأییدی بر هسته­سازی انفجاری بود. دلایل دیگر فرایند هسته­سازی انفجاری در غبار ستاره­ای که درون ابرنواخترها چگال شده، و سپس منبسط و سرد شده، یافت شده است. به طور خاص،  یک هسته رادیواکتیو است که با فراوانی زیاد درون ذرات ستاره­ای ابرنواختر اندازه ­گیری شده است [۱۰]، که تأییدی بر پیش ­بینی سال ۱۹۷۵ برای شناسایی ذرات ابرنواختر بود. نسبت­های ایزوتوپی غیر معمول این ذرات به جنبه­ های خاص فرایند هسته­سازی انفجاری مربوط می­شوند.

۲-۱۰- فرایند هسته­سازی با اسپلاشی اشعه کیهانی

فرایند اسپلاشی اشعه کیهانی، بعضی از سبک­ترین عناصر موجود در جهان را تولید می­ کند. تصور می­ شود که اسپلاشی به طور قابل ملاحظه­ای مسئول تولید عناصر لیتیوم، بریلیوم، کربن و تقریباً تمام هلیوم-۳ها می­باشد. (بعضی از  و  در مهبانگ به وجود آمده­اند.) فرایند اسپلاشی ناشی از برخورد اشعه­های کیهانی (اغلب پروتون­های سریع) با محیط­های بین ستاره­ای می­باشد. این برخوردها، هسته­های کربن، نیتروژن و اکسیژن موجود در اشعه­های کیهانی را متلاشی می­ کنند. همچنین این عناصر با پروتون­های اشعه کیهانی برخورد می­ کنند.

۲-۱۰- تشکیل هسته­ها در جهان

ویژگی جهان کنونی، دمای بسیار کم و چگالی اندک ذرات آن است که ساختار و تحول آن را نیروی گرانشی کنترل می­ کند. چون جهان در حال انبساط و خنک شدن است، علی­الاصول در گذشته دور باید دما و چگالی ذرات بیشتری داشته است. اگر فرض کنیم بتوانیم ساعت کیهانی را به عقب برگردانیم و جهان را در زمان­های اولیه، حتی پیش از تشکیل ستارگان و کهکشان­ها بررسی کنیم، در نقطه­ای از تاریخ جهان، دمای آن باید به اندازه کافی زیاد باشد که اتم­ها را یونیده کند. در آن زمان جهان از پلاسمای الکترون­ها و یون­های مثبت تشکیل شده و نیروی الکترومغناطیسی در تعیین ساختار جهان اهمیت داشته است. در زمان­های پیش­تر از آن، دما تا آن حد زیاد بوده که برخورد بین یون­ها سبب آزاد شدن تک­تک نوکلئون­ها می­شده، بطوری که جهان متشکل از الکترون­ها، پروتون­ها و نوترون­ها، همراه با تابش بوده است. در این عصر نیروی هسته­ای قوی در تعیین جهان اهمیت داشته است. در زمان­های باز هم پیش­تر از آن، برهم­کنش ضعیف نقشی بارز داشته است. اگر بکوشیم که باز هم عقب­تر برویم، به زمانی می­رسیم که ماده موجود در جهان شامل پلاسمایی از کوارک­ها و گلوئون­ها بوده است که پیش­تر از آن، تنها کوارک­ها و لپتون­ها بصورت کاملاً آزاد وجود داشته اند. چون هرگز یک کوارک آزاد را مشاهده نکرده­ایم، اطلاعات چندانی درباره برهم­کنش کوارک­ها نمی­دانیم، و در نتیجه نمی­توانیم این حالت بسیار اولیه جهان را توصیف کنیم. سرانجام به یک سد بنیادی می­رسیم که در آن سن جهان فقط  است و به «زمان پلانک» معروف است. در آن سوی این زمان، نظریه کوانتومی و گرانشی به صورت ناامید کننده ­ای به هم آمیخته­اند و هیچ­کدام از نظریه­ های کنونی ما هیچ سر­نخی از ساختار جهان به ما نمی­دهند.

در این قسمت علاقه­مندیم که نظریه رایج مربوط به تشکیل هسته­ها را بررسی کنیم. اگر از لحظه یک میکرو ثانیه آغاز کنیم، جایی که دما تقریبا  بوده است، تا زمان  ، جهان تحولات زیر را پشت سر گذاشته است: ۱- یک جهان داغ، چگال و پر از فوتون­ها که تا دمای کمتر از  خنک شده است. ۲- بیشتر ذرات ناپایدار واپاشیده شده ­اند. ۳- همه پاد ماده اولیه و بخش اعظم ماده یکدیگر را نابود کرده ­اند و تعداد کمی پروتون و به همان تعداد الکترون و در حدود یک پنجم این تعداد نوترون به جا گذاشته­اند. ۴- نوترینوها که دارای چگالی در حدود فوتون­ها هستند در زمان حدود  واجفتیده­اند و با انبساط جهان خنک شدن آنها ادامه می­یابد. در این لحظه،  ، با برخورد نوترون­ها و پروتون­ها با یکدیگر، ممکن است یک دوترون (هسته  ) تشکیل شود:

(۲-۲)

اما چگالی زیاد فوتون­ها می ­تواند واکنش معکوس را نیز تولید کند:

(۲-۳)

از آنجا که انرژی بستگی دوترون  است، برای تشکیل تعداد چشم­گیری دوترون، فوتون­های موجود باید ابتدا تا انرژی  خنک شوند. در غیر این صورت، دوترون­ها با همان سرعت تشکیل، شکسته می­شوند. انرژی  با دمای  متناظر است. در نتیجه شاید انتظار داشته باشیم که دوترن­ها به محض کاهش دما به کمتر از  تشکیل شوند. اما این وضعیت رخ نمی­دهد. تابش تک انرژی نیست، بلکه دارای یک طیف جسم سیاه است. کسر کوچکی از فوتون­ها انرژی­های بالاتر از  دارند، که این فوتون­ها به شکستن دوترن­ها ادامه می­ دهند.

قبل از نابودی ماده- پاد ماده، تعداد فوتون­ها در حدود تعداد نوکلئون­ها و پاد نوکلئون­ها بوده است. اما پس از  نسبت نوکلئون­ها به فوتون­ها در حدود  است و در حدود  نوکلئون­ها، نوترون هستند. اگر کسر فوتون­های با انرژی بیشتر از  ، بیش از  باشد، دست کم یک فوتون پر انرژی به ازای هر نوترون وجود دارد که عملا مانع از تشکیل دوترون می­ شود. در زمان  که دما کمتر از  است، دوترون­ها می­توانند تولید شوند. لذا از  تا  رویدادهای کمی (به جز انبساط و افت دمای متناظر با آن) در جهان به وقوع می­پیوندد، اما پس از  وقایع به سرعت اتفاق می­افتند. دوترون­ها تشکیل می­شوند و سپس با پروتون­ها و نوترون­های زیادی که وجود دارند در واکنش­های زیر شرکت می­ کنند:

(۲-۴)

(۲-۵)

انرژی تشکیل این هسته­ها، به ترتیب  و  است که از آستانه تشکیل دوترون  بسیار بیشتر است. اگر فوتون­ها برای شکستن دوترون به اندازه کافی پر انرژی نباشند، بدون شک برای شکستن  و  نیز انرژی کافی ندارند.

۳- مدل­های هسته­ای و مدل شبه کوارکی هسته

۳-۱- مقدمه

مسئله اصلی در فیزیک هسته­ای مشخص کردن معادلات حرکت A نوکلئون تحت تاثیر پتانسلی است که خودشان به وجود آورده­اند. حل دقیق یک سیستم A جسمی که دو به دو برهم­کنش دارند، برای  تا به حال به صورت دقیق حل نشده است. بنابراین باید به راه حل­های تقریبی بسنده کنیم. از طرف دیگر با در نظر گرفتن محدودیت­های ما در شناخت نیروی هسته­ای حل مسأله هسته­ی A جسمی را به مراتب مشکل­تر خواهد کرد. در غیاب یک نظریه دقیق برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون مجبوریم به پدیده شناسی برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون که از طریق پراکندگی نوکلئون- نوکلئون بدست می ­آید روی بیاوریم. علاوه بر اینها نگرانی­های بیشتری در مورد نیروی چند جسمی وجود دارد، بخصوص در مورد اجسامی که برهم­کنش قوی با همدیگر دارند. برهم­کنش پراکندگی نوکلئون- نوکلئون در مورد نیروی سه جسمی موجود در بین نوکلئون­ها چیزی به ما یاد نمی­دهد. پتانسیل سه جسمی شامل حالتی است که برهم­کنش دو جسم ۱ و ۲ در حضور جسم ۳، تنها به مکان دو جسم ۱ و ۲ بستگی ندارد، بلکه به موقعیت جسم ۳ نیز وابسته است. پتانسیل سه جسمی را می­توان به شکل  یا  نوشت. که قابل شکستن به جمع چند پتانسل دو جسمی نیست. پتانسل ۳ جسمی دارای خاصیتی است، که در پتانسیل دو جسمی وجود ندارد. این پدیده کوانتومی است و معادل کلاسیکی ندارد.

مدل­هایی که در این فصل مورد بحث قرار گرفته­اند عبارتند از: مدل گاز فرمی، مدل پوسته­­ای، مدل جمعی و مدل شبه کوارکی. علاوه بر اینها متدهای دیگری برای به دست آوردن بعضی خواص هسته­ها مورد استفاده قرار گرفته است، که می­توان از محاسبات مربوط به کشش سطحی هسته­ها نام برد. از کارهای انجام شده در این راستا می­توان به منابع [۱۴-۲۲] اشاره کرد. در مدل آلفا ذره­ای سعی شده است که هسته را مرکب از ذرات آلفا در نظر بگیرند [۲۳ و ۲۴] تا بتوانند برخی خصوصیات هسته را توضیح دهند.

۳-۲- مدل گاز فرمی^[۱۹]

یک سیستم شامل تعدادی از نوترون­ها وپروتون­ها که در یک جعبه مکعبی به طول a قرار دارند را در نظر می­گیریم. معادله شرودینگر برای یک تک ذره که در این جعبه قرار دارد به صورت زیر است.

(۳-۱)

با اعمال شرط مرزی، سد پتانسیل بی­نهایت در دیواره­ های جعبه، تابع موج در مرز برابر صفر خواهد شد،  . مرز تابع جایی است که یکی از حالات زیر اتفاق بیفتد.

(۳-۲)

عمل دیواره­ های جعبه در واقع جایگزین میانگین برهم­کنش بین نوکلئون­هاست. با تنظیم اندازه جعبه می­توان به چگالی نوکلئون­ها در هسته رسید. حل معادله (۳-۱) با شرایط مرزی داده شده برابر است با:

(۳-۳)

در اینجا روابط زیر برقرار است.

(۳-۴)

در اینجا  ،  و  همگی اعداد صحیح مثبت هستند و A ثابت بهنجارش است. (اعداد صحیح منفی به جواب یکسان با معادله (۳-۳) ختم خواهند شد.) هر مجموعه از اعداد صحیح  یک جواب متناظر با انرژی زیر به دست خواهد آورد.

(۳-۵)

این معادله به همراه محدودیت­هایی که معادله (۳-۴) بر روی مقادیر  ،  و  قرار می­دهد نمایانگر کوانتیزه شدن یک ذره در جعبه خواهد شد. از معادله (۳-۵) آشکار است که  تکانه (تقسیم بر  ) یک ذره در جعبه است.

بنابر اصل طرد پائولی هر حالت می ­تواند با چهار نوکلئون پر شود. دو پروتون با اسپین­های مختلف و دو نوترون با اسپین­های متفاوت. کمترین انرژی هسته با پر شدن پایین­ترین ترازهای انرژی جعبه به دست می ­آید. مقدار این انرژی بستگی به تعداد حالت­های در دسترس دارد.

با در نظر گرفتن فضای تکانه k به خاطر رابطه (۳-۴)، به ازای هر عنصر حجم مکعبی با طول  (و حجم  ) در این فضا تنها یک نقطه وجود دارد که یک جواب به فرم معادله (۳-۳) برای معادله (۳-۱) وجود دارد. تعداد حالت­های مجاز  ، با اندازه k بین k و  با رابطه زیر داده می­ شود.

(۳-۶)

در این رابطه  حجم پوسته کروی در فضای تکانه با شعاع­های k و  است؛ تنها یک هشتم از این پوسته در نظر گرفته شده است، چون  ،  و  تنها مقادیر مثبت را اختیار می­ کنند.  حجم فضای تکانه­ای است که هر حالت می ­تواند اشغال کند. شکل (۳-۱) تعداد حالت­های مجاز تا انرژی  با رابطه زیر بیان می­ شود.

(۳-۷)

شکل (۳-۱): هر نقطه در محل تقاطع خطوط نماینده یک زوج مجاز  است. به منظور یافتن تعداد زوج­های مجاز بین  و  ، تعداد نقطه­های بین دو کمان دایروی مشخص شده در شکل را می­شماریم. معادله (۳-۶) به طریق مشابه اما در سه بعد به دست آمده است.

چون هر حالت تکانه، براساس اصل طرد پائولی، دو پروتون و دو نوترون را در خود جای دهد. می­خواهیم پایین­ترین سطح انرژی A نوکلئون که برهم­کنشی با همدیگر ندارند، و در یک جعبه به طول a قرار دارند را حساب کنیم. پایین­ترین سطح انرژی هنگامی است که تعداد پروتون­ها و نوترون­ها با هم برابر باشد. بیشترین تکانه خطی با بهره گرفتن از رابطه بالا به دست می ­آید.

(۳-۸)

در اینجا  حجم جعبه است. نتیجه­ای که از این رابطه به دست می ­آید این است که تکانه بالاترین حالت اشغال شده تنها به چگالی نوکلئون­ها،  ، در جعبه بستگی دارد.

(۳-۹)

ما برهم­کنش بین نوکلئون­ها را نادیده گرفتیم (بجز در حالتی که چگالی را تعیین می­کرد، که از طریق دیوارهای جعبه اعمال شد). با این محدودیت، توزیع تکانه در واحد حجم در فضای تکانه، تابع پله­ای است، با یک مقدار ثابت محدود هنگامی که  و برابر با صفر خواهد بود هنگامی که  ، شکل (۳-۱). این توزیع تکانه تحت عنوان توزیع فرمی نامیده شده است. در آزمایشات پراکندگی انرژی بالا می­توان توزیع تکانه نوکلئون­ها در هسته­ها را اندازه ­گیری کرد، که نتیجه چنین آزمایشاتی عدم وجود تابع پله­ای به ازای  می­باشد، اما احتمال یافتن نوکلئونی با تکانه  سریعاً با k کاهش می­یابد.

N(k)

k_F

k

شکل (۳-۲): توزیع تکانه نوکلئون­ها در حالت پایه گاز فرمی.  تکانه فرمی و  برابر با تعداد حالت­هایی که تکانه بین  و  دارند.

با بهره گرفتن از مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها،  ، که عملاً برای هسته­های با  ثابت است، مقدار  و  را به دست می­آوریم.

(۳-۱۰)

و  به ترتیب تکانه فرمی و انرژی فرمی مدل گاز تبهگن است. متوسط انرژی جنبشی فرمیون­های داخل جعبه کمتر از  است و با در نظر گرفتن چگالی مشاهده شده هسته­ها از رابطه زیر به دست می ­آید.

(۳-۱۱)

همچنین مناسب است که شعاع هسته­ها را با بهره گرفتن از رابطه  به دست آوریم. از آنجایی که چگالی مشاهده شده هسته­ها تقریباً از عدد جرمی آنها مستقل است، رابطه زیر به دست می ­آید.

(۳-۱۲)

با مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها شعاع هسته­ها به دست می ­آید و در نتیجه:

(۳-۱۳)

راه­های گوناگونی برای محاسبه شعاع هسته­ها وجود دارد، چون هسته­ها مرز پله­ای ندارند، بلکه چگالی هسته­ها تقریباً به صورت هموار به صفر می­ کند، معادله (۳-۱۳) نمایانگر شعاع کره­ای است که همه نوکلئون­ها را در بر بگیرد.

با توجه به رابطه (۳-۶) و شکل (۳-۱ ) می­بینیم که به ازای هر مقدار  ، به عنوان نمونه، نباید حالت­هایی را بشماریم که  ، زیرا در این حالت­ها تابع موج صفر است. تعداد این چنین حالاتی که در عنصر دایروی سطحی  و شعاع k قرار دارد برابر  است. بنابراین تعداد حالات­های مجاز بین k و  برابر است با:

(۳-۱۴)

که در اینجا  سطح مکعب دربرگیرنده گاز فرمی است. چون  بر حسب نسبت  نوشته شده است، برای هسته با هر شکلی معتبر است. می­توان نشان داد که در واقع  تابعی از نسبت  است. با بهره گرفتن از این رابطه می­توان انرژی هسته را به دست آورد.

(۳-۱۵)

در اینجا  و  . در این مدل  را در واقع ضریب جمله حجمی و  را ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی هسته­ها می­دانند.

 

برای شعاع هسته رابطه  برقرار است. و چگالی هسته  است. بنابراین  و بنابراین ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی بدست می ­آید.

(۳-۱۶)

با جایگزینی مقدار انرژی فرمی، از رابطه (۳-۱۱)، در این رابطه و استفاده از مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها انرژی سطحی برابر با  به دست می ­آید؛ که قابل مقایسه با مقدار فرمول نیمه تجربی جرم است (یعنی  ).

چندان معقول به نظر نمی­رسد که چگالی هسته­ها را به صورت یک تابع پله­ای که در شکل (۳-۲) نشان داده شده در نظر بگیریم بلکه بهتر است آن را مانند شکل (۳-۳) در نظر بگیریم که با رابطه زیر بیان می­ شود.

(۳-۱۷)

در این صورت تا اولین مرتبه  خواهیم داشت.

(۳-۱۸)

از طرف دیگر چگالی متوسط با رابطه زیر بدست می ­آید.

(۳-۱۹)

طرف چب معادله (۳-۱۸) تا اولین مرتبه مستقل از  است بنابراین مقدار t برابر خواهد بود با:  . مقدار تجربی ضخامت پوست هسته­ها، فاصله­ای است که چگالی هسته­ها از  تا  چگالی قسمت ثابت تغییر می­ کند. با این تعریف ضخامت پوست برابر  می­ شود. اندازه ­گیری ضخامت پوست هسته­ها مقدار  را می­دهد که با مقدار به دست آمده با مدل گاز فرمی قابل مقایسه است. البته اگر تابع چگالی به صورت هموارتر تعریف شود. مقدار به دست آمده بهتر خواهد شد [۲۵].

شکل (۳-۳): توزیع چگالی فرض شده که بر اساس آن ضخامت پوست به دست آمده است.

R+t

R

r

۳-۳- مدل پوسته­ای هسته

۳-۳-۱- مقدمه

نظریه اتمی با بهره گرفتن از مدل پوسته­ای توانسته است به طور کا­ملاً روشن جزئیات پیچیده ساختار اتم­ها را توضیح دهد. به همین دلیل متخصصان فیزیک هسته­ای، به امید آنکه بتوانند به توصیف روشنی از خواص هسته­ها دست یابند، سعی کردند در بررسی ساختار هسته­ای از نظریه مشابهی استفاده کنند. در مدل پوسته­ای اتم­ها، پوسته­ها را با الکترون­ها­یی که انرژی­شان به ترتیب افزایش می­یابد پر می­کنیم، و این آرایش الکترونی به گونه ­ای است که اصل طرد پائولی در آن رعایت می­ شود. بدین ترتیب، هر اتم متشکل است از: یک ناحیه مرکزی خنثی که پوسته­های پر دارد، و چند الکترون ظرفیت که در پوسته­ای خارج از این ناحیه مرکزی قرار می­گیرند. در این مدل، فرض بر این است که عمدتاً همین الکترون­ها­ی ظرفیت هستند که خواص اتم­ها را تعیین می­ کنند. هنگامی که پیش ­بینی­ها­ی این مدل را با بعضی از خواص اندازه ­گیری شده سیستم­ها­ی اتمی مقایسه می­کنیم، آنها را به خوبی با هم سازگار می­یابیم. بویژه مشاهده می­کنیم که تغیرات خواص اتمی در محدوده هر زیرپوسته تدریجی و کم است، در حالی وقتی از یک زیرپوسته به زیرپوسته دیگری می­رویم تغییرات خواص ناگهانی و زیاد است.

هنگامی که سعی می­کنیم تا این مدل را به قلمرو هسته­ای هم گسترش دهیم، از همان آغاز کار با چند مانع روبه­رو می­شویم. در مورد اتم­ها، پتانسیل حاکم را میدان کولنی هسته تأمین می­ کند. یعنی یک عامل خارجی زیرپوسته­ها (یا مدارها) را سازمان می­دهد. اما در مورد هسته هیچ عامل خارجیی وجود ندارد، و نوکلئون­ها در پتانسیلی که خودشان به وجود می­آورند در حرکت­اند. یکی دیگر از جنبه­ های جالب توجه نظریه پوسته­ای اتم­­ها وجود مدارهای فضایی است. خواص اتم­ها را اغلب بر حسب مدارهای فضایی الکترون­ها توصیف می­کنیم. الکترون­ها می­توانند نسبتاً آزادانه در این مدارها حرکت کنند، بدون اینکه برخوردی با الکترون­های دیگر داشته باشند. قطر نوکلئون­ها در مقایسه با اندازه هسته نسبتاً بزرگ است. در حالی که هر نوکلئون منفرد در خلال حرکتش در هر مدار می ­تواند برخوردهای متعددی با نوکلئون­های دیگر داشته باشد، چگونه می­توان نوکلئون­ها را در مدارهای کاملاً مشخص در حرکت تصور کرد. در مدل پوسته­ای، مسئله پتانسیل هسته­ای را با بیان این فرض بنیادی حل می کنیم: حرکت هر نوکلئون منفرد را تحت تأثیر پتانسیل واحدی که نوکلئون­های دیگر همه در تولید آن شرکت دارند، در نظر می­گیریم. اگر هر یک از نوکلئون­ها را به این نحو مورد بررسی قرار دهیم، آنگاه برای تمامی نوکلئون­های موجود در هسته می­توانیم ترازهای انرژی متناظر به زیر­پوسته­ها را به دست آوریم. وجود مدارهای فضایی مشخص را اصل طرد پائولی تعیین می کند. فرض می­کنیم که در یک هسته سنگین، تقریباً در ته چاه پتانسل، برخوردی بین دو نوکلئون صورت می­گیرد و نوکلئون­ها هنگام برخورد با هم انرژی تولید می­ کنند، اما اگر تمامی ترازهای انرژی تا تراز نوکلئون­های ظرفیت پر شده باشد، هیچ راهی برای کسب انرژی نوکلئون نمی­ماند؛ مگر آنکه مقدار انرژی به اندازه­ای باشد که نوکلئون را به تراز ظرفیت برساند. سایر ترازهای نزدیک­تر به تراز اولیه نوکلئون همگی پر هستند و نمی ­توانند یک نوکلئون اضافی را بپذیرند. انرژی لازم برای این انتقال که از ترازی نزدیک به تراز پایه به نوار ظرفیت انجام می­ شود، بیشتر از مقداری است که معمولا در برخورد بین دو نوکلئون از یکی از آنها به دیگری منتقل می­ شود. از این رو، چنین برخوردی بین نوکلئون­ها نمی­تواند صورت گیرد، و گویی نوکلئون­ها در حرکت مداری­شان با هیچ گونه ممانعتی از طرف نوکلئون­های درون هسته روبه­رو نمی­شوند [۲۶].

۳-۳-۲- پتانسیل مدل پوسته­ای

نخستین گام در ارائه مدل پوسته­ای، انتخاب پتانسیل هسته­ای مناسب است. در آغاز دو نوع پتانسیل چاه نامتناهی و نوسانگر هماهنگ را در نظر می­گیریم. همچنانکه در فیزیک اتمی دیدیم، واگنی هر تراز را تعداد نوکلئون­هایی که می­توانند در آن قرار بگیرند تعیین می کند. به عبارت دیگر، واگنی هر تراز برابر  می­ شود که در آن عامل  از طریق واگنی  وعامل۲ از طریق واگنی  حاصل شده است. نوترون­ها و پروتون­ها، چون ذرات نا­یکسان هستند، به طور جداگانه شمرده می­شوند. بنابرین در تراز  علاوه بر ۲ نوترون، ۲ پروتون هم می ­تواند قرار گیرد. ظهور اعداد جادویی ۲، ۸ و ۲۰ در هر دو نوع پتانسیل دل­گرم­کننده است، ولی در ترازهای انرژی بالاتر هیچ گونه ارتباطی با اعداد جادویی تجربی به چشم نمی­خورد. به عنوان اولین گام در اصلاح مدل، سعی می­کنیم پتانسیل واقع­بینانه­تری را انتخاب کنیم. چاه نامتناهی، بنابر دلایلی، تقریب خوبی برای پتانسیل هسته­ای نیست: برای جدا کردن یک نوترون یا پروتون از هسته، با صرف انرژی کافی باید بتوانیم آن را از چاه خارج کنیم. در این صورت، عمق چاه نمی­تواند بی­نهایت باشد. بعلاوه، لبه پتانسیل هسته­ای نباید تیز باشد بلکه مثل توزیع بار و جرم هسته­ای، مقدار پتانسیل بعد از شعاع میانگین R باید به آهستگی به سوی صفر میل کند. از طرف دیگر، پتانسیل نوسانگر هماهنگ هم لبه­اش به قدر کافی تیز نیست و انرژی جدایی آن نیز بی­نهایت می­ شود. از این رو، شکل واقع بینانه­تر پتانسیل را به صورت بینابینی

(۳-۲۰)

انتخاب می­کنیم که منحنی نمایش آن در شکل (۳-۴) رسم شده است. پارامترهای R و a به ترتیب شعاع میانگین و ضخامت پوست هستند، که مقادیرشان تقریبا برابر است با:  و  . عمق چاه  چنان تنظیم می شود که برای انرژی­های جدایی که از مرتبه  است، مقادیر مناسبی به دست می ­آید. ترازهای انرژی حاصل در شکل (۳-۵) نشان داده شده است. نتیجه پتانسیل جدید، در مقایسه با نوسانگر هماهنگ این است که واگنی l را در پوسته­های اصلی برطرف می کند. هر چه به طرف انرژی­های بالاتر پیش می­رویم، فاصله ایجاد شده در این مورد بیشتر می­ شود، به طوری که سرانجام این فاصله با فاصله بین ترازهای نوسانگر هماهنگ قابل مقایسه خواهد شد. وقتی پوسته­های حاصل را به ترتیب با  نوکلئون پر می کنیم، باز هم اعداد جادویی۲، ۸ و۲۰ را به دست می­آوریم، ولی اعداد جادویی بالاتر را نمی­ توان با این محاسبات پیدا کرد.

شکل (۳-۴): پتانسیل هسته­ای بین نوکلئون­های هسته به همراه پتانسیل کولونی

۳-۳-۳- پتانیسل اسپین– مدار

این پتانسیل را چگونه می­توانیم اصلاح کنیم تا همه اعداد جادویی را از آن به دست آوریم؟ چون نمی­خواهیم محتوای فیزیکی مدل را از بین ببریم، مسلماً نمی­توانیم تغییر زیادی در پتانسیل وارد کنیم. دلایل توجیهی معادله (۳-۲۰) را به عنوان یک حدس خوب پتانسیل هسته­ای قبلاً ارائه کردیم. بنابراین، برای بهبود محاسبات لازم است که جمله­های مختلفی به معادله (۳-۲۰) افزوده شود. در دهه ۱۹۴۰ تلاش­ های نافرجام زیادی برای یافتن این جمله تصحیحی صورت گرفت و سرانجام مایر^[۲۰]، هاکسل^[۲۱]، سوئس^[۲۲]، و جنسن^[۲۳] در سال ۱۹۴۹ موفق شدند که با افزودن یک پتانسیل اسپین- مدار فاصله­های مناسبی بین زیرپوسته­ها به دست آورند [۲۷ و ۲۸].

در اینجا، بار دیگر به فیزیک اتمی روی می­آوریم، یکی دیگر از مفاهیم آن را به کار می­گیریم. برهم­کنش اسپین- مدار در فیزیک اتمی که مولد ساختار ریز مشاهده شده در خطوط طیفی است، از برهم­کنش الکترومغناطیسی بین گشتاور مغناطیسی الکترون و میدان مغناطیسی ناشی از حرکت الکترون به دور هسته حاصل می­ شود. اثر این برهم­کنش نوعاً خیلی کوچک و شاید از مرتبه یک قسمت از  قسمت فاصله بین ترازهای اتمی است.

هیچ برهم­کنش الکترومغناطیسی از این نوع نخواهد توانست تغییرات محسوسی را در فواصل تراز هسته­ای ایجاد و اعداد جادویی تجربی را باز تولید کند. با وجود این، در اینجا مفهوم نیروی اسپین- مدار هسته­ای را به همان صورت نیروی اسپین- مدار اتمی، ولی نه از نوع الکترومغناطیسی آن، در نظر می­گیریم. در واقع، با توجه به آزمایش­های پراکندگی شواهدی قوی در دست است که حاکی از وجود نیروی اسپین- مدار در برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون است.

برهم­کنش اسپین- مدار را به صورت  در نظر می­گیریم، ولی شکل  خیلی مهم نیست. این عامل  است که باعث تجدید سازمان ترازها می­ شود. همچنان که در فیزیک اتمی دیدیم، حالت­ها را در حضور برهم­کنش اسپین- مدار باید با تکانه زاویه­ای کل  نشانه­گذاری کنیم. عدد کوانتومی اسپین هر نوکلئون برابر  است، پس مقادیر ممکن برای عدد کوانتمی تکانه زاویه­ای کل عبارت­اند از  و  (البته به استثنای مورد  که در آن فقط مقدار  مجاز است). مقدار انتظاری  را با بهره گرفتن از یک شگرد متداول می­توان محاسبه کرد. نخست مقدار  را به دست می­آوریم.

(۳-۲۱)

با قرار دادن مقادیر انتظاری در این معادله، رابطه زیر حاصل می­ شود.

(۳-۲۲)

اکنون تراز  را که دارای واگنی  است در نظر می­گیریم. مقادیر ممکن برای j در این تراز عبارت اند از  بنابراین، ترازهای مورد نظر به صورت  و  خواهند بود. واگنی هر تراز برابر  است که از مقادیر  حاصل می­ شود. (در حضور بر هم کنش اسپین- مدار،  و  دیگر اعداد کوانتومی «خوب» به حساب نمی­آیند و نمی­ توان آنها را برای نمایاندن حالت­ها یا شمردن واگنی­ها به کار برد.) در این صورت، ظرفیت نوکلئونی تراز  برابر ۶ و ظرفیت  برابر ۸ می­ شود که از جمع آنها مجداً تعداد ۱۴ حالت به دست می ­آید (تعداد حالت­های ممکن باید حفظ شود، فقط نحوه دسته­بندی آنها را تغییر داده­ایم ). فاصله انرژی بین حالت­های  و  که زوج اسپین- مدار یا دوتا­یه نامیده می­شوند، متناسب با مقدار  است. در واقع می­توان اختلاف انرژی هر زوج حالتی را که در آن  باشد، به کمک معادله (۳-۳) محاسبه کرد.

(۳-۲۳)

شکافتگی (یا فاصله) انرژی بین حالت­ها با افزایش j افزایش می­یابد. حال اگر اثر  به صورت منفی در نظر بگیریم، عضوی از زوج، که مقدار j در آن بزرگتر است در سطح پایین­تر قرار خواهد گرفت. اثر این شکافتگی در نمودار شکل (۳-۵) نشان داده شده است. در اینجا، تراز  در فاصله یا (گاف) بین پوسته­های دوم و سوم قرار می­گیرد. ظرفیت این تراز برابر ۸ نوکلئون است، بدین سان عدد جادویی ۲۸ از آرایش جدید حاصل خواهد شد. (شکافتگی­های p و d به اندازه­ای نیستند که تغییرات مهمی در دسته بندی ترازها به وجود آورند.) اثر مهم بعدی ناشی از جمله تصحیحی اسپین- مدار را در تراز  می­بینیم. حالت  آن قدر به پایین رانده می­ شود که در پوسته اصلی پایین­تر قرار می­گیرد، و وقتی ظرفیت ۱۰ نوکلئونی آن به پوسته ۴۰ نوکلئونی قبلی افزوده می­ شود، عدد جادویی ۵۰ به دست می­­آید. این اثر روی پوسته­های اصلی دیگر نیز تکرار می­ شود. در هریک از این موارد، عضو کم انرژی­تر زوج اسپین- مدار از پوسته بعدی به پوسته قبلی تنزل می­ کند، و بدین ترتیب باقیمانده اعداد جادویی هم طبق انتظار به دست می ­آید.

شکل (۳-۵): ترازهای انرژی هسته­ها. a) با در نظر گرفتن پتانسیل نوسانگر هماهنگ ساده. b) با در نظر گرفتن چاه پتانسیل با لبه­های گرد شده. c) چاه پتانسیل با لبه گرد شده همراه با برهم­کنش اسپین- مدار.

مدل پوسته­ای، با وجود سادگی­اش، در توضیح اسپین و پاریته حالت پایه تقریباً تمام هسته­ها موفق بوده است، و آنها را به خوبی باز تولید می­ کند. برای گشتاورهای دوقطبی مغناطیسی و چارقطبی الکتریکی آنها نیز توضیحی نسبتاً موفق (و رضایت­بخش) به دست می­دهد. کاربرد خاصی از مدل پوسته­ای را که در اینجا در نظر گرفتیم، مدل ذره خیلی مستقل^[۲۴] می­گویند. فرضیه اساسی مدل ذره­ی خیلی مستقل این است که به استثنای یکی از نوکلئون­ها، بقیه نوکلئون­های موجود در هسته تزویج شده ­اند و خواص هسته از حرکت همین نوکلئون تزویج نشده منفرد ناشی می­ شود. روشن است که چنین برخوردی مسئله را بیش از حد ساده می­ کند، و بهتر است که در تقریب بعدی تمام ذرات موجود در زیرپوسته پر نشده را در نظر بگیریم [۲۶].

۳-۴- مدل قطره مایعی^[۲۵] و فرمول نیمه تجربی جرم

نظریه­ مفصل بستگی هسته­ای، مبتنی بر روش­های ریاضی و مفاهیم فیزیکی پیچیده، توسط “بروکنر” و همکارانش (از ۱۹۵۴ تا ۱۹۶۱) ابداع شده است. مدل بسیار ساده شده­ای نیز وجود دارد که در آن از بعضی ویژگی­های ظریف­تر نیروهای هسته­ای صرف­نظر می­ شود، ولی بر جاذبه­ی قوی بین نوکلئونی تاکید می­ کند. این مدل را وایس­زکر^[۲۶] بر پایه­ مانستگی قطره­ی مایع با ماده­ هسته­ای، که توسط بوهر^[۲۷] پیشنهاد شده بود، (۱۹۳۵)، به دست آورد [۲۹-۳۱]. فرض­های اساسی به قرار زیرند.

هسته متشکل از ماده­ تراکم ناپذیر است، به طوری که  .

نیروی هسته­ای برای هر نوکلئون، مستقل از بار است، به نوع آن که پروتون باشد یا نوترون، بستگی ندارد و یکسان است.

آثار کولومبی و مکانیک کوانتومی را به طور جداگانه بررسی می­کنیم. طبق فرض­های ۱ و ۲، در یک هسته­ی نامتناهی با A نوکلئون، انرژی بستگی اصل متناسب با A است. اما چون هسته­های واقعی متناهی هستند، معمولا یک شکل کروی برای آن در نظر می­گیرند. از این رو نوکلئون­های سطحی، به اندازه­ آنچه هم اکنون تخمین زدیم، تحت جاذبه یکسان از طرف دیگر نوکلئون­ها قرار نمی­گیرند و از این رو باید جمله­ای متناسب با تعداد نوکلئون­های سطحی یا متناسب با مساحت سطح را از تخمین مبتنی بر هسته­ی نامتناهی، کم کرد. از طرفی نیروی دافعه کولومبی که بین تمام جفت پروتون­ها برقرار است، از انرژی بستگی کم خواهد کرد. (نیروی کولومبی دارای برد زیاد است و اشباع نمی­ شود). علاوه بر این، جمله­ای را باید معرفی کنیم که به هسته­های با  ، بیشترین بستگی را نسبت دهد. این جمله، پیامد مستقیمی از رفتار مکانیک کوانتومی نوترون­ها و پروتون­ها می­باشد. بالاخره، باید جملات تصحیحی لازمی را معرفی کنیم که بیشترین بستگی را برای هسته­های زوج- زوج و کمترین بستگی را برای هسته­های فرد- فرد به دست بدهند و آثار پوسته­ای را منعکس کنند.

اهمیت این مدل در این حقیقت نهفته است که می ­تواند جنبه­ های تجربی داده ­های جرم هسته­ای را تبیین کند. این امر مؤید آن است که جمله­ انرژی بستگی اصلی، که متناسب با A می­باشد، باید تصحیح شود. اما چون این جمله در بین فرض­های دیگر به فرض “استقلال از بار” نیروهای هسته­ای بستگی دارد، می­توان نتیجه گرفت که برهم­کنش­های هسته­ای n-n، p-p، p-n یکسان هستند.

انرژی بستگی، B، یک هسته عبارت است از اختلاف انرژی بین جرم هسته و جرم کل پروتون­ها (Z پروتون) و نوترون­های تشکیل دهنده آن (N نوترون) که به صورت زیر نوشته می­ شود.

(۳-۲۴)

رابطه انرژی بستگی کل یک هسته را می­توان به صورت زیر نوشت.

(۳-۲۵)

که در آن  جمله­ حجمی،  جمله سطحی متناسب با مساحت سطح کره  ،  جمله­ انرژی زوجیت^[۲۸]، که برای هسته­های با Aی فرد برابر صفر است، برای هسته­های (زوج- زوج) علامت (+) و برای هسته­های (فرد- فرد) علامت (-) را به کار می­بریم،  جمله­ پوسته­ای، که اگر N یا Z یک عدد جادویی باشد مثبت است. نمودار انرژی بستگی هسته­ها برحسب داده ­های تجربی و فرمول نیمه تجربی جرم در شکل­های (۳-۶) و (۳-۷) نشان داده شده است.

شکل (۳-۶): انرژی بستگی هسته­ها که به صورت تجربی به دست آمده­اند

شکل (۳-۷): انرژی بستگی هسته­ها بر اساس فرمول نیمه تجربی جرم

هرچند که مدل قطره مایعی را بیشتر بر حالت­های پایه اعمال می­ کنند، ولی می­توان آن را برای حالت­های برانگیخته نیز به کار برد. این حالت­ها می­توانند توسط نوسان­های سطحی قطره­ی هسته، یا توسط چین و شکن­هایی که بر روی سطح آن حرکت می­ کنند، ایجاد شوند. این عقیده مخصوصاً در توجیه بعضی از جنبه­ های شکافت هسته­ای موفق بوده است. مدل قطره مایعی بر آثار جمعی بین نوکلئون­های متعدد موجود در هسته نیز تأیید دارد و پیشقراول مدل­های جمعی ساختار هسته­ای است. آنچه در این مدل صراحت دارد تقسیم سریع انرژی بین نوکلئون­هاست که مبنای نظری بوهر را در مورد شکل­بندی هسته مرکب در واکنش­های هسته­ای تشکیل می­دهد [۳۲].

۳-۵- ساختار جمعی هسته­ها و ارتعاشات و دوران­های هسته

هنگامی که هسته­های زوج- زوج را بررسی می­کنیم ملاحظه می­کنیم که تقریباً همه آنها دارای حالت برانگیخته  در انرژی­های حدود  می­باشند. اگر از مدل پوسته­ای بخواهیم این حالت برانگیخته را توضیح دهیم باید یک جفت از نوکلئون­های تزویج شده شکسته شده و یکی از نوکلئون­ها به ترازی بالاتر برود. شکستن هر زوج مستلزم کسب انرژی در حدود  می­باشد. بنابراین با توجه به اینکه این حالت برانگیخته در اکثر هسته­ها وجود دارد، این حالت برانگیخته باید ناشی از خاصیت دیگری از هسته­ها باشد، که آن را به خاصیت جمعی هسته­ها ربط می­ دهند.

علاوه بر انرژی اولین حالت برانگیخته هسته­ها، که با افزایش هسته­ها به تدریج کاهش می­یابد، موارد استثنای دیگری نیز وجود دارد. نسبت  برای هسته­های سبک­تر از  تقریباً برابر با  و برای هسته­های  و  برابر مقدار ثابت  است. همچنین گشتاور دو قطبی مغناطیسی حالت­های  در گستره مقادیر  تا  تقریباً ثابت می­ماند، و گشتاور چارقطبی الکتریکی برای هسته­های  دارای مقادیر کوچک و برای هسته­های  داری مقادیر خیلی بزرگ­تر است. برای توضیح این خصوصیات باید دو نوع ساختار جمعی در نظر بگیریم، زیرا به نظر می­رسد که یک دسته از خواص به هسته­های  و دسته دیگر به هسته­های  مربوط می­ شود. که دسته اول را با بهره گرفتن از ارتعاشات هسته­ای و دسته دوم را با استفاده دوران­های هسته­ای بررسی می­ کنند. مدل جمعی هسته­ها را غالباً مدل قطره مایع می­گویند.

ارتعاشات هسته­ای

با در نظر گرفتن قطره مایعی که با بسامد زیاد در حال ارتعاش باشد، می­توان به مفهوم قابل قبولی از فیزیک ارتعاشات هسته­ای دست یافت. هر چند شکل چنین قطره­ای به طور متوسط کروی است، ولی شکل لحظه­ای آن کروی نیست. مختصه لحظه­ای  یک نقطه از سطح هسته را در زوایای  به آسانی می­توان به صورت هماهنگ کروی نشان داد. هر مولفه از هماهنگ کروی دارای دامنه  خواهد بود.

(۳-۲۶)

دامنه­های  کاملاً اختیاری نیستند، تقارن انعکاسی مستلزم آن است که  شود و اگر مایع هسته­ای را تراکم ناپذیر بگیریم، محدودیت­های دیگری هم وارد خواهد شد. جمله ثابت  ، در شعاع متوسط  مستتر است. ارتعاش نمونه­وار  ارتعاش دو قطبی نامیده می­ شود، باید توجه داشته باشیم که در این ارتعاش با جا به ­جایی مرکز جرم روبه­رو هستیم، و بنابراین نمی­توانیم آن را نتیجه عملکرد نیروهای درون هسته به شمار آوریم. در این صورت، پایین­ترین مد بعدی ارتعاش را که ارتعاش (چارقطبی)  است، در نظر می­گیریم، شکل (۳-۸). همانند نظریه کوانتمی الکترومغناطیسی که در آن واحد انرژی الکترومغناطیسی را فوتون می­نامند، یک کوانتوم انرژی ارتعاشی را فونون می­گویند. در هر جایی که ارتعاش مکانیکی وجود داشته باشد، می­توان گفت که فونون­های ارتعاشی تولید می­ شود. بدین گونه، واحد منفرد انرژی ارتعاشی متناظر به  را فونون چارقطبی می­نامند.

در اینجا نتیجه افزایش یک واحد انرژی ارتعاشی (یا یک فونون چارقطبی) را به حالت پایه هسته­­­­ای زوج - زوج مورد برسی قرار می­دهیم. فونون  حاوی ۲ واحد تکانه زاویه­ای (که درست مانند مورد  با  ، باعث افزایش مولفه  به تابع موج هسته می­ شود) و پاریته زوج است، زیرا پاریته  به صورت  است. با افزودن دو واحد تکانه زاویه­ای به حالت  یک حالت  حاصل می­ شود که با نتایج تجربی اسپین- پاریته نخستین حالت­های برانگیخته هسته­های زوج– زوج سازگاری دقیقی دارد. (در این نظریه، انرژی فوتون چارقطبی پیش ­بینی نمی­ شود و باید آن را به صورت یک پارامتر قابل تنظیم در نظر گرفت.) اکنون فرض می­کنیم که فونون چارقطبی دومی را هم به هسته افزوده­ایم. تعداد مولفه­های ممکن  برای هر فونون برابر ۵ است برای این دو فونون تعداد ۲۵ ترکیب  قابل تصور است. حال ترکیبات مختلف را بررسی می­کنیم. در میان این ترکیبات، یک حالت با جمع کل  وجود دارد. طبیعی است که این ترکیب را متناظر با انتقال ۴ واحد تکانه زاویه­ای تلقی کنیم. دو ترکیب با مقدار کل  وجود دارد که یکی از  و دیگری از  به دست می ­آید. اما وقتی ترکیب متقارن تابع موج­های فونونی را مورد توجه قرار می­دهیم، فقط یک نوع ترکیب دیده می­ شود. سه ترکیب با مقدار  وجود دارد که از مجموعه­های

 

حاصل می­ شود. از ترکیب اولی و سومی باید یک تابع موج متقارن به دست آید. پیش از این دیدیم که ترکیب  متقارن است. اگر تعداد ترکیب­های ممکن را به همین طریق تعیین کنیم، تعداد ترکیب­های مجاز را نه ۲۵ بلکه ۱۵ خواهیم یافت. این ترکیب­ها را به صورت زیر می­توان دسته­بندی کرد.

 

به این ترتیب، در انرژی معادل دو برابر نخستین حالت  (چون انرژی دو فونون یکسان، دو برابر انرژی یکی از آنهاست)، انتظار داریم که با سه تایه­ای از حالت­های  روبه­رو شویم. سه تایه  یکی از ویژگی­های مشترک هسته­های ارتعاشی است و پشتوانه­ای قوی برای اعتبار این مدل به شمار می­رود. این سه حالت، به دلیل اثرات دیگری که در این مدل ساده در نظر گرفته نشده­اند، هرگز انرژی دقیقاً یکسان ندارند. با محاسبه مشابهی می­توان نشان داد که با افزودن سه فونون چارقطبی به هسته، حالت­های  به دست می ­آید.

مد ارتعاشی بعدی، مد هشت قطبی  است که حاوی سه واحد تکانه زاویه­ای با پاریته منفی است. با افزایش یک فونون منفرد هشت قطبی به حالت پایه  یک حالت  حاصل می­ شود. معمولا در انرژی­های اندکی بالاتر از سه تایه دو فونونی، چنین حالت­هایی را هم می­­توان در هسته­های ارتعاشی پیدا کرد. وقتی به طرف انرژی­های بالاتر می­رویم، ساختار ارتعاشی به تدریج با ساختار برانگیزش ذره­ای جایگزین می­ شود که با شکسته شدن یک زوج حالت پایه متناظر است. بررسی این گونه برانگیختگی­ها پیچیده است، و جای بحث آن در ساختار جمعی هسته­ها نیست.

 

شکل (۳-۸): ارتعاشات چند قطبی هسته­ها، ارتعاش چارقطبی، هشت قطبی و شانزده قطبی.

دوران­های هسته­ای

حرکت دورانی را تنها در هسته­هایی می­توان مشاهده کرد که شکل تعادل غیر کروی دارند. این هسته­ها را که ممکن است تغیر شکل زیادی به نسبت شکل کروی در آنها رخ داده باشد، غالباً هسته­های تغیر شکل یافته می­گویند. این گونه هسته­ها در گستره­های جرمی  و  دیده می­شوند. شکل عمومی این نوع هسته­ها به صورت یک بیضی­وار دوار است شکل (۳-۹)، می­توان نشان داد که سطح آن­ها با معادله زیر توصیف می­ شود.

(۳-۲۷)

چون این معادله مستقل از  است، هسته دارای تقارن استوانه­ای است. رابطه بین پارامتر تغییر شکل  و خروج از مرکز بیضی به صورت زیر است.

(۳-۲۸)

که در آن  اختلاف طول محورهای بزرگ و کوچک بیضی است. معمولاً شعاع متوسط هسته را به صورت  در نظر می­گیرند که چندان دقیق نیست. چون حجم هسته­ای که با معادله (۳-۲۷) توصیف می­ شود کاملاً برابر  نمی­ شود، تقریب حاضر دقت زیادی ندارد. محور تقارن معادله (۳-۲۷) محور مرجعی است که زاویه  نسبت به آن تعریف می­ شود. هنگامی که  باشد، هسته به صورت یک بیضی­وار کشیده و طویل است؛ و هنگامی که  باشد، هسته به شکل یک بیضیوار پخت و پهن در می ­آید.

انرژی جنبشی یک جسم دوار به صورت  است، که در آن  گشتاور لختی جسم است. این مقدار انرژی را می­توان بر حسب تکانه زاویه­ای  به صورت  نوشت. اگر مقادیر کوانتوم مکانیکی  را در نظر بگیریم و عدد کوانتومی تکانه زاویه­ای را با I نشان دهیم، بنابر مکانیک کوانتومی انرژی جسم دوار چنین می­ شود.

(۳-۲۹)

افزایش انرژی دورانی هسته با افزایش عدد کوانتومی I متناظر است؛ و از توالی حالت­های برانگیخته هسته یک نوار دورانی به وجود می ­آید. (حالت­های برانگیخته در مولکول­ها هم نوار دورانی تشکیل می­ دهند که در این مورد دوران مولکول حول مرکز جرم آن خواهد بود.) حالت پایه یک هسته z زوج و N زوج، همیشه حالت  است و تقارن آینه­ای هسته در این مورد خاص باعث می­ شود که تمامی حالت­های دورانی به مقادیر زوج Iمحدود شوند. بنابراین، توالی حالت­ها چنین خواهد شد.

 

و همین طور تا آخر. با مقایسه این مقادیر انرژی با مقادیر مشاهده شده سازگاری خوبی مشاهده می­ شود، بخصوص نسبت  که از این طریق برابر با  به دست می ­آید که با مقدار تجربی مطابقت دارد. همچنین مقادیر گشتاورهای دوقطبی و چارقطبی که از این طریق محاسبه شده با مقادیر تجربی سازگاری دارد [۲۶ و ۳۳].

شکل (۳-۹): شکل تغییر شکل یافته هسته­ها، یک بیضی­وار پخت.

۳-۶- مدل شبه کوارکی هسته

در مدل ساختار جمعی هسته­ها، هسته همانند یک جسم واحد در نظر گرفته شده، مانند یک قطره مایع، بعضی از خواص هسته­ها نیز بر اساس همین فرض استخراج شده است، که در قسمت­ های قبلی بیان شدند. از طرفی در مدل پوسته­ای اجزاء تشکیل دهنده هسته­ها یعنی پروتون­ها و نوترون­ها نیز در نظر گرفته شده است. این مدل با در نظر گرفتن برهم­کنش هسته­ای بین نوکلئون­ها در توجیه بعضی خواص هسته­ای به خوبی موفق بوده است. مدل گاز فرمی که در ابتدای این فصل معرفی شده است، حالت بسیار ساده شده­ای است که جایگزین هسته شده است، این مدل گر چه در توجیه خواص هسته­ای چندان موفق نبوده ولی به هر حال در توجیه برخی خواص موفقیت­های داشته است.

در مدل شبه کوارکی علاوه بر اینکه پروتون­ها و نوترون­ها را در تشکیل هسته­ها در نظر می­گیرد، کوارک­های سازنده نوکلئون­ها را نیز در نظر می­گیرد. با توجه به نزدیکی بسیار زیاد نوکلئون­ها در هسته­ها، قطعاً کوارک­های سازنده آنها نیروی شدیدی به همدیگر وارد می­سازند، که باعث می­ شود نوکئلون­ها، به صورت لحظه­ای هم که باشد، فروپاشیده شوند و سپس نوکلئون­های جدید تشکیل گردند. این پروسه می ­تواند مکرراً در هسته در حال اتفاق باشد. گرچه در این شرایط محیط هسته را نمی­ توان یک محیط با کوارک­های آزاد در نظر گرفت. با این حال فرض می­ شود که هسته را با تقریب بتوان یک محیط کوارکی در نظر گرفت که شدیداً با هم برهم­کنش دارند. گرچه در این مدل نظریه واحدی که بتواند بعضی از خواص هسته را یکجا ارائه دهد وجود ندارد، با این حال با بهره گرفتن از این مدل می­توان اعداد جادویی هسته را به صورت غیر دینامیک باز تولید کرد. در این مدل فرمولی برای انرژی بستگی هسته­ها ارائه شده که هم­زمان هم کوارک­های سازنده هسته و هم نوکلئون­های سازنده هسته در نظر گرفته است. انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون تقریباً مقداری ثابت، حدود  است. با در نظر گرفتن تعداد پیوندهای کوارکی که در هسته وجود دارد، انرژی بستگی به ازای هر پیوند تقریباً ثابت و برابر با  به دست می ­آید. با بهبود رابطه انرژی بستگی مبتنی بر مدل شبه کوارکی می­توان سهمی­های جرم را نیز استخراج کرد. با بهره گرفتن از ساخنار کوارکی دوترون می­توان گشتاور دو قطبی مغناطیسی را به دست آورد، که سازگاری خوبی با مقدار اندازه ­گیری شده دارد. با بهره گرفتن از این مدل می­توان توضیحی بر نسبت پروتون­ها و نوترون­ها در هسته­های پایدار موجود در طبیعت ارائه داد. مواردی که در اینجا شمرده شدند در ادامه این فصل و دو فصل آینده به صورت مبسوط آورده شده ­اند.

۳-۶-۱- پلاسمای کوارک- گلوئونی و سرچشمه اعداد جادویی

در فیزیک هسته­ای، یک عدد جادویی تعداد نوکلئون­هایی (پروتون­ها و نوترون­ها) است که درون پوسته­های کامل مربوط به هسته­های اتمی قرار می­گیرند. این اعداد و وجود آنها اولین بار توسط السیسر^[۲۹] در سال ۱۹۳۳ [۳۴] مورد توجه قرار گرفته است. چیزی که باعث جادویی بودن این اعداد می­ شود، خواصی است که هسته­هایی با این تعداد پروتون­ها و نوترون­ها دارا می­باشند. از مهم­ترین این خواص می­توان به این نکات اشاره نمود: پایداری هسته­های جادویی، فراوانی بیشتر هسته­های جادویی در عالم.

این مدل فرض بر این دارد که در محیط ترمودینامیکی پلاسمای کوارک– گلوئونی، کوارک­های تقریباً مجزا سعی در تشکیل نوکلئون­ها دارند؛ و اگر بپذیریم که تعادل و پایداری هر سیستم ترمودینامیکی در بیشینه بی­نظمی و بیشترین مقدار ترکیب­ها رخ می دهد، آنگاه با در نظر گرفتن سیستم­های جداگانه­ ای شامل یک کوارک مرکزی و تعداد ۲، ۳، ،۴ ،۵ ،۶ ،۷ و نهایتاً ۸ کوارک اطراف به حالت­های بیشینه­ای برابر با اعداد جادویی می­رسیم [۳۵ و ۳۶]. اگر پلاسمای کوارک- گلوئونی را به عنوان یک محیط ترمودینامیکی فرض نماییم، بایستی تحقیق نمود این محیط ترمودینامیکی که همانند هر محیط دیگر از این نوع به سمت بیشینه بی­نظمی پیش می­رود، چگونه به تعادل نزدیک می­ شود. حالت ترمودینامیکی از کوارک­ها را در نظر می­گیریم که این کوارک­ها تقریباً آزادانه در حال حرکت می­باشند. اگر دقیق­تر به محیط پلاسمای کوارک- گلوئونی نگاه کنیم، می­بینیم که در سوپ کوارک– گلوئونی آزادی محض وجود ندارد.

q

q

q

q

q

q

q

q

q

شکل (۳-۱۰): محیط یک پلاسمای کوارک- گلوئونی

در شکل (۳-۱۰) یک محیط پلاسمای کوارک– گلوئونی فرضی رسم شده است، که کوارک­ها همانند ذرات یک گاز ایده­ال در فضا پراکنده­اند. در این محیط فرضی یک کوارک را در نظر بگیرید که جهت تشکیل یک پروتون یا نوترون تلاش می کند. هر کوارک با گیرانداختن دو کوارک دیگر تشکیل یک نوکلئون می­دهد. در این فضای رقابتی میان کوارک­ها حالات مختلفی از تشکیل یک نوکلئون می ­تواند روی دهد. به عنوان مثال به شکل (۳-۱۱) توجه کنید.

u

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

شکل (۳-۱۱): شبکه مکعبی پلاسمای کوارک– گلوئونی [۳۶]

در این شکل کوارک­ها همانند یک محیط شبکه­ ای در اطراف یکدیگر قرار دارند. کوارک u مرکزی برای تشکیل یک نوترون در حال تلاش است، و برای این امر بایستی دو کوارک d را گیر اندازد. اگر چنین فرض کنیم که از تمام کوارک­های اطراف این کوارک u دو کوارک d باشد، آنگاه رقابت دو کوارک رقابت ساده­ای است. در نگاه اول یک حالت ممکن بیشتر وجود ندارد و آن هم حالت  است. در نگاه دقیق تر دو حالت وجود دارد، یعنی u قرمز به همراه  آبی و  سبز یا u قرمز به همراه  سبز و  آبی. پس دو حالت به دست می ­آید. حال شرایطی را در نظر بگیرید که ۳ کوارک d در اطراف کوارک u جهت پیوند با آن رقابت کنند. در چنین شرایطی ترکیبات ممکن عبارتند از: ud₁d₂، ud₁d₃ و ud₂d₃. اگر رنگ کوارک­ها را نیز منظور کنیم ۶ حالت ممکن به وجود می ­آید که این شش حالت با دو حالت قبل روی هم ۸ حالت را نشان می­ دهند. ذکر این نکته ضروری است که هر کدام از حالت­ها می ­تواند تشکیل یک نوکلئون بدهد ولی حداکثر حالاتی که می ­تواند با ۳ کوارک اتفاق بیفتد ۸ حالت است. مشابه حالت ۳ کوارکی عدد به دست آمده برای حالت ۴ کوارکی برابر ۲۰ می­باشد. با در نظر گرفتن ۵ کوارک d اطراف کوارک مرکزی با استدلالی مشابه استدلال بالا ۲۰ حالت جدید به دست خواهد آمد که با مجموع قبلی عدد ۴۰ برای عدد جادویی بعدی به دست خواهد آمد، در حالی که عدد جادویی بعدی برابر ۲۸ است. از آنجا که شرایط محیط کوارک– گلوئونی بیشتر به یک سوپ کوارک– گلوئونی شبیه است، مطابق تلاش­ های صورت گرفته در نظریه کرومودینامیک کوانتومی شبکه­ ای، این امر تقریباً محرز است که نیروی جاذبه بین کوارک­ها کاملاً از بین نمی­رود. بنابراین اگر هر کوارک d (اطراف u مرکزی) را نزدیک به کوارک­های دیگر فرض کنیم، آنگاه به عنوان مثال اگر کوارک  توسط u جذب شود. ناگزیر کوارک پنجمی که بیشترین نیروی جاذبه با  را دارد و نام آن را  می گذاریم، وارد کار می­ شود که آن را کوارک “تحمیل شده” می­نامیم. پس هر ۴ کوارک d هنگام جذب توسط کوارک u مرکزی می­توانند کوارکی را در سطحی فراتر از کوارک­های اولیه به واسطه فاصله نزدیک و یا اینکه باز نشدگی کامل از هم، به سیستم تحمیل نمایند، که این حالت جدید را چنین می نویسیم:

 

که به همراه رنگ­های مختلف آن ۸ حالت جدید به وجود می ­آید. این ۸ حالت و ۲۰ حالت قبل جمعاً ۲۸ حالت در اختیار ما می­گذارد. به طور مشابه برای ۵، ۶ و ۷ کوارک d اعداد ۵۰، ۸۲ و ۱۲۶ و نهایتاً با ۸ کوارک عدد ۱۸۴ به دست می آید. شواهدی مبنی بر وجود چنین عدد جادویی وجود دارد [۳۷ و ۳۸]. به منظور به دست آوردن اعداد جادویی بالاتر، باید شبکه ­های هندسی دیگری را در نظر گرفت و یا اینکه علاوه بر در نظر گرفتن کوارک­های سطح اول و دوم، کوارک­های سطح سوم را نیز در نظر گرفت.

۳-۶-۳- محاسبه انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی بین نوکلئون­ها

انرژی بستگی که به طور معمول در فیزیک هسته­ای به کار برده می­ شود، انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون است. با در نظر گرفتن کوارک­های محتوایی هسته­ها انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی که بین نوکلئون­ها به وجود می ­آید محاسبه شده است [۳۹ و ۴۰]. با توجه به حجم هسته و حجم نوکلئون­های تشکیل دهنده هسته، تابع موج هر نوکلئون ناچاراً با نوکلئون­های همسایه خود، در ناحیه­ای همپوشانی خواهد داشت. ناحیه­های همپوشانی شده را به عنوان یک پیوند کوارکی بین نوکلئون­ها در نظر می­گیریم. طوری که نوکلئون­ها در این ناحیه، با گسیل گلوئون با همدیگر برهم­کنش دارند. منشأ اصلی انرژی بستگی هسته­ها، کوارک­ها هستند. بنابراین انرژی بستگی کل کوارک­ها را با رابطه زیر تعریف می­کنیم و آن را با QBE^[30] نشان می­دهیم [۳۹].

(۳-۳۰)

در این رابطه BE همان انرژی بستگی هسته­ها­ست که به صورت تجربی بدست آمده است، و  قسمتی از انرژی بستگی کل کوارک­ها است که صرف غلبه بر دافعه کولمبی بین پروتون­ها می­ شود. انرژی کولمبی، یا  ، با رابطه زیر بیان می­ شود.

(۳-۳۱)

از طرف دیگر با شمارش تعداد پیوند­های کوارکی (NQB^[31]) که نوکلئون­ها را در درون هر هسته مقید نگه می­دارد، می­توان نسبت  را محاسبه کرد.

 

شکل (۳-۱۲): پیوند کوارکی بین دو نوکلئون تشکیل دهنده دوترون. همانطور که در شکل نشان داده شده دو نوکلئون با هم هم­پوشانی دارند، که این هم­پوشانی معادل یک پیوند کوارکی در نظر گرفته می­ شود.

در ابتدا هسته­های سبک را در نظر می­گیریم، دوترون دارای دو نوکلئون است و مانند شکل (۳-۱۲) با همدیگر همپوشانی دارند. در اینجا یک ناحیه همپوشانی شده وجود دارد که آن را معادل یک پیوند کوارکی در نظر می­گیریم. هسته­های هلیوم-۳ و تریتیم ساختاری همانند شکل (۳-۱۳) تشکیل می­ دهند. که در هر کدام سه پیوند کوارکی وجود دارد، هلیوم-۴ ساختاری مانند شکل (۳-۱۴) دارد که دارای ۶ پیوند کوارکی است. با در نظر گرفتن  و  انرژی بستگی کوارک­ها برابر  و انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی برابر با  به دست می ­آید.

 

شکل (۳-۱۳): پیوند­های کوارکی بین نوکلئون­ها با  ، هسته­های هلیوم-۳ و تریتیم

 

شکل (۳-۱۴): ۶ پیوند­ کوارکی موجود بین نوکلئون­های هسته هلیوم

به منظور اینکه این بحث را به کل هسته­ها تعمیم دهیم، و تعداد پیوند­های کوارکی بین نوکلئون­های هسته را مشخص کنیم، نکات زیر را در نظر می­گیریم.

توزیع نوکلئون­ها در هسته باید متقارن باشد.

هسته ترجیحاً شکل کروی داشته باشد.

برای یک هسته مشخص حالت­های گوناگونی را ممکن است بتوان در نظر گرفت. اما چون برهم­کنش قوی بین کوارک­ها وجود دارد، لاجرم حالتی را در نظر می­گیریم که تعداد پیوندهای کوارکی آن ماکزیمم باشد.

به همین منظور، اولین مرحله یافتن این است که نوکلئون­ها چگونه در هسته مرتب شده ­اند. همانطور که بیان شد نوکلئون­ها باید به صورت متقارن و کروی قرار گیرند. نوکلئون­ها تشکیل یک شبکه می­ دهند. به طور خاص یک سری صفحات یا لایه­ های موازی را در نظر می­گیریم و نوکلئون­ها را با یک نظم متقارن در هر لایه قرار می­دهیم، مانند شکل (۳-۱۵)؛ به منظور ساده سازی بحث هر نوکلئون به صورت یک نقطه در این شکل نشان داده شده است. همچنین به منظور اینکه موضوع آشکارتر شود لایه ­ها را با فاصله نشان داده­ایم، که در واقع فاصله آنها در حدود  است، که دو نوکلئون همسایه در دو صفحه کنار هم همدیگر را جذب می­ کنند و تشکیل یک پیوند می­ دهند، که در شمارش تعداد پیوند­های کوارکی محاسبه می­شوند. برای شمارش تعداد پیوند­های کوارکی دو دسته پیوند بین نوکلئون­ها را در نظر می­گیریم:

هر نوکلئون در هر لایه با نوکلئون­های همسایه­اش؛

در دو لایه مجاور اگر فاصله یک نوکلئون در یک لایه تا فاصله نوکلئونی دیگر در لایه مجاور در حدود  باشد پیوند کوارکی دارند.

 

شکل (۳-۱۵): نوکلئون­ها در هسته به صورت متقارن بر روی یک سری صفحات موازی قرار می­گیرند. هر نوکلئون با نوکلئون­های همسایه خود پیوند کوارکی می­سازد. در این شکل صفحات با فاصله از یکدیگر نشان داده شده ­اند، اما در واقع فاصله آنها از مرتبه فاصله نوکلئون­ها با یکدیگر است.

به عنوان مثال خاص هسته کلسیم  را بررسی می­کنیم. توزیع نوکلئون­ها در لایه­ های مختلف همانطور که در شکل (۳-۱۵) نشان داده شده به قرار زیر است.

 

در اینجا  به این معنی است که در لایه  ، ۱۲ نوکلئون جای می­گیرد و . . . ،که تعداد کل نوکلئون­ها برابر ۴۰ به دست می ­آید. این پیوندها در شکل (۱۶-۳) نشان داده شده است. در این شکل هر دایره نمایانگر یک نوکلئون است، و ناحیه هم­پوشانی بین هر دو نوکلئون نمایانگر یک پیوند کوارکی بین آن دو نوکلئون می­باشد.

 

شکل (۳-۱۶): پیوند­های کوارکی بین نوکلئون­های تشکیل دهنده کلسیم  ، هر دایره نمایانگر یک نوکلئون است و هر ناحیه هم­پوشانی نمایانگر یک پیوند کوارکی است.

همانطور که دیده می­ شود امکان نمایش ناحیه هم­پوشانی بین دو نوکلئون مجاور از دو لایه مجاور وجود ندارد، در عوض پیوند کوارکی بین این دو نوکلئون را با یک مثلث توپر نشان داده­ایم، همانطور که در شکل (۳-۱۷) دیده می­ شود امکان نمایش ناحیه هم­پوشانی بین دو نوکلئون  و  نیست در عوض با یک مثلث توپر نشان داده شده است. با شمارش این مثلث­ها­ی توپر تعداد پیوند­های بین لایه­ های مجاور به دست می ­آید. نتیجه حاصل برای کلسیم  در جدول (۳-۱) نشان داده شده است، که تعداد کل پیوند­های کوارکی این هسته برابر ۱۵۲ به دست می ­آید و بنابراین مقدار زیر برای نسبت  به دست می ­آید.

(۳-۳۲)

خلاصه نتایج در جدول (۳-۱) نشان داده شده است.

جدول (۳-۱): تعداد پیوندهای کوارکی بین نوکلئون­های تشکیل دهنده کلسیوم

الف- تعداد پیوندهای کوارکی که نوکلئون­های واقع در هر لایه بین خود به وجود می­آورند. در لایه a ، ۱۶ در لایه b، ۱۲ و در لایه  ، ۱۲ در لایه c، ۴ و در لایه  ، ۴ در لایه d ، صفر و در لایه  ، صفر ب- تعداد پیوندهای کوارکی که نوکلئون­های واقع در دو لایه مجاور با هم تشکیل می­ دهند. بین لایه a و b، ۳۲ بین لایه a و  ، ۳۲ بین لایه b و c، ۱۶ بین لایه  و  ، ۱۶ بین لایه c و d، ۴ بین لایه  و  ، ۴ تعداد کل پیوند­های کوارکی برابر با ۱۵۲ است.

به همین طریق نتایج برای ۶۴ هسته پایدار محاسبه گردیده و در جدول (۳-۲) نشان داده شده است. مقدار انرژی بستگی به ازای هر پیوند در همه هسته­ها تقریباً ثابت و برابر با  به دست می ­آید. ثابت بودن تقریبی این کمیت قابل توجه است.

 

شکل (۳-۱۷): پیوندهای کوارکی که بین دو نوکلئون در دو لایه مجاور قرار دارند، به وسیله یک مثلث توپر نشان داده­ شده است. همانند پیوند بین نوکلئون­های و ، که با یک مثلث توپر مشخص شده است.

استفاده از مدل شبه کوارکی در بحث انرژی بستگی هسته­ها فوایدی در بر دارد که در اینجا بیان می­شوند.

به طور معمول در فیزیک هسته­ای، انرژی بستگی به ازای نوکلئون معرفی می­ شود، که ایده­ای در مورد منشأ نیروی هسته­ای به دست نمی­دهد. اما معرفی انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی بین نوکلئون­ها، انرژی بستگی را مستقیماً به نیروی قوی بین کوارک­ها ربط می­دهد.

مقدار به دست آمده برای کمیت انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی، مقداری تقریباً ثابت است (به ازای  ). ثابت بودن این کمیت یک نتیجه مهم به حساب می ­آید.

همانطور که می­دانیم، یک جمله متناسب با سطح هسته در رابطه انرژی بستگی منتج از مدل قطره مایع وجود دارد. اما اگر انرژی بستگی را به تعداد پیوند­های کوارکی ربط دهیم، نیازی به چنین جمله­ای نیست، چرا که نوکلئون­هایی که در سطح هسته قرار دارند تعداد پیوند­های کوارکی کمتری دارند، چون تعداد نوکلئون­های اطراف آنها کمتر است، و بنابراین نیاز به جمله سطحی خود به خود حذف می­ شود.

جدول (۳-۲): انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی بین نوکلئون­های هسته، برای ۶۴ هسته مختلف.

	Nuclide	No		Nuclide	No
۲.۸۱۷   ۳۳ ۲.۷۱۰   ۳۴ ۲.۸۰۰   ۳۵ ۲.۸۳۰   ۳۶ ۲.۶۹۰   ۳۷ ۲.۶۷۰   ۳۸ ۲.۹۱۰   ۳۹ ۲.۹۸۹   ۴۰ ۲.۹۶۰   ۴۱ ۲.۷۵۰   ۴۲ ۲.۸۲۰   ۴۳ ۲.۷۴۰   ۴۴ ۲.۸۳۰   ۴۵ ۲.۸۰۰   ۴۶ ۲.۷۷۰   ۴۷ ۲.۷۰۰   ۴۸ ۲.۸۱۰   ۴۹ ۲.۷۰۷   ۵۰ ۲.۷۶۰   ۵۱ ۲.۷۲۸   ۵۲ ۲.۷۰۷   ۵۳ ۲.۸۹۰   ۵۴ ۲.۷۷۵   ۵۵ ۲.۶۳۹   ۵۶ ۲.۶۹۴   ۵۷ ۲.۷۶۰   ۵۸ ۲.۷۴۷   ۵۹ ۲.۶۹۰   ۶۰ ۲.۷۴۰   ۶۱ ۲.۷۹۰   ۶۲ ۲.۷۲۰   ۶۳ ۲.۶۲۰   ۶۴			۲.۲۲۵   ۱ ۲.۶۵۰   ۲ ۲.۵۴۰   ۳ ۴.۷۶۰   ۴ ۲.۷۳۳   ۵ ۲.۷۳۷   ۶ ۲.۷۵۰   ۷ ۲.۷۲۰   ۸ ۲.۷۷۰   ۹ ۲.۹۶۶   ۱۰ ۲.۷۵۵   ۱۱ ۲.۶۹۶   ۱۲ ۲.۷۰۹   ۱۳ ۲.۸۴۰   ۱۴ ۲.۶۰۸   ۱۵ ۲.۶۷۵   ۱۶ ۲.۸۴۰   ۱۷ ۲.۸۹۰   ۱۸ ۲.۸۱۰   ۱۹ ۲.۸۴۰   ۲۰ ۲.۸۶۰   ۲۱ ۲.۷۹۳   ۲۲ ۲.۸۰۷   ۲۳ ۲.۹۱۰   ۲۴ ۲.۸۰۶   ۲۵ ۲.۸۸۹   ۲۶ ۲.۷۷۰   ۲۷ ۲.۷۳۸   ۲۸ ۲.۶۶۰   ۲۹ ۲.۷۵۰   ۳۰ ۲.۷۱۷   ۳۱ ۲.۷۷۶   ۳۲

۳-۶-۳- انرژی بستگی هسته­ها از دیدگاه مدل شبه کوارکی

به منظور به دست آوردن انرژی بستگی هسته­ای، با نگاه شبه– کوارکی به نکات زیر توجه می­کنیم:

برای تشکیل هسته باید انرژی بستگی مثبت باشد.

انرژی بستگی مثبت از مرتبه یک درصد انرژی جرم سکون کوارک­های درون هسته  می­باشد، که q نشان دهنده کوارک بالا و یا پایین است.

در این مدل انرژی بستگی با حجم پلاسمای کوارک گلوئونی متناسب است. با توجه به اینکه هر نوکلئون از سه کوارک تشکیل شده است، لذا به ازای عدد جرمی A برای هسته، انرژی بستگی متناسب با A3 است.

با توجه به عدم تقارون بین تعداد پروتون­ها و نوترون­ها، به خصوص در هسته­های سنگین و در نظر گرفتن نیروی کولنی می­توان این عدم تقارن و تصحیح کولنی را مابین کوارک­های بالا و پایین موجود در پلاسمای کوارک– گلوئونی درون هسته را به صورت  در نظر گرفت.

با در نظر گرفتن نکات فوق فرمول زیر برای محاسبه انرژی بستگی هسته­ها ارائه شده است [۴۱].

(۳-۳۳)

مشابه با فرمول نیمه تجربی جرم در مدل قطره مایعی، هر جمله در معادله بالا شامل مفاهیم فیزیکی است. اولین ضریب،  مربوط به قانون  با  است، که نشان دهنده تقارون سه­گانه کوارکی درون هسته­هاست.  ثابتی است که مقدار آن بین ۹۰ تا ۱۰۰ قرار دارد، و رابطه  برقرار است. جرم کوارک «بالا»ی ظاهر شده در فرمول بالا به خاطر نقش بارز کوارک بالا در اغلب باریون­های پایدار مانند پروتون می باشد [۴۱]. نمودار انرژی بستگی هسته­ها بر اساس رابطه ارائه شده در اینجا در شکل (۳-۱۹) نشان داده شده است.

۳-۶-۴- بهبود انرژی بستگی هسته­ها در مدل شبه کوارکی

به منظور بهبود انرژی بستگی هسته­ها نسبت به مقادیر اندازه ­گیری شده و همچنین به دست آوردن سهمی­های جرم به در هسته­هایی که عدد جرمی یکسانی دارند، رابطه (۳-۳۳) را به صورت زیر بازنویسی می­کنیم [۴۲].

(۳-۳۴)

در اینجا  جرم نوکلئون است. بررسی­های ما نشان داد که ضریب  خود به عدد جرمی و عدد اتمی وابسته است، دلیل این وابستگی به خاطر نیروی کولمب می­باشد. رابطه را با اعمال تغییراتی به صورت زیر می­نویسیم [۴۲]:

(۳-۳۵)

در اینجا روابط زیر برقرار است.

 

همانطور که در این رابطه مشاهده می­ شود، همه کمیت­ها مشخص است تنها ضریب n است که بین یک محدوده کوچک تغییر می­ کند. حال با این فرمول بهبود یافته سهمی­های جرم را به دست می­آوریم. در ابتدا معادله جرم هسته­ها را می­نویسیم:

(۳-۳۶)

با مشتق گرفتن از  نسبت به Z و قرار دادن آن برابر با صفر مقدار کمینه  را به دست می­آوریم.

(۳-۳۷)

در این رابطه

 

در شکل (۳-۱۸) سهمی­های جرم برای A فرد  و A زوج  رسم شده است. در این نمودار  با یک پیکان رو به پایین مشخص شده است. برای A فرد تنها یک سهمی داده شده، در حالی که برای A زوج دو سهمی رسم شده است. همانطور که در این شکل دیده می­ شود برای  تنها یک ایزوبار پایدار یعنی  ، که بسیار نزدیک یافته ما،  ، است، وجود دارد. اما در مورد  که دو سهمی وجود دارد دو ایزوبار پایدار وجود دارد  و  ، بر اساس سهمی جرم بدست آمده احتمال  بیشترین است. در مدل قطره مایع برای  مقدار  و برای  مقدار  [۳۲] پیش ­بینی می­ شود [۴۲].

شکل (۳-۱۸): سهمی­های جرم. (a) سهمی­های جرم هسته­های با عدد جرمی زوج  و (b) سهمی جرم هسته­های با عدد جرمی فرد

رابطه (۳-۳۵) نه تنها باعث شد تا بتوانیم نمودار سهمی­های جرم را استخراج کنیم بلکه باعث شده است تا مقادیر انرژی بستگی به دست آمده برای هسته­های پایدار با مقادیر اندازه ­گیری شده هم­خوانی بهتری داشته باشد. در روابط زیر این مقایسه به صورت کمی بیان شده است.

(۳-۳۸)

در این رابطه  انرژی بستگی اندازه ­گیری شده هسته­ها،  انرژی بستگی حاصل از مدل قطره مایع LDM،  انرژی بستگی منتج شده از مدل شبه کوارکی (^[۳۲]QLM)و  انرژی بستگی حاصل از مدل شبه کوارکی بهبود یافته یا MQLM^[33] است.

شکل (۳-۱۹): انرژی بستگی هسته­ها بر اساس داده ­های مدل شبه کوارکی هسته­ها

۴- محاسبه گشتاور دو قطبی دوترون بر اساس ساختار کوارکی آن و مقایسه با مقدار آزمایشگاهی آن

۴-۱- مقدمه

در حضور مواد مغناطیسی، دو قطبی مغناطیسی تمایل به تراز نمودن خود در یک جهت خاص دارد. این جهت طبق تعریف، جهت چگالی شار مغناطیسی است که معمولاً با B نشان داده می­ شود، مشروط بر اینکه دو قطبی مغناطیسی بقدری کوچک و ضعیف باشد که میدان موجود را آشفته نکند. اندازه چگالی شار مغناطیسی فوق را می­توان با گشتاور مکانیکی N، که روی دو قطبی مغناطیسی وارد می­ شود تعریف کرد.

(۴-۱)

در اینجا  گشتاور دوقطبی مغناطیسی است. ساده­ترین مثالی که برای یک دوقطبی مغناطیسی می­توان بیان کرد، یک سیم دایروی تخت حامل جریان الکتریکی می­باشد. گشتاور مغناطیسی حاصل از این حلقه سیم را نیز گشتاور دوقطبی مغناطیسی می­نامند. در حالت کلی گشتاور مغناطیسی در الکترودینامیک با رابطه زیر بیان می­گردد [۴۳].

(۴-۲)

این رابطه برای یک حلقه جریان به شکل زیر در می ­آید.

(۴-۳)

در این روابط m، گشتاور مغناطیسی، r بردار مکان و I جریان موجود در مدار است. اگر این رابطه برای یک حلقه دایروی تخت جریان به کار گرفته شود، مقدار حاصل که همان گشتاور دوقطبی مغناطیسی است برابر است با  . اگر جریان I در اثر گردش بار e که با سرعت v در دایره­ای به شعاع r (و با دوره تناوب  ) در حرکت است به وجود آید، رابطه زیر به دست می ­آید.

(۴-۴)

که در آن  تکانه زاویه­ای کلاسیک بار متحرک یا mvr است. در مکانیک کوانتومی، گشتاور مغناطیسی قابل مشاهده به طور عملیاتی در راستای بزرگترین مؤلفه l تعریف می­ شود. چنانچه به جای l مقدار انتظاری آن را نسبت به محوری که تصویر بردار تکانه روی آن بزرگ­ترین مقدار یعنی  است  قرار دهیم، معادله (۴-۴) را می­توان مستقیماً وارد محاسبات کوانتومی کرد. در این صورت:

(۴-۵)

که در آن l اکنون عدد کوانتومی تکانه زاویه­ای است. کمیت  را یک مگنتون می­نامند. در حرکت­های اتمی، به­جای m جرم الکترون را قرار می­ دهند و مگنتون بور را به صورت  به دست می­آورند. اگر به جای m جرم پروتون قرار گیرد، مگنتون هسته­ای به صورت  به دست می ­آید. توجه داشته باشیم که به خاطر اختلاف جرم پروتون و الکترون  ، یعنی در بسیاری از شرایط، مغناطیس اتمی خیلی قوی­تر از مغناطیس هسته­ای است. برهم­کنش­های مغناطیسی عادی در ماده (مثل خاصیت فرومغناطیسی) از طریق مغناطیس اتمی ماده تعیین می­ شود. اثرات مغناطیس هسته­ای مواد را فقط در شرایط خیلی خاص می­توان مشاهده کرد. معادله (۴-۵) را به شکل مفیدتر زیر می­توان نوشت.

(۴-۶)

که در آن  را ضریب g می­گویند که به تکانه زاویه­ای مداری l وابسته است. برای پروتون­ها  است. چون نوترون­ها بار الکتریکی ندارند، در صورتی می­توان از این معادله برای توصیف حرکت مداری نوترون­ها استفاده کرد که در مورد آنها  باشد.

تا کنون فقط حرکت مداری نوکلئون­ها را در نظر گرفته­ایم. پروتون­ها و نوترون­ها هم مانند الکترون­ها، علاوه برگشتاور مداری، دارای گشتاور مغناطیسی ذاتی یا اسپینی هستند که هیچ­گونه مشابه کلاسیکی ندارند. در اینجا این گشتاور به همان صورت معادله (۴-۶) در نظر گرفته می­ شود.

(۴-۷)

که در آن برای هر سه ذره­ی پروتون، نوترون و الکترون  است. کمیت  را ضریب اسپینی g گویند که از حل معادله نسبیتی مکانیک کوانتومی حاصل می­ شود. برای ذره­ای مانند الکترون که ذره­ای نقطه­ای با اسپین  است، بنابر معادله دیراک  است، که با مقدار حاصل از اندازه ­گیری  سازگاری خیلی خوبی دارد. اختلاف بین  و عدد ۲ خیلی کم و با در نظر گرفتن مراتب بالاتر تصحیحات الکترودینامیک کوانتومی به دقت قابل محاسبه است. اما تفاوت بین مقادیر تجربی  برای نوکلئون­های آزاد، و مقدار انتظاری ذرات نقطه­ای خیلی چشم­گیر است [۴۴].

(۴-۸)

در اینجا نه تنها اختلاف بین گشتاور مغناطیسی تجربی پروتون و مقدار انتظاری ۲ برای یک ذره­ی نقطه­ای بسیار زیاد است، بلکه برای نوترون بدون بار هم گشتاور مغناطیسی غیر صفر به دست آمده است. شاید این اختلافات اولین قرائنی باشند که نشان می­دهد نوکلئون­ها ذراتی نقطه­ای مانند الکترون نیستند، بلکه دارای ساختار درونی هستند. در ساختار داخلی نوکلئون­ها باید ذرات باردار در حال حرکت دخالت داشته باشند، و حرکت این ذرات باردار باید به تولید جریان­هایی منجر شود که با گشتاور مغناطیسی مشاهده شده سازگار باشد. یکی از نکات جالب توجه این است که  پروتون در حدود ۶_/۳ از مقدار انتظاری­اش بزرگ­تر است، در حالی که  نوترون در همین حدود از مقدار انتظاری آن (صفر) کوچک­تر است. امروزه نوکلئون­ها را متشکل از سه کوارک در نظر می­گیرند، و گشتاور مغناطیسی هر نوکلئون را مستقیماً از جمع گشتاورهای مغناطیسی کوارک­ها به دست می­آورند [۴۵].

نیروی تزویج در هسته­ها، جفت­شدگی میان نوکلئون­ها را چنان تنظیم می­ کند که برایند تکانه­های زاویه­ای مداری و اسپینی هر زوج برابر صفر می­ شود. بدین ترتیب، نوکلئون­های تزویج شده هیچ­گونه سهمی در گشتاور مغناطیسی ندارند، و در تعیین آن فقط کافی است که نوکلئون­های ظرفیت را در نظر بگیریم. اگر چنین نبود، بر اساس ملاحظات آماری در بعضی از هسته­های سنگین احتمالاً با گشتاورهای مغناطیسی خیلی بزرگ که شاید به ده­ها مگنتون هسته­ای بالغ می­شد، روبرو می­شدیم. اما تا کنون هیچ هسته­ای با گشتاور مغناطیسی دوقطبی بزرگ­تر از حدود  مشاهده نشده است [۲۶].

۴-۲- گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون در مدل پوسته­ای

دوترون از گردهمایی یک پروتون و یک نوترون تشکیل می­ شود. این هسته ساده­ترین حالت مقید نوکلئون­هاست. انرژی بستگی دوترون نسبت به دیگر هسته­های پایدار کم است. این انرژی بستگی در حدود  است، در اندازه ­گیری آن از روش دوتایه جرمی استفاده شده است. تکانه زاویه­ای کل دوترون، I، برابر با یک است. این تکانه زاویه­ای دارای سه مؤلفه است که عبارتند از: اسپین هریک از ذرات پروتون و نوترون،  و  (که هر کدام برابر با  است)، و تکانه زاویه­ای مداری، l، نوکلئون­ها در حرکت حول مرکز جرم مشترک

(۴-۹)

یکی دیگر از خواص قابل تعیین دوترون، پاریته آن (به صورت زوج یا فرد) است که رفتار تابع موج را هنگام  نشان می­دهد. از بررسی واکنش­هایی که دوترون در آنها شرکت دارد و بررسی خواص فوتون گسیل شده در طی تشکیل دوترون، پاریته دوترون زوج به دست آمده است. پاریته منتسب به حرکت مداری به صورت  قابل تعیین است. با در نظر گرفتن اسپین و پاریته دوترون، تکانه زاویه­ای مداری دوترون می ­تواند صفر یا دو باشد. اگر فرض کنیم  باشد، حرکت مداری هیچ گونه سهمی در گشتاور دوقطبی مغناطیسی ندارد. بنابراین می­توان گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون را حاصل ترکیب گشتاورهای دوقطبی مغناطیسی نوترون و پروتون تلقی کرد.

(۴-۱۰)

در اینجا گشتاور دوقطبی محاسبه شده، در شرایطی که اسپین­ها بزرگ­ترین مقدارشان  را دارند محاسبه شده است. و  و  در رابطه (۴-۸) داده شده ­اند. مقداری که از طریق آزمایش به دست آمده برابر  [۲۶] است. با مقایسه سازگاری خوبی بین مقدار محاسبه شده و مقدار تجربی مشاهده می­ شود. در مدل پوسته­ای اختلافی که مشاهده می­ شود را ناشی از اختلاط تابع موج و وجود سهم کوچکی از حالت d  در تابع موج دوترون می­دانند.

(۴-۱۱)

گشتاور مغناطیسی دوترون به کمک این تابع موج، چنین به دست می­ید.

(۴-۱۲)

که در آن  همان مقداری است که در معادله (۴-۱۰) محاسبه شده است. برای محاسبه  با در نظر گرفتن اینکه دوترون از یک پروتون و یک نوترون تشکیل شده است، بنابراین هرکدام نصف تکانه زاویه­ای مداری دوترون را حمل می­ کنند؛ بنابراین عملگر گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون را می­توان به شکل زیر نوشت.

(۴-۱۳)

با به دست آوردن مقداری انتظاری این عملگر در راستای بزرگ­ترین مؤلفه تکانه زاویه­ای، یعنی  ، مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی به دست می ­آید. در مورد نوترون چون بدون بار الکتریکی است،  است.

(۴-۱۴)

با جایگذاری  از رابطه (۴-۱۳) به رابطه زیر می­رسیم.

(۴-۱۵)

حال با بهره گرفتن از روابط آشنای زیر، مقدار رابطه بالا بدست می ­آید.

(۴-۱۶)

(۴-۱۷)

(۴-۱۸)

با جایگذاری روابط (۴-۱۷) و (۴-۱۸) در رابطه (۴-۱۵) نتیجه زیر به دست می ­آید.

(۴-۱۹)

همان طور که قبلاً گفته شد تکانه زاویه­ای دوترون برابر با یک است، در اینجا یعنی  . اکنون اگر بخواهیم گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون با تکانه زاویه­ای مداری برابر با ۲ را حساب کنیم، با قرار دادن  ،  ،  و  در رابطه بالا به نتیجه زیر می­رسیم.

(۴-۲۰)

با جایگذاری  و  از رابطه (۴-۸) مقدار عددی گشتاور دو قطبی مغناطیسی برای حالت  به دست می ­آید. این مقدار برابر است با:  . با داشتن  حال می­توان مقادیر عددی  و  را به دست آورد.  و  . نتیجه­ای که گرفته می­ شود واضح است. تابع موج دوترون در حالت پایه از ۹۶ درصد  و ۴ درصد  تشکیل شده است [۲۶].

۴-۳- محاسبه گشتاور دوقطبی مغناطیسی دیگر هسته­ها در مدل پوسته­ای

به منظور به دست آوردن گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های با A فرد (عدد اتمی)، با در نظر گرفتن اینکه نوکلئون­های تزویج شده در ایجاد گشتاور دو قطبی مغناطیسی تأثیری ندارند و بنابراین تنها نوکلئون فرد باعث ایجاد گشتاور دو قطبی مغناطیسی می­ شود، به محاسبه آن می­پردازیم. برای این کار از رابطه (۴-۱۴) استفاده می­کنیم. عملگر گشتاور دو قطبی مغناطیسی را با رابطه زیر جایگزین می­کنیم.

(۴-۲۱)

در اینجا  ضریب اسپینی g نوکلئون و  ضریب g مداری نوکلئون فرد است. با جایگذاری این رابطه در رابطه (۴-۱۴) به رابطه زیر می­رسیم.

(۴-۲۲)

حال با بهره گرفتن از روابط (۴-۱۶) و (۴-۱۷) و در نظر گرفتن اینکه در مدل پوسته ای روابط زیر بین تکانه زاویه­ای کل و تکانه زاویه­ای مداری وجود دارد رابطه بالا را محاسبه می­کنیم.

(۴-۲۳)

(۴-۲۴)

در مدل پوسته­ای پتانسیل اسپین مدار به منظور باز تولید اعداد جادویی هسته­ای معرفی شد، که موفقیت بسیار خوبی در توضیح اعداد جادویی هسته­ای، پاریته و اسپین حالت پایه هسته­های پایدار موجود در طبیعت دارد. این پتانسیل اسپین مدار باعث تولید دو دسته گشتاور دو قطبی مغناطیسی، که بستگی به رابطه بین تکانه زاویه­ای مداری و تکانه زاویه­ای کل دارد، شد. گشتاور دوقطبی مغناطیسی هسته­ها که از طریق آزمایش به دست آمده نیز چنین الگویی را نشان می­دهد، اما مقادیر به دست آمده با مقادیر محاسبه شده متفاوت است. به منظور نزدیک شدن مقادیر محاسبه شده با مقادی آزمایشگاهی آن، بیان شده است که ضریب اسپینی g نوکلئون­های آزاد و ضریب اسپینی g نوکلئون­های مقید با هم برابر نیستند و رابطه تقریبی زیر بین آنها برقرار است [۴۶].

 

علت این رابطه در مدل پوسته­ای به ابر مزونی اطراف نوکلئون­ها در درون هسته نسبت داده می­ شود، چرا که در درون هسته نوکلئون­ها در فاصله نزدیک هم هستند، و به همین دلیل برهم­کنش شدیدتری با هم دارند. که این خود می ­تواند منجر به متلاشی شدن لحظه­ای نوکلئون شود. نتایج حاصل در شکل­های (۴-۱) و (۴-۲) آورده شده است.

شکل (۴-۱): مقادیر تجربی گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های پروتون فرد و پیش بینی مدل پوسته­ای.

شکل (۴-۲): مقادیر تجربی گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های نوترون فرد و پیش بینی مدل پوسته­ای.

۴-۴- محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون با بهره گرفتن از مدل شبه کوارکی

۴-۴-۱- مقدمه

بر طبق نظریه­ های موجود باریون­ها از سه کوارک تشکیل شده ­اند. کوارک­ها در شش طعم مختلف و سه رنگ آبی سبز و قرمز از ذرات بنیادی تشکیل دهنده جهان می­باشند.

هسته دوترون از یک پروتون و یک نوترون تشکیل شده است. برای محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون در مدل پوسته­ای با در نظر گرفتن اینکه هسته در حالت پایه دارای تکانه زاویه­ای مداری  است، گشتاور دو قطبی مغناطیسی را برابر با  به دست آورده­اند (معادله (۴-۱۰)). همان طور که در قسمت­ های قبلی گفته شد، به منظور بهبود نتیجه به دست آمده با مقدار آزمایشگاهی، در مدل پوسته­ای فرض شده است که حالت پایه دوترون ترکیبی از تکانه زاویه­ای مداری یک و دو می­باشد. در هسته­های سنگین­تر نیز، در این مدل مقدار ضریب g پروتون و نوترون مقید با ضریب g پروتون و نوترون آزاد، به منظور مطابقت با مقادیر آزمایشگاهی، متفاوت در نظر گرفته می­ شود. در اینجا دوترون را تشکیل شده از دو نوکلئون در نظر می­گیریم، یک پروتون و یک نوترون، ولی به خاطر نزدیکی این دو نوکلئون به هم، کواک­های سازنده آنها مرتباً با هم برهم­کنش دارند که این برهم­کنش باعث متلاشی شدن نوکلئون­ها می­گردد و سپس مجدداً به علت وجود نیروی قوی بین کوارک­ها، نوکلئون­ها تشکیل می­گردند. بنابراین دوترون را تشکیل شده از ۶ کوارک در نظر می­گیریم، که خود تشکیل دو نوکلئون می­ دهند. دوترون را تشکیل شده از ۳ کوارک u با رنگ­های مختلف و سه کوارک d با رنگ­های مختلف در نظر می گیریم. اگر سه کوارک u به سه رنگ مختلف قرمز، آبی و سبز باشد و سه کوارک d نیز سه رنگ مختلف داشته باشد، هر شش کوارک با در نظر گرفتن اصل طرد پائولی در یک تراز (تراز پایه) جای می گیرند. دوترون در حالت پایه دارای تکانه زاویه­ای مداری  می­باشد. در قسمت ۴-۴-۲ تابع موج دوترون را محاسبه می کنیم و در قسمت ۴-۴-۳ با بهره گرفتن از این تابع موج مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون را محاسبه می­کنیم.

۴-۴-۲- محاسبه تابع موج دوترون

تابع موج دوترون را بر اساس ساختار کوارکی آن می توان به شکل رابطه (۴-۲۵) نوشت، که شامل چهار قسمت جداگانه، تابع فضایی، تابع اسپینی، تابع طعم و تابع رنگ می باشد.

(۴-۲۵)

چون نوکلئون­ها و کوارک­ها همگی فرمیون هستند بنابراین از آمار فرمی- دیراک پیروی می­ کنند و تابع موج کل دوترون نتیجتاً بایستی پاد متقارن باشد (در اثر جایگشت هر دو نوکلئون و در داخل هر نوکلئون در اثر جایگشت هر دو تا کوارک). ما نمی­دانیم که شکل تابعی قسمت فضایی حالت پایه چگونه است اما مطمئناً متقارن می­باشد، به دلیل اینکه برای همه کوارک­ها،  . سه رنگ مولد تقارن رنگی SU(3) است، با کنار هم قرار دادن ۳ رنگ یک رنگ دهگانه دو رنگ هشت­گانه و یک رنگ یگانه به دست می آوریم.

(۴-۲۶)

به طور طبیعی تمام ذرات بی­رنگ هستند. در حقیقت این یک حالت ساده از قانون کلی­تر می­باشد. هر ذره که به گونه طبیعی به وجود آمده یک یگانه رنگ می­باشد. در SU(3) حالت یگانه کاملاً پاد متقارن می­باشد. بنابراین هر یک از دو نوکلئون دوترون دارای تابع رنگ یگانه و پاد متقارن است. حاصلضرب  از تابع موج دوترون را بهتر است بر حسب توابع موج پروتون و نوترون بنویسیم.

(۴-۲۷)

در این رابطه  و  به ترتیب تابع موج نوترون و پروتون است. چون نوکلئون­ها فرمیون هستند تابع موج کلی پاد متقارن می­باشد. نوکلئون­ها از ۳ کوارک تشکیل شده ­اند. برای به دست آوردن قسمت اسپینی با توجه به اینکه تشکیل گروه SU(2) می­ دهند داریم [۴۷]

(۴-۲۸)

(۴-۲۹)

(۴-۳۰)

(۴-۳۱)

ترکیب­های اسپین متقارن هستند ولی ترکیب­های اسپین به طور جزئی پاد متقارن هستند. جابجایی دو ذره منجر به تغییر علامت خواهد شد. مطابق زیرنویس در ردیف اول جابجایی دو ذره­ی ۲ و ۱ و در ردیف دوم جابجایی دو ذره ی ۳ و ۲ منجر به تغییر علامت رابطه می­ شود. همچنین می­توانیم یک جفت حالت نامتقارن را در ذره­ی ۱ و ۳ ایجاد کنیم.

(۴-۳۲)

اما (۴-۳۲) از دو تای دیگر مستقل نیست و مطابق رابطه زیر به آن­ها مربوط می­ شود.

(۴-۳۳)

قسمت  نوکلئون­ها چون از دو کوارک u و d تشکیل شده ­اند همانند قسمت اسپینی تشکیل گروه SU(2) می­ دهند و می­توان با جایگزینی اسپین با u و اسپین با d قسمت  را به دست آورد. چون همانطور که گفته شد تابع رنگ برای پروتون­ها پاد متقارن، تابع فضایی نیز به خاطر  متقارن است حاصلضرب  برای پروتون و نوترون باید متقارن باشد. اسپین نوکلئون­ها  است، بنابراین از تقارن­های آمیخته انتخاب می­ شود. بنابراین  نیز از تقارن­­های آمیخته انتخاب می شود. قسمت اسپین و طعم تابع موج نوکلئون به صورت زیر نوشته می­ شود.

(۴-۳۴)

(۴-۳۵)

که ۹ جمله متمایز می­باشد. تابع موج نوترون با تعویض در تابع موج پروتون به دست می ­آید. تابع موج دوترون به شکل زیر است.

(۴-۳۶)

با در نظر گرفتن مولفه­های اسپین تابع موج دوترون به شکل زیر خواهد بود.

(۴-۳۷)

در این رابطه حاصل­ضرب  با بهره گرفتن از رابطه (۴-۳۵) به صورت زیر در خواهد آمد.

(۴-۳۸)

که جمعاً  جمله خواهد بود که به صورت زیر خلاصه شده است.

(۴-۳۹)

جمله  نیز شامل ۸۱ جمله خواهد بود که با تعویض از حالت قبل به دست می آید.

۴-۴-۲- محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون

در غیاب حرکت اربیتال مقدار حرکت گشتاور مغناطیسی دوترون به طور ساده مجموع برداری شش کوارک تشکیل دهنده آن می­باشد.

(۴-۴۰)

این عبارت به ویژگی­های طعم کوارک ( زیرا کوارک­های u و d گشتاور مغناطیسی متفاوتی دارند) و به ترکیب اسپین (چون جهت نسبی شش دو قطبی را تعیین می­ کند) بستگی دارد.

گشتاور دو قطبی ذره­ای با اسپین ، بار q و جرم m عبارت است از:

(۴-۴۱)

در مکانیک کوانتومی، گشتاور مغناطیسی قابل مشاهده، به طور عملیاتی در راستای بزرگ­ترین مولفه تکانه زاویه­ای تعریف می­ شود [۲۶].

اندازه رابطه (۴-۴۱) برابر است با ، دقیق­تر بگوییم این اندازه  در حالت اسپین بالاست که برای آن . برای کوارک داریم

(۴-۴۲)

بنابراین گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون با رابطه زیر داده می­ شود؛

(۴-۴۳)

تابع موج دوترون در معادله (۴-۳۹) آمده است. جمله اول برابر  و حالا:

(۴-۴۴)

بنابراین مقدار انتظاری گشتاور مغناطیسی ناشی از جمله اول برابر است با:

(۴-۴۵)

برای تک­تک جملات به همین صورت محاسبه می­کنیم، که نتیجه به صورت زیر است.

(۴-۴۶)

همچنین برای جمله دیگر همین مقدار به دست خواهد آمد.

(۴-۴۷)

بنابراین گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون با رابطه زیر داده می شود.

(۴-۴۸)

(۴-۴۹)

(۴-۵۰)

 مگنتون هسته­ای است،  جرم پروتون و  جرم­های کوارک­های u و d است [۴۵].

اگر عدد به دست آمده را با مقدار مشاهده شده تجربی یعنی  مقایسه کنیم سازگاری خوبی یافت می شود. در مدل پوسته­ای با در نظر گرفتن اینکه دوترون در حالت پایه  است، مقداری که برای گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون به دست آمده است برابر با  است. با مقایسه معلوم می­ شود که مقداری که در اینجا به دست آورده­ایم به مقدار تجربی آن نزدیک­تر است. در مدل پوسته­ای برای اینکه سازگاری با مقدار طبیعی بیشتر شود فرض می شود که اتم تنها در حالت  نباشد بلکه تابع موج با حالت  مختلط شده است [۴۸]. مقدار عددیی که برای جرم کوارک در نظر گرفته شده، در واقع جرم موثر متوسط کوارک­های بالا و پایین در درون باریون­هاست، این امر ما را به سوی این موضوع رهنمون ساخت که کوارک­های سازنده دوترون می­توانند علاوه بر نوکلئون­ها دیگر باریون­ها را نیز تشکیل دهند. با در نظر گرفتن خصوصیات معلوم دوترون، باریون­هایی که احتمال تشکیل آنها در دوترون وجود دارد را مشخص می­کنیم و بر این اساس گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون را محاسبه می­کنیم.

 

محاسبه گشتاور دو قطبی دوترون با در نظر گرفتن امکان تشکیل باریون­های ، ، ، ، p و n

دوترون که از سه کوارک up و سه کوارک down تشکیل شده است فرض می­ شود که این شش کوارک کاملاً در درون دو نوکلئون مقید نیستند بلکه فرض می­ شود که این دو باریون به کوارک­های سازنده­یشان شکسته می­شوند و سپس دو باریون دیگر تشکیل می­ شود این دو باریون لزوماً دو نوکلئون یا دو باریون قبلی نیستند. تعداد زوج باریون­هایی که که می­توان از این شش کوارک تولید کرد شامل زوج­های ذیل می­باشد.

(۴-۵۱)

دوترون دارای بار الکتریکی واحد است و این شرط در نوشتن زوج باریون­های تشکیل شده دخالت داده شده است. اگر چه جرم باریون­های دلتا بیشتر از جرم نوکلئون­هاست و انرژی بستگی دوترون تنها کمی بیشتر از  است و نمی­تواند جواب­گوی این اضافه جرم باریون­های دلتا به نسبت نوکلئون­ها باشد، اما با در نظر گرفتن اصل عدم قطعیت هایزنبرگ^[۳۴] بین تغییرات انرژی و تغییرات زمان چنین امکانی عملی خواهد شد. باریون­های دلتا از طریق نیروی قوی واپاشی می­ کنند و نیمه عمر آنها برابر با  است و بنابراین تغییر انرژی آنها، با در نظر گرفتن رابطه  ، می ­تواند چند صد مگا الکترون ولت باشد. حال تابع موج دوترون طوری باید نوشته شود که تمام حالت­های ممکن تشکیل دو باریون در آن لحاظ شود. بنابراین تابع موج دوترون به شکل زیر است.

(۴-۵۲) 

در اینجا مربع ضریب هر جمله بیانگر احتمال تشکیل دوترونی است که از زوج باریون مورد نظر ساخته شده است به عنوان نمونه  احتمال تشکیل دوترون ساخته شده از باریون­های  و  است و . . . . این ضرایب در ادامه محاسبه شده ­اند. مشابه معادله (۴-۲۷) تابع موج هر زوج باریون رابه شکل زیر می­نویسیم

(۴-۵۳) 

در اینجا  و  تابع موج هر کدام از باریون­های تشکیل شده در درون دوترون می ­تواند باشد. بنابراین تابع موج دوترون به صورت زیر گسترده می­ شود.

(۴-۵۴) 

این تابع موج طوری نوشته شده است که نسبت به جابجایی هر دو باریون پاد متقارن می­باشد. تابع موج دوترون همچنین از چهار قسمت اسپین، طعم، فضا و رنگ ساخته شده است؛ مانند معادله (۴-۲۵). بنابراین هر جمله از معادله (۴-۵۲) باید به صورت معادله (۴-۲۵) نوشته شود. در اینجا بحث­هایی که در قسمت قبل راجع به قسمت فضایی و قسمت رنگ تابع موج گفته شد نیز صادق است. با فرض اینکه دوترون در حالت پایه است، یعنی  بنابراین قسمت فضایی تابع موج متقارن است. قسمت رنگ تابع موج به خاطر یگانه بودن رنگ برای هر باریون پاد متقارن خواهد بود. بنابراین حاصلضرب قسمت اسپین و قسمت طعم تابع موج هر باریون باید متقارن باشد. بنابراین انتخاب تابع موج اسپینی و طعم باید این امر را برآورده سازد. در مورد نوکلئون­ها این قسمت از تابع موج در قسمت­ های قبلی این فصل محاسبه شده است. به خاطر اینکه نوکلئون­ها دارای اسپین  هستند از ترکیب­های آمیخته اسپینی و طعمی استفاده شد، تا یک تابع متقارن به دست بیاید. در مورد باریون­های دلتا، ، شرایط متفاوت است. این باریون­ها دارای اسپین  هستند و در ساخت تابع موج اسپینی آنها از رابطه (۴-۲۹) استفاده خواهد شد. همانطور که از این رابطه مشاهده می­ شود نسبت به جابجایی هر دو ذره­ای متقارن می­باشد. بنابراین قسمت طعم تابع موج برای باریون­های دلتا نیز باید متقارن در نظر گرفته شود؛ تا حاصلضرب این دو قسمت از تابع موج متقارن باشد. در نظر داشته باشیم که قسمت رنگ تابع موج پاد متقارن است. حال حاصلضرب  برای باریون  به شکل زیر است.

(۴-۵۵) 

در اینجا تابع طعمی که برای باریون  استفاده شده به صورت  است. سادگی آن به خاطر یکسان بودن سه کوارک تشکیل دهنده آن می­باشد. برای سه باریون دیگر به همین طریق حاصلضرب  را حساب می­کنیم  آنها در زیر آورده شده است. برای قسمت  آنها از رابطه (۲۹-۴) استفاده می­ شود.

(۴-۵۶) 

حال معادله (۴-۵۴) را برحسب اسپین و طعم کوارک­های تشکیل دهنده آن گسترش می­دهیم. برای این منظور باید در نظر داشته باشیم که اسپین دوترون برابر با یک است. این شرط محدودیتی بر روی ساخت تابع موج اعمال خواهد کرد. دو باریون دلتا که هر کدام دارای اسپین  هستند وقتی که با هم یک سیستم تشکیل می­ دهند می­توانند دارای اسپین ۰، ۱، ۲ و ۳ باشند. تنها حالتی را در نظر می­گیریم که اسپین برایند برابر با یک شود. همانطور که قبلاً در این فصل بیان شد، در مکانیک کوانتومی، گشتاور مغناطیسی قابل مشاهده را به طور عملیاتی در راستای بزرگ­ترین مؤلفه تکانه زاویه­ای تعریف می­ کنند. چون هدف به دست آوردن گشتاور دو قطبی مغناطیسی است، بنابراین تنها مؤلفه­ای از تابع موج دوترون را محاسبه می­کنیم، که مؤلفه اسپین آن یک باشد. بنابراین با در نظر گرفتن تابع موج دوترون که مؤلفه z آن برابر با یک باشد، جملات معادله (۴-۵۲) به صورت زیر در می ­آید.

(۴-۵۷) 

(۴-۵۸) 

(۴-۵۹) 

(۴-۶۰) 

(۴-۶۱) 

در این روابط ضرایب قبل از هر جمله ضرایب کلبش- گوردون^[۳۵] هستند، که از اعمال عملگر نردبانی  بر روی ماکسیمم اسپینی به دست می­آیند. مقدار ویژه­ی این عملگر از رابطه زیر به دست می ­آید و یک واحد از مؤلفه z تکانه زاویه­ای کم می­ کند.

(۴-۶۲) 

به عنوان نمونه برای به دست آوردن رابطه (۴-۵۷) مراحل زیر طی شده است. (به منظور خلاصه نویسی جملات تقارنی نوشته نشده­اند)

 

 

 

 

 

 

حال می­توانیم جمله اول تابع موج در معادله (۴-۵۲) را به صورت زیر بنویسیم.

(۴-۶۳)

بقیه جملات را به همین طریق به دست خواهیم آورد که در پیوست آورده شده است. جمله مربوط به زوج نوکلئون­ها در قسمت قبلی به دست آمده است.

حال ضرایب موجود در رابطه (۴-۵۲) را به دست می­آوریم. با در نظر گرفتن اینکه اسپین دوترون برابر با یک است و بنابراین مؤلفه z اسپین دوترون می ­تواند اعداد ۱، ۰، ۱- باشد. تعداد حالت­هایی که از زوج باریون­های داده شده در معادله (۴-۵۲) منجر به تشکیل دوترون می­ شود را می­شماریم.

 

به همین طریق محاسبات را برای زوج­های دیگر باریون­ها انجام می­دهیم و تعداد حالت­های تشکیل دوترون را می­شماریم. سپس حالت­هایی که اسپین برایند مخالف با یک باشد را از مجموع کم می­کنیم. (در شمارش بالا فقط مولفه اسپین در نظر گرفته شد، که مجاز به انتخاب اعداد ۱، ۰، ۱- بود، با این حال ممکن است اسپین کل مخالف یک باشد. به عنوان مثال اگر اسپین کل ۲ باشد مولفه­های آن اعداد ۱، ۰، ۱- هم می ­تواند باشد. باید سهم این اسپین­ها در شمارش کم شود.) نتایج حاصل در جدول (۴-۱) نشان داده شده ­اند.

جدول (۴-۱): تعداد راه­های ممکن تشکیل دوترون توسط هر زوج باریون

Baryon pair
Number of states	۱۵	۴۵	۲۷۰	۲۷۰	۴۳۲

با توجه به جدول شماره (۴-۱) ضرایب موجود در رابطه (۴-۵۲) را به دست می­آوریم. این نتایج در رابطه زیر آورده شده ­اند.

(۴-۶۴)

با قرار دادن این نتایج در رابطه (۴-۵۴) تابع موج دوترون به شکل زیر در می ­آید.

(۴-۶۵)

اکنون با بهره گرفتن از رابطه (۴-۶۳) تابع موج دوترون بر حسب کوارک­های سازنده آن و اسپین وابسته به آنها به دست خواهد آمد. با بهره گرفتن از این تابع موج گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون به دست خواهد آمد. در غیاب حرکت اربیتال مقدار حرکت گشتاور مغناطیسی دوترون به طور ساده مجموع برداری شش کوارک تشکیل دهنده آن می­باشد، معادله (۴-۴۳). گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون از رابطه (۴-۴۷) به دست خواهد آمد. با داشتن تابع موج دوترون و جایگذاری در این رابطه مقدار انتظاری عملگر دوقطبی مغناطیسی به دست خواهد آمد. با جایگذاری جمله اول تابع موج،  ، در معادله (۴-۴۷) نتیجه زیر به دست می ­آید.

(۴-۶۶)

محاسبات مشابه برای دیگر جمله­های تابع موج نیز به همین صورت انجام می­ شود؛ و سرانجام گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون به صورت زیر به دست می ­آید.

(۴-۶۷)

در این رابطه، کمیت­های زیر مورد استفاده قرار گرفته­اند.

(۴-۶۸)

(۴-۶۹)

(۴-۷۰)

(۴-۷۱)

در معادلات (۴-۶۷) تا (۴-۷۱)  ، مگنتون هسته­ای است،  ،  و  [۴۹ و ۵۰]. با مقایسه مقدار به دست آمده، یعنی  ، با مقدار آزمایشگاهی آن،  ، سازگاری خوبی مشاهده می­ شود. در اینجا مناسب است که نتایج حاصل از روش­های مختلف برای اندازه ­گیری یا محاسبه گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون را به منظور مقایسه بیان کنیم.

جدول ۴-۲:مقایسه گشتاور مغناطیسی دوترون در روش­های مختلف

روش مورد استفاده	مقدار به دست آمده
اندازه ­گیری تجربی
استفاده از مدل پوسته­ای با حالت پایه l=0
در نظر گرفتن محتوای کوارکی نوکلئون­های سازنده دوترون
در نظر گرفتن محتوای کوارکی باریون­های سازنده دوترون (شامل نوکلئون­ها و باریون­های دلتا)

۵- بررسی پایداری هسته­ها در مدل شبه کوارکی هسته

۱-۵- مقدمه

بیشتر تلاش­ های صورت گرفته در زمینه فیزیک هسته­ای به منظور شناخت بهتر خواص هسته­ها است. یکی از خاصیت­های مهم هسته­ها پایداری آنهاست، چه هسته­هایی پایدار هستند و چه هسته­هایی ناپایدار. عامل پایداری هسته­ها تحت تأثیر چه نیروها و خصوصیاتی است. بعضی هسته­ها نسبت به بعضی دیگر پایدارترند. به عنوان نمونه، هسته­هایی که تعداد پروتون یا نوترون برابر با اعداد جادویی دارند، پایدارترند. در هسته­های سنگین نسبت نوترون­ها به پروتون­ها بیشتر می­ شود، در حالی که در هسته­های سبک، تعداد پروتون­ها و نوترون­ها تقریباً برابر است.

در مدل پوسته­ای، که می­توان آن را موفق­ترین مدل در زمینه فیزیک هسته­ای نامید، سعی شده است که الگویی برای پایداری و خصوصیات هسته­ها طرح­ریزی شود. به منظور به دست آوردن اعداد جادویی پتانسیل اسپین- مدار معرفی شده است، که به خوبی توانسته است این اعداد را تولید کند، و اسپین و پاریته حالت پایه هسته­های پایدار را به خوبی به دست آورد. در این مدل با در نظر گرفتن اصل طرد پائولی انتظار می­رود که در هر تراز دو پروتون و دو نوترون به خاطر اسپین ذرات جای گیرد، و بنابراین انتظار می­رود که در حالت پایه، تعداد پروتون­ها و نوترون­های هسته­های پایدار یکسان باشد. البته در این مدل این اختلاف موجود بین تعداد پروتون­ها و نوترون­ها تا حدی توسط نیروی کولمبی توجیه می­ شود، چرا که پروتون­ها طبق نیروی کولمب همدیگر را دفع می­ کنند. اما در عمل پتانسیل کولمبی نتوانسته است به اندازه کافی ترازها را جابجا کند، طوری که نسبت پروتون­ها به نوترون­ها در هسته­های پایدار را تولید کند. از طرفی شواهدی در دست است که نیروی تزویج بین پروتون­ها اندکی از نیروی تزویج بین نوترون­ها بیشتر است. به عنوان مثال دو هسته  و  هر دو دارای سه نوکلئون هستند، اما با وجود دافعه کولمبی بین پروتون­های هلیوم-۳ نسبت به تریتیم، هلیوم-۳ پایدار و تریتیم ناپایدار است. در واقع هلیوم-۳ تنها عنصر پایداری است که تعداد پروتون­های آن از نوترون­هایش بیشتر است.

در به دست آوردن انرژی بستگی هسته­ها، بیشتر، هسته­های پایدار مدنظر بوده و سعی شده رابطه­ای برای این دسته عناصر به دست آورده شود. در رابطه انرژی بستگی جمله­ای تحت عنوان جمله تقارن یا پاد تقارن وجود دارد، که به تفاوت بین پروتون­ها و نوترون­ها در هسته وابسته است. در مدل گاز فرمی سعی شده است، که به منظور به دست آوردن ضریب این جمله از تفاوت ترازهای انرژی بین پروتون­ها و نوترون­ها استفاده شود.

در واقع چرا، به عنوان نمونه، تعداد پروتون­ها و نوترون­ها در هسته طلا به ترتیب ۱۱۸ و ۷۹ است. چرا این نسبت اعداد دیگری نیست. آیا راهی هست که بتوان این اعداد را توجیه کرد. برای به دست آوردن توجیهی برای پایداری این هسته­های موجود، در اینجا ما تشکیل هسته را از ابتدا مورد بررسی قرار داده­ایم. فرض کرده­ایم که در ابتدا کوارک­های آزاد وجود داشته و این کوارک­ها با همدیگر برهم­کنش داشته اند. در واقع این حالت پس از انفجار بزرگ یا مهبانگ وجود داشته است. هر گاه دما بالاتر از دمای هاگدورن^[۳۶] باشد، کوارک­ها به صورت آزاد خواهند بود. دمای هاگدورن حدوداً معادل  می­باشد. برهم­کنش کوارک­ها بیشتر از طریق نیروی قوی است. این کوارک­ها سعی در تشکیل نوکلئون و به تبع آن تشکیل هسته دارند. با شمارش تعداد حالاتی که منجر به تشکیل نوکلئون­های یک هسته می­ شود، که آن را با NWN^[37] نشان می­دهیم، هسته­ای که تعداد حالات تشکیل آن بیشتر باشد قاعدتاً پایداری آن نیز بیشتر است. البته در شمارش تعداد حالات باید برهم­کنش الکترومغناطیسی بین ذرات باردار را نیز در نظر گرفت. در نهایت ماکزیمم­های به دست آمده، با هسته­های پایدار شناخته شده در طبیعت، که در شکل (۵-۱) نشان داده شده است، مقایسه شده ­اند شکل­های (۵-۲) و (۵-۳).

 

شکل (۵-۱): هسته­های پایدار موجود در طبیعت

۵-۲- پایداری هسته­ها حول محور N=Z

دیدگاه کنونی در مورد هسته این است که هسته از پروتون و نوترون­ها ساخته شده است. از طرفی نوکلئون­ها خود از کوارک­ها ساخته شده ­اند. قبل از اینکه هسته­ها در لحظات اولیه جهان تشکیل شوند کوارک­های آزاد وجود داشته و این کوارک­ها با همدیگر برهم­کنش داشته اند. در اینجا ما شرایط تشکیل هسته­ها را از کوارک­های اولیه در نظر می­گیریم، و شرایط پایداری هسته­ها را بررسی می­کنیم. ساده­ترین هسته موجود در جهان هیدروژن است که البته فراوان­ترین هسته موجود در جهان نیز همین هیدروژن است. از طرف دیگر هیدروژن تنها از یک نوکلئون، که پروتون می­باشد ساخته شده است. اگر چه از دیدگاه اتمی هیدروژن یک عنصر است، ولی از دیدگاه فیزیک هسته­ای، که با هسته اتم سروکار دارد، هسته اتم هیدروژن تنها یک نوکلئون است و قابلیت بررسی هسته­ای ندارد. بنابراین ساده­ترین هسته که می­توان در نظر گرفت، می ­تواند از دو نوکلئون تشکیل شده باشد. خوشبختانه چنین هسته­ی دو نوکلئونی در طبیعت وجود دارد و پایدار هم هست. بنابراین برای شروع کار، هسته­ای را در نظر می­گیریم که از دو نوکلئون تشکیل شده باشد. این هسته دو نوکلئونی در واقع از ۶ کوارک تشکیل شده است. اگر هر دو نوکلئون پروتون باشد، آنگاه این هسته شامل ۴ کوارک بالا، up، و دو کوارک پایین، down، می باشد. حال فرض می­کنیم که اگر ۴ کوارک بالا و ۲ کوارک پایین وجود داشته باشد، این کوارک­ها به چند طریق قادر خواهند بود که یک هسته دو نوکلئونی تشکیل دهند. اگر آنها را به صورت u₁,u₂,u₃,u₄ و d_1,d₂ نام گذاری کنیم، تعداد حالت­هایی که منجر به تولید دو پروتون می­شوند عبارتند از:

(۵-۱)

که جمعاً شش حالت می باشند و هیچ حالت دیگری وجود ندارد. در اینجا هر {} نماینده تشکیل یک هسته و هر پرانتز، ()، نماینده تشکیل یک نوکلئون است. همانطور که دیده می­ شود در درون هر هسته، {}، دو نوکلئون وجود دارد، (عامل رنگ در ادامه بحث می شود).

اکنون با در نظر گرفتن هسته­ای دو نوکلئونی، که شامل یک نوترون و یک پروتون باشد یعنی هسته­ای که از سه کوارک بالا و سه کوارک پایین تشکیل شده باشد، (u₁,u₂,u₃ و d₁,d₂,d₃) مانند حالت قبل تعداد حالت­های تشکیل هسته را می­شماریم. در این حالت، ۹ حالت مختلف وجود دارد که عبارتند از:

(۵-۲)

در اینجا نیز هر () نشان دهنده یک نوکلئون و هر {} نشان دهنده یک هسته است. هسته­ای که از دو نوترون تشکیل شده باشد، شامل ۴ کوارک پایین و ۲ کوارک بالا خواهد بود. تعداد راه­های قابل تشکیل چنین هسته­ای در پایین آورده شده است.

(۵-۳)

اگر عامل رنگ کوارک­ها را در نظر بگیریم هر نوکلئون به تنهایی ۳ حالت مختلف قابل شکل­ گیری است. که در معادله زیر برای یک پروتون نشان داده شده است. نوترون نیز مشابه پروتون است.

(۵-۴)

در اینجا r، b و g به ترتیب بیان کننده رنگ­های قرمز، آبی و سبز است. بنابراین تعداد راه­های تشکیل هر نوکلئون را باید به خاطر عامل رنگ در ۳ ضرب کنیم. این عدد برای یک هسته دونوکلئونی برابر با  است و برای هسته­ای با A نوکلئون برابر است با:  . بنابراین نتایج زیر به دست می آید.

برای تشکیل هسته­ای با دو نوترون  حالت مختلف

برای تشکیل هسته­ای با یک پروتون و یک نوترون  حالت مختلف

برای تشکیل هسته­ای با دو پروتون  حالت مختلف

هم­چنان­که می­بینیم، تعداد فرایندهای تشکیل یک هسته مرکب از یک پروتون و یک نوترون بیشتر از دو حالت دیگر است. در نظر گرفتن عامل رنگ باعث می شود که تعداد فرایندهای وقوع در یک عدد ثابت ضرب شود که می­توان آن را نادیده گرفت، چرا که تنها فراوانی نسبی برای ما مهم است. اکنون تعداد فرایندهای وقوع تشکیل هسته­ای با سه نوکلئون را بررسی می­کنیم.

الف- هسته­ای با ۳ پروتون (هسته­ای با ۶ کوارک بالا و ۳ کوارک پایین)

(۵-۵)

در این رابطه، از رابطه ترکیباتی  استفاده می­ شود. در رابطه (۵-۵) عامل  تعداد حالات تشکیل نوکلئون اول که در اینجا  تعداد حالات انتخاب دو کوارک بالا از بین ۶ کوارک بالای موجود می­باشد و عدد ۳ تعداد حالات انتخاب تک کوارک پایین از بین ۳ کوارک پایین موجود می­باشد،  تعداد حالات تشکیل نوکلئون دوم و …. و عامل  به خاطر تمیز ناپذیری پروتون­ها و مهم نبودن ترتیب تشکیل پروتون­ها آمده است.

b- هسته­ای با دو پروتون و یک نوترون (هسته ای با ۵ کوارک بالا و ۴ کوارک پایین)

(۵-۶)

در اینجا عامل  ، تعداد حالات تشکیل تک نوترون می­باشد.

c- هسته­ای با یک پروتون و دو نوترون (هسته­ای با ۴ کوارک بالا و ۵ کوارک پایین)

(۵-۷)

d- هسته­ای با ۳ نوترون (هسته­ای با ۳ کوارک بالا و ۶ کوارک پایین)

(۵-۸) 

در حالت کلی از رابطه زیر برای شمارش تعداد حالت­ها می­توان استفاده کرد.

(۵-۹) 

در اینجا A تعداد کل نوکلئون­های هسته و Z تعداد پروتون­هاست. به منظور ساده سازی این رابطه جمله­های ترکیباتی را بسط می­دهیم، و از رابطه  استفاده می­کنیم. بنابراین رابطه بالا به صورت زیر دوباره نویسی می­ شود.

(۵-۱۰)

(۵-۱۱)

که با ساده­سازی به رابطه زیر تبدیل می­ شود.

(۵-۱۲)

چون فقط بزرگی نسبی این کمیت برای ما مهم است، رابطه را بر  تقسیم می­کنیم. و بهتر است کمیت زیر را محاسبه کنیم.

(۵-۱۳)

در هسته­های با A یکسان، هسته­ای که تعداد حالت­های ممکن بیشتری برای تشکیل دارد، احتمال وجود آن نیز باید بیشتر است. نتایج عددی برای چندین هسته در جدول (۵-۱) و پیوست ج، نشان داده شده است.

۵-۳- بررسی اثر نیروی الکترومغناطیسی در پایداری هسته­ها

در هسته­های سبک پایدار تقریباً تعداد پروتون­ها و نوترون­ها برابر است، اما هر چه هسته­ها سنگین­تر می­شوند، و عدد جرمی آنها بیشتر می­ شود، تفاوت بین تعداد پروتون­ها و نوترون­ها بیشتر می­ شود تا جایی که تعداد نوترون­ها تقریباً به ۵_/۱ برابر تعداد پروتون­ها می­رسد. این اختلاف بین پروتون­ها و نوترون­ها را به نیروی کولمبی پروتون­ها ربط می­ دهند، که با افزایش عدد اتمی سریعاً افزایش می­یابد. بنابراین و به همین منظور در اینجا تأثیر نیروی الکترومغناطیسی را بر تشکیل هسته­ها مد نظر قرار می­دهیم، و انتظار داریم که بتوانیم انحراف هسته­های پایدار را از خط  توضیح دهیم. تاثیر نیروی الکترومغناطیسی را در دو مرحله زمانی بررسی می کنیم. ۱- در هنگام فرایند تشکیل نوکلئون و هسته، ۲- پس از تشکیل نوکلئون و هسته.

قبل از تشکیل نوکلئون­ها کوارک­ها هستند که با هم برهم­کنش دارند، که در نهایت تبدیل به پروتون و نوترون می­شوند. نوترون ذره­ای خنثی است و نیروی الکترومغناطیسی همواره موافق تشکیل ذره­­ای خنثی از یک سری ذرات باردار است، به عبارتی دیگر ذرات ناهمنام همدیگر را جذب می­ کنند، پس این تأثیر، موافق نیروی جاذبه­ی قوی است و بنابراین باید با تأثیر نیروی قوی جمع شود. ولی در مورد پروتون که ذره­ای با بار مثبت است، نیروی الکترومغناطیسی با تشکیل پروتون مخالف است. بنابراین در این مورد تأثیر نیروی الکترومغناطیسی باید از تأثیر نیروی قوی کسر شود. در جمع این دو نیرو باید در نظر داشته باشیم که اندازه نیروی الکترومغناطیسی به مراتب از نیروی قوی ضعیف­تر است. در واقع نیروی الکترومغناطیسی به نسبت ثابت جفتیدگی،  ، از نیروی قوی ضعیف­تر است. با این اوصاف تشکیل هر نوترون را باید در عامل  و تشکیل هر پروتون را در عامل  ضرب کنیم. حال چون هر نوکلئون با در نظر گرفتن رنگ کوارک­های آن به ۳ حالت می ­تواند وجود داشته باشد (به عنوان مثال برای پروتون u_ru_gd_b , u_gu_bd_r , u_bu_rd_g )، بنابراین تشکیل هر پروتون در عامل  و تشکیل هر نوترون در عامل  ضرب می­ شود و تا این مرحله رابطه (۵-۱۳) به صورت زیر تعمیم می­یابد.

(۵-۱۴)

در اینجا  ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی است و مقدار رابطه جدید را با حرف R نشان داده­ایم. حال نوکلئون­ها شکل گرفته­اند و هسته تشکیل شده است. اما همچنان نیروی الکترومغناطیسی بین پروتون­ها و نیروی هسته­ای بین نوکلئون­ها وجود دارند و بر روی پایداری هسته تاثیر می­گذارند. برای اینکه تأثیر نیروی الکترومغناطیسی و هسته­ای در این مرحله را وارد محاسباتمان بکنیم، خصوصیات زیر را در نظر می­گیریم.

نیروی الکترومغناطیسی (کولنی) بلند برد است.

نیروی هسته­ای (نیروی بین نوکلئون­ها) کوتاه برد است.

قدرت نیروی الکترومغناطیسی  برابر نیروی هسته­ای است. (  ، ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی یا ثابت ساختار ریز)

فرض می کنیم که نوکلئون­ها در درون هسته شبکه­ ای منظم تشکیل داده­اند. این شبکه را همانند اتم­های کربن در الماس در نظر می­گیریم (شکل (۵-۱))، و فرض می­کنیم که هر نوکلئون تنها با نوکلئون­های همسایه­اش برهم­کنش هسته­ای دارد.

هسته­ها دارای چگالی ثابت هستند، طوری که رابطه  بین شعاع هسته و تعداد نوکلئون­های تشکیل دهنده هسته برقرار باشد.

شکل(۵-۲): شبکه چهار وجهی منتظم که نوکلئون­ها تشکیل می­ دهند

حال تعداد برهم­کنش­هایی که هر نوکلئون با دیگر نوکلئون­ها دارد را هم از دیدگاه الکترومغناطیسی و هم از دیدگاه هسته­ای شمرده و تأثیر آن را در محاسبات دخیل می­کنیم. هسته­ای با Z پروتون را در نظر می­گیریم، هر پروتون با (Z-1) پروتون دیگر برهم­کنش الکترومغناطیسی دارد و برای جلوگیری از دو باره شمرده شدن، تعداد برهم­کنش­­های الکترومغناطیسی آن برابر با  خواهد بود. چون برهم­کنش هسته­ای کوتاه برد است، فرض می­کنیم که هر پروتون تنها با نوکلئون­های همسایه­اش برهم­کنش دارد. بر این اساس هر پروتون با چهار نوکلئون همسایه­اش برهم­کنش هسته­ای دارد، که برای جلوگیری از دوبار شمرده شدن تعداد برهم­کنش­های هسته­ای نیز برابر با  خواهد بود. بنابراین وجود هر پروتون باعث می شود که رابطه (۵-۱۴) را به ازای هر پروتون در عبارت  ضرب کنیم. در این عبارت عدد ۲ نماینده تعداد برهم­کنش­های هسته­ای هر پروتون است، عدد  نشان دهنده تعداد برهم­کنش­های الکترومغناطیسی است که هر پروتون دارد،  ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی به خاطر ضعیف بودن نیروی الکترومغناطیسی در مقابل نیروی هسته­ای وارد شده است و علامت منها نشان دهنده دافعه بودن نیروی الکترومغناطیسی در میان پروتون­هاست. اگر هسته­ای دارای Z پروتون باشد، آنگاه عامل  وارد محاسبه می شود. به ازای هر نوترون چون عامل الکترومغناطیسی وجود ندارد فقط عامل  در رابطه (۵-۱۴) ضرب خواهد شد. بنابراین در مجموع با در نظر گرفتن هم پروتون­ها و هم نوترون­ها، رابطه (۵-۱۴) در عامل  ضرب خواهد شد. عامل  برای هسته­های با A یکسان ثابت است، چون فقط بزرگی نسبی این عامل برای ما مهم است، می­توان آن را از محاسبات حذف کرد. بنابراین به رابطه زیر می­رسیم.

(۵-۱۵)

با A ثابت، ماکزیمم مقداری که برای R به دست خواهد آمد، نشان دهنده پایداری هسته خواهد بود. نتایج حاصله از این رابطه برای برخی از هسته­ها در جدول (۵-۱) آورده شده است. که نشان دهنده سازگاری بسیار خوب با هسته های پایدار کشف شده در طبیعت است. (به خصوص برای هسته­های  ) در شکل (۵-۳) نمودار ماکزیمم R برای هسته­های مختلف رسم شده است.

 

شکل (۵-۳): پیش بینی رابطه (۵-۱۵) برای هسته های پایدار، در هسته­های با تعداد نوکلئون بالا انحراف از هسته­های پایدار موجود در طبیعت مشاهده می­ شود.

در به دست آورد معادله (۵-۱۵)، نیروی برهم­کنش الکترومغناطیسی بین دو پروتون بدون در نظر گرفتن فاصله بین آنها یکسان در نظر گرفته شده، در حالی که نیروی الکترومغناطیسی به فاصله بین دو بار بستگی دارد. در هسته­های سبک چون تعداد نوکلئون­های هسته کم است می­توان با تقریب فاصله هر دو پروتون در هسته را یکسان در نظر گرفت. در هسته های سنگین، چون شعاع هسته بزرگ شده است دیگر نمی­ توان انتظار داشت که برهم­کنش الکترومغناطیسی بین هر دو پروتونی را یکسان در نظر گرفت. بنابراین باید وابستگی نیروی الکترومغناطیسی به شعاع را در نظر گرفت. انتظار داریم که در هسته­های سنگین تاثیر نیروی الکترومغناطیسی با شعاع کاهش یابد. اگر این کاهش را به صورت یک ضریب که وابسته به شعاع است، وارد رابطه کنیم، تأثیر نیروی الکترومغناطیسی به صورت  در می ­آید. در اینجا  ، ضریبی است که تأثیر نیروی الکترومغناطیسی را بر حسب شعاع نشان می­دهد. این ضریب برای هسته­های سنگین کوچک­تر از یک است. به عنوان مثال این ضریب برای U-238 باید برابر با ۰.۸۳ باشد. اگر قرار دهیم  ، (که ۱۲۰ عدد اتمی یک هسته میان وزن است) سازگاری با مقادیر تجربی بسیار خوب می­ شود. بنابراین با وارد کردن این ضریب در معادله (۵-۱۵)، تعداد حالت­های تشکیل یک هسته با تعداد مشخص پروتون و نوترون به دست خواهد آمد.

(۵-۱۶)

با مقایسه ماکزیمم مقدار به دست آمده به ازای مقادیر ثابت A با هسته­هایی که در طبیعت وجود دارد، سازگاری خوبی مشاهده می­ شود. نتایج حاصل از مقادیر ماکزیمم که از این رابطه به دست می ­آید به همراه هسته­های پایدار موجود در طبیعت در شکل (۵-۴) رسم شده است. همان­گونه که در شکل (۵-۴) نشان داده شده، سازگاری خوبی بین مقادیری که ما به دست آورده­ایم و هسته­های پایدار موجود در طبیعت ملاحظه می­ شود [۵۱].

 

شکل (۵-۴): نمودار هسته­های پایدار موجود در طبیعت و ماکزیمم­های به دست آمده از رابطه (۵-۱۵) و مقایسه آنها با همدیگر

نتیجه گیری و پیشنهادات

مدل شبه کوارکی هسته سعی دارد با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده نوکلئون­ها برخی خواص هسته را استخراج نماید. نوکلئون­ها در درون هسته با همدیگر هم­پوشانی دارند و در این ناحیه به خاطر نزدیکی زیاد کوارک­های دو نوکلئون با همدیگر برهم­کنش قوی دارند و بنابراین احتمال اینکه این کوارک­ها که با همدیگر برهم­کنش دارند، تشکیل نوکلئونی جدید بدهند وجود دارد. و همین امر باعث می­ شود که نوکلئون­های هسته به کوارک­های سازنده­یشان شکسته شده و سپس نوکلئون­های جدید تشکیل گردند. همین امر مستلزم این است که در بررسی ساختار هسته­ها، کوارک­های سازنده آنها را نیز در نظر بگیریم. در همین راستا در فصل دوم برهم­کنش­های مواد بخصوص برهم­کنش بین کوارک­ها و نوکلئون­ها بررسی شد. با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده هسته­ها، اعداد جادویی هسته­ای استخراج شده، انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی مشخص گردیده و رابطه­ای برای انرژی بستگی هسته­ها استخراج شده است.

گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون بر اساس ساختار کوارکی آن مورد بررسی قرار گرفته است. با به دست آوردن تابع موج دوترون بر اساس کوارک­های سازنده­ی دو نوکلئون آن و محاسبه مقدار انتظاری عمگر گشتاور دو قطبی مغناطیسی آن بر اساس این تابع موج، مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون را به دست آورده­ایم، که با مقایسه با محاسبات مدل پوسته­ای نتایج قابل ملاحظه است و به مقدار اندازه ­گیری شده همخوانی بهتری دارد. در مرحله بعد با فرض اینکه کوارک­های دوترون تنها تشکیل دو نوکلئون نمی­دهند بلکه ممکن است تشکیل باریون­های دلتا نیز بدهند دوباره تابع موج دوترون بر اساس احتمال تشکیل باریون­های دلتا محاسبه شده و بر اساس این تابع موج، دوباره مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون محاسبه شده است. با مقایسه این مقدار به دست آمده با مقدار اندازه ­گیری شده ملاحظه می­ شود که در این حالت سازگاری بهتری نسبت به مقدار قبلی با مقدار اندازه ­گیری شده وجود دارد.

پایداری هسته­ها موضوعی است که در فیزیک هسته­ای همیشه مد نظر بوده و سعی شده که دلیلی برای نسبت بین پروتون­ها و نوترون­ها در هسته­های پایدار بیان شود. در این پایان نامه، به منظور پیدا کردن خط پایداری هسته­ها، تشکیل هسته­ها را از کوارک­های سازنده­ی آنها در نظر گرفته­ایم، تعداد راه­های تشکیل هسته را از کوارک­های سازنده­اش شمرده­ایم. ترکیبی خاص از پروتون­ها و نوترون­ها که بیشترین فراوانی را دارد، احتمال تشکیل بیشتری نیز دارد. سپس با اعمال برهم­کنش الکترومغناطیسی در دو مرحله (یک مرحله قبل از تشکیل نوکلئون­ها بین کوارک­های باردار و مرحله دیگر پس از تشکیل نوکلئون­ها به خاطر برهم­کنش الکترومغناطیسی بین پروتون­ها)، روابط را اصلاح کردیم و در نهایت ترکیب خاص پروتون­ها و نوترون­های هسته­های پایدار را استخراج نمودیم که با مقایسه با هسته­های پایدار موجود در طبیعت، سازگاری بسیار خوبی مشاهده می­ شود.

در نظر گرفتن ساختار کوارکی هسته­ها می ­تواند بعضی خواص هسته­ها رابه خوبی بیان و باز تولید کند. مواردی در این رساله ذکر گردیدند، موارد دیگری که می­ شود بر اساس این مدل مورد پیگیری و تحقیق قرار داد در زیر بیان شده ­اند؛

محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های هلیوم-۳ و تریتیم؛

محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های سنگین­تر با در نظر گرفتن مدل پوسته­ای و در نظر گرفتن ساختار کوارکی نوکلئون­هایی که در لایه آخر یا همان لایه ظرفیت قرار دارند؛

محاسبه گشتاور چارقطبی الکتریکی دوترون با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده آن و پتانسیل بین کوارک­های آن؛

بررسی نیروی تزویج بین نوکلئون­ها با در نظر گرفتن راه­های مختلف تشکیل زوج­های نوکلئونی، همانند روش استخراج خط پایداری هسته­ها که در این رساله انجام گرفت؛

ایجاد رابطه­ای برای انرژی بستگی هسته­ها با بهره گرفتن از تعداد پیوند­های کوارکی موجود در هر هسته و برخی دیگر از خواص هسته­ای همچون انرژی زوجیت و هسته­های با لایه­ های پر یا همان هسته­های جادویی.

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۲] [۰] [۲] [ ۱] [ ۱]

[۲] [۱] [۱] [ ۱.۵۰۰۰e+000] [1.4357e+000]

[۲] [۲] [۰] [ ۱] [۹.۵۳۶۶e-001]

[۳] [۰] [۳] [ ۱] [ ۱]

[۳] [۱] [۲] [ ۲] [۱.۹۱۴۳e+000]

[۳] [۲] [۱] [ ۲] [۱.۹۰۷۳e+000]

[۳] [۳] [۰] [ ۱] [۹.۴۶۷۱e-001]

[۴] [۰] [۴] [ ۱] [ ۱]

[۴] [۱] [۳] [ ۲.۵۰۰۰e+000] [2.3929e+000]

[۴] [۲] [۲] [ ۳.۲۱۴۳e+000] [3.0653e+000]

[۴] [۳] [۱] [ ۲.۵۰۰۰e+000] [2.3668e+000]

[۴] [۴] [۰] [ ۱] [۹.۳۶۳۶e-001]

[۵] [۰] [۵] [ ۱] [ ۱]

[۵] [۱] [۴] [ ۳] [۲.۸۷۱۴e+000]

[۵] [۲] [۳] [ ۴.۶۶۶۷e+000] [4.4504e+000]

[۵] [۳] [۲] [ ۴.۶۶۶۷e+000] [4.4180e+000]

[۵] [۴] [۱] [ ۳] [۲.۸۰۹۱e+000]

[۵] [۵] [۰] [ ۱] [۹.۲۲۷۲e-001]

[۶] [۰] [۶] [ ۱] [ ۱]

[۶] [۱] [۵] [ ۳.۵۰۰۰e+000] [3.3500e+000]

[۶] [۲] [۴] [ ۶.۳۶۳۶e+000] [6.0687e+000]

[۶] [۳] [۳] [ ۷.۶۳۶۴e+000] [7.2294e+000]

[۶] [۴] [۲] [ ۶.۳۶۳۶e+000] [5.9587e+000]

[۶] [۵] [۱] [ ۳.۵۰۰۰e+000] [3.2295e+000]

[۶] [۶] [۰] [ ۱] [۹.۰۵۹۳e-001]

[۷] [۰] [۷] [ ۱] [ ۱]

[۷] [۱] [۶] [ ۴] [۳.۸۲۸۶e+000]

[۷] [۲] [۵] [ ۸.۳۰۷۷e+000] [7.9227e+000]

[۷] [۳] [۴] [ ۱.۱۵۳۸e+001] [1.0924e+001]

[۷] [۴] [۳] [ ۱.۱۵۳۸e+001] [1.0804e+001]

[۷] [۵] [۲] [ ۸.۳۰۷۷e+000] [7.6657e+000]

[۷] [۶] [۱] [ ۴] [۳.۶۲۳۷e+000]

[۷] [۷] [۰] [ ۱] [۸.۸۶۱۶e-001]

[۸] [۰] [۸] [ ۱] [ ۱]

[۸] [۱] [۷] [ ۴.۵۰۰۰e+000] [4.3072e+000]

[۸] [۲] [۶] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [1.0013e+001]

[۸] [۳] [۵] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [1.5621e+001]

[۸] [۴] [۴] [ ۱.۹۰۳۸e+001] [1.7827e+001]

[۸] [۵] [۳] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [1.5225e+001]

[۸] [۶] [۲] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [9.5123e+000]

[۸] [۷] [۱] [ ۴.۵۰۰۰e+000] [3.9877e+000]

[۸] [۸] [۰] [ ۱] [۸.۶۳۶۰e-001]

[۹] [۰] [۹] [ ۱] [ ۱]

[۹] [۱] [۸] [ ۵] [۴.۷۸۵۷e+000]

[۹] [۲] [۷] [ ۱.۲۹۴۱e+001] [1.2341e+001]

پیوست الف: تعداد راه­های تشکیل هسته­ها

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۹] [۳] [۶] [ ۲.۲۶۴۷e+001] [2.1440e+001]

[۹] [۴] [۵] [ ۲.۹۴۴۱e+001] [2.7568e+001]

[۹] [۵] [۴] [ ۲.۹۴۴۱e+001] [2.7166e+001]

[۹] [۶] [۳] [ ۲.۲۶۴۷e+001] [2.0517e+001]

[۹] [۷] [۲] [ ۱.۲۹۴۱e+001] [1.1468e+001]

[۹] [۸] [۱] [ ۵.۰۰۰۰e+000] [4.3180e+000]

[۹] [۹] [۰] [ ۱] [۸.۳۸۴۹e-001]

[۱۰] [ ۰] [۱۰] [ ۱] [ ۱]

[۱۰] [ ۱] [ ۹] [ ۵.۵۰۰۰e+000] [5.2643e+000]

[۱۰] [ ۲] [ ۸] [ ۱.۵۶۳۲e+001] [1.4907e+001]

[۱۰] [ ۳] [ ۷] [ ۳.۰۱۰۵e+001] [2.8501e+001]

[۱۰] [ ۴] [ ۶] [ ۴.۳۳۸۷e+001] [4.0626e+001]

[۱۰] [ ۵] [ ۵] [ ۴.۸۸۱۰e+001] [4.5038e+001]

[۱۰] [ ۶] [ ۴] [ ۴.۳۳۸۷e+001] [3.9306e+001]

[۱۰] [ ۷] [ ۳] [ ۳.۰۱۰۵e+001] [2.6678e+001]

[۱۰] [ ۸] [ ۲] [ ۱.۵۶۳۲e+001] [1.3499e+001]

[۱۰] [ ۹] [ ۱] [ ۵.۵۰۰۰e+000] [4.6117e+000]

[۱۰] [۱۰] [ ۰] [ ۱] [۸.۱۱۰۸e-001]

[۱۱] [ ۰] [۱۱] [ ۱] [ ۱]

[۱۱] [ ۱] [۱۰] [ ۶] [۵.۷۴۲۹e+000]

[۱۱] [ ۲] [ ۹] [ ۱.۸۵۷۱e+001] [1.7711e+001]

[۱۱] [ ۳] [ ۸] [ ۳.۹۰۰۰e+001] [3.6922e+001]

[۱۱] [ ۴] [ ۷] [ ۶.۱۵۷۹e+001] [5.7660e+001]

[۱۱] [ ۵] [ ۶] [ ۷.۶۶۳۲e+001] [7.0710e+001]

[۱۱] [ ۶] [ ۵] [ ۷.۶۶۳۲e+001] [6.9423e+001]

[۱۱] [ ۷] [ ۴] [ ۶.۱۵۷۹e+001] [5.4569e+001]

[۱۱] [ ۸] [ ۳] [ ۳۹] [۳.۳۶۸۰e+001]

[۱۱] [ ۹] [ ۲] [ ۱.۸۵۷۱e+001] [1.5572e+001]

[۱۱] [۱۰] [ ۱] [ ۶] [۴.۸۶۶۵e+000]

[۱۱] [۱۱] [ ۰] [ ۱] [۷.۸۱۶۲e-001]

[۱۲] [ ۰] [۱۲] [ ۱] [ ۱]

[۱۲] [ ۱] [۱۱] [ ۶.۵۰۰۰e+000] [6.2215e+000]

[۱۲] [ ۲] [۱۰] [ ۲.۱۷۶۱e+001] [2.0752e+001]

[۱۲] [ ۳] [ ۹] [ ۴.۹۴۵۷e+001] [4.6821e+001]

[۱۲] [ ۴] [ ۸] [ ۸.۴۷۸۳e+001] [7.9387e+001]

[۱۲] [ ۵] [ ۷] [ ۱.۱۵۳۰e+002] [1.0639e+002]

[۱۲] [ ۶] [ ۶] [ ۱.۲۷۴۴e+002] [1.1545e+002]

[۱۲] [ ۷] [ ۵] [ ۱.۱۵۳۰e+002] [1.0218e+002]

[۱۲] [ ۸] [ ۴] [ ۸.۴۷۸۳e+001] [7.3218e+001]

[۱۲] [ ۹] [ ۳] [ ۴.۹۴۵۷e+001] [4.1469e+001]

[۱۲] [۱۰] [ ۲] [ ۲.۱۷۶۱e+001] [1.7650e+001]

[۱۲] [۱۱] [ ۱] [ ۶.۵۰۰۰e+000] [5.0806e+000]

[۱۲] [۱۲] [ ۰] [ ۱] [۷.۵۰۴۲e-001]

[۱۳] [ ۰] [۱۳] [ ۱] [ ۱]

[۱۳] [ ۱] [۱۲] [ ۷] [۶.۷۰۰۰e+000]

[۱۳] [ ۲] [۱۱] [ ۲.۵۲۰۰e+001] [2.4032e+001]

[۱۳] [ ۳] [۱۰] [ ۶.۱۶۰۰e+001] [5.8317e+001]

[۱۳] [ ۴] [ ۹] [ ۱.۱۳۸۳e+002] [1.0658e+002]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۳] [ ۸] [ ۵] [ ۱.۶۷۶۳e+002] [1.4477e+002]

[۱۳] [ ۹] [ ۴] [ ۱.۱۳۸۳e+002] [9.5442e+001]

[۱۳] [۱۰] [ ۳] [ ۶.۱۶۰۰e+001] [4.9962e+001]

[۱۳] [۱۱] [ ۲] [ ۲.۵۲۰۰e+001] [1.9697e+001]

[۱۳] [۱۲] [ ۱] [ ۷.۰۰۰۰e+000] [5.2529e+000]

[۱۳] [۱۳] [ ۰] [ ۱] [۷.۱۷۷۵e-001]

[۱۴] [ ۰] [۱۴] [ ۱] [ ۱]

[۱۴] [ ۱] [۱۳] [ ۷.۵۰۰۰e+000] [7.1786e+000]

[۱۴] [ ۲] [۱۲] [ ۲.۸۸۸۹e+001] [2.7550e+001]

[۱۴] [ ۳] [۱۱] [ ۷.۵۵۵۶e+001] [7.1529e+001]

[۱۴] [ ۴] [۱۰] [ ۱.۴۹۶۰e+002] [1.4008e+002]

[۱۴] [ ۵] [ ۹] [ ۲.۳۶۸۷e+002] [2.1856e+002]

[۱۴] [ ۶] [ ۸] [ ۳.۰۸۹۶e+002] [2.7989e+002]

[۱۴] [ ۷] [ ۷] [ ۳.۳۷۰۴e+002] [2.9867e+002]

[۱۴] [ ۸] [ ۶] [ ۳.۰۸۹۶e+002] [2.6682e+002]

[۱۴] [ ۹] [ ۵] [ ۲.۳۶۸۷e+002] [1.9861e+002]

[۱۴] [۱۰] [ ۴] [ ۱.۴۹۶۰e+002] [1.2134e+002]

[۱۴] [۱۱] [ ۳] [ ۷.۵۵۵۶e+001] [5.9056e+001]

[۱۴] [۱۲] [ ۲] [ ۲.۸۸۸۹e+001] [2.1679e+001]

[۱۴] [۱۳] [ ۱] [ ۷.۵۰۰۰e+000] [5.3831e+000]

[۱۴] [۱۴] [ ۰] [ ۱] [۶.۸۳۹۲e-001]

[۱۵] [ ۰] [۱۵] [ ۱] [ ۱]

[۱۵] [ ۱] [۱۴] [ ۸] [۷.۶۵۷۲e+000]

[۱۵] [ ۲] [۱۳] [ ۳.۲۸۲۸e+001] [3.1306e+001]

[۱۵] [ ۳] [۱۲] [ ۹.۱۴۴۸e+001] [8.6575e+001]

[۱۵] [ ۴] [۱۱] [ ۱.۹۳۰۶e+002] [1.8077e+002]

[۱۵] [ ۵] [۱۰] [ ۳.۲۶۷۱e+002] [3.0147e+002]

[۱۵] [ ۶] [ ۹] [ ۴.۵۷۴۰e+002] [4.1437e+002]

[۱۵] [ ۷] [ ۸] [ ۵.۳۹۰۸e+002] [4.7771e+002]

[۱۵] [ ۸] [ ۷] [ ۵.۳۹۰۸e+002] [4.6555e+002]

[۱۵] [ ۹] [ ۶] [ ۴.۵۷۴۰e+002] [3.8352e+002]

[۱۵] [۱۰] [ ۵] [ ۳.۲۶۷۱e+002] [2.6499e+002]

[۱۵] [۱۱] [ ۴] [ ۱.۹۳۰۶e+002] [1.5090e+002]

[۱۵] [۱۲] [ ۳] [ ۹.۱۴۴۸e+001] [6.8625e+001]

[۱۵] [۱۳] [ ۲] [ ۳.۲۸۲۸e+001] [2.3562e+001]

[۱۵] [۱۴] [ ۱] [ ۸.۰۰۰۰e+000] [5.4714e+000]

[۱۵] [۱۵] [ ۰] [ ۱] [۶.۴۹۲۲e-001]

[۱۶] [ ۰] [۱۶] [ ۱] [ ۱]

[۱۶] [ ۱] [۱۵] [ ۸.۵۰۰۰e+000] [8.1358e+000]

[۱۶] [ ۲] [۱۴] [ ۳.۷۰۱۶e+001] [3.5301e+001]

[۱۶] [ ۳] [۱۳] [ ۱.۰۹۴۰e+002] [1.0357e+002]

[۱۶] [ ۴] [۱۲] [ ۲.۴۵۲۱e+002] [2.2961e+002]

[۱۶] [ ۵] [۱۱] [ ۴.۴۱۳۹e+002] [4.0728e+002]

[۱۶] [ ۶] [۱۰] [ ۶.۵۹۳۵e+002] [5.9733e+002]

[۱۶] [ ۷] [ ۹] [ ۸.۳۳۲۵e+002] [7.3839e+002]

[۱۶] [ ۸] [ ۸] [ ۸.۹۹۹۱e+002] [7.7716e+002]

[۱۶] [ ۹] [ ۷] [ ۸.۳۳۲۵e+002] [6.9867e+002]

[۱۶] [۱۰] [ ۶] [ ۶.۵۹۳۵e+002] [5.3479e+002]

[۱۶] [۱۱] [ ۵] [ ۴.۴۱۳۹e+002] [3.4500e+002]

[۱۶] [۱۲] [ ۴] [ ۲.۴۵۲۱e+002] [1.8401e+002]

[۱۶] [۱۳] [ ۳] [ ۱.۰۹۴۰e+002] [7.8524e+001]

[۱۶] [۱۴] [ ۲] [ ۳.۷۰۱۶e+001] [2.5316e+001]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۶] [۱۵] [ ۱] [ ۸.۵۰۰۰e+000] [5.5183e+000]

[۱۶] [۱۶] [ ۰] [ ۱] [۶.۱۳۹۴e-001]

[۱۷] [ ۰] [۱۷] [ ۱] [ ۱]

[۱۷] [ ۱] [۱۶] [ ۹] [۸.۶۱۴۳e+000]

[۱۷] [ ۲] [۱۵] [ ۴.۱۴۵۵e+001] [3.9533e+001]

[۱۷] [ ۳] [۱۴] [ ۱.۲۹۵۵e+002] [1.2264e+002]

[۱۷] [ ۴] [۱۳] [ ۳.۰۷۱۵e+002] [2.8760e+002]

[۱۷] [ ۵] [۱۲] [ ۵.۸۵۶۳e+002] [5.4037e+002]

[۱۷] [ ۶] [۱۱] [ ۹.۲۸۹۳e+002] [8.4155e+002]

[۱۷] [ ۷] [۱۰] [ ۱.۲۵۱۲e+003] [1.1088e+003]

[۱۷] [ ۸] [ ۹] [ ۱.۴۴۸۲e+003] [1.2506e+003]

[۱۷] [ ۹] [ ۸] [ ۱.۴۴۸۲e+003] [1.2143e+003]

[۱۷] [۱۰] [ ۷] [ ۱.۲۵۱۲e+003] [1.0148e+003]

[۱۷] [۱۱] [ ۶] [ ۹.۲۸۹۳e+002] [7.2607e+002]

[۱۷] [۱۲] [ ۵] [ ۵.۸۵۶۳e+002] [4.3947e+002]

[۱۷] [۱۳] [ ۴] [ ۳.۰۷۱۵e+002] [2.2046e+002]

[۱۷] [۱۴] [ ۳] [ ۱.۲۹۵۵e+002] [8.8599e+001]

[۱۷] [۱۵] [ ۲] [ ۴.۱۴۵۵e+001] [2.6913e+001]

[۱۷] [۱۶] [ ۱] [ ۹.۰۰۰۰e+000] [5.5255e+000]

[۱۷] [۱۷] [ ۰] [ ۱] [۵.۷۸۳۷e-001]

[۱۸] [ ۰] [۱۸] [ ۱] [ ۱]

[۱۸] [ ۱] [۱۷] [ ۹.۵۰۰۰e+000] [9.0929e+000]

[۱۸] [ ۲] [۱۶] [ ۴.۶۱۴۳e+001] [4.4005e+001]

[۱۸] [ ۳] [۱۵] [ ۱.۵۲۰۰e+002] [1.4390e+002]

[۱۸] [ ۴] [۱۴] [ ۳۸۰] [۳.۵۵۸۲e+002]

[۱۸] [ ۵] [۱۳] [ ۷.۶۴۷۵e+002] [7.0565e+002]

[۱۸] [ ۶] [۱۲] [ ۱.۲۸۲۸e+003] [1.1621e+003]

[۱۸] [ ۷] [۱۱] [ ۱.۸۳۲۶e+003] [1.6240e+003]

[۱۸] [ ۸] [۱۰] [ ۲.۲۵۹۱e+003] [1.9510e+003]

[۱۸] [ ۹] [ ۹] [ ۲.۴۲۰۵e+003] [2.0296e+003]

[۱۸] [۱۰] [ ۸] [ ۲.۲۵۹۱e+003] [1.8323e+003]

[۱۸] [۱۱] [ ۷] [ ۱.۸۳۲۶e+003] [1.4324e+003]

[۱۸] [۱۲] [ ۶] [ ۱.۲۸۲۸e+003] [9.6264e+002]

[۱۸] [۱۳] [ ۵] [ ۷.۶۴۷۵e+002] [5.4890e+002]

[۱۸] [۱۴] [ ۴] [ ۳۸۰] [۲.۵۹۸۹e+002]

[۱۸] [۱۵] [ ۳] [ ۱.۵۲۰۰e+002] [9.8681e+001]

[۱۸] [۱۶] [ ۲] [ ۴.۶۱۴۳e+001] [2.8329e+001]

[۱۸] [۱۷] [ ۱] [ ۹.۵۰۰۰e+000] [5.4945e+000]

[۱۸] [۱۸] [ ۰] [ ۱.۰۰۰۰e+000] [5.4279e-001]

[۱۹] [ ۰] [۱۹] [ ۱] [ ۱]

[۱۹] [ ۱] [۱۸] [ ۱۰] [۹.۵۷۱۵e+000]

[۱۹] [ ۲] [۱۷] [ ۵.۱۰۸۱e+001] [4.8714e+001]

[۱۹] [ ۳] [۱۶] [ ۱.۷۶۸۹e+002] [1.6746e+002]

[۱۹] [ ۴] [۱۵] [ ۴.۶۴۹۷e+002] [4.3538e+002]

[۱۹] [ ۵] [۱۴] [ ۹.۸۴۶۵e+002] [9.0856e+002]

[۱۹] [ ۶] [۱۳] [ ۱.۷۴۰۵e+003] [1.5768e+003]

[۱۹] [ ۷] [۱۲] [ ۲.۶۲۶۴e+003] [2.3274e+003]

[۱۹] [ ۸] [۱۱] [ ۳.۴۳۱۲e+003] [2.9632e+003]

[۱۹] [ ۹] [۱۰] [ ۳.۹۱۴۱e+003] [3.2819e+003]

[۱۹] [۱۰] [ ۹] [ ۳.۹۱۴۱e+003] [3.1746e+003]

[۱۹] [۱۱] [ ۸] [ ۳.۴۳۱۲e+003] [2.6819e+003]

[۱۹] [۱۲] [ ۷] [ ۲.۶۲۶۴e+003] [1.9709e+003]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۹] [۱۳] [ ۶] [ ۱.۷۴۰۵e+003] [1.2493e+003]

[۱۹] [۱۴] [ ۵] [ ۹.۸۴۶۵e+002] [6.7342e+002]

[۱۹] [۱۵] [ ۴] [ ۴.۶۴۹۷e+002] [3.0187e+002]

[۱۹] [۱۶] [ ۳] [ ۱.۷۶۸۹e+002] [1.0860e+002]

[۱۹] [۱۷] [ ۲] [ ۵.۱۰۸۱e+001] [2.9544e+001]

[۱۹] [۱۸] [ ۱] [ ۱.۰۰۰۰e+001] [5.4279e+000]

[۱۹] [۱۹] [ ۰] [ ۱] [۵.۰۷۴۵e-001]

[۲۰] [ ۰] [۲۰] [ ۱] [ ۱]

[۲۰] [ ۱] [۱۹] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [1.0050e+001]

[۲۰] [ ۲] [۱۸] [ ۵.۶۲۶۹e+001] [5.3662e+001]

[۲۰] [ ۳] [۱۷] [ ۲.۰۴۳۵e+002] [1.9346e+002]

[۲۰] [ ۴] [۱۶] [ ۵.۶۳۳۳e+002] [5.2748e+002]

[۲۰] [ ۵] [۱۵] [ ۱.۲۵۱۹e+003] [1.1551e+003]

[۲۰] [ ۶] [۱۴] [ ۲.۳۲۴۹e+003] [2.1062e+003]

[۲۰] [ ۷] [۱۳] [ ۳.۶۹۲۴e+003] [3.2721e+003]

[۲۰] [ ۸] [۱۲] [ ۵.۰۹۱۱e+003] [4.3967e+003]

[۲۰] [ ۹] [۱۱] [ ۶.۱۵۱۷e+003] [5.1582e+003]

[۲۰] [۱۰] [۱۰] [ ۶.۵۴۸۶e+003] [5.3114e+003]

[۲۰] [۱۱] [ ۹] [ ۶.۱۵۱۷e+003] [4.8083e+003]

[۲۰] [۱۲] [ ۸] [ ۵.۰۹۱۱e+003] [3.8204e+003]

[۲۰] [۱۳] [ ۷] [ ۳.۶۹۲۴e+003] [2.6503e+003]

[۲۰] [۱۴] [ ۶] [ ۲.۳۲۴۹e+003] [1.5900e+003]

[۲۰] [۱۵] [ ۵] [ ۱.۲۵۱۹e+003] [8.1272e+002]

[۲۰] [۱۶] [ ۴] [ ۵.۶۳۳۳e+002] [3.4585e+002]

[۲۰] [۱۷] [ ۳] [ ۲.۰۴۳۵e+002] [1.1819e+002]

[۲۰] [۱۸] [ ۲] [ ۵.۶۲۶۹e+001] [3.0542e+001]

[۲۰] [۱۹] [ ۱] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [5.3282e+000]

[۲۰] [۲۰] [ ۰] [ ۱] [۴.۷۲۵۹e-001]

[۲۴] [ ۰] [۲۴] [ ۱ [ ۱]

[۲۴] [ ۱] [۲۳] [ ۱.۲۵۰۰e+001] [1.1964e+001]

[۲۴] [ ۲] [۲۲] [ ۷.۹۵۲۱e+001] [7.5836e+001]

[۲۴] [ ۳] [۲۱] [ ۳.۴۲۲۹e+002] [3.2405e+002]

[۲۴] [ ۴] [۲۰] [ ۱.۱۱۸۱e+003] [1.0470e+003]

[۲۴] [ ۵] [۱۹] [ ۲.۹۴۷۸e+003] [2.7200e+003]

[۲۴] [ ۶] [۱۸] [ ۶.۵۱۲۶e+003] [5.9000e+003]

[۲۴] [ ۷] [۱۷] [ ۱.۲۳۶۱e+004] [1.0954e+004]

[۲۴] [ ۸] [۱۶] [ ۲.۰۵۰۱e+004] [1.7704e+004]

[۲۴] [ ۹] [۱۵] [ ۳.۰۰۶۸e+004] [2.5211e+004]

[۲۴] [۱۰] [۱۴] [ ۳.۹۳۱۹e+004] [3.1891e+004]

[۲۴] [۱۱] [۱۳] [ ۴.۶۰۹۲e+004] [3.6027e+004]

[۲۴] [۱۲] [۱۲] [ ۴.۸۵۸۳e+004] [3.6458e+004]

[۲۴] [۱۳] [۱۱] [ ۴.۶۰۹۲e+004] [3.3083e+004]

[۲۴] [۱۴] [۱۰] [ ۳.۹۳۱۹e+004] [2.6891e+004]

[۲۴] [۱۵] [ ۹] [ ۳.۰۰۶۸e+004] [1.9520e+004]

[۲۴] [۱۶] [ ۸] [ ۲.۰۵۰۱e+004] [1.2586e+004]

[۲۴] [۱۷] [ ۷] [ ۱.۲۳۶۱e+004] [7.1491e+003]

[۲۴] [۱۸] [ ۶] [ ۶.۵۱۲۶e+003] [3.5350e+003]

[۲۴] [۱۹] [ ۵] [ ۲.۹۴۷۸e+003] [1.4959e+003]

[۲۴] [۲۰] [ ۴] [ ۱.۱۱۸۱e+003] [5.2842e+002]

[۲۴] [۲۱] [ ۳] [ ۳.۴۲۲۹e+002] [1.5007e+002]

[۲۴] [۲۲] [ ۲] [ ۷.۹۵۲۱e+001] [3.2220e+001]

[۲۴] [۲۳] [ ۱] [ ۱.۲۵۰۰e+001] [4.6624e+000]

[۲۴] [۲۴] [ ۰] [ ۱] [۳.۴۲۰۳e-001]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۳۲] [ ۰] [۳۲] [ ۱] [ ۱]

[۳۲] [ ۱] [۳۱] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [1.5793e+001]

[۳۲] [ ۲] [۳۰] [ ۱.۳۸۰۲e+002] [1.3163e+002]

[۳۲] [ ۳] [۲۹] [ ۷.۷۹۱۷e+002] [7.3764e+002]

[۳۲] [ ۴] [۲۸] [ ۳.۳۳۳۸e+003] [3.1217e+003]

[۳۲] [ ۵] [۲۷] [ ۱.۱۵۱۳e+004] [1.0623e+004]

[۳۲] [ ۶] [۲۶] [ ۳.۳۳۶۷e+004] [3.0229e+004]

[۳۲] [ ۷] [۲۵] [ ۸.۳۳۳۷e+004] [7.3849e+004]

[۳۲] [ ۸] [۲۴] [ ۱.۸۲۷۶e+005] [1.5783e+005]

[۳۲] [ ۹] [۲۳] [ ۳.۵۶۸۱e+005] [2.9918e+005]

[۳۲] [۱۰] [۲۲] [ ۶.۲۶۶۹e+005] [5.0829e+005]

[۳۲] [۱۱] [۲۱] [ ۹.۹۸۰۵e+005] [7.8010e+005]

[۳۲] [۱۲] [۲۰] [ ۱.۴۵۰۰e+006] [1.0881e+006]

[۳۲] [۱۳] [۱۹] [ ۱.۹۳۰۵e+006] [1.3856e+006]

[۳۲] [۱۴] [۱۸] [ ۲.۳۶۳۱e+006] [1.6162e+006]

[۳۲] [۱۵] [۱۷] [ ۲.۶۶۵۶e+006] [1.7305e+006]

[۳۲] [۱۶] [۱۶] [ ۲.۷۷۴۴e+006] [1.7033e+006]

[۳۲] [۱۷] [۱۵] [ ۲.۶۶۵۶e+006] [1.5417e+006]

[۳۲] [۱۸] [۱۴] [ ۲.۳۶۳۱e+006] [1.2827e+006]

[۳۲] [۱۹] [۱۳] [ ۱.۹۳۰۵e+006] [9.7962e+005]

[۳۲] [۲۰] [۱۲] [ ۱.۴۵۰۰e+006] [6.8525e+005]

[۳۲] [۲۱] [۱۱] [ ۹.۹۸۰۵e+005] [4.3758e+005]

[۳۲] [۲۲] [۱۰] [ ۶.۲۶۶۹e+005] [2.5392e+005]

[۳۲] [۲۳] [ ۹] [ ۳.۵۶۸۱e+005] [1.3309e+005]

[۳۲] [۲۴] [ ۸] [ ۱.۸۲۷۶e+005] [6.2509e+004]

[۳۲] [۲۵] [ ۷] [ ۸.۳۳۳۷e+004] [2.6037e+004]

[۳۲] [۲۶] [ ۶] [ ۳.۳۳۶۷e+004] [9.4853e+003]

[۳۲] [۲۷] [ ۵] [ ۱.۱۵۱۳e+004] [2.9661e+003]

[۳۲] [۲۸] [ ۴] [ ۳.۳۳۳۸e+003] [7.7539e+002]

[۳۲] [۲۹] [ ۳] [ ۷.۷۹۱۷e+002] [1.6296e+002]

[۳۲] [۳۰] [ ۲] [ ۱.۳۸۰۲e+002] [2.5855e+001]

[۳۲] [۳۱] [ ۱] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [2.7573e+000]

[۳۲] [۳۲] [ ۰] [ ۱.۰۰۰۰e+000] [1.4849e-001]

[۴۸] [ ۰] [۴۸] [ ۱] [ ۱]

[۴۸] [ ۱] [۴۷] [ ۲.۴۵۰۰e+001] [2.3450e+001]

[۴۸] [ ۲] [۴۶] [ ۳.۰۳۰۳e+002] [2.8898e+002]

[۴۸] [ ۳] [۴۵] [ ۲.۵۲۰۹e+003] [2.3866e+003]

[۴۸] [ ۴] [۴۴] [ ۱.۵۸۵۷e+004] [1.4848e+004]

[۴۸] [ ۵] [۴۳] [ ۸.۰۳۹۰e+004] [7.4178e+004]

[۴۸] [ ۶] [۴۲] [ ۳.۴۱۸۸e+005] [3.0972e+005]

[۴۸] [ ۷] [۴۱] [ ۱.۲۵۳۶e+006] [1.1108e+006]

[۴۸] [ ۸] [۴۰] [ ۴.۰۴۲۴e+006] [3.4910e+006]

[۴۸] [ ۹] [۳۹] [ ۱.۱۶۳۷e+007] [9.7576e+006]

[۴۸] [۱۰] [۳۸] [ ۳.۰۲۵۷e+007] [2.4540e+007]

[۴۸] [۱۱] [۳۷] [ ۷.۱۷۰۷e+007] [5.6048e+007]

[۴۸] [۱۲] [۳۶] [ ۱.۵۶۰۷e+008] [1.1712e+008]

[۴۸] [۱۳] [۳۵] [ ۳.۱۳۸۵e+008] [2.2527e+008]

[۴۸] [۱۴] [۳۴] [ ۵.۸۶۱۱e+008] [4.0085e+008]

[۴۸] [۱۵] [۳۳] [ ۱.۰۲۰۷e+009] [6.6265e+008]

[۴۸] [۱۶] [۳۲] [ ۱.۶۶۳۳e+009] [1.0212e+009]

[۴۸] [۱۷] [۳۱] [ ۲.۵۴۳۹e+009] [1.4713e+009]

[۴۸] [۱۸] [۳۰] [ ۳.۶۶۰۳e+009] [1.9868e+009]

[۴۸] [۱۹] [۲۹] [ ۴.۹۶۴۳e+009] [2.5191e+009]

[۴۸] [۲۰] [۲۸] [ ۶.۳۵۶۹e+009] [3.0042e+009]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC [48] [21] [27] [ 7.6952e+009] [3.3738e+009]

[۴۸] [۲۲] [۲۶] [ ۸.۸۱۴۵e+009] [3.5714e+009]

[۴۸] [۲۳] [۲۵] [ ۹.۵۶۰۳e+009] [3.5659e+009]

[۴۸] [۲۴] [۲۴] [ ۹.۸۲۲۲e+009] [3.3595e+009]

[۴۸] [۲۵] [۲۳] [ ۹.۵۶۰۳e+009] [2.9869e+009]

[۴۸] [۲۶] [۲۲] [ ۸.۸۱۴۵e+009] [2.5057e+009]

[۴۸] [۲۷] [۲۱] [ ۷.۶۹۵۲e+009] [1.9826e+009]

[۴۸] [۲۸] [۲۰] [ ۶.۳۵۶۹e+009] [1.4785e+009]

[۴۸] [۲۹] [۱۹] [ ۴.۹۶۴۳e+009] [1.0382e+009]

[۴۸] [۳۰] [۱۸] [ ۳.۶۶۰۳e+009] [6.8564e+008]

[۴۸] [۳۱] [۱۷] [ ۲.۵۴۳۹e+009] [4.2512e+008]

[۴۸] [۳۲] [۱۶] [ ۱.۶۶۳۳e+009] [2.4699e+008]

[۴۸] [۳۳] [۱۵] [ ۱.۰۲۰۷e+009] [1.3414e+008]

[۴۸] [۳۴] [۱۴] [ ۵.۸۶۱۱e+008] [6.7899e+007]

[۴۸] [۳۵] [۱۳] [ ۳.۱۳۸۵e+008] [3.1922e+007]

[۴۸] [۳۶] [۱۲] [ ۱.۵۶۰۷e+008] [1.3881e+007]

[۴۸] [۳۷] [۱۱] [ ۷.۱۷۰۷e+007] [5.5546e+006]

[۴۸] [۳۸] [۱۰] [ ۳.۰۲۵۷e+007] [2.0330e+006]

[۴۸] [۳۹] [ ۹] [ ۱.۱۶۳۷e+007] [6.7549e+005]

[۴۸] [۴۰] [ ۸] [ ۴.۰۴۲۴e+006] [2.0189e+005]

[۴۸] [۴۱] [ ۷] [ ۱.۲۵۳۶e+006] [5.3645e+004]

[۴۸] [۴۲] [ ۶] [ ۳.۴۱۸۸e+005] [1.2485e+004]

[۴۸] [۴۳] [ ۵] [ ۸.۰۳۹۰e+004] [2.4951e+003]

[۴۸] [۴۴] [ ۴] [ ۱.۵۸۵۷e+004] [4.1657e+002]

[۴۸] [۴۵] [ ۳] [ ۲.۵۲۰۹e+003] [5.5820e+001]

[۴۸] [۴۶] [ ۲] [ ۳.۰۳۰۳e+002] [5.6322e+000]

[۴۸] [۴۷] [ ۱] [ ۲.۴۵۰۰e+001] [3.8066e-001]

[۴۸] [۴۸] [ ۰] [ ۱.۰۰۰۰e+000] [1.2934e-002]

[۵۶] [ ۰] [۵۶] [ ۱] [ ۱]

[۵۶] [ ۱] [۵۵] [ ۲.۸۵۰۰e+001] [2.7279e+001]

[۵۶] [ ۲] [۵۴] [ ۴.۰۹۵۳e+002] [3.9055e+002]

[۵۶] [ ۳] [۵۳] [ ۳.۹۵۳۸e+003] [3.7431e+003]

[۵۶] [ ۴] [۵۲] [ ۲.۸۸۳۷e+004] [2.7002e+004]

[۵۶] [ ۵] [۵۱] [ ۱.۶۹۳۹e+005] [1.5630e+005]

[۵۶] [ ۶] [۵۰] [ ۸.۳۴۳۰e+005] [7.5582e+005]

[۵۶] [ ۷] [۴۹] [ ۳.۵۴۱۸e+006] [3.1386e+006]

[۵۶] [ ۸] [۴۸] [ ۱.۳۲۲۳e+007] [1.1419e+007]

[۵۶] [ ۹] [۴۷] [ ۴.۴۰۷۶e+007] [3.6957e+007]

[۵۶] [۱۰] [۴۶] [ ۱.۳۲۷۴e+008] [1.0766e+008]

[۵۶] [۱۱] [۴۵] [ ۳.۶۴۶۳e+008] [2.8500e+008]

[۵۶] [۱۲] [۴۴] [ ۹.۲۰۵۹e+008] [6.9083e+008]

[۵۶] [۱۳] [۴۳] [ ۲.۱۴۹۹e+009] [1.5431e+009]

[۵۶] [۱۴] [۴۲] [ ۴.۶۶۹۰e+009] [3.1932e+009]

[۵۶] [۱۵] [۴۱] [ ۹.۴۷۱۵e+009] [6.1491e+009]

[۵۶] [۱۶] [۴۰] [ ۱.۸۰۱۵e+010] [1.1060e+010]

[۵۶] [۱۷] [۳۹] [ ۳.۲۲۳۳e+010] [1.8643e+010]

[۵۶] [۱۸] [۳۸] [ ۵.۴۴۰۱e+010] [2.9528e+010]

[۵۶] [۱۹] [۳۷] [ ۸.۶۸۱۰e+010] [4.4051e+010]

[۵۶] [۲۰] [۳۶] [ ۱.۳۱۲۴e+011] [6.2023e+010]

[۵۶] [۲۱] [۳۵] [ ۱.۸۸۳۰e+011] [8.2558e+010]

[۵۶] [۲۲] [۳۴] [ ۲.۵۶۷۸e+011] [1.0404e+011]

[۵۶] [۲۳] [۳۳] [ ۳.۳۳۱۹e+011] [1.2428e+011]

[۵۶] [۲۴] [۳۲] [ ۴.۱۱۸۱e+011] [1.4085e+011]

[۵۶] [۲۵] [۳۱] [ ۴.۸۵۱۸e+011] [1.5158e+011]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC [56] [26] [30] [ 5.4524e+011] [1.5500e+011]

[۵۶] [۲۷] [۲۹] [ ۵.۸۴۶۹e+011] [1.5064e+011]

[۵۶] [۲۸] [۲۸] [ ۵.۹۸۴۵e+011] [1.3919e+011]

[۵۶] [۲۹] [۲۷] [ ۵.۸۴۶۹e+011] [1.2228e+011]

[۵۶] [۳۰] [۲۶] [ ۵.۴۵۲۴e+011] [1.0213e+011]

[۵۶] [۳۱] [۲۵] [ ۴.۸۵۱۸e+011] [8.1080e+010]

[۵۶] [۳۲] [۲۴] [ ۴.۱۱۸۱e+011] [6.1150e+010]

[۵۶] [۳۳] [۲۳] [ ۳.۳۳۱۹e+011] [4.3788e+010]

[۵۶] [۳۴] [۲۲] [ ۲.۵۶۷۸e+011] [2.9747e+010]

[۵۶] [۳۵] [۲۱] [ ۱.۸۸۳۰e+011] [1.9153e+010]

[۵۶] [۳۶] [۲۰] [ ۱.۳۱۲۴e+011] [1.1673e+010]

[۵۶] [۳۷] [۱۹] [ ۸.۶۸۱۰e+010] [6.7245e+009]

[۵۶] [۳۸] [۱۸] [ ۵.۴۴۰۱e+010] [3.6553e+009]

[۵۶] [۳۹] [۱۷] [ ۳.۲۲۳۳e+010] [1.8710e+009]

[۵۶] [۴۰] [۱۶] [ ۱.۸۰۱۵e+010] [8.9973e+008]

[۵۶] [۴۱] [۱۵] [ ۹.۴۷۱۵e+009] [4.0533e+008]

[۵۶] [۴۲] [۱۴] [ ۴.۶۶۹۰e+009] [1.7051e+008]

[۵۶] [۴۳] [۱۳] [ ۲.۱۴۹۹e+009] [6.6729e+007]

[۵۶] [۴۴] [۱۲] [ ۹.۲۰۵۹e+008] [2.4184e+007]

[۵۶] [۴۵] [۱۱] [ ۳.۶۴۶۳e+008] [8.0738e+006]

[۵۶] [۴۶] [۱۰] [ ۱.۳۲۷۴e+008] [2.4672e+006]

[۵۶] [۴۷] [ ۹] [ ۴.۴۰۷۶e+007] [6.8481e+005]

[۵۶] [۴۸] [ ۸] [ ۱.۳۲۲۳e+007] [1.7102e+005]

[۵۶] [۴۹] [ ۷] [ ۳.۵۴۱۸e+006] [3.7974e+004]

[۵۶] [۵۰] [ ۶] [ ۸.۳۴۳۰e+005] [7.3841e+003]

[۵۶] [۵۱] [ ۵] [ ۱.۶۹۳۹e+005] [1.2324e+003]

[۵۶] [۵۲] [ ۴] [ ۲.۸۸۳۷e+004] [1.7174e+002]

[۵۶] [۵۳] [ ۳] [ ۳.۹۵۳۸e+003] [1.9193e+001]

[۵۶] [۵۴] [ ۲] [ ۴.۰۹۵۳e+002] [1.6136e+000]

[۵۶] [۵۵] [ ۱] [ ۲.۸۵۰۰e+001] [9.0756e-002]

[۵۶] [۵۶] [ ۰] [ ۱] [۲.۵۶۲۷e-003]

[۹۵] [ ۰] [۹۵] [ ۱] [ ۱]

[۹۵] [ ۱] [۹۴] [ ۴۸] [۴.۵۹۴۳e+001]

[۹۵] [ ۲] [۹۳] [ ۱.۱۵۷۸e+003] [1.1042e+003]

[۹۵] [ ۳] [۹۲] [ ۱.۸۷۱۰e+004] [1.7713e+004]

[۹۵] [ ۴] [۹۱] [ ۲.۲۷۸۲e+005] [2.1333e+005]

[۹۵] [ ۵] [۹۰] [ ۲.۲۲۹۳e+006] [2.0570e+006]

[۹۵] [ ۶] [۸۹] [ ۱.۸۲۵۶e+007] [1.6538e+007]

[۹۵] [ ۷] [۸۸] [ ۱.۲۸۶۷e+008] [1.1402e+008]

[۹۵] [ ۸] [۸۷] [ ۷.۹۶۶۲e+008] [6.8796e+008]

[۹۵] [ ۹] [۸۶] [ ۴.۴۰۰۴e+009] [3.6897e+009]

[۹۵] [۱۰] [۸۵] [ ۲.۱۹۵۳e+010] [1.7806e+010]

[۹۵] [۱۱] [۸۴] [ ۹.۹۸۹۹e+010] [7.8083e+010]

[۹۵] [۱۲] [۸۳] [ ۴.۱۸۰۱e+011] [3.1368e+011]

[۹۵] [۱۳] [۸۲] [ ۱.۶۱۹۳e+012] [1.1623e+012]

[۹۵] [۱۴] [۸۱] [ ۵.۸۴۰۷e+012] [3.9946e+012]

[۹۵] [۱۵] [۸۰] [ ۱.۹۷۱۲e+013] [1.2798e+013]

[۹۵] [۱۶] [۷۹] [ ۶.۲۵۱۷e+013] [3.8381e+013]

[۹۵] [۱۷] [۷۸] [ ۱.۸۷۰۰e+014] [1.0816e+014]

[۹۵] [۱۸] [۷۷] [ ۵.۲۹۲۹e+014] [2.8729e+014]

[۹۵] [۱۹] [۷۶] [ ۱.۴۲۱۷e+015] [7.2144e+014]

[۹۵] [۲۰] [۷۵] [ ۳.۶۳۳۳e+015] [1.7170e+015]

[۹۵] [۲۱] [۷۴] [ ۸.۸۵۴۱e+015] [3.8819e+015]

[۹۵] [۲۲] [۷۳] [ ۲.۰۶۱۸e+016] [8.3540e+015]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC [95] [23] [72] [ 4.5965e+016] [1.7144e+016]

[۹۵] [۲۴] [۷۱] [ ۹.۸۲۵۹e+016] [3.3608e+016]

[۹۵] [۲۵] [۷۰] [ ۲.۰۱۷۳e+017] [6.3025e+016]

[۹۵] [۲۶] [۶۹] [ ۳.۹۸۲۸e+017] [1.1322e+017]

[۹۵] [۲۷] [۶۸] [ ۷.۵۷۱۷e+017] [1.9507e+017]

[۹۵] [۲۸] [۶۷] [ ۱.۳۸۷۶e+018] [3.2273e+017]

[۹۵] [۲۹] [۶۶] [ ۲.۴۵۳۸e+018] [5.1320e+017]

[۹۵] [۳۰] [۶۵] [ ۴.۱۹۱۳e+018] [7.8512e+017]

[۹۵] [۳۱] [۶۴] [ ۶.۹۲۰۸e+018] [1.1565e+018]

[۹۵] [۳۲] [۶۳] [ ۱.۱۰۵۶e+019] [1.6417e+018]

[۹۵] [۳۳] [۶۲] [ ۱.۷۰۹۹e+019] [2.2471e+018]

[۹۵] [۳۴] [۶۱] [ ۲.۵۶۲۰e+019] [2.9680e+018]

[۹۵] [۳۵] [۶۰] [ ۳.۷۲۰۹e+019] [3.7846e+018]

[۹۵] [۳۶] [۵۹] [ ۵.۲۴۱۳e+019] [4.6617e+018]

[۹۵] [۳۷] [۵۸] [ ۷.۱۶۳۸e+019] [5.5492e+018]

[۹۵] [۳۸] [۵۷] [ ۹.۵۰۵۰e+019] [6.3865e+018]

[۹۵] [۳۹] [۵۶] [ ۱.۲۲۴۷e+020] [7.1088e+018]

[۹۵] [۴۰] [۵۵] [ ۱.۵۳۲۹e+020] [7.6555e+018]

[۹۵] [۴۱] [۵۴] [ ۱.۸۶۴۴e+020] [7.9785e+018]

[۹۵] [۴۲] [۵۳] [ ۲.۲۰۴۰e+020] [8.0490e+018]

[۹۵] [۴۳] [۵۲] [ ۲.۵۳۳۰e+020] [7.8618e+018]

[۹۵] [۴۴] [۵۱] [ ۲.۸۳۰۶e+020] [7.4360e+018]

[۹۵] [۴۵] [۵۰] [ ۳.۰۷۶۲e+020] [6.8115e+018]

[۹۵] [۴۶] [۴۹] [ ۳.۲۵۱۵e+020] [6.0434e+018]

[۹۵] [۴۷] [۴۸] [ ۳.۳۴۲۸e+020] [5.1936e+018]

[۹۵] [۴۸] [۴۷] [ ۳.۳۴۲۸e+020] [4.3234e+018]

[۹۵] [۴۹] [۴۶] [ ۳.۲۵۱۵e+020] [3.4861e+018]

[۹۵] [۵۰] [۴۵] [ ۳.۰۷۶۲e+020] [2.7227e+018]

[۹۵] [۵۱] [۴۴] [ ۲.۸۳۰۶e+020] [2.0595e+018]

[۹۵] [۵۲] [۴۳] [ ۲.۵۳۳۰e+020] [1.5085e+018]

[۹۵] [۵۳] [۴۲] [ ۲.۲۰۴۰e+020] [1.0699e+018]

[۹۵] [۵۴] [۴۱] [ ۱.۸۶۴۴e+020] [7.3459e+017]

[۹۵] [۵۵] [۴۰] [ ۱.۵۳۲۹e+020] [4.8813e+017]

[۹۵] [۵۶] [۳۹] [ ۱.۲۲۴۷e+020] [3.1385e+017]

[۹۵] [۵۷] [۳۸] [ ۹.۵۰۵۰e+019] [1.9519e+017]

[۹۵] [۵۸] [۳۷] [ ۷.۱۶۳۸e+019] [1.1738e+017]

[۹۵] [۵۹] [۳۶] [ ۵.۲۴۱۳e+019] [6.8224e+016]

[۹۵] [۶۰] [۳۵] [ ۳.۷۲۰۹e+019] [3.8312e+016]

[۹۵] [۶۱] [۳۴] [ ۲.۵۶۲۰e+019] [2.0775e+016]

[۹۵] [۶۲] [۳۳] [ ۱.۷۰۹۹e+019] [1.0873e+016]

[۹۵] [۶۳] [۳۲] [ ۱.۱۰۵۶e+019] [5.4888e+015]

[۹۵] [۶۴] [۳۱] [ ۶.۹۲۰۸e+018] [2.6708e+015]

[۹۵] [۶۵] [۳۰] [ ۴.۱۹۱۳e+018] [1.2518e+015]

[۹۵] [۶۶] [۲۹] [ ۲.۴۵۳۸e+018] [5.6470e+014]

[۹۵] [۶۷] [۲۸] [ ۱.۳۸۷۶e+018] [2.4496e+014]

[۹۵] [۶۸] [۲۷] [ ۷.۵۷۱۷e+017] [1.0208e+014]

[۹۵] [۶۹] [۲۶] [ ۳.۹۸۲۸e+017] [4.0828e+013]

[۹۵] [۷۰] [۲۵] [ ۲.۰۱۷۳e+017] [1.5653e+013]

[۹۵] [۷۱] [۲۴] [ ۹.۸۲۵۹e+016] [5.7453e+012]

[۹۵] [۷۲] [۲۳] [ ۴.۵۹۶۵e+016] [2.0162e+012]

[۹۵] [۷۳] [۲۲] [ ۲.۰۶۱۸e+016] [6.7540e+011]

[۹۵] [۷۴] [۲۱] [ ۸.۸۵۴۱e+015] [2.1562e+011]

[۹۵] [۷۵] [۲۰] [ ۳.۶۳۳۳e+015] [6.5480e+010]

[۹۵] [۷۶] [۱۹] [ ۱.۴۲۱۷e+015] [1.8876e+010]

[۹۵] [۷۷] [۱۸] [ ۵.۲۹۲۹e+014] [5.1536e+009]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۹۵] [۷۸] [۱۷] [ ۱.۸۷۰۰e+014] [1.3291e+009]

[۹۵] [۷۹] [۱۶] [ ۶.۲۵۱۷e+013] [3.2288e+008]

[۹۵] [۸۰] [۱۵] [ ۱.۹۷۱۲e+013] [7.3638e+007]

[۹۵] [۸۱] [۱۴] [ ۵.۸۴۰۷e+012] [1.5709e+007]

[۹۵] [۸۲] [۱۳] [ ۱.۶۱۹۳e+012] [3.1209e+006]

[۹۵] [۸۳] [۱۲] [ ۴.۱۸۰۱e+011] [5.7466e+005]

[۹۵] [۸۴] [۱۱] [ ۹.۹۸۹۹e+010] [9.7504e+004]

[۹۵] [۸۵] [۱۰] [ ۲.۱۹۵۳e+010] [1.5141e+004]

[۹۵] [۸۶] [ ۹] [ ۴.۴۰۰۴e+009] [2.1346e+003]

[۹۵] [۸۷] [ ۸] [ ۷.۹۶۶۲e+008] [2.7051e+002]

[۹۵] [۸۸] [ ۷] [ ۱.۲۸۶۷e+008] [3.0440e+001]

[۹۵] [۸۹] [ ۶] [ ۱.۸۲۵۶e+007] [2.9947e+000]

[۹۵] [۹۰] [ ۵] [ ۲.۲۲۹۳e+006] [2.5237e-001]

[۹۵] [۹۱] [ ۴] [ ۲.۲۷۸۲e+005] [1.7714e-002]

[۹۵] [۹۲] [ ۳] [ ۱.۸۷۱۰e+004] [9.9435e-004]

[۹۵] [۹۳] [ ۲] [ ۱.۱۵۷۸e+003] [4.1857e-005]

[۹۵] [۹۴] [ ۱] [ ۴.۸۰۰۰e+001] [1.1747e-006]

[۹۵] [۹۵] [ ۰] [ ۱] [۱.۶۴۸۷e-008]

[۱۵۹] [ ۰] [۱۵۹] [ ۱] [ ۱]

[۱۵۹] [ ۱] [۱۵۸] [ ۸۰] [۷.۶۵۷۲e+001]

[۱۵۹] [ ۲] [۱۵۷] [ ۳.۲۰۹۸e+003] [3.0611e+003]

[۱۵۹] [ ۳] [۱۵۶] [ ۸.۶۱۱۷e+004] [8.1528e+004]

[۱۵۹] [ ۴] [۱۵۵] [ ۱.۷۳۷۹e+006] [1.6273e+006]

[۱۵۹] [ ۵] [۱۵۴] [ ۲.۸۱۳۹e+007] [2.5964e+007]

[۱۵۹] [ ۶] [۱۵۳] [ ۳.۸۰۷۳e+008] [3.4491e+008]

[۱۵۹] [ ۷] [۱۵۲] [ ۴.۴۲۷۶e+009] [3.9235e+009]

[۱۵۹] [ ۸] [۱۵۱] [ ۴.۵۱۷۲e+010] [3.9011e+010]

[۱۵۹] [ ۹] [۱۵۰] [ ۴.۱۰۷۳e+011] [3.4439e+011]

[۱۵۹] [ ۱۰] [۱۴۹] [ ۳.۳۶۹۶e+012] [2.7330e+012]

[۱۵۹] [ ۱۱] [۱۴۸] [ ۲.۵۱۹۲e+013] [1.9691e+013]

[۱۵۹] [ ۱۲] [۱۴۷] [ ۱.۷۳۰۶e+014] [1.2987e+014]

[۱۵۹] [ ۱۳] [۱۴۶] [ ۱.۱۰۰۰e+015] [7.8951e+014]

[۱۵۹] [ ۱۴] [۱۴۵] [ ۶.۵۰۶۶e+015] [4.4500e+015]

[۱۵۹] [ ۱۵] [۱۴۴] [ ۳.۶۰۰۱e+016] [2.3372e+016]

[۱۵۹] [ ۱۶] [۱۴۳] [ ۱.۸۷۱۳e+017] [1.1489e+017]

[۱۵۹] [ ۱۷] [۱۴۲] [ ۹.۱۷۳۶e+017] [5.3058e+017]

[۱۵۹] [ ۱۸] [۱۴۱] [ ۴.۲۵۵۶e+018] [2.3099e+018]

[۱۵۹] [ ۱۹] [۱۴۰] [ ۱.۸۷۳۸e+019] [9.5086e+018]

[۱۵۹] [ ۲۰] [۱۳۹] [ ۷.۸۵۲۵e+019] [3.7110e+019]

[۱۵۹] [ ۲۱] [۱۳۸] [ ۳.۱۳۹۵e+020] [1.3764e+020]

[۱۵۹] [ ۲۲] [۱۳۷] [ ۱.۲۰۰۲e+021] [4.8627e+020]

[۱۵۹] [ ۲۳] [۱۳۶] [ ۴.۳۹۵۵e+021] [1.6395e+021]

[۱۵۹] [ ۲۴] [۱۳۵] [ ۱.۵۴۵۱e+022] [5.2849e+021]

[۱۵۹] [ ۲۵] [۱۳۴] [ ۵.۲۲۱۹e+022] [1.6315e+022]

[۱۵۹] [ ۲۶] [۱۳۳] [ ۱.۶۹۹۳e+023] [4.8305e+022]

[۱۵۹] [ ۲۷] [۱۳۲] [ ۵.۳۳۱۹e+023] [1.3737e+023]

[۱۵۹] [ ۲۸] [۱۳۱] [ ۱.۶۱۵۳e+024] [3.7569e+023]

[۱۵۹] [ ۲۹] [۱۳۰] [ ۴.۷۳۰۲e+024] [9.8929e+023]

[۱۵۹] [ ۳۰] [۱۲۹] [ ۱.۳۴۰۵e+025] [2.5110e+024]

[۱۵۹] [ ۳۱] [۱۲۸] [ ۳.۶۸۰۱e+025] [6.1498e+024]

[۱۵۹] [ ۳۲] [۱۲۷] [ ۹.۷۹۶۴e+025] [1.4547e+025]

[۱۵۹] [ ۳۳] [۱۲۶] [ ۲.۵۳۱۰e+026] [3.3262e+025]

[۱۵۹] [ ۳۴] [۱۲۵] [ ۶.۳۵۱۸e+026] [7.3584e+025]

[۱۵۹] [ ۳۵] [۱۲۴] [ ۱.۵۴۹۶e+027] [1.5761e+026]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۵۹] [ ۳۶] [۱۲۳] [ ۳.۶۷۷۸e+027] [3.2711e+026]

[۱۵۹] [ ۳۷] [۱۲۲] [ ۸.۴۹۷۷e+027] [6.5825e+026]

[۱۵۹] [ ۳۸] [۱۲۱] [ ۱.۹۱۲۷e+028] [1.2851e+027]

[۱۵۹] [ ۳۹] [۱۲۰] [ ۴.۱۹۶۳e+028] [2.4358e+027]

[۱۵۹] [ ۴۰] [۱۱۹] [ ۸.۹۷۹۱e+028] [4.4844e+027]

[۱۵۹] [ ۴۱] [۱۱۸] [ ۱.۸۷۴۹e+029] [8.0236e+027]

[۱۵۹] [ ۴۲] [۱۱۷] [ ۳.۸۲۲۴e+029] [1.3959e+028]

[۱۵۹] [ ۴۳] [۱۱۶] [ ۷.۶۱۱۹e+029] [2.3625e+028]

[۱۵۹] [ ۴۴] [۱۱۵] [ ۱.۴۸۱۴e+030] [3.8915e+028]

[۱۵۹] [ ۴۵] [۱۱۴] [ ۲.۸۱۸۵e+030] [6.2410e+028]

[۱۵۹] [ ۴۶] [۱۱۳] [ ۵.۲۴۵۲e+030] [9.7491e+028]

[۱۵۹] [ ۴۷] [۱۱۲] [ ۹.۵۵۰۹e+030] [1.4839e+029]

[۱۵۹] [ ۴۸] [۱۱۱] [ ۱.۷۰۲۲e+031] [2.2016e+029]

[۱۵۹] [ ۴۹] [۱۱۰] [ ۲.۹۷۰۶e+031] [3.1850e+029]

[۱۵۹] [ ۵۰] [۱۰۹] [ ۵.۰۷۷۷e+031] [4.4941e+029]

[۱۵۹] [ ۵۱] [۱۰۸] [ ۸.۵۰۳۶e+031] [6.1869e+029]

[۱۵۹] [ ۵۲] [۱۰۷] [ ۱.۳۹۵۷e+032] [8.3122e+029]

[۱۵۹] [ ۵۳] [۱۰۶] [ ۲.۲۴۵۷e+032] [1.0902e+030]

[۱۵۹] [ ۵۴] [۱۰۵] [ ۳.۵۴۳۳e+032] [1.3961e+030]

[۱۵۹] [ ۵۵] [۱۰۴] [ ۵.۴۸۳۳e+032] [1.7461e+030]

[۱۵۹] [ ۵۶] [۱۰۳] [ ۸.۳۲۴۷e+032] [2.1334e+030]

[۱۵۹] [ ۵۷] [۱۰۲] [ ۱.۲۴۰۲e+033] [2.5467e+030]

[۱۵۹] [ ۵۸] [۱۰۱] [ ۱.۸۱۳۳e+033] [2.9710e+030]

[۱۵۹] [ ۵۹] [۱۰۰] [ ۲.۶۰۲۷e+033] [3.3878e+030]

[۱۵۹] [ ۶۰] [ ۹۹] [ ۳.۶۶۷۹e+033] [3.7766e+030]

[۱۵۹] [ ۶۱] [ ۹۸] [ ۵.۰۷۶۱e+033] [4.1163e+030]

[۱۵۹] [ ۶۲] [ ۹۷] [ ۶.۸۹۹۶e+033] [4.3874e+030]

[۱۵۹] [ ۶۳] [ ۹۶] [ ۹.۲۱۲۳e+033] [4.5736e+030]

[۱۵۹] [ ۶۴] [ ۹۵] [ ۱.۲۰۸۴e+034] [4.6636e+030]

[۱۵۹] [ ۶۵] [ ۹۴] [ ۱.۵۵۷۶e+034] [4.6520e+030]

[۱۵۹] [ ۶۶] [ ۹۳] [ ۱.۹۷۲۸e+034] [4.5401e+030]

[۱۵۹] [ ۶۷] [ ۹۲] [ ۲.۴۵۵۹e+034] [4.3355e+030]

[۱۵۹] [ ۶۸] [ ۹۱] [ ۳.۰۰۵۰e+034] [4.0514e+030]

[۱۵۹] [ ۶۹] [ ۹۰] [ ۳.۶۱۴۳e+034] [3.7050e+030]

[۱۵۹] [ ۷۰] [ ۸۹] [ ۴.۲۷۳۷e+034] [3.3161e+030]

[۱۵۹] [ ۷۱] [ ۸۸] [ ۴.۹۶۸۴e+034] [2.9051e+030]

[۱۵۹] [ ۷۲] [ ۸۷] [ ۵.۶۷۹۱e+034] [2.4911e+030]

[۱۵۹] [ ۷۳] [ ۸۶] [ ۶.۳۸۳۱e+034] [2.0909e+030]

[۱۵۹] [ ۷۴] [ ۸۵] [ ۷.۰۵۴۸e+034] [1.7180e+030]

[۱۵۹] [ ۷۵] [ ۸۴] [ ۷.۶۶۷۸e+034] [1.3819e+030]

[۱۵۹] [ ۷۶] [ ۸۳] [ ۸.۱۹۵۹e+034] [1.0882e+030]

[۱۵۹] [ ۷۷] [ ۸۲] [ ۸.۶۱۵۵e+034] [8.3886e+029]

[۱۵۹] [ ۷۸] [ ۸۱] [ ۸.۹۰۷۰e+034] [6.3308e+029]

[۱۵۹] [ ۷۹] [ ۸۰] [ ۹.۰۵۶۴e+034] [4.6774e+029]

[۱۵۹] [ ۸۰] [ ۷۹] [ ۹.۰۵۶۴e+034] [3.3831e+029]

[۱۵۹] [ ۸۱] [ ۷۸] [ ۸.۹۰۷۰e+034] [2.3955e+029]

[۱۵۹] [ ۸۲] [ ۷۷] [ ۸.۶۱۵۵e+034] [1.6605e+029]

[۱۵۹] [ ۸۳] [ ۷۶] [ ۸.۱۹۵۹e+034] [1.1267e+029]

[۱۵۹] [ ۸۴] [ ۷۵] [ ۷.۶۶۷۸e+034] [7.4839e+028]

[۱۵۹] [ ۸۵] [ ۷۴] [ ۷.۰۵۴۸e+034] [4.8657e+028]

[۱۵۹] [ ۸۶] [ ۷۳] [ ۶.۳۸۳۱e+034] [3.0963e+028]

[۱۵۹] [ ۸۷] [ ۷۲] [ ۵.۶۷۹۱e+034] [1.9284e+028]

[۱۵۹] [ ۸۸] [ ۷۱] [ ۴.۹۶۸۴e+034] [1.1754e+028]

[۱۵۹] [ ۸۹] [ ۷۰] [ ۴.۲۷۳۷e+034] [7.0107e+027]

[۱۵۹] [ ۹۰] [ ۶۹] [ ۳.۶۱۴۳e+034] [4.0916e+027]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۵۹] [ ۹۱] [ ۶۸] [ ۳.۰۰۵۰e+034] [2.3364e+027]

[۱۵۹] [ ۹۲] [ ۶۷] [ ۲.۴۵۵۹e+034] [1.3052e+027]

[۱۵۹] [ ۹۳] [ ۶۶] [ ۱.۹۷۲۸e+034] [7.1320e+026]

[۱۵۹] [ ۹۴] [ ۶۵] [ ۱.۵۵۷۶e+034] [3.8118e+026]

[۱۵۹] [ ۹۵] [ ۶۴] [ ۱.۲۰۸۴e+034] [1.9923e+026]

[۱۵۹] [ ۹۶] [ ۶۳] [ ۹.۲۱۲۳e+033] [1.0182e+026]

[۱۵۹] [ ۹۷] [ ۶۲] [ ۶.۸۹۹۶e+033] [5.0876e+025]

[۱۵۹] [ ۹۸] [ ۶۱] [ ۵.۰۷۶۱e+033] [2.4849e+025]

[۱۵۹] [ ۹۹] [ ۶۰] [ ۳.۶۶۷۹e+033] [1.1862e+025]

[۱۵۹] [۱۰۰] [ ۵۹] [ ۲.۶۰۲۷e+033] [5.5333e+024]

[۱۵۹] [۱۰۱] [ ۵۸] [ ۱.۸۱۳۳e+033] [2.5217e+024]

[۱۵۹] [۱۰۲] [ ۵۷] [ ۱.۲۴۰۲e+033] [1.1226e+024]

[۱۵۹] [۱۰۳] [ ۵۶] [ ۸.۳۲۴۷e+032] [4.8802e+023]

[۱۵۹] [۱۰۴] [ ۵۵] [ ۵.۴۸۳۳e+032] [2.0715e+023]

[۱۵۹] [۱۰۵] [ ۵۴] [ ۳.۵۴۳۳e+032] [8.5829e+022]

[۱۵۹] [۱۰۶] [ ۵۳] [ ۲.۲۴۵۷e+032] [3.4705e+022]

[۱۵۹] [۱۰۷] [ ۵۲] [ ۱.۳۹۵۷e+032] [1.3691e+022]

[۱۵۹] [۱۰۸] [ ۵۱] [ ۸.۵۰۳۶e+031] [5.2681e+021]

[۱۵۹] [۱۰۹] [ ۵۰] [ ۵.۰۷۷۷e+031] [1.9765e+021]

[۱۵۹] [۱۱۰] [ ۴۹] [ ۲.۹۷۰۶e+031] [7.2287e+020]

[۱۵۹] [۱۱۱] [ ۴۸] [ ۱.۷۰۲۲e+031] [2.5762e+020]

[۱۵۹] [۱۱۲] [ ۴۷] [ ۹.۵۵۰۹e+030] [8.9438e+019]

[۱۵۹] [۱۱۳] [ ۴۶] [ ۵.۲۴۵۲e+030] [3.0235e+019]

[۱۵۹] [۱۱۴] [ ۴۵] [ ۲.۸۱۸۵e+030] [9.9494e+018]

[۱۵۹] [۱۱۵] [ ۴۴] [ ۱.۴۸۱۴e+030] [3.1856e+018]

[۱۵۹] [۱۱۶] [ ۴۳] [ ۷.۶۱۱۹e+029] [9.9202e+017]

[۱۵۹] [۱۱۷] [ ۴۲] [ ۳.۸۲۲۴e+029] [3.0032e+017]

[۱۵۹] [۱۱۸] [ ۴۱] [ ۱.۸۷۴۹e+029] [8.8343e+016]

[۱۵۹] [۱۱۹] [ ۴۰] [ ۸.۹۷۹۱e+028] [2.5239e+016]

[۱۵۹] [۱۲۰] [ ۳۹] [ ۴.۱۹۶۳e+028] [6.9993e+015]

[۱۵۹] [۱۲۱] [ ۳۸] [ ۱.۹۱۲۷e+028] [1.8831e+015]

[۱۵۹] [۱۲۲] [ ۳۷] [ ۸.۴۹۷۷e+027] [4.9119e+014]

[۱۵۹] [۱۲۳] [ ۳۶] [ ۳.۶۷۷۸e+027] [1.2415e+014]

[۱۵۹] [۱۲۴] [ ۳۵] [ ۱.۵۴۹۶e+027] [3.0384e+013]

[۱۵۹] [۱۲۵] [ ۳۴] [ ۶.۳۵۱۸e+026] [7.1951e+012]

[۱۵۹] [۱۲۶] [ ۳۳] [ ۲.۵۳۱۰e+026] [1.6474e+012]

[۱۵۹] [۱۲۷] [ ۳۲] [ ۹.۷۹۶۴e+025] [3.6442e+011]

[۱۵۹] [۱۲۸] [ ۳۱] [ ۳.۶۸۰۱e+025] [7.7810e+010]

[۱۵۹] [۱۲۹] [ ۳۰] [ ۱.۳۴۰۵e+025] [1.6022e+010]

[۱۵۹] [۱۳۰] [ ۲۹] [ ۴.۷۳۰۲e+024] [3.1784e+009]

[۱۵۹] [۱۳۱] [ ۲۸] [ ۱.۶۱۵۳e+024] [6.0683e+008]

[۱۵۹] [۱۳۲] [ ۲۷] [ ۵.۳۳۱۹e+023] [1.1138e+008]

[۱۵۹] [۱۳۳] [ ۲۶] [ ۱.۶۹۹۳e+023] [1.9627e+007]

[۱۵۹] [۱۳۴] [ ۲۵] [ ۵.۲۲۱۹e+022] [3.3163e+006]

[۱۵۹] [۱۳۵] [ ۲۴] [ ۱.۵۴۵۱e+022] [5.3656e+005]

[۱۵۹] [۱۳۶] [ ۲۳] [ ۴.۳۹۵۵e+021] [8.2993e+004]

[۱۵۹] [۱۳۷] [ ۲۲] [ ۱.۲۰۰۲e+021] [1.2252e+004]

[۱۵۹] [۱۳۸] [ ۲۱] [ ۳.۱۳۹۵e+020] [1.7230e+003]

[۱۵۹] [۱۳۹] [ ۲۰] [ ۷.۸۵۲۵e+019] [2.3038e+002]

[۱۵۹] [۱۴۰] [ ۱۹] [ ۱.۸۷۳۸e+019] [2.9221e+001]

[۱۵۹] [۱۴۱] [ ۱۸] [ ۴.۲۵۵۶e+018] [3.5072e+000]

[۱۵۹] [۱۴۲] [ ۱۷] [ ۹.۱۷۳۶e+017] [3.9727e-001]

[۱۵۹] [۱۴۳] [ ۱۶] [ ۱.۸۷۱۳e+017] [4.2338e-002]

[۱۵۹] [۱۴۴] [ ۱۵] [ ۳.۶۰۰۱e+016] [4.2307e-003]

[۱۵۹] [۱۴۵] [ ۱۴] [ ۶.۵۰۶۶e+015] [3.9487e-004]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۵۹] [۱۴۶] [ ۱۳] [ ۱.۱۰۰۰e+015] [3.4272e-005]

[۱۵۹] [۱۴۷] [ ۱۲] [ ۱.۷۳۰۶e+014] [2.7521e-006]

[۱۵۹] [۱۴۸] [ ۱۱] [ ۲.۵۱۹۲e+013] [2.0328e-007]

[۱۵۹] [۱۴۹] [ ۱۰] [ ۳.۳۶۹۶e+012] [1.3715e-008]

[۱۵۹] [۱۵۰] [ ۹] [ ۴.۱۰۷۳e+011] [8.3827e-010]

[۱۵۹] [۱۵۱] [ ۸] [ ۴.۵۱۷۲e+010] [4.5955e-011]

[۱۵۹] [۱۵۲] [ ۷] [ ۴.۴۲۷۶e+009] [2.2318e-012]

[۱۵۹] [۱۵۳] [ ۶] [ ۳.۸۰۷۳e+008] [9.4522e-014]

[۱۵۹] [۱۵۴] [ ۵] [ ۲.۸۱۳۹e+007] [3.4201e-015]

[۱۵۹] [۱۵۵] [ ۴] [ ۱.۷۳۷۹e+006] [1.0279e-016]

[۱۵۹] [۱۵۶] [ ۳] [ ۸.۶۱۱۷e+004] [2.4634e-018]

[۱۵۹] [۱۵۷] [ ۲] [ ۳.۲۰۹۸e+003] [4.4140e-020]

[۱۵۹] [۱۵۸] [ ۱] [ ۸.۰۰۰۰e+001] [5.2562e-022]

[۱۵۹] [۱۵۹] [ ۰] [ ۱] [۳.۱۱۹۹e-024]

[۲۳۸] [ ۰] [۲۳۸] [ ۱] [ ۱]

[۲۳۸] [ ۱] [۲۳۷] [ ۱.۱۹۵۰e+002] [1.1438e+002]

[۲۳۸] [ ۲] [۲۳۶] [ ۷.۱۵۴۹e+003] [6.8233e+003]

[۲۳۸] [ ۳] [۲۳۵] [ ۲.۸۶۱۸e+005] [2.7092e+005]

[۲۳۸] [ ۴] [۲۳۴] [ ۸.۶۰۱۹e+006] [8.0545e+006]

[۲۳۸] [ ۵] [۲۳۳] [ ۲.۰۷۲۶e+008] [1.9124e+008]

[۲۳۸] [ ۶] [۲۳۲] [ ۴.۱۶۹۵e+009] [3.7772e+009]

[۲۳۸] [ ۷] [۲۳۱] [ ۷.۲۰۳۴e+010] [6.3833e+010]

[۲۳۸] [ ۸] [۲۳۰] [ ۱.۰۹۱۰e+012] [9.4218e+011]

[۲۳۸] [ ۹] [۲۲۹] [ ۱.۴۷۱۵e+013] [1.2338e+013]

[۲۳۸] [ ۱۰] [۲۲۸] [ ۱.۷۸۹۵e+014] [1.4514e+014]

[۲۳۸] [ ۱۱] [۲۲۷] [ ۱.۹۸۱۹e+015] [1.5491e+015]

[۲۳۸] [ ۱۲] [۲۲۶] [ ۲.۰۱۵۷e+016] [1.5126e+016]

[۲۳۸] [ ۱۳] [۲۲۵] [ ۱.۸۹۵۶e+017] [1.3605e+017]

[۲۳۸] [ ۱۴] [۲۲۴] [ ۱.۶۵۸۱e+018] [1.1340e+018]

[۲۳۸] [ ۱۵] [۲۲۳] [ ۱.۳۵۶۰e+019] [8.8031e+018]

[۲۳۸] [ ۱۶] [۲۲۲] [ ۱.۰۴۱۳e+020] [6.3928e+019]

[۲۳۸] [ ۱۷] [۲۲۱] [ ۷.۵۳۷۹e+020] [4.3597e+020]

[۲۳۸] [ ۱۸] [۲۲۰] [ ۵.۱۶۱۷e+021] [2.8017e+021]

[۲۳۸] [ ۱۹] [۲۱۹] [ ۳.۳۵۳۸e+022] [1.7019e+022]

[۲۳۸] [ ۲۰] [۲۱۸] [ ۲.۰۷۳۲e+023] [9.7979e+022]

[۲۳۸] [ ۲۱] [۲۱۷] [ ۱.۲۲۲۴e+024] [5.3595e+023]

[۲۳۸] [ ۲۲] [۲۱۶] [ ۶.۸۹۰۰e+024] [2.7917e+024]

[۲۳۸] [ ۲۳] [۲۱۵] [ ۳.۷۱۹۹e+025] [1.3875e+025]

[۲۳۸] [ ۲۴] [۲۱۴] [ ۱.۹۲۷۴e+026] [6.5922e+025]

[۲۳۸] [ ۲۵] [۲۱۳] [ ۹.۵۹۹۶e+026] [2.9992e+026]

[۲۳۸] [ ۲۶] [۲۱۲] [ ۴.۶۰۳۵e+027] [1.3086e+027]

[۲۳۸] [ ۲۷] [۲۱۱] [ ۲.۱۲۸۶e+028] [5.4840e+027]

[۲۳۸] [ ۲۸] [۲۱۰] [ ۹.۵۰۲۸e+028] [2.2102e+028]

[۲۳۸] [ ۲۹] [۲۰۹] [ ۴.۱۰۱۲e+029] [8.5772e+028]

[۲۳۸] [ ۳۰] [۲۰۸] [ ۱.۷۱۳۰e+030] [3.2088e+029]

[۲۳۸] [ ۳۱] [۲۰۷] [ ۶.۹۳۲۳e+030] [1.1585e+030]

[۲۳۸] [ ۳۲] [۲۰۶] [ ۲.۷۲۰۸e+031] [4.0402e+030]

[۲۳۸] [ ۳۳] [۲۰۵] [ ۱.۰۳۶۷e+032] [1.3624e+031]

[۲۳۸] [ ۳۴] [۲۰۴] [ ۳.۸۳۷۸e+032] [4.4460e+031]

[۲۳۸] [ ۳۵] [۲۰۳] [ ۱.۳۸۱۶e+033] [1.4053e+032]

[۲۳۸] [ ۳۶] [۲۰۲] [ ۴.۸۴۰۵e+033] [4.3052e+032]

[۲۳۸] [ ۳۷] [۲۰۱] [ ۱.۶۵۱۷e+034] [1.2794e+033]

[۲۳۸] [ ۳۸] [۲۰۰] [ ۵.۴۹۲۶e+034] [3.6905e+033]

[۲۳۸] [ ۳۹] [۱۹۹] [ ۱.۷۸۱۳e+035] [1.0340e+034]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۲۳۸] [ ۴۰] [۱۹۸] [ ۵.۶۳۷۷e+035] [2.8156e+034]

[۲۳۸] [ ۴۱] [۱۹۷] [ ۱.۷۴۲۲e+036] [7.4558e+034]

[۲۳۸] [ ۴۲] [۱۹۶] [ ۵.۲۶۰۰e+036] [1.9210e+035]

[۲۳۸] [ ۴۳] [۱۹۵] [ ۱.۵۵۲۴e+037] [4.8182e+035]

[۲۳۸] [ ۴۴] [۱۹۴] [ ۴.۴۸۰۶e+037] [1.1770e+036]

[۲۳۸] [ ۴۵] [۱۹۳] [ ۱.۲۶۵۴e+038] [2.8019e+036]

[۲۳۸] [ ۴۶] [۱۹۲] [ ۳.۴۹۸۴e+038] [6.5024e+036]

[۲۳۸] [ ۴۷] [۱۹۱] [ ۹.۴۷۲۲e+038] [1.4717e+037]

[۲۳۸] [ ۴۸] [۱۹۰] [ ۲.۵۱۲۸e+039] [3.2499e+037]

[۲۳۸] [ ۴۹] [۱۸۹] [ ۶.۵۳۳۵e+039] [7.0050e+037]

[۲۳۸] [ ۵۰] [۱۸۸] [ ۱.۶۶۵۷e+040] [1.4743e+038]

[۲۳۸] [ ۵۱] [۱۸۷] [ ۴.۱۶۵۶e+040] [3.0307e+038]

[۲۳۸] [ ۵۲] [۱۸۶] [ ۱.۰۲۲۲e+041] [6.0876e+038]

[۲۳۸] [ ۵۳] [۱۸۵] [ ۲.۴۶۲۰e+041] [1.1952e+039]

[۲۳۸] [ ۵۴] [۱۸۴] [ ۵.۸۲۲۵e+041] [2.2941e+039]

[۲۳۸] [ ۵۵] [۱۸۳] [ ۱.۳۵۲۴e+042] [4.3068e+039]

[۲۳۸] [ ۵۶] [۱۸۲] [ ۳.۰۸۶۴e+042] [7.9094e+039]

[۲۳۸] [ ۵۷] [۱۸۱] [ ۶.۹۲۱۸e+042] [1.4214e+040]

[۲۳۸] [ ۵۸] [۱۸۰] [ ۱.۵۲۶۰e+043] [2.5002e+040]

[۲۳۸] [ ۵۹] [۱۷۹] [ ۳.۳۰۷۹e+043] [4.3057e+040]

[۲۳۸] [ ۶۰] [۱۷۸] [ ۷.۰۵۲۳e+043] [7.2612e+040]

[۲۳۸] [ ۶۱] [۱۷۷] [ ۱.۴۷۹۱e+044] [1.1994e+041]

[۲۳۸] [ ۶۲] [۱۷۶] [ ۳.۰۵۲۵e+044] [1.9410e+041]

[۲۳۸] [ ۶۳] [۱۷۵] [ ۶.۲۰۰۰e+044] [3.0781e+041]

[۲۳۸] [ ۶۴] [۱۷۴] [ ۱.۲۳۹۷e+045] [4.7841e+041]

 

رنگ­های کرومودینامیک نقش بار الکتریکی را بازی می­ کنند و فرایند اصلی و عمده آن شبیه  به صورت  بیان می­ شود. در اینجا g گلوئون و q کوارک است. از آنجایی که لپتون­ها نمی ­توانند رنگ­ها را با خود حمل کنند، پس در برهم­کنش­های قوی شرکت نمی­کنند. مانند حالت قبل، برای نشان دادن مراحل پیچیده­تر دو یا چند گره را با هم ترکیب می­کنیم. به عنوان مثال نیروی بین دو کوارک، که در نخستین لحظه مسئول یکپارچگی و پیوستن کوارک­ها به یکدیگر در ساختن باریون­ها و نیز مسئول به هم پیوستن پروتون­ها و نوترون­ها در هسته است، در پایین­ترین مرتبه در نمودار a شکل (۳-۲) نشان داده شده است. گفته می­ شود نیروی بین دو کوارک به وسیله­ تبادل گلوئون تأمین می­ شود، شکل (۳-۲).

 

b

a

شکل (۳-۲): نمودار a فرایند اصلی برهم­کنش قوی در نمودارهای فاینمن است و نمودار b برهم­کنش دو کوارک است که از طریق مبادله یک گلوئون بین آنها صورت گرفته است.

کرومودینامیک تا حدود زیادی همانند الکترودینامیک است، هر چند که تفاوت­های بسیاری بین آنها موجود است. در حالی که در الکترودینامیک تنها یک نوع بار الکتریکی وجود دارد، در کرومودینامیک سه نوع رنگ وجود دارد. در پدیده­  رنگ کوارک ممکن است تغییر یابد ولی طعم آن ثابت است. به عنوان مثال یک کوارک آبی رنگ بالا ممکن است به یک کوارک سبز بالا تبدیل شود. بنابراین گلوئون­ها باید با خود رنگ حمل کنند، و حامل یک واحد رنگ مثبت و یک واحد رنگ منفی خواهند بود. بنابراین احتمال وجود ۹ گلوئون وجود دارد، اما به دلایل فنی ۸ گلوئون وجود دارد. برخلاف فوتون در الکترودینامیک، که بدون بار الکتریکی است و با همدیگر برهم­کنش ندارند. گلوئون­ها دارای رنگ هستند، می­توانند با همدیگر برهم­کنش داشته باشند. بنابراین، افزون بر گره­های کوارک- گلوئون اولیه، گره­های گلوئون- گلوئون اولیه هم وجود دارد، که در حقیقت دو نوع گره هستند. گره­های سه گلوئونی و گره­های چهار گلوئونی. اندازه ثابت جفتیدگی تفاوت دیگر بین کرومودینامیک و الکترودینامیک است. هر گره در QED معرف یک فاکتور  است. کوچکی این عدد باعث می­ شود که نمودارهای فاینمن با تعداد گره­های کم را در نظر بگیریم. از نظر تجربی ثابت جفتیدگی مربوطه در نیروی قوی،  ، بیش از یک است. بزرگی این عدد باعث نگرانی فیزیک ذرات در چند دهه شد. زیرا به جای اینکه با افزایش پیچیدگی نمودارهای فاینمن ثابت جفتیدگی کوچک و کوچک­تر شود، برعکس بزرگ­تر می­ شود و نمودارهای فاینمن که در الکترودینامیک کارایی داشتند در این مورد کاملاً بی­ارزش و بدون کارایی هستند. در QCD عددی که نقش جفتیدگی و مقدار “ثابت” را بازی می­ کند، در حقیقت ثابت نیست. بلکه به فاصله جدایی بین ذرات برهم­کنش کننده بستگی دارد. اگر چه ثابت جفتیدگی قوی در فاصله­های به نسبت زیاد، متعلق به ویژگی­های هسته­ای، بزرگ می­باشد، اما در فاصله­های کوتاه (کمتر از اندازه­ یک پروتون) بسیار کوچک می­ شود. این پدیده به عنوان آزادی مجانبی شناخته شده است. بدان معنا که در درون یک پروتون یا پایون، کوارک­ها بدون هیچ برهم­کنشی به اطراف حرکت می­ کنند. از نظر نظریه کشف آزادی مجانبی محاسبه فاینمن برای QCD در حالت انرژی زیاد را نجات داد. حتی در الکترودینامیک هم جفتیدگی کارآمد، تا حدی به فاصله از منبع بستگی دارد.

۲-۴- برهمکنش­های ضعیف

تمامی کوار­ک­ها و لپتون­ها در برهمکنش­های ضعیف شرکت می­ کنند. دو نوع برهم­کنش ضعیف وجود دارد: دارای بار (به واسطه­ W­ها) و خنثی (به واسطه­ Z). گره باردار بنیادی در شکل (۴-۲) نشان داده شده است. همانند همیشه، گره­های اولیه را به یکدیگر پیوند می­زنند تا واکنش­های پیچیده­تری تولید کنند.

 

شکل (۴-۲): فرایند اصلی برهم­کنش ضعیف و برهم­کنش دو کوارک که از طریق ضعیف صورت می­گیرد.

۲-۵- برهمکنش­های نوکلئون­ها

نوترون با واپاشی بتا به پروتون، الکترون و آنتی­نوترینوی الکترون واپاشیده می­ شود. طبق رابطه زیر:

(۱-۲)

این واکنش که از طریق برهم­کنش ضعیف امکان­ پذیر است، در شکل (۵-۲) نشان داده شده است. برهم­کنش­های پروتون­ها و نوترون­ها با همدیگر بیشتر از طریق قوی رخ می­دهد، که در شکل­های (۶-۲) نشان داده شده است.

شکل (۵-۲): فرایند واپاشی نوترون به پروتون که از طریق برهم­کنش ضعیف رخ می­دهد.

 

شکل (۶-۲): برهم­کنش قوی بین دو پروتون که از طریق تبادل یک پایون خنثی صورت گرفته است.

۲-۵-۱- خواص نیروی هسته­ای

بسیاری از خصوصیات نیروی هسته­ای از آزمایش­های پراکندگی نوکلئون­ها به دست آمده است. در این بخش، ویژگی­های اصلی بین نوکلئون­ها را به طور خلاصه شرح می­دهیم.

برهم­کنش بین دو نوکلئون از پایین­ترین مرتبه­ی پتانسیل جاذبه­ای حاصل می­ شود. ویژگی مشترک همه پتانسیل­هایی که به عنوان پتانسیل هسته­ای در نظر گرفته می­ شود، وابستگی انحصاری همه آنها به فاصله بین نوکلئونی r است.

برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون قویاً وابسته به اسپین است. این نتیجه ­گیری از عدم موفقیت در مشاهده حالت مقید تک­تایه دوترون و همچنین از اندازه ­گیری اختلاف سطح مقطع­های حالت­های تک­تایه و سه­تایه حاصل شده است. روشن است این جمله باید به اسپین دو نوکلئون بستگی داشته باشد، اما با در نظر گرفتن تقارن­های پاریته و برگشت زمان، هر ترکیبی از اسپین­ها قابل قبول نیست. جملاتی که می­توان در نظر گرفت به شکل  یا  می ­تواند باشد.

پتانسیل بین نوکلئونی شامل یک جمله­ غیر مرکزی، به نام پتانسیل تانسوری، است. عمده­ترین دلیل وجود نیروی تانسوری از مشاهده­ گشتاور چارقطبی در حالت پایه دوترون حاصل می­ شود. برای نوکلئون منفرد، بدیهی است که انتخاب یک جهت مشخص در فضا اختیاری است. تنها جهت مرجع برای نوکلئون جهت اسپین آن است، از این رو جمله­ای که می­توان در نظر گرفت به صورت  یا  است، که بردار مکان r را به جهت اسپین s ارتباط می­دهد.

نیروی نوکلئون- نوکلئون نسبت به بار نوکلئون تقارن دارد. این بدان معنی است که پس از تصحیح نیروی کولونی در سیستم پروتون- پروتون، فرقی بین برهم­کنش پروتون- پروتون و برهم­کنش نوترون- نوترون نیست. منظور از «بار» خصوصیت یا جنس نوکلئون است.

نیروی نوکلئون- نوکلئون تقریباً مستقل از بار الکتریکی است. این بدان معنی است پس از تصحیح نیروی کولونی، هر سه نیروی هسته­ای nn، pp و np با هم مساوی­اند. به این ترتیب، استقلال بار شرطی قوی­تر از تقارن بار است. در این مورد شواهد امر چندان قاطع نیست.

برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون در فواصل خیلی کوتاه دافعه می­ شود. این نتیجه از بررسی کیفی چگالی هسته­ای حاصل می­ شود. رشد هسته در اثر افزایش نوکلئون­ها به صورتی است که چگالی مرکزی آن تقریباً ثابت می­ماند، و از این رو باید عاملی وجود داشته باشد که از تجمع و نزدیک شدن بیش از حد نوکلئون­ها جلوگیری کند.

برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون می ­تواند به تکانه یا سرعت نسبی نوکلئون­ها هم بستگی داشته باشد. نیروهای وابسته به سرعت یا تکانه را نمی­ توان با پتانسیل نرده­ای نشان داد، اما با بهره گرفتن از جملات درجه اول p، درجه دوم p و غیره، که هر کدام از آنها به یک پتانسیل مشخصه  متناظرند، می­توان آنها را به طرز قابل قبولی در نظر گرفت. یکی از صورت­های قابل قبول که شامل توان­های درجه اول p می­ شود و نسبت به پاریته و برگشت زمان هر دو ناورداست،  است؛ که در آن  اسپین کل دو نوکلئون مورد بررسی است. تکانه زاویه­ای نسبی نوکلئون­ها برابر  است، و در نتیجه این جمله که به خاطر مشابهت با فیزیک اتمی جمله اسپین- مدار نامیده می­ شود، به صورت  نوشته می­ شود. فرض برهم­کنش اسپین- مدار، با این مشاهده تجربی تقویت می­ شود که اسپین نوکلئون­های پراکنده ممکن است سمت­گیری خاصی در فضا داشته باشدکه در این حالت اسپین نوکلئون­ها را قطبیده می­گویند [۶].

۲-۶- هسته سازی

تولید هسته­های جدید، از پروتون­ها، نوترون­ها و هسته­های موجود هسته سازی گفته می­ شود. اولین هسته­ها در حدود ۳ دقیقه پس از مهبانگ از طریق فرایندی به نام سنتز هسته­ای تشکیل شدند. پس از آن هیدروژن و هلیوم تشکیل شدند. با تشکیل ستارگان، هسته­های سنگین­تر به وجود آمدند. هسته­های سبک تا آهن و نیکل از طریق همجوشی به وجود می­آیند، ولی هسته­های سنگین­تر نیاز به واکنش انفجاری و گیراندازی نوترون دارند. چهار نوع اصلی فرایند هسته­سازی عبارتند از: فرایند هسته­سازی در مهبانگ، فرایند هسته­سازی ستاره­ای، فرایند هسته­سازی انفجاری و فرایند هسته­سازی با اسپلاشی اشعه کیهانی.

۲-۷- فرایند هسته­سازی در مهبانگ

فرایند هسته­سازی مهبانگ در سه دقیقه اول خلقت اتفاق افتاده است. به نوعی علت فراوانی نسبی بیشتر هیدروژن،  ، دوتریوم،  ، هلیوم-۳،  و هلیوم-۴،  ،در جهان می­باشد. تولید  توسط مکانیسم­های دیگر مانند همجوشی ستاره­ای و واپاشی آلفا ادامه دارد، و مقدار کمی از  توسط فرایند اسپلاشی تولید می­ شود. همچنین هیدروژن توسط پاره­ای واکنش­های مشخص هسته­­ای تولید می­ شود. تصور می­ شود که اکثر هسته­های موجود در جهان، در مهبانگ به وجود آمده­اند. اعتقاد بر این است که هسته­هایی که در اینجا ذکر شده ­اند به همراه  و  بین ۱۰۰ تا ۳۰۰ ثانیه پس از انفجار بزرگ به وجود آمدند. یعنی پس از اینکه پلاسمای کوارک-گلوئون اولیه به قدری سرد شد که پروتون و نوترون تشکیل شوند، هسته سازی شروع شد. حدود ۲۰ دقیقه پس از انفجار بزرگ، به خاطر سرد شدن و انبساط هسته سازی متوقف شد. به دلیل دوره کوتاهی که طی آن فرایند هسته سازی مهبانگ اتفاق افتاده است، هیچ هسته سنگین­تر از بریلیوم (یا احتمالاً برم) نمی­توانسته به وجود آید. عناصری که در طی این زمان کوتاه تشکیل شده ­اند در یک حالت پلاسما بوده ­اند و به حالت اتمی خنثی سرد نشده­اند، این پروسه بعدها اتفاق افتاده است. واکنش­هایی که در مهبانگ رخ داده و مسئول فراوانی نسبی عناصر در جهان می­باشد در زیر آورده شده ­اند.

 

۲-۸- فرایند هسته سازی ستاره­ای

فرایند هسته­سازی ستاره­ای درون ستارگان، در طول فرایند تحول ستاره­ای اتفاق می­افتد و این فرایند مسئول نسل دیگری از عناصر یعنی از کربن تا کلسیوم با بهره گرفتن از فرایند­های همجوشی است. ستارگان کوره­های هسته­ای هستند که در آنها هیدروژن و هلیوم به هسته­های سنگین­تر جوش می­خورند [۷]. فرایند زنجیره پروتون-پروتون در ستارگان سردتر از خورشید و چرخه CNO (چرخه کربن، نیتروژن و اکسیژن) در ستارگان داغ­تر از خورشید، اتفاق می­افتد. کربن اهمیت خاصی دارد، زیرا تشکیل آن از هلیوم در کل فرایند وجود دارد. کربن توسط فرایند سه گانه آلفا در تمام ستارگان تولید می­ شود. همچنین، کربن عنصر اصلی استفاده شده در تولید نوترونهای آزاد در ستارگان است که در فرایند s آزاد می­شوند، فرایندی که شامل جذب آهسته نوترون­ها برای تولید عناصر سنگین­تر از آهن و نیکل می­باشد [۸]. کربن و دیگر عناصر ایجاد شده با این فرایند در زندگی ما نقش اساسی و بنیادیی دارند.

اولین اثبات مستقیم فرایند هسته­سازی در ستارگان با آشکار سازی تکنتیوم رادیواکتیو در اتمسفر یک غول قرمز در اوایل دهه ۱۹۵۰ اتفاق افتاد [۹] از آنجا که تکنتیوم رادیواکتیو است (با نیمه عمر خیلی کمتر از سن ستارگان)، توزیع فراوانی­اش بایستی بیان کننده تولید آن در ستاره در مدت زمان عمرش باشد. مدارک متقاعدکننده­ای مبنی بر توزیع فراوانی بیشتر برای عناصر پایدار خاص در یک اتمسفر ستاره­ای وجود دارد. اهمیت تاریخی این موضوع به مشاهده فراوانی باریوم که ۲۰ تا ۵۰ برابر بیشتر از درون ستارگان بود، برمی­گردد. بسیاری از مشاهدات جدید در ترکیب­های ایزوتوپی که از شهاب­سنگ­های آسمانی خارج شده ­اند، حکایت از غبار ستاره­ای^[۱۷] دارند که از گازهای چگال شده ستارگان تشکیل شده ­اند. ذره ستاره­ای یکی از اجزای ذرات کیهانی است. ترکیبهای ایزوتوپی اندازه ­گیری شده، بسیاری از جنبه­ های فرایند هسته­سازی را درون ستارگان از چگالش غبار ستاره­ای، نشان می­ دهند. [۱۰]

۲-۹- فرایند هسته­سازی انفجاری

این فرایند شامل­ هسته­سازی ابرنواخترهاست. و عناصر سنگین­تر از آهن را با بهره گرفتن از انفجار شدید برهم­کنش­های هسته­ای تولید می­ کند. این فرایند در مدت چند ثانیه در طول انفجار هسته ابرنواختر اتفاق می­افتد. در محیط انفجاری ابرنواختر، عناصر بین سیلیکون و نیکل با یک همجوشی سریع تولید می­شوند. همچنین در ابرنواخترها فرایندهای هسته­سازی بیشتری می ­تواند رخ دهد، از قبیل فرایند r (فرایند سریع^[۱۸]) که در آن بیشترین ایزوتوپ­های غنی نوترونی مربوط به عناصر سنگین­تر از نیکل، با جذب سریع نوترون­های آزاد شده در طول انفجار، تولید می­شوند. این پدیده توضیح دهنده­ عناصر رادیواکتیوی مانند اورانیوم و توریوم است که بیشترین ایزوتوپ­های غنی نوترونی را دارند. فرایند rp شامل جذب سریع پروتون­های آزاد، مشابه نوترون­ها، است که نقش آن کمتر از نوترون­هاست [۱۱ و ۱۲].

بهترین و بیشترین مشاهدات قانع کننده مربوط به فرایند هسته­سازی در ابرنواخترها در سال ۱۹۸۷ اتفاق افتاد. وقتی که طیف اشعه گاما از ابرنواختر A1987 استخراج شد. اشعه­های گاما که مشخص کننده  و  بودند (نیمه عمر رادیواکتیو آنها تقریباً به یک سال محدود می­شوند) اثبات می­ کنند که توسط والدین رادیواکتیو آنها تولید شده ­اند. این پدیده­ اخترفیزیکی در سال ۱۹۶۹ پیش ­بینی شده بود [۱۳]، که تأییدی بر هسته­سازی انفجاری بود. دلایل دیگر فرایند هسته­سازی انفجاری در غبار ستاره­ای که درون ابرنواخترها چگال شده، و سپس منبسط و سرد شده، یافت شده است. به طور خاص،  یک هسته رادیواکتیو است که با فراوانی زیاد درون ذرات ستاره­ای ابرنواختر اندازه ­گیری شده است [۱۰]، که تأییدی بر پیش ­بینی سال ۱۹۷۵ برای شناسایی ذرات ابرنواختر بود. نسبت­های ایزوتوپی غیر معمول این ذرات به جنبه­ های خاص فرایند هسته­سازی انفجاری مربوط می­شوند.

۲-۱۰- فرایند هسته­سازی با اسپلاشی اشعه کیهانی

فرایند اسپلاشی اشعه کیهانی، بعضی از سبک­ترین عناصر موجود در جهان را تولید می­ کند. تصور می­ شود که اسپلاشی به طور قابل ملاحظه­ای مسئول تولید عناصر لیتیوم، بریلیوم، کربن و تقریباً تمام هلیوم-۳ها می­باشد. (بعضی از  و  در مهبانگ به وجود آمده­اند.) فرایند اسپلاشی ناشی از برخورد اشعه­های کیهانی (اغلب پروتون­های سریع) با محیط­های بین ستاره­ای می­باشد. این برخوردها، هسته­های کربن، نیتروژن و اکسیژن موجود در اشعه­های کیهانی را متلاشی می­ کنند. همچنین این عناصر با پروتون­های اشعه کیهانی برخورد می­ کنند.

۲-۱۰- تشکیل هسته­ها در جهان

ویژگی جهان کنونی، دمای بسیار کم و چگالی اندک ذرات آن است که ساختار و تحول آن را نیروی گرانشی کنترل می­ کند. چون جهان در حال انبساط و خنک شدن است، علی­الاصول در گذشته دور باید دما و چگالی ذرات بیشتری داشته است. اگر فرض کنیم بتوانیم ساعت کیهانی را به عقب برگردانیم و جهان را در زمان­های اولیه، حتی پیش از تشکیل ستارگان و کهکشان­ها بررسی کنیم، در نقطه­ای از تاریخ جهان، دمای آن باید به اندازه کافی زیاد باشد که اتم­ها را یونیده کند. در آن زمان جهان از پلاسمای الکترون­ها و یون­های مثبت تشکیل شده و نیروی الکترومغناطیسی در تعیین ساختار جهان اهمیت داشته است. در زمان­های پیش­تر از آن، دما تا آن حد زیاد بوده که برخورد بین یون­ها سبب آزاد شدن تک­تک نوکلئون­ها می­شده، بطوری که جهان متشکل از الکترون­ها، پروتون­ها و نوترون­ها، همراه با تابش بوده است. در این عصر نیروی هسته­ای قوی در تعیین جهان اهمیت داشته است. در زمان­های باز هم پیش­تر از آن، برهم­کنش ضعیف نقشی بارز داشته است. اگر بکوشیم که باز هم عقب­تر برویم، به زمانی می­رسیم که ماده موجود در جهان شامل پلاسمایی از کوارک­ها و گلوئون­ها بوده است که پیش­تر از آن، تنها کوارک­ها و لپتون­ها بصورت کاملاً آزاد وجود داشته اند. چون هرگز یک کوارک آزاد را مشاهده نکرده­ایم، اطلاعات چندانی درباره برهم­کنش کوارک­ها نمی­دانیم، و در نتیجه نمی­توانیم این حالت بسیار اولیه جهان را توصیف کنیم. سرانجام به یک سد بنیادی می­رسیم که در آن سن جهان فقط  است و به «زمان پلانک» معروف است. در آن سوی این زمان، نظریه کوانتومی و گرانشی به صورت ناامید کننده ­ای به هم آمیخته­اند و هیچ­کدام از نظریه­ های کنونی ما هیچ سر­نخی از ساختار جهان به ما نمی­دهند.

در این قسمت علاقه­مندیم که نظریه رایج مربوط به تشکیل هسته­ها را بررسی کنیم. اگر از لحظه یک میکرو ثانیه آغاز کنیم، جایی که دما تقریبا  بوده است، تا زمان  ، جهان تحولات زیر را پشت سر گذاشته است: ۱- یک جهان داغ، چگال و پر از فوتون­ها که تا دمای کمتر از  خنک شده است. ۲- بیشتر ذرات ناپایدار واپاشیده شده ­اند. ۳- همه پاد ماده اولیه و بخش اعظم ماده یکدیگر را نابود کرده ­اند و تعداد کمی پروتون و به همان تعداد الکترون و در حدود یک پنجم این تعداد نوترون به جا گذاشته­اند. ۴- نوترینوها که دارای چگالی در حدود فوتون­ها هستند در زمان حدود  واجفتیده­اند و با انبساط جهان خنک شدن آنها ادامه می­یابد. در این لحظه،  ، با برخورد نوترون­ها و پروتون­ها با یکدیگر، ممکن است یک دوترون (هسته  ) تشکیل شود:

(۲-۲)

اما چگالی زیاد فوتون­ها می ­تواند واکنش معکوس را نیز تولید کند:

(۲-۳)

از آنجا که انرژی بستگی دوترون  است، برای تشکیل تعداد چشم­گیری دوترون، فوتون­های موجود باید ابتدا تا انرژی  خنک شوند. در غیر این صورت، دوترون­ها با همان سرعت تشکیل، شکسته می­شوند. انرژی  با دمای  متناظر است. در نتیجه شاید انتظار داشته باشیم که دوترن­ها به محض کاهش دما به کمتر از  تشکیل شوند. اما این وضعیت رخ نمی­دهد. تابش تک انرژی نیست، بلکه دارای یک طیف جسم سیاه است. کسر کوچکی از فوتون­ها انرژی­های بالاتر از  دارند، که این فوتون­ها به شکستن دوترن­ها ادامه می­ دهند.

قبل از نابودی ماده- پاد ماده، تعداد فوتون­ها در حدود تعداد نوکلئون­ها و پاد نوکلئون­ها بوده است. اما پس از  نسبت نوکلئون­ها به فوتون­ها در حدود  است و در حدود  نوکلئون­ها، نوترون هستند. اگر کسر فوتون­های با انرژی بیشتر از  ، بیش از  باشد، دست کم یک فوتون پر انرژی به ازای هر نوترون وجود دارد که عملا مانع از تشکیل دوترون می­ شود. در زمان  که دما کمتر از  است، دوترون­ها می­توانند تولید شوند. لذا از  تا  رویدادهای کمی (به جز انبساط و افت دمای متناظر با آن) در جهان به وقوع می­پیوندد، اما پس از  وقایع به سرعت اتفاق می­افتند. دوترون­ها تشکیل می­شوند و سپس با پروتون­ها و نوترون­های زیادی که وجود دارند در واکنش­های زیر شرکت می­ کنند:

(۲-۴)

(۲-۵)

انرژی تشکیل این هسته­ها، به ترتیب  و  است که از آستانه تشکیل دوترون  بسیار بیشتر است. اگر فوتون­ها برای شکستن دوترون به اندازه کافی پر انرژی نباشند، بدون شک برای شکستن  و  نیز انرژی کافی ندارند.

۳- مدل­های هسته­ای و مدل شبه کوارکی هسته

۳-۱- مقدمه

مسئله اصلی در فیزیک هسته­ای مشخص کردن معادلات حرکت A نوکلئون تحت تاثیر پتانسلی است که خودشان به وجود آورده­اند. حل دقیق یک سیستم A جسمی که دو به دو برهم­کنش دارند، برای  تا به حال به صورت دقیق حل نشده است. بنابراین باید به راه حل­های تقریبی بسنده کنیم. از طرف دیگر با در نظر گرفتن محدودیت­های ما در شناخت نیروی هسته­ای حل مسأله هسته­ی A جسمی را به مراتب مشکل­تر خواهد کرد. در غیاب یک نظریه دقیق برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون مجبوریم به پدیده شناسی برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون که از طریق پراکندگی نوکلئون- نوکلئون بدست می ­آید روی بیاوریم. علاوه بر اینها نگرانی­های بیشتری در مورد نیروی چند جسمی وجود دارد، بخصوص در مورد اجسامی که برهم­کنش قوی با همدیگر دارند. برهم­کنش پراکندگی نوکلئون- نوکلئون در مورد نیروی سه جسمی موجود در بین نوکلئون­ها چیزی به ما یاد نمی­دهد. پتانسیل سه جسمی شامل حالتی است که برهم­کنش دو جسم ۱ و ۲ در حضور جسم ۳، تنها به مکان دو جسم ۱ و ۲ بستگی ندارد، بلکه به موقعیت جسم ۳ نیز وابسته است. پتانسیل سه جسمی را می­توان به شکل  یا  نوشت. که قابل شکستن به جمع چند پتانسل دو جسمی نیست. پتانسل ۳ جسمی دارای خاصیتی است، که در پتانسیل دو جسمی وجود ندارد. این پدیده کوانتومی است و معادل کلاسیکی ندارد.

مدل­هایی که در این فصل مورد بحث قرار گرفته­اند عبارتند از: مدل گاز فرمی، مدل پوسته­­ای، مدل جمعی و مدل شبه کوارکی. علاوه بر اینها متدهای دیگری برای به دست آوردن بعضی خواص هسته­ها مورد استفاده قرار گرفته است، که می­توان از محاسبات مربوط به کشش سطحی هسته­ها نام برد. از کارهای انجام شده در این راستا می­توان به منابع [۱۴-۲۲] اشاره کرد. در مدل آلفا ذره­ای سعی شده است که هسته را مرکب از ذرات آلفا در نظر بگیرند [۲۳ و ۲۴] تا بتوانند برخی خصوصیات هسته را توضیح دهند.

۳-۲- مدل گاز فرمی^[۱۹]

یک سیستم شامل تعدادی از نوترون­ها وپروتون­ها که در یک جعبه مکعبی به طول a قرار دارند را در نظر می­گیریم. معادله شرودینگر برای یک تک ذره که در این جعبه قرار دارد به صورت زیر است.

(۳-۱)

با اعمال شرط مرزی، سد پتانسیل بی­نهایت در دیواره­ های جعبه، تابع موج در مرز برابر صفر خواهد شد،  . مرز تابع جایی است که یکی از حالات زیر اتفاق بیفتد.

(۳-۲)

عمل دیواره­ های جعبه در واقع جایگزین میانگین برهم­کنش بین نوکلئون­هاست. با تنظیم اندازه جعبه می­توان به چگالی نوکلئون­ها در هسته رسید. حل معادله (۳-۱) با شرایط مرزی داده شده برابر است با:

(۳-۳)

در اینجا روابط زیر برقرار است.

(۳-۴)

در اینجا  ،  و  همگی اعداد صحیح مثبت هستند و A ثابت بهنجارش است. (اعداد صحیح منفی به جواب یکسان با معادله (۳-۳) ختم خواهند شد.) هر مجموعه از اعداد صحیح  یک جواب متناظر با انرژی زیر به دست خواهد آورد.

(۳-۵)

این معادله به همراه محدودیت­هایی که معادله (۳-۴) بر روی مقادیر  ،  و  قرار می­دهد نمایانگر کوانتیزه شدن یک ذره در جعبه خواهد شد. از معادله (۳-۵) آشکار است که  تکانه (تقسیم بر  ) یک ذره در جعبه است.

بنابر اصل طرد پائولی هر حالت می ­تواند با چهار نوکلئون پر شود. دو پروتون با اسپین­های مختلف و دو نوترون با اسپین­های متفاوت. کمترین انرژی هسته با پر شدن پایین­ترین ترازهای انرژی جعبه به دست می ­آید. مقدار این انرژی بستگی به تعداد حالت­های در دسترس دارد.

با در نظر گرفتن فضای تکانه k به خاطر رابطه (۳-۴)، به ازای هر عنصر حجم مکعبی با طول  (و حجم  ) در این فضا تنها یک نقطه وجود دارد که یک جواب به فرم معادله (۳-۳) برای معادله (۳-۱) وجود دارد. تعداد حالت­های مجاز  ، با اندازه k بین k و  با رابطه زیر داده می­ شود.

(۳-۶)

در این رابطه  حجم پوسته کروی در فضای تکانه با شعاع­های k و  است؛ تنها یک هشتم از این پوسته در نظر گرفته شده است، چون  ،  و  تنها مقادیر مثبت را اختیار می­ کنند.  حجم فضای تکانه­ای است که هر حالت می ­تواند اشغال کند. شکل (۳-۱) تعداد حالت­های مجاز تا انرژی  با رابطه زیر بیان می­ شود.

(۳-۷)

شکل (۳-۱): هر نقطه در محل تقاطع خطوط نماینده یک زوج مجاز  است. به منظور یافتن تعداد زوج­های مجاز بین  و  ، تعداد نقطه­های بین دو کمان دایروی مشخص شده در شکل را می­شماریم. معادله (۳-۶) به طریق مشابه اما در سه بعد به دست آمده است.

چون هر حالت تکانه، براساس اصل طرد پائولی، دو پروتون و دو نوترون را در خود جای دهد. می­خواهیم پایین­ترین سطح انرژی A نوکلئون که برهم­کنشی با همدیگر ندارند، و در یک جعبه به طول a قرار دارند را حساب کنیم. پایین­ترین سطح انرژی هنگامی است که تعداد پروتون­ها و نوترون­ها با هم برابر باشد. بیشترین تکانه خطی با بهره گرفتن از رابطه بالا به دست می ­آید.

(۳-۸)

در اینجا  حجم جعبه است. نتیجه­ای که از این رابطه به دست می ­آید این است که تکانه بالاترین حالت اشغال شده تنها به چگالی نوکلئون­ها،  ، در جعبه بستگی دارد.

(۳-۹)

ما برهم­کنش بین نوکلئون­ها را نادیده گرفتیم (بجز در حالتی که چگالی را تعیین می­کرد، که از طریق دیوارهای جعبه اعمال شد). با این محدودیت، توزیع تکانه در واحد حجم در فضای تکانه، تابع پله­ای است، با یک مقدار ثابت محدود هنگامی که  و برابر با صفر خواهد بود هنگامی که  ، شکل (۳-۱). این توزیع تکانه تحت عنوان توزیع فرمی نامیده شده است. در آزمایشات پراکندگی انرژی بالا می­توان توزیع تکانه نوکلئون­ها در هسته­ها را اندازه ­گیری کرد، که نتیجه چنین آزمایشاتی عدم وجود تابع پله­ای به ازای  می­باشد، اما احتمال یافتن نوکلئونی با تکانه  سریعاً با k کاهش می­یابد.

N(k)

k_F

k

شکل (۳-۲): توزیع تکانه نوکلئون­ها در حالت پایه گاز فرمی.  تکانه فرمی و  برابر با تعداد حالت­هایی که تکانه بین  و  دارند.

با بهره گرفتن از مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها،  ، که عملاً برای هسته­های با  ثابت است، مقدار  و  را به دست می­آوریم.

(۳-۱۰)

و  به ترتیب تکانه فرمی و انرژی فرمی مدل گاز تبهگن است. متوسط انرژی جنبشی فرمیون­های داخل جعبه کمتر از  است و با در نظر گرفتن چگالی مشاهده شده هسته­ها از رابطه زیر به دست می ­آید.

(۳-۱۱)

همچنین مناسب است که شعاع هسته­ها را با بهره گرفتن از رابطه  به دست آوریم. از آنجایی که چگالی مشاهده شده هسته­ها تقریباً از عدد جرمی آنها مستقل است، رابطه زیر به دست می ­آید.

(۳-۱۲)

با مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها شعاع هسته­ها به دست می ­آید و در نتیجه:

(۳-۱۳)

راه­های گوناگونی برای محاسبه شعاع هسته­ها وجود دارد، چون هسته­ها مرز پله­ای ندارند، بلکه چگالی هسته­ها تقریباً به صورت هموار به صفر می­ کند، معادله (۳-۱۳) نمایانگر شعاع کره­ای است که همه نوکلئون­ها را در بر بگیرد.

با توجه به رابطه (۳-۶) و شکل (۳-۱ ) می­بینیم که به ازای هر مقدار  ، به عنوان نمونه، نباید حالت­هایی را بشماریم که  ، زیرا در این حالت­ها تابع موج صفر است. تعداد این چنین حالاتی که در عنصر دایروی سطحی  و شعاع k قرار دارد برابر  است. بنابراین تعداد حالات­های مجاز بین k و  برابر است با:

(۳-۱۴)

که در اینجا  سطح مکعب دربرگیرنده گاز فرمی است. چون  بر حسب نسبت  نوشته شده است، برای هسته با هر شکلی معتبر است. می­توان نشان داد که در واقع  تابعی از نسبت  است. با بهره گرفتن از این رابطه می­توان انرژی هسته را به دست آورد.

(۳-۱۵)

در اینجا  و  . در این مدل  را در واقع ضریب جمله حجمی و  را ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی هسته­ها می­دانند.

 

برای شعاع هسته رابطه  برقرار است. و چگالی هسته  است. بنابراین  و بنابراین ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی بدست می ­آید.

(۳-۱۶)

با جایگزینی مقدار انرژی فرمی، از رابطه (۳-۱۱)، در این رابطه و استفاده از مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها انرژی سطحی برابر با  به دست می ­آید؛ که قابل مقایسه با مقدار فرمول نیمه تجربی جرم است (یعنی  ).

چندان معقول به نظر نمی­رسد که چگالی هسته­ها را به صورت یک تابع پله­ای که در شکل (۳-۲) نشان داده شده در نظر بگیریم بلکه بهتر است آن را مانند شکل (۳-۳) در نظر بگیریم که با رابطه زیر بیان می­ شود.

(۳-۱۷)

در این صورت تا اولین مرتبه  خواهیم داشت.

(۳-۱۸)

از طرف دیگر چگالی متوسط با رابطه زیر بدست می ­آید.

(۳-۱۹)

طرف چب معادله (۳-۱۸) تا اولین مرتبه مستقل از  است بنابراین مقدار t برابر خواهد بود با:  . مقدار تجربی ضخامت پوست هسته­ها، فاصله­ای است که چگالی هسته­ها از  تا  چگالی قسمت ثابت تغییر می­ کند. با این تعریف ضخامت پوست برابر  می­ شود. اندازه ­گیری ضخامت پوست هسته­ها مقدار  را می­دهد که با مقدار به دست آمده با مدل گاز فرمی قابل مقایسه است. البته اگر تابع چگالی به صورت هموارتر تعریف شود. مقدار به دست آمده بهتر خواهد شد [۲۵].

شکل (۳-۳): توزیع چگالی فرض شده که بر اساس آن ضخامت پوست به دست آمده است.

R+t

R

r

۳-۳- مدل پوسته­ای هسته

۳-۳-۱- مقدمه

نظریه اتمی با بهره گرفتن از مدل پوسته­ای توانسته است به طور کا­ملاً روشن جزئیات پیچیده ساختار اتم­ها را توضیح دهد. به همین دلیل متخصصان فیزیک هسته­ای، به امید آنکه بتوانند به توصیف روشنی از خواص هسته­ها دست یابند، سعی کردند در بررسی ساختار هسته­ای از نظریه مشابهی استفاده کنند. در مدل پوسته­ای اتم­ها، پوسته­ها را با الکترون­ها­یی که انرژی­شان به ترتیب افزایش می­یابد پر می­کنیم، و این آرایش الکترونی به گونه ­ای است که اصل طرد پائولی در آن رعایت می­ شود. بدین ترتیب، هر اتم متشکل است از: یک ناحیه مرکزی خنثی که پوسته­های پر دارد، و چند الکترون ظرفیت که در پوسته­ای خارج از این ناحیه مرکزی قرار می­گیرند. در این مدل، فرض بر این است که عمدتاً همین الکترون­ها­ی ظرفیت هستند که خواص اتم­ها را تعیین می­ کنند. هنگامی که پیش ­بینی­ها­ی این مدل را با بعضی از خواص اندازه ­گیری شده سیستم­ها­ی اتمی مقایسه می­کنیم، آنها را به خوبی با هم سازگار می­یابیم. بویژه مشاهده می­کنیم که تغیرات خواص اتمی در محدوده هر زیرپوسته تدریجی و کم است، در حالی وقتی از یک زیرپوسته به زیرپوسته دیگری می­رویم تغییرات خواص ناگهانی و زیاد است.

هنگامی که سعی می­کنیم تا این مدل را به قلمرو هسته­ای هم گسترش دهیم، از همان آغاز کار با چند مانع روبه­رو می­شویم. در مورد اتم­ها، پتانسیل حاکم را میدان کولنی هسته تأمین می­ کند. یعنی یک عامل خارجی زیرپوسته­ها (یا مدارها) را سازمان می­دهد. اما در مورد هسته هیچ عامل خارجیی وجود ندارد، و نوکلئون­ها در پتانسیلی که خودشان به وجود می­آورند در حرکت­اند. یکی دیگر از جنبه­ های جالب توجه نظریه پوسته­ای اتم­­ها وجود مدارهای فضایی است. خواص اتم­ها را اغلب بر حسب مدارهای فضایی الکترون­ها توصیف می­کنیم. الکترون­ها می­توانند نسبتاً آزادانه در این مدارها حرکت کنند، بدون اینکه برخوردی با الکترون­های دیگر داشته باشند. قطر نوکلئون­ها در مقایسه با اندازه هسته نسبتاً بزرگ است. در حالی که هر نوکلئون منفرد در خلال حرکتش در هر مدار می ­تواند برخوردهای متعددی با نوکلئون­های دیگر داشته باشد، چگونه می­توان نوکلئون­ها را در مدارهای کاملاً مشخص در حرکت تصور کرد. در مدل پوسته­ای، مسئله پتانسیل هسته­ای را با بیان این فرض بنیادی حل می کنیم: حرکت هر نوکلئون منفرد را تحت تأثیر پتانسیل واحدی که نوکلئون­های دیگر همه در تولید آن شرکت دارند، در نظر می­گیریم. اگر هر یک از نوکلئون­ها را به این نحو مورد بررسی قرار دهیم، آنگاه برای تمامی نوکلئون­های موجود در هسته می­توانیم ترازهای انرژی متناظر به زیر­پوسته­ها را به دست آوریم. وجود مدارهای فضایی مشخص را اصل طرد پائولی تعیین می کند. فرض می­کنیم که در یک هسته سنگین، تقریباً در ته چاه پتانسل، برخوردی بین دو نوکلئون صورت می­گیرد و نوکلئون­ها هنگام برخورد با هم انرژی تولید می­ کنند، اما اگر تمامی ترازهای انرژی تا تراز نوکلئون­های ظرفیت پر شده باشد، هیچ راهی برای کسب انرژی نوکلئون نمی­ماند؛ مگر آنکه مقدار انرژی به اندازه­ای باشد که نوکلئون را به تراز ظرفیت برساند. سایر ترازهای نزدیک­تر به تراز اولیه نوکلئون همگی پر هستند و نمی ­توانند یک نوکلئون اضافی را بپذیرند. انرژی لازم برای این انتقال که از ترازی نزدیک به تراز پایه به نوار ظرفیت انجام می­ شود، بیشتر از مقداری است که معمولا در برخورد بین دو نوکلئون از یکی از آنها به دیگری منتقل می­ شود. از این رو، چنین برخوردی بین نوکلئون­ها نمی­تواند صورت گیرد، و گویی نوکلئون­ها در حرکت مداری­شان با هیچ گونه ممانعتی از طرف نوکلئون­های درون هسته روبه­رو نمی­شوند [۲۶].

۳-۳-۲- پتانسیل مدل پوسته­ای

نخستین گام در ارائه مدل پوسته­ای، انتخاب پتانسیل هسته­ای مناسب است. در آغاز دو نوع پتانسیل چاه نامتناهی و نوسانگر هماهنگ را در نظر می­گیریم. همچنانکه در فیزیک اتمی دیدیم، واگنی هر تراز را تعداد نوکلئون­هایی که می­توانند در آن قرار بگیرند تعیین می کند. به عبارت دیگر، واگنی هر تراز برابر  می­ شود که در آن عامل  از طریق واگنی  وعامل۲ از طریق واگنی  حاصل شده است. نوترون­ها و پروتون­ها، چون ذرات نا­یکسان هستند، به طور جداگانه شمرده می­شوند. بنابرین در تراز  علاوه بر ۲ نوترون، ۲ پروتون هم می ­تواند قرار گیرد. ظهور اعداد جادویی ۲، ۸ و ۲۰ در هر دو نوع پتانسیل دل­گرم­کننده است، ولی در ترازهای انرژی بالاتر هیچ گونه ارتباطی با اعداد جادویی تجربی به چشم نمی­خورد. به عنوان اولین گام در اصلاح مدل، سعی می­کنیم پتانسیل واقع­بینانه­تری را انتخاب کنیم. چاه نامتناهی، بنابر دلایلی، تقریب خوبی برای پتانسیل هسته­ای نیست: برای جدا کردن یک نوترون یا پروتون از هسته، با صرف انرژی کافی باید بتوانیم آن را از چاه خارج کنیم. در این صورت، عمق چاه نمی­تواند بی­نهایت باشد. بعلاوه، لبه پتانسیل هسته­ای نباید تیز باشد بلکه مثل توزیع بار و جرم هسته­ای، مقدار پتانسیل بعد از شعاع میانگین R باید به آهستگی به سوی صفر میل کند. از طرف دیگر، پتانسیل نوسانگر هماهنگ هم لبه­اش به قدر کافی تیز نیست و انرژی جدایی آن نیز بی­نهایت می­ شود. از این رو، شکل واقع بینانه­تر پتانسیل را به صورت بینابینی

(۳-۲۰)

انتخاب می­کنیم که منحنی نمایش آن در شکل (۳-۴) رسم شده است. پارامترهای R و a به ترتیب شعاع میانگین و ضخامت پوست هستند، که مقادیرشان تقریبا برابر است با:  و  . عمق چاه  چنان تنظیم می شود که برای انرژی­های جدایی که از مرتبه  است، مقادیر مناسبی به دست می ­آید. ترازهای انرژی حاصل در شکل (۳-۵) نشان داده شده است. نتیجه پتانسیل جدید، در مقایسه با نوسانگر هماهنگ این است که واگنی l را در پوسته­های اصلی برطرف می کند. هر چه به طرف انرژی­های بالاتر پیش می­رویم، فاصله ایجاد شده در این مورد بیشتر می­ شود، به طوری که سرانجام این فاصله با فاصله بین ترازهای نوسانگر هماهنگ قابل مقایسه خواهد شد. وقتی پوسته­های حاصل را به ترتیب با  نوکلئون پر می کنیم، باز هم اعداد جادویی۲، ۸ و۲۰ را به دست می­آوریم، ولی اعداد جادویی بالاتر را نمی­ توان با این محاسبات پیدا کرد.

شکل (۳-۴): پتانسیل هسته­ای بین نوکلئون­های هسته به همراه پتانسیل کولونی

۳-۳-۳- پتانیسل اسپین– مدار

این پتانسیل را چگونه می­توانیم اصلاح کنیم تا همه اعداد جادویی را از آن به دست آوریم؟ چون نمی­خواهیم محتوای فیزیکی مدل را از بین ببریم، مسلماً نمی­توانیم تغییر زیادی در پتانسیل وارد کنیم. دلایل توجیهی معادله (۳-۲۰) را به عنوان یک حدس خوب پتانسیل هسته­ای قبلاً ارائه کردیم. بنابراین، برای بهبود محاسبات لازم است که جمله­های مختلفی به معادله (۳-۲۰) افزوده شود. در دهه ۱۹۴۰ تلاش­ های نافرجام زیادی برای یافتن این جمله تصحیحی صورت گرفت و سرانجام مایر^[۲۰]، هاکسل^[۲۱]، سوئس^[۲۲]، و جنسن^[۲۳] در سال ۱۹۴۹ موفق شدند که با افزودن یک پتانسیل اسپین- مدار فاصله­های مناسبی بین زیرپوسته­ها به دست آورند [۲۷ و ۲۸].

در اینجا، بار دیگر به فیزیک اتمی روی می­آوریم، یکی دیگر از مفاهیم آن را به کار می­گیریم. برهم­کنش اسپین- مدار در فیزیک اتمی که مولد ساختار ریز مشاهده شده در خطوط طیفی است، از برهم­کنش الکترومغناطیسی بین گشتاور مغناطیسی الکترون و میدان مغناطیسی ناشی از حرکت الکترون به دور هسته حاصل می­ شود. اثر این برهم­کنش نوعاً خیلی کوچک و شاید از مرتبه یک قسمت از  قسمت فاصله بین ترازهای اتمی است.

هیچ برهم­کنش الکترومغناطیسی از این نوع نخواهد توانست تغییرات محسوسی را در فواصل تراز هسته­ای ایجاد و اعداد جادویی تجربی را باز تولید کند. با وجود این، در اینجا مفهوم نیروی اسپین- مدار هسته­ای را به همان صورت نیروی اسپین- مدار اتمی، ولی نه از نوع الکترومغناطیسی آن، در نظر می­گیریم. در واقع، با توجه به آزمایش­های پراکندگی شواهدی قوی در دست است که حاکی از وجود نیروی اسپین- مدار در برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون است.

برهم­کنش اسپین- مدار را به صورت  در نظر می­گیریم، ولی شکل  خیلی مهم نیست. این عامل  است که باعث تجدید سازمان ترازها می­ شود. همچنان که در فیزیک اتمی دیدیم، حالت­ها را در حضور برهم­کنش اسپین- مدار باید با تکانه زاویه­ای کل  نشانه­گذاری کنیم. عدد کوانتومی اسپین هر نوکلئون برابر  است، پس مقادیر ممکن برای عدد کوانتمی تکانه زاویه­ای کل عبارت­اند از  و  (البته به استثنای مورد  که در آن فقط مقدار  مجاز است). مقدار انتظاری  را با بهره گرفتن از یک شگرد متداول می­توان محاسبه کرد. نخست مقدار  را به دست می­آوریم.

(۳-۲۱)

با قرار دادن مقادیر انتظاری در این معادله، رابطه زیر حاصل می­ شود.

(۳-۲۲)

اکنون تراز  را که دارای واگنی  است در نظر می­گیریم. مقادیر ممکن برای j در این تراز عبارت اند از  بنابراین، ترازهای مورد نظر به صورت  و  خواهند بود. واگنی هر تراز برابر  است که از مقادیر  حاصل می­ شود. (در حضور بر هم کنش اسپین- مدار،  و  دیگر اعداد کوانتومی «خوب» به حساب نمی­آیند و نمی­ توان آنها را برای نمایاندن حالت­ها یا شمردن واگنی­ها به کار برد.) در این صورت، ظرفیت نوکلئونی تراز  برابر ۶ و ظرفیت  برابر ۸ می­ شود که از جمع آنها مجداً تعداد ۱۴ حالت به دست می ­آید (تعداد حالت­های ممکن باید حفظ شود، فقط نحوه دسته­بندی آنها را تغییر داده­ایم ). فاصله انرژی بین حالت­های  و  که زوج اسپین- مدار یا دوتا­یه نامیده می­شوند، متناسب با مقدار  است. در واقع می­توان اختلاف انرژی هر زوج حالتی را که در آن  باشد، به کمک معادله (۳-۳) محاسبه کرد.

(۳-۲۳)

شکافتگی (یا فاصله) انرژی بین حالت­ها با افزایش j افزایش می­یابد. حال اگر اثر  به صورت منفی در نظر بگیریم، عضوی از زوج، که مقدار j در آن بزرگتر است در سطح پایین­تر قرار خواهد گرفت. اثر این شکافتگی در نمودار شکل (۳-۵) نشان داده شده است. در اینجا، تراز  در فاصله یا (گاف) بین پوسته­های دوم و سوم قرار می­گیرد. ظرفیت این تراز برابر ۸ نوکلئون است، بدین سان عدد جادویی ۲۸ از آرایش جدید حاصل خواهد شد. (شکافتگی­های p و d به اندازه­ای نیستند که تغییرات مهمی در دسته بندی ترازها به وجود آورند.) اثر مهم بعدی ناشی از جمله تصحیحی اسپین- مدار را در تراز  می­بینیم. حالت  آن قدر به پایین رانده می­ شود که در پوسته اصلی پایین­تر قرار می­گیرد، و وقتی ظرفیت ۱۰ نوکلئونی آن به پوسته ۴۰ نوکلئونی قبلی افزوده می­ شود، عدد جادویی ۵۰ به دست می­­آید. این اثر روی پوسته­های اصلی دیگر نیز تکرار می­ شود. در هریک از این موارد، عضو کم انرژی­تر زوج اسپین- مدار از پوسته بعدی به پوسته قبلی تنزل می­ کند، و بدین ترتیب باقیمانده اعداد جادویی هم طبق انتظار به دست می ­آید.

شکل (۳-۵): ترازهای انرژی هسته­ها. a) با در نظر گرفتن پتانسیل نوسانگر هماهنگ ساده. b) با در نظر گرفتن چاه پتانسیل با لبه­های گرد شده. c) چاه پتانسیل با لبه گرد شده همراه با برهم­کنش اسپین- مدار.

مدل پوسته­ای، با وجود سادگی­اش، در توضیح اسپین و پاریته حالت پایه تقریباً تمام هسته­ها موفق بوده است، و آنها را به خوبی باز تولید می­ کند. برای گشتاورهای دوقطبی مغناطیسی و چارقطبی الکتریکی آنها نیز توضیحی نسبتاً موفق (و رضایت­بخش) به دست می­دهد. کاربرد خاصی از مدل پوسته­ای را که در اینجا در نظر گرفتیم، مدل ذره خیلی مستقل^[۲۴] می­گویند. فرضیه اساسی مدل ذره­ی خیلی مستقل این است که به استثنای یکی از نوکلئون­ها، بقیه نوکلئون­های موجود در هسته تزویج شده ­اند و خواص هسته از حرکت همین نوکلئون تزویج نشده منفرد ناشی می­ شود. روشن است که چنین برخوردی مسئله را بیش از حد ساده می­ کند، و بهتر است که در تقریب بعدی تمام ذرات موجود در زیرپوسته پر نشده را در نظر بگیریم [۲۶].

۳-۴- مدل قطره مایعی^[۲۵] و فرمول نیمه تجربی جرم

نظریه­ مفصل بستگی هسته­ای، مبتنی بر روش­های ریاضی و مفاهیم فیزیکی پیچیده، توسط “بروکنر” و همکارانش (از ۱۹۵۴ تا ۱۹۶۱) ابداع شده است. مدل بسیار ساده شده­ای نیز وجود دارد که در آن از بعضی ویژگی­های ظریف­تر نیروهای هسته­ای صرف­نظر می­ شود، ولی بر جاذبه­ی قوی بین نوکلئونی تاکید می­ کند. این مدل را وایس­زکر^[۲۶] بر پایه­ مانستگی قطره­ی مایع با ماده­ هسته­ای، که توسط بوهر^[۲۷] پیشنهاد شده بود، (۱۹۳۵)، به دست آورد [۲۹-۳۱]. فرض­های اساسی به قرار زیرند.

هسته متشکل از ماده­ تراکم ناپذیر است، به طوری که  .

نیروی هسته­ای برای هر نوکلئون، مستقل از بار است، به نوع آن که پروتون باشد یا نوترون، بستگی ندارد و یکسان است.

آثار کولومبی و مکانیک کوانتومی را به طور جداگانه بررسی می­کنیم. طبق فرض­های ۱ و ۲، در یک هسته­ی نامتناهی با A نوکلئون، انرژی بستگی اصل متناسب با A است. اما چون هسته­های واقعی متناهی هستند، معمولا یک شکل کروی برای آن در نظر می­گیرند. از این رو نوکلئون­های سطحی، به اندازه­ آنچه هم اکنون تخمین زدیم، تحت جاذبه یکسان از طرف دیگر نوکلئون­ها قرار نمی­گیرند و از این رو باید جمله­ای متناسب با تعداد نوکلئون­های سطحی یا متناسب با مساحت سطح را از تخمین مبتنی بر هسته­ی نامتناهی، کم کرد. از طرفی نیروی دافعه کولومبی که بین تمام جفت پروتون­ها برقرار است، از انرژی بستگی کم خواهد کرد. (نیروی کولومبی دارای برد زیاد است و اشباع نمی­ شود). علاوه بر این، جمله­ای را باید معرفی کنیم که به هسته­های با  ، بیشترین بستگی را نسبت دهد. این جمله، پیامد مستقیمی از رفتار مکانیک کوانتومی نوترون­ها و پروتون­ها می­باشد. بالاخره، باید جملات تصحیحی لازمی را معرفی کنیم که بیشترین بستگی را برای هسته­های زوج- زوج و کمترین بستگی را برای هسته­های فرد- فرد به دست بدهند و آثار پوسته­ای را منعکس کنند.

اهمیت این مدل در این حقیقت نهفته است که می ­تواند جنبه­ های تجربی داده ­های جرم هسته­ای را تبیین کند. این امر مؤید آن است که جمله­ انرژی بستگی اصلی، که متناسب با A می­باشد، باید تصحیح شود. اما چون این جمله در بین فرض­های دیگر به فرض “استقلال از بار” نیروهای هسته­ای بستگی دارد، می­توان نتیجه گرفت که برهم­کنش­های هسته­ای n-n، p-p، p-n یکسان هستند.

انرژی بستگی، B، یک هسته عبارت است از اختلاف انرژی بین جرم هسته و جرم کل پروتون­ها (Z پروتون) و نوترون­های تشکیل دهنده آن (N نوترون) که به صورت زیر نوشته می­ شود.

(۳-۲۴)

رابطه انرژی بستگی کل یک هسته را می­توان به صورت زیر نوشت.

(۳-۲۵)

که در آن  جمله­ حجمی،  جمله سطحی متناسب با مساحت سطح کره  ،  جمله­ انرژی زوجیت^[۲۸]، که برای هسته­های با Aی فرد برابر صفر است، برای هسته­های (زوج- زوج) علامت (+) و برای هسته­های (فرد- فرد) علامت (-) را به کار می­بریم،  جمله­ پوسته­ای، که اگر N یا Z یک عدد جادویی باشد مثبت است. نمودار انرژی بستگی هسته­ها برحسب داده ­های تجربی و فرمول نیمه تجربی جرم در شکل­های (۳-۶) و (۳-۷) نشان داده شده است.

شکل (۳-۶): انرژی بستگی هسته­ها که به صورت تجربی به دست آمده­اند

شکل (۳-۷): انرژی بستگی هسته­ها بر اساس فرمول نیمه تجربی جرم

هرچند که مدل قطره مایعی را بیشتر بر حالت­های پایه اعمال می­ کنند، ولی می­توان آن را برای حالت­های برانگیخته نیز به کار برد. این حالت­ها می­توانند توسط نوسان­های سطحی قطره­ی هسته، یا توسط چین و شکن­هایی که بر روی سطح آن حرکت می­ کنند، ایجاد شوند. این عقیده مخصوصاً در توجیه بعضی از جنبه­ های شکافت هسته­ای موفق بوده است. مدل قطره مایعی بر آثار جمعی بین نوکلئون­های متعدد موجود در هسته نیز تأیید دارد و پیشقراول مدل­های جمعی ساختار هسته­ای است. آنچه در این مدل صراحت دارد تقسیم سریع انرژی بین نوکلئون­هاست که مبنای نظری بوهر را در مورد شکل­بندی هسته مرکب در واکنش­های هسته­ای تشکیل می­دهد [۳۲].

۳-۵- ساختار جمعی هسته­ها و ارتعاشات و دوران­های هسته

هنگامی که هسته­های زوج- زوج را بررسی می­کنیم ملاحظه می­کنیم که تقریباً همه آنها دارای حالت برانگیخته  در انرژی­های حدود  می­باشند. اگر از مدل پوسته­ای بخواهیم این حالت برانگیخته را توضیح دهیم باید یک جفت از نوکلئون­های تزویج شده شکسته شده و یکی از نوکلئون­ها به ترازی بالاتر برود. شکستن هر زوج مستلزم کسب انرژی در حدود  می­باشد. بنابراین با توجه به اینکه این حالت برانگیخته در اکثر هسته­ها وجود دارد، این حالت برانگیخته باید ناشی از خاصیت دیگری از هسته­ها باشد، که آن را به خاصیت جمعی هسته­ها ربط می­ دهند.

علاوه بر انرژی اولین حالت برانگیخته هسته­ها، که با افزایش هسته­ها به تدریج کاهش می­یابد، موارد استثنای دیگری نیز وجود دارد. نسبت  برای هسته­های سبک­تر از  تقریباً برابر با  و برای هسته­های  و  برابر مقدار ثابت  است. همچنین گشتاور دو قطبی مغناطیسی حالت­های  در گستره مقادیر  تا  تقریباً ثابت می­ماند، و گشتاور چارقطبی الکتریکی برای هسته­های  دارای مقادیر کوچک و برای هسته­های  داری مقادیر خیلی بزرگ­تر است. برای توضیح این خصوصیات باید دو نوع ساختار جمعی در نظر بگیریم، زیرا به نظر می­رسد که یک دسته از خواص به هسته­های  و دسته دیگر به هسته­های  مربوط می­ شود. که دسته اول را با بهره گرفتن از ارتعاشات هسته­ای و دسته دوم را با استفاده دوران­های هسته­ای بررسی می­ کنند. مدل جمعی هسته­ها را غالباً مدل قطره مایع می­گویند.

ارتعاشات هسته­ای

با در نظر گرفتن قطره مایعی که با بسامد زیاد در حال ارتعاش باشد، می­توان به مفهوم قابل قبولی از فیزیک ارتعاشات هسته­ای دست یافت. هر چند شکل چنین قطره­ای به طور متوسط کروی است، ولی شکل لحظه­ای آن کروی نیست. مختصه لحظه­ای  یک نقطه از سطح هسته را در زوایای  به آسانی می­توان به صورت هماهنگ کروی نشان داد. هر مولفه از هماهنگ کروی دارای دامنه  خواهد بود.

(۳-۲۶)

دامنه­های  کاملاً اختیاری نیستند، تقارن انعکاسی مستلزم آن است که  شود و اگر مایع هسته­ای را تراکم ناپذیر بگیریم، محدودیت­های دیگری هم وارد خواهد شد. جمله ثابت  ، در شعاع متوسط  مستتر است. ارتعاش نمونه­وار  ارتعاش دو قطبی نامیده می­ شود، باید توجه داشته باشیم که در این ارتعاش با جا به ­جایی مرکز جرم روبه­رو هستیم، و بنابراین نمی­توانیم آن را نتیجه عملکرد نیروهای درون هسته به شمار آوریم. در این صورت، پایین­ترین مد بعدی ارتعاش را که ارتعاش (چارقطبی)  است، در نظر می­گیریم، شکل (۳-۸). همانند نظریه کوانتمی الکترومغناطیسی که در آن واحد انرژی الکترومغناطیسی را فوتون می­نامند، یک کوانتوم انرژی ارتعاشی را فونون می­گویند. در هر جایی که ارتعاش مکانیکی وجود داشته باشد، می­توان گفت که فونون­های ارتعاشی تولید می­ شود. بدین گونه، واحد منفرد انرژی ارتعاشی متناظر به  را فونون چارقطبی می­نامند.

در اینجا نتیجه افزایش یک واحد انرژی ارتعاشی (یا یک فونون چارقطبی) را به حالت پایه هسته­­­­ای زوج - زوج مورد برسی قرار می­دهیم. فونون  حاوی ۲ واحد تکانه زاویه­ای (که درست مانند مورد  با  ، باعث افزایش مولفه  به تابع موج هسته می­ شود) و پاریته زوج است، زیرا پاریته  به صورت  است. با افزودن دو واحد تکانه زاویه­ای به حالت  یک حالت  حاصل می­ شود که با نتایج تجربی اسپین- پاریته نخستین حالت­های برانگیخته هسته­های زوج– زوج سازگاری دقیقی دارد. (در این نظریه، انرژی فوتون چارقطبی پیش ­بینی نمی­ شود و باید آن را به صورت یک پارامتر قابل تنظیم در نظر گرفت.) اکنون فرض می­کنیم که فونون چارقطبی دومی را هم به هسته افزوده­ایم. تعداد مولفه­های ممکن  برای هر فونون برابر ۵ است برای این دو فونون تعداد ۲۵ ترکیب  قابل تصور است. حال ترکیبات مختلف را بررسی می­کنیم. در میان این ترکیبات، یک حالت با جمع کل  وجود دارد. طبیعی است که این ترکیب را متناظر با انتقال ۴ واحد تکانه زاویه­ای تلقی کنیم. دو ترکیب با مقدار کل  وجود دارد که یکی از  و دیگری از  به دست می ­آید. اما وقتی ترکیب متقارن تابع موج­های فونونی را مورد توجه قرار می­دهیم، فقط یک نوع ترکیب دیده می­ شود. سه ترکیب با مقدار  وجود دارد که از مجموعه­های

 

حاصل می­ شود. از ترکیب اولی و سومی باید یک تابع موج متقارن به دست آید. پیش از این دیدیم که ترکیب  متقارن است. اگر تعداد ترکیب­های ممکن را به همین طریق تعیین کنیم، تعداد ترکیب­های مجاز را نه ۲۵ بلکه ۱۵ خواهیم یافت. این ترکیب­ها را به صورت زیر می­توان دسته­بندی کرد.

 

به این ترتیب، در انرژی معادل دو برابر نخستین حالت  (چون انرژی دو فونون یکسان، دو برابر انرژی یکی از آنهاست)، انتظار داریم که با سه تایه­ای از حالت­های  روبه­رو شویم. سه تایه  یکی از ویژگی­های مشترک هسته­های ارتعاشی است و پشتوانه­ای قوی برای اعتبار این مدل به شمار می­رود. این سه حالت، به دلیل اثرات دیگری که در این مدل ساده در نظر گرفته نشده­اند، هرگز انرژی دقیقاً یکسان ندارند. با محاسبه مشابهی می­توان نشان داد که با افزودن سه فونون چارقطبی به هسته، حالت­های  به دست می ­آید.

مد ارتعاشی بعدی، مد هشت قطبی  است که حاوی سه واحد تکانه زاویه­ای با پاریته منفی است. با افزایش یک فونون منفرد هشت قطبی به حالت پایه  یک حالت  حاصل می­ شود. معمولا در انرژی­های اندکی بالاتر از سه تایه دو فونونی، چنین حالت­هایی را هم می­­توان در هسته­های ارتعاشی پیدا کرد. وقتی به طرف انرژی­های بالاتر می­رویم، ساختار ارتعاشی به تدریج با ساختار برانگیزش ذره­ای جایگزین می­ شود که با شکسته شدن یک زوج حالت پایه متناظر است. بررسی این گونه برانگیختگی­ها پیچیده است، و جای بحث آن در ساختار جمعی هسته­ها نیست.

 

شکل (۳-۸): ارتعاشات چند قطبی هسته­ها، ارتعاش چارقطبی، هشت قطبی و شانزده قطبی.

دوران­های هسته­ای

حرکت دورانی را تنها در هسته­هایی می­توان مشاهده کرد که شکل تعادل غیر کروی دارند. این هسته­ها را که ممکن است تغیر شکل زیادی به نسبت شکل کروی در آنها رخ داده باشد، غالباً هسته­های تغیر شکل یافته می­گویند. این گونه هسته­ها در گستره­های جرمی  و  دیده می­شوند. شکل عمومی این نوع هسته­ها به صورت یک بیضی­وار دوار است شکل (۳-۹)، می­توان نشان داد که سطح آن­ها با معادله زیر توصیف می­ شود.

(۳-۲۷)

چون این معادله مستقل از  است، هسته دارای تقارن استوانه­ای است. رابطه بین پارامتر تغییر شکل  و خروج از مرکز بیضی به صورت زیر است.

(۳-۲۸)

که در آن  اختلاف طول محورهای بزرگ و کوچک بیضی است. معمولاً شعاع متوسط هسته را به صورت  در نظر می­گیرند که چندان دقیق نیست. چون حجم هسته­ای که با معادله (۳-۲۷) توصیف می­ شود کاملاً برابر  نمی­ شود، تقریب حاضر دقت زیادی ندارد. محور تقارن معادله (۳-۲۷) محور مرجعی است که زاویه  نسبت به آن تعریف می­ شود. هنگامی که  باشد، هسته به صورت یک بیضی­وار کشیده و طویل است؛ و هنگامی که  باشد، هسته به شکل یک بیضیوار پخت و پهن در می ­آید.

انرژی جنبشی یک جسم دوار به صورت  است، که در آن  گشتاور لختی جسم است. این مقدار انرژی را می­توان بر حسب تکانه زاویه­ای  به صورت  نوشت. اگر مقادیر کوانتوم مکانیکی  را در نظر بگیریم و عدد کوانتومی تکانه زاویه­ای را با I نشان دهیم، بنابر مکانیک کوانتومی انرژی جسم دوار چنین می­ شود.

(۳-۲۹)

افزایش انرژی دورانی هسته با افزایش عدد کوانتومی I متناظر است؛ و از توالی حالت­های برانگیخته هسته یک نوار دورانی به وجود می ­آید. (حالت­های برانگیخته در مولکول­ها هم نوار دورانی تشکیل می­ دهند که در این مورد دوران مولکول حول مرکز جرم آن خواهد بود.) حالت پایه یک هسته z زوج و N زوج، همیشه حالت  است و تقارن آینه­ای هسته در این مورد خاص باعث می­ شود که تمامی حالت­های دورانی به مقادیر زوج Iمحدود شوند. بنابراین، توالی حالت­ها چنین خواهد شد.

 

و همین طور تا آخر. با مقایسه این مقادیر انرژی با مقادیر مشاهده شده سازگاری خوبی مشاهده می­ شود، بخصوص نسبت  که از این طریق برابر با  به دست می ­آید که با مقدار تجربی مطابقت دارد. همچنین مقادیر گشتاورهای دوقطبی و چارقطبی که از این طریق محاسبه شده با مقادیر تجربی سازگاری دارد [۲۶ و ۳۳].

شکل (۳-۹): شکل تغییر شکل یافته هسته­ها، یک بیضی­وار پخت.

۳-۶- مدل شبه کوارکی هسته

در مدل ساختار جمعی هسته­ها، هسته همانند یک جسم واحد در نظر گرفته شده، مانند یک قطره مایع، بعضی از خواص هسته­ها نیز بر اساس همین فرض استخراج شده است، که در قسمت­ های قبلی بیان شدند. از طرفی در مدل پوسته­ای اجزاء تشکیل دهنده هسته­ها یعنی پروتون­ها و نوترون­ها نیز در نظر گرفته شده است. این مدل با در نظر گرفتن برهم­کنش هسته­ای بین نوکلئون­ها در توجیه بعضی خواص هسته­ای به خوبی موفق بوده است. مدل گاز فرمی که در ابتدای این فصل معرفی شده است، حالت بسیار ساده شده­ای است که جایگزین هسته شده است، این مدل گر چه در توجیه خواص هسته­ای چندان موفق نبوده ولی به هر حال در توجیه برخی خواص موفقیت­های داشته است.

در مدل شبه کوارکی علاوه بر اینکه پروتون­ها و نوترون­ها را در تشکیل هسته­ها در نظر می­گیرد، کوارک­های سازنده نوکلئون­ها را نیز در نظر می­گیرد. با توجه به نزدیکی بسیار زیاد نوکلئون­ها در هسته­ها، قطعاً کوارک­های سازنده آنها نیروی شدیدی به همدیگر وارد می­سازند، که باعث می­ شود نوکئلون­ها، به صورت لحظه­ای هم که باشد، فروپاشیده شوند و سپس نوکلئون­های جدید تشکیل گردند. این پروسه می ­تواند مکرراً در هسته در حال اتفاق باشد. گرچه در این شرایط محیط هسته را نمی­ توان یک محیط با کوارک­های آزاد در نظر گرفت. با این حال فرض می­ شود که هسته را با تقریب بتوان یک محیط کوارکی در نظر گرفت که شدیداً با هم برهم­کنش دارند. گرچه در این مدل نظریه واحدی که بتواند بعضی از خواص هسته را یکجا ارائه دهد وجود ندارد، با این حال با بهره گرفتن از این مدل می­توان اعداد جادویی هسته را به صورت غیر دینامیک باز تولید کرد. در این مدل فرمولی برای انرژی بستگی هسته­ها ارائه شده که هم­زمان هم کوارک­های سازنده هسته و هم نوکلئون­های سازنده هسته در نظر گرفته است. انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون تقریباً مقداری ثابت، حدود  است. با در نظر گرفتن تعداد پیوندهای کوارکی که در هسته وجود دارد، انرژی بستگی به ازای هر پیوند تقریباً ثابت و برابر با  به دست می ­آید. با بهبود رابطه انرژی بستگی مبتنی بر مدل شبه کوارکی می­توان سهمی­های جرم را نیز استخراج کرد. با بهره گرفتن از ساخنار کوارکی دوترون می­توان گشتاور دو قطبی مغناطیسی را به دست آورد، که سازگاری خوبی با مقدار اندازه ­گیری شده دارد. با بهره گرفتن از این مدل می­توان توضیحی بر نسبت پروتون­ها و نوترون­ها در هسته­های پایدار موجود در طبیعت ارائه داد. مواردی که در اینجا شمرده شدند در ادامه این فصل و دو فصل آینده به صورت مبسوط آورده شده ­اند.

۳-۶-۱- پلاسمای کوارک- گلوئونی و سرچشمه اعداد جادویی

در فیزیک هسته­ای، یک عدد جادویی تعداد نوکلئون­هایی (پروتون­ها و نوترون­ها) است که درون پوسته­های کامل مربوط به هسته­های اتمی قرار می­گیرند. این اعداد و وجود آنها اولین بار توسط السیسر^[۲۹] در سال ۱۹۳۳ [۳۴] مورد توجه قرار گرفته است. چیزی که باعث جادویی بودن این اعداد می­ شود، خواصی است که هسته­هایی با این تعداد پروتون­ها و نوترون­ها دارا می­باشند. از مهم­ترین این خواص می­توان به این نکات اشاره نمود: پایداری هسته­های جادویی، فراوانی بیشتر هسته­های جادویی در عالم.

این مدل فرض بر این دارد که در محیط ترمودینامیکی پلاسمای کوارک– گلوئونی، کوارک­های تقریباً مجزا سعی در تشکیل نوکلئون­ها دارند؛ و اگر بپذیریم که تعادل و پایداری هر سیستم ترمودینامیکی در بیشینه بی­نظمی و بیشترین مقدار ترکیب­ها رخ می دهد، آنگاه با در نظر گرفتن سیستم­های جداگانه­ ای شامل یک کوارک مرکزی و تعداد ۲، ۳، ،۴ ،۵ ،۶ ،۷ و نهایتاً ۸ کوارک اطراف به حالت­های بیشینه­ای برابر با اعداد جادویی می­رسیم [۳۵ و ۳۶]. اگر پلاسمای کوارک- گلوئونی را به عنوان یک محیط ترمودینامیکی فرض نماییم، بایستی تحقیق نمود این محیط ترمودینامیکی که همانند هر محیط دیگر از این نوع به سمت بیشینه بی­نظمی پیش می­رود، چگونه به تعادل نزدیک می­ شود. حالت ترمودینامیکی از کوارک­ها را در نظر می­گیریم که این کوارک­ها تقریباً آزادانه در حال حرکت می­باشند. اگر دقیق­تر به محیط پلاسمای کوارک- گلوئونی نگاه کنیم، می­بینیم که در سوپ کوارک– گلوئونی آزادی محض وجود ندارد.

q

q

q

q

q

q

q

q

q

شکل (۳-۱۰): محیط یک پلاسمای کوارک- گلوئونی

در شکل (۳-۱۰) یک محیط پلاسمای کوارک– گلوئونی فرضی رسم شده است، که کوارک­ها همانند ذرات یک گاز ایده­ال در فضا پراکنده­اند. در این محیط فرضی یک کوارک را در نظر بگیرید که جهت تشکیل یک پروتون یا نوترون تلاش می کند. هر کوارک با گیرانداختن دو کوارک دیگر تشکیل یک نوکلئون می­دهد. در این فضای رقابتی میان کوارک­ها حالات مختلفی از تشکیل یک نوکلئون می ­تواند روی دهد. به عنوان مثال به شکل (۳-۱۱) توجه کنید.

u

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

شکل (۳-۱۱): شبکه مکعبی پلاسمای کوارک– گلوئونی [۳۶]

در این شکل کوارک­ها همانند یک محیط شبکه­ ای در اطراف یکدیگر قرار دارند. کوارک u مرکزی برای تشکیل یک نوترون در حال تلاش است، و برای این امر بایستی دو کوارک d را گیر اندازد. اگر چنین فرض کنیم که از تمام کوارک­های اطراف این کوارک u دو کوارک d باشد، آنگاه رقابت دو کوارک رقابت ساده­ای است. در نگاه اول یک حالت ممکن بیشتر وجود ندارد و آن هم حالت  است. در نگاه دقیق تر دو حالت وجود دارد، یعنی u قرمز به همراه  آبی و  سبز یا u قرمز به همراه  سبز و  آبی. پس دو حالت به دست می ­آید. حال شرایطی را در نظر بگیرید که ۳ کوارک d در اطراف کوارک u جهت پیوند با آن رقابت کنند. در چنین شرایطی ترکیبات ممکن عبارتند از: ud₁d₂، ud₁d₃ و ud₂d₃. اگر رنگ کوارک­ها را نیز منظور کنیم ۶ حالت ممکن به وجود می ­آید که این شش حالت با دو حالت قبل روی هم ۸ حالت را نشان می­ دهند. ذکر این نکته ضروری است که هر کدام از حالت­ها می ­تواند تشکیل یک نوکلئون بدهد ولی حداکثر حالاتی که می ­تواند با ۳ کوارک اتفاق بیفتد ۸ حالت است. مشابه حالت ۳ کوارکی عدد به دست آمده برای حالت ۴ کوارکی برابر ۲۰ می­باشد. با در نظر گرفتن ۵ کوارک d اطراف کوارک مرکزی با استدلالی مشابه استدلال بالا ۲۰ حالت جدید به دست خواهد آمد که با مجموع قبلی عدد ۴۰ برای عدد جادویی بعدی به دست خواهد آمد، در حالی که عدد جادویی بعدی برابر ۲۸ است. از آنجا که شرایط محیط کوارک– گلوئونی بیشتر به یک سوپ کوارک– گلوئونی شبیه است، مطابق تلاش­ های صورت گرفته در نظریه کرومودینامیک کوانتومی شبکه­ ای، این امر تقریباً محرز است که نیروی جاذبه بین کوارک­ها کاملاً از بین نمی­رود. بنابراین اگر هر کوارک d (اطراف u مرکزی) را نزدیک به کوارک­های دیگر فرض کنیم، آنگاه به عنوان مثال اگر کوارک  توسط u جذب شود. ناگزیر کوارک پنجمی که بیشترین نیروی جاذبه با  را دارد و نام آن را  می گذاریم، وارد کار می­ شود که آن را کوارک “تحمیل شده” می­نامیم. پس هر ۴ کوارک d هنگام جذب توسط کوارک u مرکزی می­توانند کوارکی را در سطحی فراتر از کوارک­های اولیه به واسطه فاصله نزدیک و یا اینکه باز نشدگی کامل از هم، به سیستم تحمیل نمایند، که این حالت جدید را چنین می نویسیم:

 

که به همراه رنگ­های مختلف آن ۸ حالت جدید به وجود می ­آید. این ۸ حالت و ۲۰ حالت قبل جمعاً ۲۸ حالت در اختیار ما می­گذارد. به طور مشابه برای ۵، ۶ و ۷ کوارک d اعداد ۵۰، ۸۲ و ۱۲۶ و نهایتاً با ۸ کوارک عدد ۱۸۴ به دست می آید. شواهدی مبنی بر وجود چنین عدد جادویی وجود دارد [۳۷ و ۳۸]. به منظور به دست آوردن اعداد جادویی بالاتر، باید شبکه ­های هندسی دیگری را در نظر گرفت و یا اینکه علاوه بر در نظر گرفتن کوارک­های سطح اول و دوم، کوارک­های سطح سوم را نیز در نظر گرفت.

۳-۶-۳- محاسبه انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی بین نوکلئون­ها

انرژی بستگی که به طور معمول در فیزیک هسته­ای به کار برده می­ شود، انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون است. با در نظر گرفتن کوارک­های محتوایی هسته­ها انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی که بین نوکلئون­ها به وجود می ­آید محاسبه شده است [۳۹ و ۴۰]. با توجه به حجم هسته و حجم نوکلئون­های تشکیل دهنده هسته، تابع موج هر نوکلئون ناچاراً با نوکلئون­های همسایه خود، در ناحیه­ای همپوشانی خواهد داشت. ناحیه­های همپوشانی شده را به عنوان یک پیوند کوارکی بین نوکلئون­ها در نظر می­گیریم. طوری که نوکلئون­ها در این ناحیه، با گسیل گلوئون با همدیگر برهم­کنش دارند. منشأ اصلی انرژی بستگی هسته­ها، کوارک­ها هستند. بنابراین انرژی بستگی کل کوارک­ها را با رابطه زیر تعریف می­کنیم و آن را با QBE^[30] نشان می­دهیم [۳۹].

(۳-۳۰)

در این رابطه BE همان انرژی بستگی هسته­ها­ست که به صورت تجربی بدست آمده است، و  قسمتی از انرژی بستگی کل کوارک­ها است که صرف غلبه بر دافعه کولمبی بین پروتون­ها می­ شود. انرژی کولمبی، یا  ، با رابطه زیر بیان می­ شود.

(۳-۳۱)

از طرف دیگر با شمارش تعداد پیوند­های کوارکی (NQB^[31]) که نوکلئون­ها را در درون هر هسته مقید نگه می­دارد، می­توان نسبت  را محاسبه کرد.

 

شکل (۳-۱۲): پیوند کوارکی بین دو نوکلئون تشکیل دهنده دوترون. همانطور که در شکل نشان داده شده دو نوکلئون با هم هم­پوشانی دارند، که این هم­پوشانی معادل یک پیوند کوارکی در نظر گرفته می­ شود.

در ابتدا هسته­های سبک را در نظر می­گیریم، دوترون دارای دو نوکلئون است و مانند شکل (۳-۱۲) با همدیگر همپوشانی دارند. در اینجا یک ناحیه همپوشانی شده وجود دارد که آن را معادل یک پیوند کوارکی در نظر می­گیریم. هسته­های هلیوم-۳ و تریتیم ساختاری همانند شکل (۳-۱۳) تشکیل می­ دهند. که در هر کدام سه پیوند کوارکی وجود دارد، هلیوم-۴ ساختاری مانند شکل (۳-۱۴) دارد که دارای ۶ پیوند کوارکی است. با در نظر گرفتن  و  انرژی بستگی کوارک­ها برابر  و انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی برابر با  به دست می ­آید.

 

شکل (۳-۱۳): پیوند­های کوارکی بین نوکلئون­ها با  ، هسته­های هلیوم-۳ و تریتیم

 

شکل (۳-۱۴): ۶ پیوند­ کوارکی موجود بین نوکلئون­های هسته هلیوم

به منظور اینکه این بحث را به کل هسته­ها تعمیم دهیم، و تعداد پیوند­های کوارکی بین نوکلئون­های هسته را مشخص کنیم، نکات زیر را در نظر می­گیریم.

توزیع نوکلئون­ها در هسته باید متقارن باشد.

هسته ترجیحاً شکل کروی داشته باشد.

برای یک هسته مشخص حالت­های گوناگونی را ممکن است بتوان در نظر گرفت. اما چون برهم­کنش قوی بین کوارک­ها وجود دارد، لاجرم حالتی را در نظر می­گیریم که تعداد پیوندهای کوارکی آن ماکزیمم باشد.

به همین منظور، اولین مرحله یافتن این است که نوکلئون­ها چگونه در هسته مرتب شده ­اند. همانطور که بیان شد نوکلئون­ها باید به صورت متقارن و کروی قرار گیرند. نوکلئون­ها تشکیل یک شبکه می­ دهند. به طور خاص یک سری صفحات یا لایه­ های موازی را در نظر می­گیریم و نوکلئون­ها را با یک نظم متقارن در هر لایه قرار می­دهیم، مانند شکل (۳-۱۵)؛ به منظور ساده سازی بحث هر نوکلئون به صورت یک نقطه در این شکل نشان داده شده است. همچنین به منظور اینکه موضوع آشکارتر شود لایه ­ها را با فاصله نشان داده­ایم، که در واقع فاصله آنها در حدود  است، که دو نوکلئون همسایه در دو صفحه کنار هم همدیگر را جذب می­ کنند و تشکیل یک پیوند می­ دهند، که در شمارش تعداد پیوند­های کوارکی محاسبه می­شوند. برای شمارش تعداد پیوند­های کوارکی دو دسته پیوند بین نوکلئون­ها را در نظر می­گیریم:

هر نوکلئون در هر لایه با نوکلئون­های همسایه­اش؛

در دو لایه مجاور اگر فاصله یک نوکلئون در یک لایه تا فاصله نوکلئونی دیگر در لایه مجاور در حدود  باشد پیوند کوارکی دارند.

 

شکل (۳-۱۵): نوکلئون­ها در هسته به صورت متقارن بر روی یک سری صفحات موازی قرار می­گیرند. هر نوکلئون با نوکلئون­های همسایه خود پیوند کوارکی می­سازد. در این شکل صفحات با فاصله از یکدیگر نشان داده شده ­اند، اما در واقع فاصله آنها از مرتبه فاصله نوکلئون­ها با یکدیگر است.

به عنوان مثال خاص هسته کلسیم  را بررسی می­کنیم. توزیع نوکلئون­ها در لایه­ های مختلف همانطور که در شکل (۳-۱۵) نشان داده شده به قرار زیر است.

 

در اینجا  به این معنی است که در لایه  ، ۱۲ نوکلئون جای می­گیرد و . . . ،که تعداد کل نوکلئون­ها برابر ۴۰ به دست می ­آید. این پیوندها در شکل (۱۶-۳) نشان داده شده است. در این شکل هر دایره نمایانگر یک نوکلئون است، و ناحیه هم­پوشانی بین هر دو نوکلئون نمایانگر یک پیوند کوارکی بین آن دو نوکلئون می­باشد.

 

شکل (۳-۱۶): پیوند­های کوارکی بین نوکلئون­های تشکیل دهنده کلسیم  ، هر دایره نمایانگر یک نوکلئون است و هر ناحیه هم­پوشانی نمایانگر یک پیوند کوارکی است.

همانطور که دیده می­ شود امکان نمایش ناحیه هم­پوشانی بین دو نوکلئون مجاور از دو لایه مجاور وجود ندارد، در عوض پیوند کوارکی بین این دو نوکلئون را با یک مثلث توپر نشان داده­ایم، همانطور که در شکل (۳-۱۷) دیده می­ شود امکان نمایش ناحیه هم­پوشانی بین دو نوکلئون  و  نیست در عوض با یک مثلث توپر نشان داده شده است. با شمارش این مثلث­ها­ی توپر تعداد پیوند­های بین لایه­ های مجاور به دست می ­آید. نتیجه حاصل برای کلسیم  در جدول (۳-۱) نشان داده شده است، که تعداد کل پیوند­های کوارکی این هسته برابر ۱۵۲ به دست می ­آید و بنابراین مقدار زیر برای نسبت  به دست می ­آید.

(۳-۳۲)

خلاصه نتایج در جدول (۳-۱) نشان داده شده است.

جدول (۳-۱): تعداد پیوندهای کوارکی بین نوکلئون­های تشکیل دهنده کلسیوم

الف- تعداد پیوندهای کوارکی که نوکلئون­های واقع در هر لایه بین خود به وجود می­آورند. در لایه a ، ۱۶ در لایه b، ۱۲ و در لایه  ، ۱۲ در لایه c، ۴ و در لایه  ، ۴ در لایه d ، صفر و در لایه  ، صفر ب- تعداد پیوندهای کوارکی که نوکلئون­های واقع در دو لایه مجاور با هم تشکیل می­ دهند. بین لایه a و b، ۳۲ بین لایه a و  ، ۳۲ بین لایه b و c، ۱۶ بین لایه  و  ، ۱۶ بین لایه c و d، ۴ بین لایه  و  ، ۴ تعداد کل پیوند­های کوارکی برابر با ۱۵۲ است.

به همین طریق نتایج برای ۶۴ هسته پایدار محاسبه گردیده و در جدول (۳-۲) نشان داده شده است. مقدار انرژی بستگی به ازای هر پیوند در همه هسته­ها تقریباً ثابت و برابر با  به دست می ­آید. ثابت بودن تقریبی این کمیت قابل توجه است.

 

شکل (۳-۱۷): پیوندهای کوارکی که بین دو نوکلئون در دو لایه مجاور قرار دارند، به وسیله یک مثلث توپر نشان داده­ شده است. همانند پیوند بین نوکلئون­های و ، که با یک مثلث توپر مشخص شده است.

استفاده از مدل شبه کوارکی در بحث انرژی بستگی هسته­ها فوایدی در بر دارد که در اینجا بیان می­شوند.

به طور معمول در فیزیک هسته­ای، انرژی بستگی به ازای نوکلئون معرفی می­ شود، که ایده­ای در مورد منشأ نیروی هسته­ای به دست نمی­دهد. اما معرفی انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی بین نوکلئون­ها، انرژی بستگی را مستقیماً به نیروی قوی بین کوارک­ها ربط می­دهد.

مقدار به دست آمده برای کمیت انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی، مقداری تقریباً ثابت است (به ازای  ). ثابت بودن این کمیت یک نتیجه مهم به حساب می ­آید.

همانطور که می­دانیم، یک جمله متناسب با سطح هسته در رابطه انرژی بستگی منتج از مدل قطره مایع وجود دارد. اما اگر انرژی بستگی را به تعداد پیوند­های کوارکی ربط دهیم، نیازی به چنین جمله­ای نیست، چرا که نوکلئون­هایی که در سطح هسته قرار دارند تعداد پیوند­های کوارکی کمتری دارند، چون تعداد نوکلئون­های اطراف آنها کمتر است، و بنابراین نیاز به جمله سطحی خود به خود حذف می­ شود.

جدول (۳-۲): انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی بین نوکلئون­های هسته، برای ۶۴ هسته مختلف.

	Nuclide	No		Nuclide	No
۲.۸۱۷   ۳۳ ۲.۷۱۰   ۳۴ ۲.۸۰۰   ۳۵ ۲.۸۳۰   ۳۶ ۲.۶۹۰   ۳۷ ۲.۶۷۰   ۳۸ ۲.۹۱۰   ۳۹ ۲.۹۸۹   ۴۰ ۲.۹۶۰   ۴۱ ۲.۷۵۰   ۴۲ ۲.۸۲۰   ۴۳ ۲.۷۴۰   ۴۴ ۲.۸۳۰   ۴۵ ۲.۸۰۰   ۴۶ ۲.۷۷۰   ۴۷ ۲.۷۰۰   ۴۸ ۲.۸۱۰   ۴۹ ۲.۷۰۷   ۵۰ ۲.۷۶۰   ۵۱ ۲.۷۲۸   ۵۲ ۲.۷۰۷   ۵۳ ۲.۸۹۰   ۵۴ ۲.۷۷۵   ۵۵ ۲.۶۳۹   ۵۶ ۲.۶۹۴   ۵۷ ۲.۷۶۰   ۵۸ ۲.۷۴۷   ۵۹ ۲.۶۹۰   ۶۰ ۲.۷۴۰   ۶۱ ۲.۷۹۰   ۶۲ ۲.۷۲۰   ۶۳ ۲.۶۲۰   ۶۴			۲.۲۲۵   ۱ ۲.۶۵۰   ۲ ۲.۵۴۰   ۳ ۴.۷۶۰   ۴ ۲.۷۳۳   ۵ ۲.۷۳۷   ۶ ۲.۷۵۰   ۷ ۲.۷۲۰   ۸ ۲.۷۷۰   ۹ ۲.۹۶۶   ۱۰ ۲.۷۵۵   ۱۱ ۲.۶۹۶   ۱۲ ۲.۷۰۹   ۱۳ ۲.۸۴۰   ۱۴ ۲.۶۰۸   ۱۵ ۲.۶۷۵   ۱۶ ۲.۸۴۰   ۱۷ ۲.۸۹۰   ۱۸ ۲.۸۱۰   ۱۹ ۲.۸۴۰   ۲۰ ۲.۸۶۰   ۲۱ ۲.۷۹۳   ۲۲ ۲.۸۰۷   ۲۳ ۲.۹۱۰   ۲۴ ۲.۸۰۶   ۲۵ ۲.۸۸۹   ۲۶ ۲.۷۷۰   ۲۷ ۲.۷۳۸   ۲۸ ۲.۶۶۰   ۲۹ ۲.۷۵۰   ۳۰ ۲.۷۱۷   ۳۱ ۲.۷۷۶   ۳۲

۳-۶-۳- انرژی بستگی هسته­ها از دیدگاه مدل شبه کوارکی

به منظور به دست آوردن انرژی بستگی هسته­ای، با نگاه شبه– کوارکی به نکات زیر توجه می­کنیم:

برای تشکیل هسته باید انرژی بستگی مثبت باشد.

انرژی بستگی مثبت از مرتبه یک درصد انرژی جرم سکون کوارک­های درون هسته  می­باشد، که q نشان دهنده کوارک بالا و یا پایین است.

در این مدل انرژی بستگی با حجم پلاسمای کوارک گلوئونی متناسب است. با توجه به اینکه هر نوکلئون از سه کوارک تشکیل شده است، لذا به ازای عدد جرمی A برای هسته، انرژی بستگی متناسب با A3 است.

با توجه به عدم تقارون بین تعداد پروتون­ها و نوترون­ها، به خصوص در هسته­های سنگین و در نظر گرفتن نیروی کولنی می­توان این عدم تقارن و تصحیح کولنی را مابین کوارک­های بالا و پایین موجود در پلاسمای کوارک– گلوئونی درون هسته را به صورت  در نظر گرفت.

با در نظر گرفتن نکات فوق فرمول زیر برای محاسبه انرژی بستگی هسته­ها ارائه شده است [۴۱].

(۳-۳۳)

مشابه با فرمول نیمه تجربی جرم در مدل قطره مایعی، هر جمله در معادله بالا شامل مفاهیم فیزیکی است. اولین ضریب،  مربوط به قانون  با  است، که نشان دهنده تقارون سه­گانه کوارکی درون هسته­هاست.  ثابتی است که مقدار آن بین ۹۰ تا ۱۰۰ قرار دارد، و رابطه  برقرار است. جرم کوارک «بالا»ی ظاهر شده در فرمول بالا به خاطر نقش بارز کوارک بالا در اغلب باریون­های پایدار مانند پروتون می باشد [۴۱]. نمودار انرژی بستگی هسته­ها بر اساس رابطه ارائه شده در اینجا در شکل (۳-۱۹) نشان داده شده است.

۳-۶-۴- بهبود انرژی بستگی هسته­ها در مدل شبه کوارکی

به منظور بهبود انرژی بستگی هسته­ها نسبت به مقادیر اندازه ­گیری شده و همچنین به دست آوردن سهمی­های جرم به در هسته­هایی که عدد جرمی یکسانی دارند، رابطه (۳-۳۳) را به صورت زیر بازنویسی می­کنیم [۴۲].

(۳-۳۴)

در اینجا  جرم نوکلئون است. بررسی­های ما نشان داد که ضریب  خود به عدد جرمی و عدد اتمی وابسته است، دلیل این وابستگی به خاطر نیروی کولمب می­باشد. رابطه را با اعمال تغییراتی به صورت زیر می­نویسیم [۴۲]:

(۳-۳۵)

در اینجا روابط زیر برقرار است.

 

همانطور که در این رابطه مشاهده می­ شود، همه کمیت­ها مشخص است تنها ضریب n است که بین یک محدوده کوچک تغییر می­ کند. حال با این فرمول بهبود یافته سهمی­های جرم را به دست می­آوریم. در ابتدا معادله جرم هسته­ها را می­نویسیم:

(۳-۳۶)

با مشتق گرفتن از  نسبت به Z و قرار دادن آن برابر با صفر مقدار کمینه  را به دست می­آوریم.

(۳-۳۷)

در این رابطه

 

در شکل (۳-۱۸) سهمی­های جرم برای A فرد  و A زوج  رسم شده است. در این نمودار  با یک پیکان رو به پایین مشخص شده است. برای A فرد تنها یک سهمی داده شده، در حالی که برای A زوج دو سهمی رسم شده است. همانطور که در این شکل دیده می­ شود برای  تنها یک ایزوبار پایدار یعنی  ، که بسیار نزدیک یافته ما،  ، است، وجود دارد. اما در مورد  که دو سهمی وجود دارد دو ایزوبار پایدار وجود دارد  و  ، بر اساس سهمی جرم بدست آمده احتمال  بیشترین است. در مدل قطره مایع برای  مقدار  و برای  مقدار  [۳۲] پیش ­بینی می­ شود [۴۲].

شکل (۳-۱۸): سهمی­های جرم. (a) سهمی­های جرم هسته­های با عدد جرمی زوج  و (b) سهمی جرم هسته­های با عدد جرمی فرد

رابطه (۳-۳۵) نه تنها باعث شد تا بتوانیم نمودار سهمی­های جرم را استخراج کنیم بلکه باعث شده است تا مقادیر انرژی بستگی به دست آمده برای هسته­های پایدار با مقادیر اندازه ­گیری شده هم­خوانی بهتری داشته باشد. در روابط زیر این مقایسه به صورت کمی بیان شده است.

(۳-۳۸)

در این رابطه  انرژی بستگی اندازه ­گیری شده هسته­ها،  انرژی بستگی حاصل از مدل قطره مایع LDM،  انرژی بستگی منتج شده از مدل شبه کوارکی (^[۳۲]QLM)و  انرژی بستگی حاصل از مدل شبه کوارکی بهبود یافته یا MQLM^[33] است.

شکل (۳-۱۹): انرژی بستگی هسته­ها بر اساس داده ­های مدل شبه کوارکی هسته­ها

۴- محاسبه گشتاور دو قطبی دوترون بر اساس ساختار کوارکی آن و مقایسه با مقدار آزمایشگاهی آن

۴-۱- مقدمه

در حضور مواد مغناطیسی، دو قطبی مغناطیسی تمایل به تراز نمودن خود در یک جهت خاص دارد. این جهت طبق تعریف، جهت چگالی شار مغناطیسی است که معمولاً با B نشان داده می­ شود، مشروط بر اینکه دو قطبی مغناطیسی بقدری کوچک و ضعیف باشد که میدان موجود را آشفته نکند. اندازه چگالی شار مغناطیسی فوق را می­توان با گشتاور مکانیکی N، که روی دو قطبی مغناطیسی وارد می­ شود تعریف کرد.

(۴-۱)

در اینجا  گشتاور دوقطبی مغناطیسی است. ساده­ترین مثالی که برای یک دوقطبی مغناطیسی می­توان بیان کرد، یک سیم دایروی تخت حامل جریان الکتریکی می­باشد. گشتاور مغناطیسی حاصل از این حلقه سیم را نیز گشتاور دوقطبی مغناطیسی می­نامند. در حالت کلی گشتاور مغناطیسی در الکترودینامیک با رابطه زیر بیان می­گردد [۴۳].

(۴-۲)

این رابطه برای یک حلقه جریان به شکل زیر در می ­آید.

(۴-۳)

در این روابط m، گشتاور مغناطیسی، r بردار مکان و I جریان موجود در مدار است. اگر این رابطه برای یک حلقه دایروی تخت جریان به کار گرفته شود، مقدار حاصل که همان گشتاور دوقطبی مغناطیسی است برابر است با  . اگر جریان I در اثر گردش بار e که با سرعت v در دایره­ای به شعاع r (و با دوره تناوب  ) در حرکت است به وجود آید، رابطه زیر به دست می ­آید.

(۴-۴)

که در آن  تکانه زاویه­ای کلاسیک بار متحرک یا mvr است. در مکانیک کوانتومی، گشتاور مغناطیسی قابل مشاهده به طور عملیاتی در راستای بزرگترین مؤلفه l تعریف می­ شود. چنانچه به جای l مقدار انتظاری آن را نسبت به محوری که تصویر بردار تکانه روی آن بزرگ­ترین مقدار یعنی  است  قرار دهیم، معادله (۴-۴) را می­توان مستقیماً وارد محاسبات کوانتومی کرد. در این صورت:

(۴-۵)

که در آن l اکنون عدد کوانتومی تکانه زاویه­ای است. کمیت  را یک مگنتون می­نامند. در حرکت­های اتمی، به­جای m جرم الکترون را قرار می­ دهند و مگنتون بور را به صورت  به دست می­آورند. اگر به جای m جرم پروتون قرار گیرد، مگنتون هسته­ای به صورت  به دست می ­آید. توجه داشته باشیم که به خاطر اختلاف جرم پروتون و الکترون  ، یعنی در بسیاری از شرایط، مغناطیس اتمی خیلی قوی­تر از مغناطیس هسته­ای است. برهم­کنش­های مغناطیسی عادی در ماده (مثل خاصیت فرومغناطیسی) از طریق مغناطیس اتمی ماده تعیین می­ شود. اثرات مغناطیس هسته­ای مواد را فقط در شرایط خیلی خاص می­توان مشاهده کرد. معادله (۴-۵) را به شکل مفیدتر زیر می­توان نوشت.

(۴-۶)

که در آن  را ضریب g می­گویند که به تکانه زاویه­ای مداری l وابسته است. برای پروتون­ها  است. چون نوترون­ها بار الکتریکی ندارند، در صورتی می­توان از این معادله برای توصیف حرکت مداری نوترون­ها استفاده کرد که در مورد آنها  باشد.

تا کنون فقط حرکت مداری نوکلئون­ها را در نظر گرفته­ایم. پروتون­ها و نوترون­ها هم مانند الکترون­ها، علاوه برگشتاور مداری، دارای گشتاور مغناطیسی ذاتی یا اسپینی هستند که هیچ­گونه مشابه کلاسیکی ندارند. در اینجا این گشتاور به همان صورت معادله (۴-۶) در نظر گرفته می­ شود.

(۴-۷)

که در آن برای هر سه ذره­ی پروتون، نوترون و الکترون  است. کمیت  را ضریب اسپینی g گویند که از حل معادله نسبیتی مکانیک کوانتومی حاصل می­ شود. برای ذره­ای مانند الکترون که ذره­ای نقطه­ای با اسپین  است، بنابر معادله دیراک  است، که با مقدار حاصل از اندازه ­گیری  سازگاری خیلی خوبی دارد. اختلاف بین  و عدد ۲ خیلی کم و با در نظر گرفتن مراتب بالاتر تصحیحات الکترودینامیک کوانتومی به دقت قابل محاسبه است. اما تفاوت بین مقادیر تجربی  برای نوکلئون­های آزاد، و مقدار انتظاری ذرات نقطه­ای خیلی چشم­گیر است [۴۴].

(۴-۸)

در اینجا نه تنها اختلاف بین گشتاور مغناطیسی تجربی پروتون و مقدار انتظاری ۲ برای یک ذره­ی نقطه­ای بسیار زیاد است، بلکه برای نوترون بدون بار هم گشتاور مغناطیسی غیر صفر به دست آمده است. شاید این اختلافات اولین قرائنی باشند که نشان می­دهد نوکلئون­ها ذراتی نقطه­ای مانند الکترون نیستند، بلکه دارای ساختار درونی هستند. در ساختار داخلی نوکلئون­ها باید ذرات باردار در حال حرکت دخالت داشته باشند، و حرکت این ذرات باردار باید به تولید جریان­هایی منجر شود که با گشتاور مغناطیسی مشاهده شده سازگار باشد. یکی از نکات جالب توجه این است که  پروتون در حدود ۶_/۳ از مقدار انتظاری­اش بزرگ­تر است، در حالی که  نوترون در همین حدود از مقدار انتظاری آن (صفر) کوچک­تر است. امروزه نوکلئون­ها را متشکل از سه کوارک در نظر می­گیرند، و گشتاور مغناطیسی هر نوکلئون را مستقیماً از جمع گشتاورهای مغناطیسی کوارک­ها به دست می­آورند [۴۵].

نیروی تزویج در هسته­ها، جفت­شدگی میان نوکلئون­ها را چنان تنظیم می­ کند که برایند تکانه­های زاویه­ای مداری و اسپینی هر زوج برابر صفر می­ شود. بدین ترتیب، نوکلئون­های تزویج شده هیچ­گونه سهمی در گشتاور مغناطیسی ندارند، و در تعیین آن فقط کافی است که نوکلئون­های ظرفیت را در نظر بگیریم. اگر چنین نبود، بر اساس ملاحظات آماری در بعضی از هسته­های سنگین احتمالاً با گشتاورهای مغناطیسی خیلی بزرگ که شاید به ده­ها مگنتون هسته­ای بالغ می­شد، روبرو می­شدیم. اما تا کنون هیچ هسته­ای با گشتاور مغناطیسی دوقطبی بزرگ­تر از حدود  مشاهده نشده است [۲۶].

۴-۲- گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون در مدل پوسته­ای

دوترون از گردهمایی یک پروتون و یک نوترون تشکیل می­ شود. این هسته ساده­ترین حالت مقید نوکلئون­هاست. انرژی بستگی دوترون نسبت به دیگر هسته­های پایدار کم است. این انرژی بستگی در حدود  است، در اندازه ­گیری آن از روش دوتایه جرمی استفاده شده است. تکانه زاویه­ای کل دوترون، I، برابر با یک است. این تکانه زاویه­ای دارای سه مؤلفه است که عبارتند از: اسپین هریک از ذرات پروتون و نوترون،  و  (که هر کدام برابر با  است)، و تکانه زاویه­ای مداری، l، نوکلئون­ها در حرکت حول مرکز جرم مشترک

(۴-۹)

یکی دیگر از خواص قابل تعیین دوترون، پاریته آن (به صورت زوج یا فرد) است که رفتار تابع موج را هنگام  نشان می­دهد. از بررسی واکنش­هایی که دوترون در آنها شرکت دارد و بررسی خواص فوتون گسیل شده در طی تشکیل دوترون، پاریته دوترون زوج به دست آمده است. پاریته منتسب به حرکت مداری به صورت  قابل تعیین است. با در نظر گرفتن اسپین و پاریته دوترون، تکانه زاویه­ای مداری دوترون می ­تواند صفر یا دو باشد. اگر فرض کنیم  باشد، حرکت مداری هیچ گونه سهمی در گشتاور دوقطبی مغناطیسی ندارد. بنابراین می­توان گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون را حاصل ترکیب گشتاورهای دوقطبی مغناطیسی نوترون و پروتون تلقی کرد.

(۴-۱۰)

در اینجا گشتاور دوقطبی محاسبه شده، در شرایطی که اسپین­ها بزرگ­ترین مقدارشان  را دارند محاسبه شده است. و  و  در رابطه (۴-۸) داده شده ­اند. مقداری که از طریق آزمایش به دست آمده برابر  [۲۶] است. با مقایسه سازگاری خوبی بین مقدار محاسبه شده و مقدار تجربی مشاهده می­ شود. در مدل پوسته­ای اختلافی که مشاهده می­ شود را ناشی از اختلاط تابع موج و وجود سهم کوچکی از حالت d  در تابع موج دوترون می­دانند.

(۴-۱۱)

گشتاور مغناطیسی دوترون به کمک این تابع موج، چنین به دست می­ید.

(۴-۱۲)

که در آن  همان مقداری است که در معادله (۴-۱۰) محاسبه شده است. برای محاسبه  با در نظر گرفتن اینکه دوترون از یک پروتون و یک نوترون تشکیل شده است، بنابراین هرکدام نصف تکانه زاویه­ای مداری دوترون را حمل می­ کنند؛ بنابراین عملگر گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون را می­توان به شکل زیر نوشت.

(۴-۱۳)

با به دست آوردن مقداری انتظاری این عملگر در راستای بزرگ­ترین مؤلفه تکانه زاویه­ای، یعنی  ، مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی به دست می ­آید. در مورد نوترون چون بدون بار الکتریکی است،  است.

(۴-۱۴)

با جایگذاری  از رابطه (۴-۱۳) به رابطه زیر می­رسیم.

(۴-۱۵)

حال با بهره گرفتن از روابط آشنای زیر، مقدار رابطه بالا بدست می ­آید.

(۴-۱۶)

(۴-۱۷)

(۴-۱۸)

با جایگذاری روابط (۴-۱۷) و (۴-۱۸) در رابطه (۴-۱۵) نتیجه زیر به دست می ­آید.

(۴-۱۹)

همان طور که قبلاً گفته شد تکانه زاویه­ای دوترون برابر با یک است، در اینجا یعنی  . اکنون اگر بخواهیم گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون با تکانه زاویه­ای مداری برابر با ۲ را حساب کنیم، با قرار دادن  ،  ،  و  در رابطه بالا به نتیجه زیر می­رسیم.

(۴-۲۰)

با جایگذاری  و  از رابطه (۴-۸) مقدار عددی گشتاور دو قطبی مغناطیسی برای حالت  به دست می ­آید. این مقدار برابر است با:  . با داشتن  حال می­توان مقادیر عددی  و  را به دست آورد.  و  . نتیجه­ای که گرفته می­ شود واضح است. تابع موج دوترون در حالت پایه از ۹۶ درصد  و ۴ درصد  تشکیل شده است [۲۶].

۴-۳- محاسبه گشتاور دوقطبی مغناطیسی دیگر هسته­ها در مدل پوسته­ای

به منظور به دست آوردن گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های با A فرد (عدد اتمی)، با در نظر گرفتن اینکه نوکلئون­های تزویج شده در ایجاد گشتاور دو قطبی مغناطیسی تأثیری ندارند و بنابراین تنها نوکلئون فرد باعث ایجاد گشتاور دو قطبی مغناطیسی می­ شود، به محاسبه آن می­پردازیم. برای این کار از رابطه (۴-۱۴) استفاده می­کنیم. عملگر گشتاور دو قطبی مغناطیسی را با رابطه زیر جایگزین می­کنیم.

(۴-۲۱)

در اینجا  ضریب اسپینی g نوکلئون و  ضریب g مداری نوکلئون فرد است. با جایگذاری این رابطه در رابطه (۴-۱۴) به رابطه زیر می­رسیم.

(۴-۲۲)

حال با بهره گرفتن از روابط (۴-۱۶) و (۴-۱۷) و در نظر گرفتن اینکه در مدل پوسته ای روابط زیر بین تکانه زاویه­ای کل و تکانه زاویه­ای مداری وجود دارد رابطه بالا را محاسبه می­کنیم.

(۴-۲۳)

(۴-۲۴)

در مدل پوسته­ای پتانسیل اسپین مدار به منظور باز تولید اعداد جادویی هسته­ای معرفی شد، که موفقیت بسیار خوبی در توضیح اعداد جادویی هسته­ای، پاریته و اسپین حالت پایه هسته­های پایدار موجود در طبیعت دارد. این پتانسیل اسپین مدار باعث تولید دو دسته گشتاور دو قطبی مغناطیسی، که بستگی به رابطه بین تکانه زاویه­ای مداری و تکانه زاویه­ای کل دارد، شد. گشتاور دوقطبی مغناطیسی هسته­ها که از طریق آزمایش به دست آمده نیز چنین الگویی را نشان می­دهد، اما مقادیر به دست آمده با مقادیر محاسبه شده متفاوت است. به منظور نزدیک شدن مقادیر محاسبه شده با مقادی آزمایشگاهی آن، بیان شده است که ضریب اسپینی g نوکلئون­های آزاد و ضریب اسپینی g نوکلئون­های مقید با هم برابر نیستند و رابطه تقریبی زیر بین آنها برقرار است [۴۶].

 

علت این رابطه در مدل پوسته­ای به ابر مزونی اطراف نوکلئون­ها در درون هسته نسبت داده می­ شود، چرا که در درون هسته نوکلئون­ها در فاصله نزدیک هم هستند، و به همین دلیل برهم­کنش شدیدتری با هم دارند. که این خود می ­تواند منجر به متلاشی شدن لحظه­ای نوکلئون شود. نتایج حاصل در شکل­های (۴-۱) و (۴-۲) آورده شده است.

شکل (۴-۱): مقادیر تجربی گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های پروتون فرد و پیش بینی مدل پوسته­ای.

شکل (۴-۲): مقادیر تجربی گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های نوترون فرد و پیش بینی مدل پوسته­ای.

۴-۴- محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون با بهره گرفتن از مدل شبه کوارکی

۴-۴-۱- مقدمه

بر طبق نظریه­ های موجود باریون­ها از سه کوارک تشکیل شده ­اند. کوارک­ها در شش طعم مختلف و سه رنگ آبی سبز و قرمز از ذرات بنیادی تشکیل دهنده جهان می­باشند.

هسته دوترون از یک پروتون و یک نوترون تشکیل شده است. برای محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون در مدل پوسته­ای با در نظر گرفتن اینکه هسته در حالت پایه دارای تکانه زاویه­ای مداری  است، گشتاور دو قطبی مغناطیسی را برابر با  به دست آورده­اند (معادله (۴-۱۰)). همان طور که در قسمت­ های قبلی گفته شد، به منظور بهبود نتیجه به دست آمده با مقدار آزمایشگاهی، در مدل پوسته­ای فرض شده است که حالت پایه دوترون ترکیبی از تکانه زاویه­ای مداری یک و دو می­باشد. در هسته­های سنگین­تر نیز، در این مدل مقدار ضریب g پروتون و نوترون مقید با ضریب g پروتون و نوترون آزاد، به منظور مطابقت با مقادیر آزمایشگاهی، متفاوت در نظر گرفته می­ شود. در اینجا دوترون را تشکیل شده از دو نوکلئون در نظر می­گیریم، یک پروتون و یک نوترون، ولی به خاطر نزدیکی این دو نوکلئون به هم، کواک­های سازنده آنها مرتباً با هم برهم­کنش دارند که این برهم­کنش باعث متلاشی شدن نوکلئون­ها می­گردد و سپس مجدداً به علت وجود نیروی قوی بین کوارک­ها، نوکلئون­ها تشکیل می­گردند. بنابراین دوترون را تشکیل شده از ۶ کوارک در نظر می­گیریم، که خود تشکیل دو نوکلئون می­ دهند. دوترون را تشکیل شده از ۳ کوارک u با رنگ­های مختلف و سه کوارک d با رنگ­های مختلف در نظر می گیریم. اگر سه کوارک u به سه رنگ مختلف قرمز، آبی و سبز باشد و سه کوارک d نیز سه رنگ مختلف داشته باشد، هر شش کوارک با در نظر گرفتن اصل طرد پائولی در یک تراز (تراز پایه) جای می گیرند. دوترون در حالت پایه دارای تکانه زاویه­ای مداری  می­باشد. در قسمت ۴-۴-۲ تابع موج دوترون را محاسبه می کنیم و در قسمت ۴-۴-۳ با بهره گرفتن از این تابع موج مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون را محاسبه می­کنیم.

۴-۴-۲- محاسبه تابع موج دوترون

تابع موج دوترون را بر اساس ساختار کوارکی آن می توان به شکل رابطه (۴-۲۵) نوشت، که شامل چهار قسمت جداگانه، تابع فضایی، تابع اسپینی، تابع طعم و تابع رنگ می باشد.

(۴-۲۵)

چون نوکلئون­ها و کوارک­ها همگی فرمیون هستند بنابراین از آمار فرمی- دیراک پیروی می­ کنند و تابع موج کل دوترون نتیجتاً بایستی پاد متقارن باشد (در اثر جایگشت هر دو نوکلئون و در داخل هر نوکلئون در اثر جایگشت هر دو تا کوارک). ما نمی­دانیم که شکل تابعی قسمت فضایی حالت پایه چگونه است اما مطمئناً متقارن می­باشد، به دلیل اینکه برای همه کوارک­ها،  . سه رنگ مولد تقارن رنگی SU(3) است، با کنار هم قرار دادن ۳ رنگ یک رنگ دهگانه دو رنگ هشت­گانه و یک رنگ یگانه به دست می آوریم.

(۴-۲۶)

به طور طبیعی تمام ذرات بی­رنگ هستند. در حقیقت این یک حالت ساده از قانون کلی­تر می­باشد. هر ذره که به گونه طبیعی به وجود آمده یک یگانه رنگ می­باشد. در SU(3) حالت یگانه کاملاً پاد متقارن می­باشد. بنابراین هر یک از دو نوکلئون دوترون دارای تابع رنگ یگانه و پاد متقارن است. حاصلضرب  از تابع موج دوترون را بهتر است بر حسب توابع موج پروتون و نوترون بنویسیم.

(۴-۲۷)

در این رابطه  و  به ترتیب تابع موج نوترون و پروتون است. چون نوکلئون­ها فرمیون هستند تابع موج کلی پاد متقارن می­باشد. نوکلئون­ها از ۳ کوارک تشکیل شده ­اند. برای به دست آوردن قسمت اسپینی با توجه به اینکه تشکیل گروه SU(2) می­ دهند داریم [۴۷]

(۴-۲۸)

(۴-۲۹)

(۴-۳۰)

(۴-۳۱)

ترکیب­های اسپین متقارن هستند ولی ترکیب­های اسپین به طور جزئی پاد متقارن هستند. جابجایی دو ذره منجر به تغییر علامت خواهد شد. مطابق زیرنویس در ردیف اول جابجایی دو ذره­ی ۲ و ۱ و در ردیف دوم جابجایی دو ذره ی ۳ و ۲ منجر به تغییر علامت رابطه می­ شود. همچنین می­توانیم یک جفت حالت نامتقارن را در ذره­ی ۱ و ۳ ایجاد کنیم.

(۴-۳۲)

اما (۴-۳۲) از دو تای دیگر مستقل نیست و مطابق رابطه زیر به آن­ها مربوط می­ شود.

(۴-۳۳)

قسمت  نوکلئون­ها چون از دو کوارک u و d تشکیل شده ­اند همانند قسمت اسپینی تشکیل گروه SU(2) می­ دهند و می­توان با جایگزینی اسپین با u و اسپین با d قسمت  را به دست آورد. چون همانطور که گفته شد تابع رنگ برای پروتون­ها پاد متقارن، تابع فضایی نیز به خاطر  متقارن است حاصلضرب  برای پروتون و نوترون باید متقارن باشد. اسپین نوکلئون­ها  است، بنابراین از تقارن­های آمیخته انتخاب می­ شود. بنابراین  نیز از تقارن­­های آمیخته انتخاب می شود. قسمت اسپین و طعم تابع موج نوکلئون به صورت زیر نوشته می­ شود.

(۴-۳۴)

(۴-۳۵)

که ۹ جمله متمایز می­باشد. تابع موج نوترون با تعویض در تابع موج پروتون به دست می ­آید. تابع موج دوترون به شکل زیر است.

(۴-۳۶)

با در نظر گرفتن مولفه­های اسپین تابع موج دوترون به شکل زیر خواهد بود.

(۴-۳۷)

در این رابطه حاصل­ضرب  با بهره گرفتن از رابطه (۴-۳۵) به صورت زیر در خواهد آمد.

(۴-۳۸)

که جمعاً  جمله خواهد بود که به صورت زیر خلاصه شده است.

(۴-۳۹)

جمله  نیز شامل ۸۱ جمله خواهد بود که با تعویض از حالت قبل به دست می آید.

۴-۴-۲- محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون

در غیاب حرکت اربیتال مقدار حرکت گشتاور مغناطیسی دوترون به طور ساده مجموع برداری شش کوارک تشکیل دهنده آن می­باشد.

(۴-۴۰)

این عبارت به ویژگی­های طعم کوارک ( زیرا کوارک­های u و d گشتاور مغناطیسی متفاوتی دارند) و به ترکیب اسپین (چون جهت نسبی شش دو قطبی را تعیین می­ کند) بستگی دارد.

گشتاور دو قطبی ذره­ای با اسپین ، بار q و جرم m عبارت است از:

(۴-۴۱)

در مکانیک کوانتومی، گشتاور مغناطیسی قابل مشاهده، به طور عملیاتی در راستای بزرگ­ترین مولفه تکانه زاویه­ای تعریف می­ شود [۲۶].

اندازه رابطه (۴-۴۱) برابر است با ، دقیق­تر بگوییم این اندازه  در حالت اسپین بالاست که برای آن . برای کوارک داریم

(۴-۴۲)

بنابراین گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون با رابطه زیر داده می­ شود؛

(۴-۴۳)

تابع موج دوترون در معادله (۴-۳۹) آمده است. جمله اول برابر  و حالا:

(۴-۴۴)

بنابراین مقدار انتظاری گشتاور مغناطیسی ناشی از جمله اول برابر است با:

(۴-۴۵)

برای تک­تک جملات به همین صورت محاسبه می­کنیم، که نتیجه به صورت زیر است.

(۴-۴۶)

همچنین برای جمله دیگر همین مقدار به دست خواهد آمد.

(۴-۴۷)

بنابراین گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون با رابطه زیر داده می شود.

(۴-۴۸)

(۴-۴۹)

(۴-۵۰)

 مگنتون هسته­ای است،  جرم پروتون و  جرم­های کوارک­های u و d است [۴۵].

اگر عدد به دست آمده را با مقدار مشاهده شده تجربی یعنی  مقایسه کنیم سازگاری خوبی یافت می شود. در مدل پوسته­ای با در نظر گرفتن اینکه دوترون در حالت پایه  است، مقداری که برای گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون به دست آمده است برابر با  است. با مقایسه معلوم می­ شود که مقداری که در اینجا به دست آورده­ایم به مقدار تجربی آن نزدیک­تر است. در مدل پوسته­ای برای اینکه سازگاری با مقدار طبیعی بیشتر شود فرض می شود که اتم تنها در حالت  نباشد بلکه تابع موج با حالت  مختلط شده است [۴۸]. مقدار عددیی که برای جرم کوارک در نظر گرفته شده، در واقع جرم موثر متوسط کوارک­های بالا و پایین در درون باریون­هاست، این امر ما را به سوی این موضوع رهنمون ساخت که کوارک­های سازنده دوترون می­توانند علاوه بر نوکلئون­ها دیگر باریون­ها را نیز تشکیل دهند. با در نظر گرفتن خصوصیات معلوم دوترون، باریون­هایی که احتمال تشکیل آنها در دوترون وجود دارد را مشخص می­کنیم و بر این اساس گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون را محاسبه می­کنیم.

 

محاسبه گشتاور دو قطبی دوترون با در نظر گرفتن امکان تشکیل باریون­های ، ، ، ، p و n

دوترون که از سه کوارک up و سه کوارک down تشکیل شده است فرض می­ شود که این شش کوارک کاملاً در درون دو نوکلئون مقید نیستند بلکه فرض می­ شود که این دو باریون به کوارک­های سازنده­یشان شکسته می­شوند و سپس دو باریون دیگر تشکیل می­ شود این دو باریون لزوماً دو نوکلئون یا دو باریون قبلی نیستند. تعداد زوج باریون­هایی که که می­توان از این شش کوارک تولید کرد شامل زوج­های ذیل می­باشد.

(۴-۵۱)

دوترون دارای بار الکتریکی واحد است و این شرط در نوشتن زوج باریون­های تشکیل شده دخالت داده شده است. اگر چه جرم باریون­های دلتا بیشتر از جرم نوکلئون­هاست و انرژی بستگی دوترون تنها کمی بیشتر از  است و نمی­تواند جواب­گوی این اضافه جرم باریون­های دلتا به نسبت نوکلئون­ها باشد، اما با در نظر گرفتن اصل عدم قطعیت هایزنبرگ^[۳۴] بین تغییرات انرژی و تغییرات زمان چنین امکانی عملی خواهد شد. باریون­های دلتا از طریق نیروی قوی واپاشی می­ کنند و نیمه عمر آنها برابر با  است و بنابراین تغییر انرژی آنها، با در نظر گرفتن رابطه  ، می ­تواند چند صد مگا الکترون ولت باشد. حال تابع موج دوترون طوری باید نوشته شود که تمام حالت­های ممکن تشکیل دو باریون در آن لحاظ شود. بنابراین تابع موج دوترون به شکل زیر است.

(۴-۵۲) 

در اینجا مربع ضریب هر جمله بیانگر احتمال تشکیل دوترونی است که از زوج باریون مورد نظر ساخته شده است به عنوان نمونه  احتمال تشکیل دوترون ساخته شده از باریون­های  و  است و . . . . این ضرایب در ادامه محاسبه شده ­اند. مشابه معادله (۴-۲۷) تابع موج هر زوج باریون رابه شکل زیر می­نویسیم

(۴-۵۳) 

در اینجا  و  تابع موج هر کدام از باریون­های تشکیل شده در درون دوترون می ­تواند باشد. بنابراین تابع موج دوترون به صورت زیر گسترده می­ شود.

(۴-۵۴) 

این تابع موج طوری نوشته شده است که نسبت به جابجایی هر دو باریون پاد متقارن می­باشد. تابع موج دوترون همچنین از چهار قسمت اسپین، طعم، فضا و رنگ ساخته شده است؛ مانند معادله (۴-۲۵). بنابراین هر جمله از معادله (۴-۵۲) باید به صورت معادله (۴-۲۵) نوشته شود. در اینجا بحث­هایی که در قسمت قبل راجع به قسمت فضایی و قسمت رنگ تابع موج گفته شد نیز صادق است. با فرض اینکه دوترون در حالت پایه است، یعنی  بنابراین قسمت فضایی تابع موج متقارن است. قسمت رنگ تابع موج به خاطر یگانه بودن رنگ برای هر باریون پاد متقارن خواهد بود. بنابراین حاصلضرب قسمت اسپین و قسمت طعم تابع موج هر باریون باید متقارن باشد. بنابراین انتخاب تابع موج اسپینی و طعم باید این امر را برآورده سازد. در مورد نوکلئون­ها این قسمت از تابع موج در قسمت­ های قبلی این فصل محاسبه شده است. به خاطر اینکه نوکلئون­ها دارای اسپین  هستند از ترکیب­های آمیخته اسپینی و طعمی استفاده شد، تا یک تابع متقارن به دست بیاید. در مورد باریون­های دلتا، ، شرایط متفاوت است. این باریون­ها دارای اسپین  هستند و در ساخت تابع موج اسپینی آنها از رابطه (۴-۲۹) استفاده خواهد شد. همانطور که از این رابطه مشاهده می­ شود نسبت به جابجایی هر دو ذره­ای متقارن می­باشد. بنابراین قسمت طعم تابع موج برای باریون­های دلتا نیز باید متقارن در نظر گرفته شود؛ تا حاصلضرب این دو قسمت از تابع موج متقارن باشد. در نظر داشته باشیم که قسمت رنگ تابع موج پاد متقارن است. حال حاصلضرب  برای باریون  به شکل زیر است.

(۴-۵۵) 

در اینجا تابع طعمی که برای باریون  استفاده شده به صورت  است. سادگی آن به خاطر یکسان بودن سه کوارک تشکیل دهنده آن می­باشد. برای سه باریون دیگر به همین طریق حاصلضرب  را حساب می­کنیم  آنها در زیر آورده شده است. برای قسمت  آنها از رابطه (۲۹-۴) استفاده می­ شود.

(۴-۵۶) 

حال معادله (۴-۵۴) را برحسب اسپین و طعم کوارک­های تشکیل دهنده آن گسترش می­دهیم. برای این منظور باید در نظر داشته باشیم که اسپین دوترون برابر با یک است. این شرط محدودیتی بر روی ساخت تابع موج اعمال خواهد کرد. دو باریون دلتا که هر کدام دارای اسپین  هستند وقتی که با هم یک سیستم تشکیل می­ دهند می­توانند دارای اسپین ۰، ۱، ۲ و ۳ باشند. تنها حالتی را در نظر می­گیریم که اسپین برایند برابر با یک شود. همانطور که قبلاً در این فصل بیان شد، در مکانیک کوانتومی، گشتاور مغناطیسی قابل مشاهده را به طور عملیاتی در راستای بزرگ­ترین مؤلفه تکانه زاویه­ای تعریف می­ کنند. چون هدف به دست آوردن گشتاور دو قطبی مغناطیسی است، بنابراین تنها مؤلفه­ای از تابع موج دوترون را محاسبه می­کنیم، که مؤلفه اسپین آن یک باشد. بنابراین با در نظر گرفتن تابع موج دوترون که مؤلفه z آن برابر با یک باشد، جملات معادله (۴-۵۲) به صورت زیر در می ­آید.

(۴-۵۷) 

(۴-۵۸) 

(۴-۵۹) 

(۴-۶۰) 

(۴-۶۱) 

در این روابط ضرایب قبل از هر جمله ضرایب کلبش- گوردون^[۳۵] هستند، که از اعمال عملگر نردبانی  بر روی ماکسیمم اسپینی به دست می­آیند. مقدار ویژه­ی این عملگر از رابطه زیر به دست می ­آید و یک واحد از مؤلفه z تکانه زاویه­ای کم می­ کند.

(۴-۶۲) 

به عنوان نمونه برای به دست آوردن رابطه (۴-۵۷) مراحل زیر طی شده است. (به منظور خلاصه نویسی جملات تقارنی نوشته نشده­اند)

 

 

 

 

 

 

حال می­توانیم جمله اول تابع موج در معادله (۴-۵۲) را به صورت زیر بنویسیم.

(۴-۶۳)

بقیه جملات را به همین طریق به دست خواهیم آورد که در پیوست آورده شده است. جمله مربوط به زوج نوکلئون­ها در قسمت قبلی به دست آمده است.

حال ضرایب موجود در رابطه (۴-۵۲) را به دست می­آوریم. با در نظر گرفتن اینکه اسپین دوترون برابر با یک است و بنابراین مؤلفه z اسپین دوترون می ­تواند اعداد ۱، ۰، ۱- باشد. تعداد حالت­هایی که از زوج باریون­های داده شده در معادله (۴-۵۲) منجر به تشکیل دوترون می­ شود را می­شماریم.

 

به همین طریق محاسبات را برای زوج­های دیگر باریون­ها انجام می­دهیم و تعداد حالت­های تشکیل دوترون را می­شماریم. سپس حالت­هایی که اسپین برایند مخالف با یک باشد را از مجموع کم می­کنیم. (در شمارش بالا فقط مولفه اسپین در نظر گرفته شد، که مجاز به انتخاب اعداد ۱، ۰، ۱- بود، با این حال ممکن است اسپین کل مخالف یک باشد. به عنوان مثال اگر اسپین کل ۲ باشد مولفه­های آن اعداد ۱، ۰، ۱- هم می ­تواند باشد. باید سهم این اسپین­ها در شمارش کم شود.) نتایج حاصل در جدول (۴-۱) نشان داده شده ­اند.

جدول (۴-۱): تعداد راه­های ممکن تشکیل دوترون توسط هر زوج باریون

Baryon pair
Number of states	۱۵	۴۵	۲۷۰	۲۷۰	۴۳۲

با توجه به جدول شماره (۴-۱) ضرایب موجود در رابطه (۴-۵۲) را به دست می­آوریم. این نتایج در رابطه زیر آورده شده ­اند.

(۴-۶۴)

با قرار دادن این نتایج در رابطه (۴-۵۴) تابع موج دوترون به شکل زیر در می ­آید.

(۴-۶۵)

اکنون با بهره گرفتن از رابطه (۴-۶۳) تابع موج دوترون بر حسب کوارک­های سازنده آن و اسپین وابسته به آنها به دست خواهد آمد. با بهره گرفتن از این تابع موج گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون به دست خواهد آمد. در غیاب حرکت اربیتال مقدار حرکت گشتاور مغناطیسی دوترون به طور ساده مجموع برداری شش کوارک تشکیل دهنده آن می­باشد، معادله (۴-۴۳). گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون از رابطه (۴-۴۷) به دست خواهد آمد. با داشتن تابع موج دوترون و جایگذاری در این رابطه مقدار انتظاری عملگر دوقطبی مغناطیسی به دست خواهد آمد. با جایگذاری جمله اول تابع موج،  ، در معادله (۴-۴۷) نتیجه زیر به دست می ­آید.

(۴-۶۶)

محاسبات مشابه برای دیگر جمله­های تابع موج نیز به همین صورت انجام می­ شود؛ و سرانجام گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون به صورت زیر به دست می ­آید.

(۴-۶۷)

در این رابطه، کمیت­های زیر مورد استفاده قرار گرفته­اند.

(۴-۶۸)

(۴-۶۹)

(۴-۷۰)

(۴-۷۱)

در معادلات (۴-۶۷) تا (۴-۷۱)  ، مگنتون هسته­ای است،  ،  و  [۴۹ و ۵۰]. با مقایسه مقدار به دست آمده، یعنی  ، با مقدار آزمایشگاهی آن،  ، سازگاری خوبی مشاهده می­ شود. در اینجا مناسب است که نتایج حاصل از روش­های مختلف برای اندازه ­گیری یا محاسبه گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون را به منظور مقایسه بیان کنیم.

جدول ۴-۲:مقایسه گشتاور مغناطیسی دوترون در روش­های مختلف

روش مورد استفاده	مقدار به دست آمده
اندازه ­گیری تجربی
استفاده از مدل پوسته­ای با حالت پایه l=0
در نظر گرفتن محتوای کوارکی نوکلئون­های سازنده دوترون
در نظر گرفتن محتوای کوارکی باریون­های سازنده دوترون (شامل نوکلئون­ها و باریون­های دلتا)

۵- بررسی پایداری هسته­ها در مدل شبه کوارکی هسته

۱-۵- مقدمه

بیشتر تلاش­ های صورت گرفته در زمینه فیزیک هسته­ای به منظور شناخت بهتر خواص هسته­ها است. یکی از خاصیت­های مهم هسته­ها پایداری آنهاست، چه هسته­هایی پایدار هستند و چه هسته­هایی ناپایدار. عامل پایداری هسته­ها تحت تأثیر چه نیروها و خصوصیاتی است. بعضی هسته­ها نسبت به بعضی دیگر پایدارترند. به عنوان نمونه، هسته­هایی که تعداد پروتون یا نوترون برابر با اعداد جادویی دارند، پایدارترند. در هسته­های سنگین نسبت نوترون­ها به پروتون­ها بیشتر می­ شود، در حالی که در هسته­های سبک، تعداد پروتون­ها و نوترون­ها تقریباً برابر است.

در مدل پوسته­ای، که می­توان آن را موفق­ترین مدل در زمینه فیزیک هسته­ای نامید، سعی شده است که الگویی برای پایداری و خصوصیات هسته­ها طرح­ریزی شود. به منظور به دست آوردن اعداد جادویی پتانسیل اسپین- مدار معرفی شده است، که به خوبی توانسته است این اعداد را تولید کند، و اسپین و پاریته حالت پایه هسته­های پایدار را به خوبی به دست آورد. در این مدل با در نظر گرفتن اصل طرد پائولی انتظار می­رود که در هر تراز دو پروتون و دو نوترون به خاطر اسپین ذرات جای گیرد، و بنابراین انتظار می­رود که در حالت پایه، تعداد پروتون­ها و نوترون­های هسته­های پایدار یکسان باشد. البته در این مدل این اختلاف موجود بین تعداد پروتون­ها و نوترون­ها تا حدی توسط نیروی کولمبی توجیه می­ شود، چرا که پروتون­ها طبق نیروی کولمب همدیگر را دفع می­ کنند. اما در عمل پتانسیل کولمبی نتوانسته است به اندازه کافی ترازها را جابجا کند، طوری که نسبت پروتون­ها به نوترون­ها در هسته­های پایدار را تولید کند. از طرفی شواهدی در دست است که نیروی تزویج بین پروتون­ها اندکی از نیروی تزویج بین نوترون­ها بیشتر است. به عنوان مثال دو هسته  و  هر دو دارای سه نوکلئون هستند، اما با وجود دافعه کولمبی بین پروتون­های هلیوم-۳ نسبت به تریتیم، هلیوم-۳ پایدار و تریتیم ناپایدار است. در واقع هلیوم-۳ تنها عنصر پایداری است که تعداد پروتون­های آن از نوترون­هایش بیشتر است.

در به دست آوردن انرژی بستگی هسته­ها، بیشتر، هسته­های پایدار مدنظر بوده و سعی شده رابطه­ای برای این دسته عناصر به دست آورده شود. در رابطه انرژی بستگی جمله­ای تحت عنوان جمله تقارن یا پاد تقارن وجود دارد، که به تفاوت بین پروتون­ها و نوترون­ها در هسته وابسته است. در مدل گاز فرمی سعی شده است، که به منظور به دست آوردن ضریب این جمله از تفاوت ترازهای انرژی بین پروتون­ها و نوترون­ها استفاده شود.

در واقع چرا، به عنوان نمونه، تعداد پروتون­ها و نوترون­ها در هسته طلا به ترتیب ۱۱۸ و ۷۹ است. چرا این نسبت اعداد دیگری نیست. آیا راهی هست که بتوان این اعداد را توجیه کرد. برای به دست آوردن توجیهی برای پایداری این هسته­های موجود، در اینجا ما تشکیل هسته را از ابتدا مورد بررسی قرار داده­ایم. فرض کرده­ایم که در ابتدا کوارک­های آزاد وجود داشته و این کوارک­ها با همدیگر برهم­کنش داشته اند. در واقع این حالت پس از انفجار بزرگ یا مهبانگ وجود داشته است. هر گاه دما بالاتر از دمای هاگدورن^[۳۶] باشد، کوارک­ها به صورت آزاد خواهند بود. دمای هاگدورن حدوداً معادل  می­باشد. برهم­کنش کوارک­ها بیشتر از طریق نیروی قوی است. این کوارک­ها سعی در تشکیل نوکلئون و به تبع آن تشکیل هسته دارند. با شمارش تعداد حالاتی که منجر به تشکیل نوکلئون­های یک هسته می­ شود، که آن را با NWN^[37] نشان می­دهیم، هسته­ای که تعداد حالات تشکیل آن بیشتر باشد قاعدتاً پایداری آن نیز بیشتر است. البته در شمارش تعداد حالات باید برهم­کنش الکترومغناطیسی بین ذرات باردار را نیز در نظر گرفت. در نهایت ماکزیمم­های به دست آمده، با هسته­های پایدار شناخته شده در طبیعت، که در شکل (۵-۱) نشان داده شده است، مقایسه شده ­اند شکل­های (۵-۲) و (۵-۳).

 

شکل (۵-۱): هسته­های پایدار موجود در طبیعت

۵-۲- پایداری هسته­ها حول محور N=Z

دیدگاه کنونی در مورد هسته این است که هسته از پروتون و نوترون­ها ساخته شده است. از طرفی نوکلئون­ها خود از کوارک­ها ساخته شده ­اند. قبل از اینکه هسته­ها در لحظات اولیه جهان تشکیل شوند کوارک­های آزاد وجود داشته و این کوارک­ها با همدیگر برهم­کنش داشته اند. در اینجا ما شرایط تشکیل هسته­ها را از کوارک­های اولیه در نظر می­گیریم، و شرایط پایداری هسته­ها را بررسی می­کنیم. ساده­ترین هسته موجود در جهان هیدروژن است که البته فراوان­ترین هسته موجود در جهان نیز همین هیدروژن است. از طرف دیگر هیدروژن تنها از یک نوکلئون، که پروتون می­باشد ساخته شده است. اگر چه از دیدگاه اتمی هیدروژن یک عنصر است، ولی از دیدگاه فیزیک هسته­ای، که با هسته اتم سروکار دارد، هسته اتم هیدروژن تنها یک نوکلئون است و قابلیت بررسی هسته­ای ندارد. بنابراین ساده­ترین هسته که می­توان در نظر گرفت، می ­تواند از دو نوکلئون تشکیل شده باشد. خوشبختانه چنین هسته­ی دو نوکلئونی در طبیعت وجود دارد و پایدار هم هست. بنابراین برای شروع کار، هسته­ای را در نظر می­گیریم که از دو نوکلئون تشکیل شده باشد. این هسته دو نوکلئونی در واقع از ۶ کوارک تشکیل شده است. اگر هر دو نوکلئون پروتون باشد، آنگاه این هسته شامل ۴ کوارک بالا، up، و دو کوارک پایین، down، می باشد. حال فرض می­کنیم که اگر ۴ کوارک بالا و ۲ کوارک پایین وجود داشته باشد، این کوارک­ها به چند طریق قادر خواهند بود که یک هسته دو نوکلئونی تشکیل دهند. اگر آنها را به صورت u₁,u₂,u₃,u₄ و d_1,d₂ نام گذاری کنیم، تعداد حالت­هایی که منجر به تولید دو پروتون می­شوند عبارتند از:

(۵-۱)

که جمعاً شش حالت می باشند و هیچ حالت دیگری وجود ندارد. در اینجا هر {} نماینده تشکیل یک هسته و هر پرانتز، ()، نماینده تشکیل یک نوکلئون است. همانطور که دیده می­ شود در درون هر هسته، {}، دو نوکلئون وجود دارد، (عامل رنگ در ادامه بحث می شود).

اکنون با در نظر گرفتن هسته­ای دو نوکلئونی، که شامل یک نوترون و یک پروتون باشد یعنی هسته­ای که از سه کوارک بالا و سه کوارک پایین تشکیل شده باشد، (u₁,u₂,u₃ و d₁,d₂,d₃) مانند حالت قبل تعداد حالت­های تشکیل هسته را می­شماریم. در این حالت، ۹ حالت مختلف وجود دارد که عبارتند از:

(۵-۲)

در اینجا نیز هر () نشان دهنده یک نوکلئون و هر {} نشان دهنده یک هسته است. هسته­ای که از دو نوترون تشکیل شده باشد، شامل ۴ کوارک پایین و ۲ کوارک بالا خواهد بود. تعداد راه­های قابل تشکیل چنین هسته­ای در پایین آورده شده است.

(۵-۳)

اگر عامل رنگ کوارک­ها را در نظر بگیریم هر نوکلئون به تنهایی ۳ حالت مختلف قابل شکل­ گیری است. که در معادله زیر برای یک پروتون نشان داده شده است. نوترون نیز مشابه پروتون است.

(۵-۴)

در اینجا r، b و g به ترتیب بیان کننده رنگ­های قرمز، آبی و سبز است. بنابراین تعداد راه­های تشکیل هر نوکلئون را باید به خاطر عامل رنگ در ۳ ضرب کنیم. این عدد برای یک هسته دونوکلئونی برابر با  است و برای هسته­ای با A نوکلئون برابر است با:  . بنابراین نتایج زیر به دست می آید.

برای تشکیل هسته­ای با دو نوترون  حالت مختلف

برای تشکیل هسته­ای با یک پروتون و یک نوترون  حالت مختلف

برای تشکیل هسته­ای با دو پروتون  حالت مختلف

هم­چنان­که می­بینیم، تعداد فرایندهای تشکیل یک هسته مرکب از یک پروتون و یک نوترون بیشتر از دو حالت دیگر است. در نظر گرفتن عامل رنگ باعث می شود که تعداد فرایندهای وقوع در یک عدد ثابت ضرب شود که می­توان آن را نادیده گرفت، چرا که تنها فراوانی نسبی برای ما مهم است. اکنون تعداد فرایندهای وقوع تشکیل هسته­ای با سه نوکلئون را بررسی می­کنیم.

الف- هسته­ای با ۳ پروتون (هسته­ای با ۶ کوارک بالا و ۳ کوارک پایین)

(۵-۵)

در این رابطه، از رابطه ترکیباتی  استفاده می­ شود. در رابطه (۵-۵) عامل  تعداد حالات تشکیل نوکلئون اول که در اینجا  تعداد حالات انتخاب دو کوارک بالا از بین ۶ کوارک بالای موجود می­باشد و عدد ۳ تعداد حالات انتخاب تک کوارک پایین از بین ۳ کوارک پایین موجود می­باشد،  تعداد حالات تشکیل نوکلئون دوم و …. و عامل  به خاطر تمیز ناپذیری پروتون­ها و مهم نبودن ترتیب تشکیل پروتون­ها آمده است.

b- هسته­ای با دو پروتون و یک نوترون (هسته ای با ۵ کوارک بالا و ۴ کوارک پایین)

(۵-۶)

در اینجا عامل  ، تعداد حالات تشکیل تک نوترون می­باشد.

c- هسته­ای با یک پروتون و دو نوترون (هسته­ای با ۴ کوارک بالا و ۵ کوارک پایین)

(۵-۷)

d- هسته­ای با ۳ نوترون (هسته­ای با ۳ کوارک بالا و ۶ کوارک پایین)

(۵-۸) 

در حالت کلی از رابطه زیر برای شمارش تعداد حالت­ها می­توان استفاده کرد.

(۵-۹) 

در اینجا A تعداد کل نوکلئون­های هسته و Z تعداد پروتون­هاست. به منظور ساده سازی این رابطه جمله­های ترکیباتی را بسط می­دهیم، و از رابطه  استفاده می­کنیم. بنابراین رابطه بالا به صورت زیر دوباره نویسی می­ شود.

(۵-۱۰)

(۵-۱۱)

که با ساده­سازی به رابطه زیر تبدیل می­ شود.

(۵-۱۲)

چون فقط بزرگی نسبی این کمیت برای ما مهم است، رابطه را بر  تقسیم می­کنیم. و بهتر است کمیت زیر را محاسبه کنیم.

(۵-۱۳)

در هسته­های با A یکسان، هسته­ای که تعداد حالت­های ممکن بیشتری برای تشکیل دارد، احتمال وجود آن نیز باید بیشتر است. نتایج عددی برای چندین هسته در جدول (۵-۱) و پیوست ج، نشان داده شده است.

۵-۳- بررسی اثر نیروی الکترومغناطیسی در پایداری هسته­ها

در هسته­های سبک پایدار تقریباً تعداد پروتون­ها و نوترون­ها برابر است، اما هر چه هسته­ها سنگین­تر می­شوند، و عدد جرمی آنها بیشتر می­ شود، تفاوت بین تعداد پروتون­ها و نوترون­ها بیشتر می­ شود تا جایی که تعداد نوترون­ها تقریباً به ۵_/۱ برابر تعداد پروتون­ها می­رسد. این اختلاف بین پروتون­ها و نوترون­ها را به نیروی کولمبی پروتون­ها ربط می­ دهند، که با افزایش عدد اتمی سریعاً افزایش می­یابد. بنابراین و به همین منظور در اینجا تأثیر نیروی الکترومغناطیسی را بر تشکیل هسته­ها مد نظر قرار می­دهیم، و انتظار داریم که بتوانیم انحراف هسته­های پایدار را از خط  توضیح دهیم. تاثیر نیروی الکترومغناطیسی را در دو مرحله زمانی بررسی می کنیم. ۱- در هنگام فرایند تشکیل نوکلئون و هسته، ۲- پس از تشکیل نوکلئون و هسته.

قبل از تشکیل نوکلئون­ها کوارک­ها هستند که با هم برهم­کنش دارند، که در نهایت تبدیل به پروتون و نوترون می­شوند. نوترون ذره­ای خنثی است و نیروی الکترومغناطیسی همواره موافق تشکیل ذره­­ای خنثی از یک سری ذرات باردار است، به عبارتی دیگر ذرات ناهمنام همدیگر را جذب می­ کنند، پس این تأثیر، موافق نیروی جاذبه­ی قوی است و بنابراین باید با تأثیر نیروی قوی جمع شود. ولی در مورد پروتون که ذره­ای با بار مثبت است، نیروی الکترومغناطیسی با تشکیل پروتون مخالف است. بنابراین در این مورد تأثیر نیروی الکترومغناطیسی باید از تأثیر نیروی قوی کسر شود. در جمع این دو نیرو باید در نظر داشته باشیم که اندازه نیروی الکترومغناطیسی به مراتب از نیروی قوی ضعیف­تر است. در واقع نیروی الکترومغناطیسی به نسبت ثابت جفتیدگی،  ، از نیروی قوی ضعیف­تر است. با این اوصاف تشکیل هر نوترون را باید در عامل  و تشکیل هر پروتون را در عامل  ضرب کنیم. حال چون هر نوکلئون با در نظر گرفتن رنگ کوارک­های آن به ۳ حالت می ­تواند وجود داشته باشد (به عنوان مثال برای پروتون u_ru_gd_b , u_gu_bd_r , u_bu_rd_g )، بنابراین تشکیل هر پروتون در عامل  و تشکیل هر نوترون در عامل  ضرب می­ شود و تا این مرحله رابطه (۵-۱۳) به صورت زیر تعمیم می­یابد.

(۵-۱۴)

در اینجا  ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی است و مقدار رابطه جدید را با حرف R نشان داده­ایم. حال نوکلئون­ها شکل گرفته­اند و هسته تشکیل شده است. اما همچنان نیروی الکترومغناطیسی بین پروتون­ها و نیروی هسته­ای بین نوکلئون­ها وجود دارند و بر روی پایداری هسته تاثیر می­گذارند. برای اینکه تأثیر نیروی الکترومغناطیسی و هسته­ای در این مرحله را وارد محاسباتمان بکنیم، خصوصیات زیر را در نظر می­گیریم.

نیروی الکترومغناطیسی (کولنی) بلند برد است.

نیروی هسته­ای (نیروی بین نوکلئون­ها) کوتاه برد است.

قدرت نیروی الکترومغناطیسی  برابر نیروی هسته­ای است. (  ، ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی یا ثابت ساختار ریز)

فرض می کنیم که نوکلئون­ها در درون هسته شبکه­ ای منظم تشکیل داده­اند. این شبکه را همانند اتم­های کربن در الماس در نظر می­گیریم (شکل (۵-۱))، و فرض می­کنیم که هر نوکلئون تنها با نوکلئون­های همسایه­اش برهم­کنش هسته­ای دارد.

هسته­ها دارای چگالی ثابت هستند، طوری که رابطه  بین شعاع هسته و تعداد نوکلئون­های تشکیل دهنده هسته برقرار باشد.

شکل(۵-۲): شبکه چهار وجهی منتظم که نوکلئون­ها تشکیل می­ دهند

حال تعداد برهم­کنش­هایی که هر نوکلئون با دیگر نوکلئون­ها دارد را هم از دیدگاه الکترومغناطیسی و هم از دیدگاه هسته­ای شمرده و تأثیر آن را در محاسبات دخیل می­کنیم. هسته­ای با Z پروتون را در نظر می­گیریم، هر پروتون با (Z-1) پروتون دیگر برهم­کنش الکترومغناطیسی دارد و برای جلوگیری از دو باره شمرده شدن، تعداد برهم­کنش­­های الکترومغناطیسی آن برابر با  خواهد بود. چون برهم­کنش هسته­ای کوتاه برد است، فرض می­کنیم که هر پروتون تنها با نوکلئون­های همسایه­اش برهم­کنش دارد. بر این اساس هر پروتون با چهار نوکلئون همسایه­اش برهم­کنش هسته­ای دارد، که برای جلوگیری از دوبار شمرده شدن تعداد برهم­کنش­های هسته­ای نیز برابر با  خواهد بود. بنابراین وجود هر پروتون باعث می شود که رابطه (۵-۱۴) را به ازای هر پروتون در عبارت  ضرب کنیم. در این عبارت عدد ۲ نماینده تعداد برهم­کنش­های هسته­ای هر پروتون است، عدد  نشان دهنده تعداد برهم­کنش­های الکترومغناطیسی است که هر پروتون دارد،  ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی به خاطر ضعیف بودن نیروی الکترومغناطیسی در مقابل نیروی هسته­ای وارد شده است و علامت منها نشان دهنده دافعه بودن نیروی الکترومغناطیسی در میان پروتون­هاست. اگر هسته­ای دارای Z پروتون باشد، آنگاه عامل  وارد محاسبه می شود. به ازای هر نوترون چون عامل الکترومغناطیسی وجود ندارد فقط عامل  در رابطه (۵-۱۴) ضرب خواهد شد. بنابراین در مجموع با در نظر گرفتن هم پروتون­ها و هم نوترون­ها، رابطه (۵-۱۴) در عامل  ضرب خواهد شد. عامل  برای هسته­های با A یکسان ثابت است، چون فقط بزرگی نسبی این عامل برای ما مهم است، می­توان آن را از محاسبات حذف کرد. بنابراین به رابطه زیر می­رسیم.

(۵-۱۵)

با A ثابت، ماکزیمم مقداری که برای R به دست خواهد آمد، نشان دهنده پایداری هسته خواهد بود. نتایج حاصله از این رابطه برای برخی از هسته­ها در جدول (۵-۱) آورده شده است. که نشان دهنده سازگاری بسیار خوب با هسته های پایدار کشف شده در طبیعت است. (به خصوص برای هسته­های  ) در شکل (۵-۳) نمودار ماکزیمم R برای هسته­های مختلف رسم شده است.

 

شکل (۵-۳): پیش بینی رابطه (۵-۱۵) برای هسته های پایدار، در هسته­های با تعداد نوکلئون بالا انحراف از هسته­های پایدار موجود در طبیعت مشاهده می­ شود.

در به دست آورد معادله (۵-۱۵)، نیروی برهم­کنش الکترومغناطیسی بین دو پروتون بدون در نظر گرفتن فاصله بین آنها یکسان در نظر گرفته شده، در حالی که نیروی الکترومغناطیسی به فاصله بین دو بار بستگی دارد. در هسته­های سبک چون تعداد نوکلئون­های هسته کم است می­توان با تقریب فاصله هر دو پروتون در هسته را یکسان در نظر گرفت. در هسته های سنگین، چون شعاع هسته بزرگ شده است دیگر نمی­ توان انتظار داشت که برهم­کنش الکترومغناطیسی بین هر دو پروتونی را یکسان در نظر گرفت. بنابراین باید وابستگی نیروی الکترومغناطیسی به شعاع را در نظر گرفت. انتظار داریم که در هسته­های سنگین تاثیر نیروی الکترومغناطیسی با شعاع کاهش یابد. اگر این کاهش را به صورت یک ضریب که وابسته به شعاع است، وارد رابطه کنیم، تأثیر نیروی الکترومغناطیسی به صورت  در می ­آید. در اینجا  ، ضریبی است که تأثیر نیروی الکترومغناطیسی را بر حسب شعاع نشان می­دهد. این ضریب برای هسته­های سنگین کوچک­تر از یک است. به عنوان مثال این ضریب برای U-238 باید برابر با ۰.۸۳ باشد. اگر قرار دهیم  ، (که ۱۲۰ عدد اتمی یک هسته میان وزن است) سازگاری با مقادیر تجربی بسیار خوب می­ شود. بنابراین با وارد کردن این ضریب در معادله (۵-۱۵)، تعداد حالت­های تشکیل یک هسته با تعداد مشخص پروتون و نوترون به دست خواهد آمد.

(۵-۱۶)

با مقایسه ماکزیمم مقدار به دست آمده به ازای مقادیر ثابت A با هسته­هایی که در طبیعت وجود دارد، سازگاری خوبی مشاهده می­ شود. نتایج حاصل از مقادیر ماکزیمم که از این رابطه به دست می ­آید به همراه هسته­های پایدار موجود در طبیعت در شکل (۵-۴) رسم شده است. همان­گونه که در شکل (۵-۴) نشان داده شده، سازگاری خوبی بین مقادیری که ما به دست آورده­ایم و هسته­های پایدار موجود در طبیعت ملاحظه می­ شود [۵۱].

 

شکل (۵-۴): نمودار هسته­های پایدار موجود در طبیعت و ماکزیمم­های به دست آمده از رابطه (۵-۱۵) و مقایسه آنها با همدیگر

نتیجه گیری و پیشنهادات

مدل شبه کوارکی هسته سعی دارد با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده نوکلئون­ها برخی خواص هسته را استخراج نماید. نوکلئون­ها در درون هسته با همدیگر هم­پوشانی دارند و در این ناحیه به خاطر نزدیکی زیاد کوارک­های دو نوکلئون با همدیگر برهم­کنش قوی دارند و بنابراین احتمال اینکه این کوارک­ها که با همدیگر برهم­کنش دارند، تشکیل نوکلئونی جدید بدهند وجود دارد. و همین امر باعث می­ شود که نوکلئون­های هسته به کوارک­های سازنده­یشان شکسته شده و سپس نوکلئون­های جدید تشکیل گردند. همین امر مستلزم این است که در بررسی ساختار هسته­ها، کوارک­های سازنده آنها را نیز در نظر بگیریم. در همین راستا در فصل دوم برهم­کنش­های مواد بخصوص برهم­کنش بین کوارک­ها و نوکلئون­ها بررسی شد. با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده هسته­ها، اعداد جادویی هسته­ای استخراج شده، انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی مشخص گردیده و رابطه­ای برای انرژی بستگی هسته­ها استخراج شده است.

گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون بر اساس ساختار کوارکی آن مورد بررسی قرار گرفته است. با به دست آوردن تابع موج دوترون بر اساس کوارک­های سازنده­ی دو نوکلئون آن و محاسبه مقدار انتظاری عمگر گشتاور دو قطبی مغناطیسی آن بر اساس این تابع موج، مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون را به دست آورده­ایم، که با مقایسه با محاسبات مدل پوسته­ای نتایج قابل ملاحظه است و به مقدار اندازه ­گیری شده همخوانی بهتری دارد. در مرحله بعد با فرض اینکه کوارک­های دوترون تنها تشکیل دو نوکلئون نمی­دهند بلکه ممکن است تشکیل باریون­های دلتا نیز بدهند دوباره تابع موج دوترون بر اساس احتمال تشکیل باریون­های دلتا محاسبه شده و بر اساس این تابع موج، دوباره مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون محاسبه شده است. با مقایسه این مقدار به دست آمده با مقدار اندازه ­گیری شده ملاحظه می­ شود که در این حالت سازگاری بهتری نسبت به مقدار قبلی با مقدار اندازه ­گیری شده وجود دارد.

پایداری هسته­ها موضوعی است که در فیزیک هسته­ای همیشه مد نظر بوده و سعی شده که دلیلی برای نسبت بین پروتون­ها و نوترون­ها در هسته­های پایدار بیان شود. در این پایان نامه، به منظور پیدا کردن خط پایداری هسته­ها، تشکیل هسته­ها را از کوارک­های سازنده­ی آنها در نظر گرفته­ایم، تعداد راه­های تشکیل هسته را از کوارک­های سازنده­اش شمرده­ایم. ترکیبی خاص از پروتون­ها و نوترون­ها که بیشترین فراوانی را دارد، احتمال تشکیل بیشتری نیز دارد. سپس با اعمال برهم­کنش الکترومغناطیسی در دو مرحله (یک مرحله قبل از تشکیل نوکلئون­ها بین کوارک­های باردار و مرحله دیگر پس از تشکیل نوکلئون­ها به خاطر برهم­کنش الکترومغناطیسی بین پروتون­ها)، روابط را اصلاح کردیم و در نهایت ترکیب خاص پروتون­ها و نوترون­های هسته­های پایدار را استخراج نمودیم که با مقایسه با هسته­های پایدار موجود در طبیعت، سازگاری بسیار خوبی مشاهده می­ شود.

در نظر گرفتن ساختار کوارکی هسته­ها می ­تواند بعضی خواص هسته­ها رابه خوبی بیان و باز تولید کند. مواردی در این رساله ذکر گردیدند، موارد دیگری که می­ شود بر اساس این مدل مورد پیگیری و تحقیق قرار داد در زیر بیان شده ­اند؛

محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های هلیوم-۳ و تریتیم؛

محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های سنگین­تر با در نظر گرفتن مدل پوسته­ای و در نظر گرفتن ساختار کوارکی نوکلئون­هایی که در لایه آخر یا همان لایه ظرفیت قرار دارند؛

محاسبه گشتاور چارقطبی الکتریکی دوترون با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده آن و پتانسیل بین کوارک­های آن؛

بررسی نیروی تزویج بین نوکلئون­ها با در نظر گرفتن راه­های مختلف تشکیل زوج­های نوکلئونی، همانند روش استخراج خط پایداری هسته­ها که در این رساله انجام گرفت؛

ایجاد رابطه­ای برای انرژی بستگی هسته­ها با بهره گرفتن از تعداد پیوند­های کوارکی موجود در هر هسته و برخی دیگر از خواص هسته­ای همچون انرژی زوجیت و هسته­های با لایه­ های پر یا همان هسته­های جادویی.

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۲] [۰] [۲] [ ۱] [ ۱]

[۲] [۱] [۱] [ ۱.۵۰۰۰e+000] [1.4357e+000]

[۲] [۲] [۰] [ ۱] [۹.۵۳۶۶e-001]

[۳] [۰] [۳] [ ۱] [ ۱]

[۳] [۱] [۲] [ ۲] [۱.۹۱۴۳e+000]

[۳] [۲] [۱] [ ۲] [۱.۹۰۷۳e+000]

[۳] [۳] [۰] [ ۱] [۹.۴۶۷۱e-001]

[۴] [۰] [۴] [ ۱] [ ۱]

[۴] [۱] [۳] [ ۲.۵۰۰۰e+000] [2.3929e+000]

[۴] [۲] [۲] [ ۳.۲۱۴۳e+000] [3.0653e+000]

[۴] [۳] [۱] [ ۲.۵۰۰۰e+000] [2.3668e+000]

[۴] [۴] [۰] [ ۱] [۹.۳۶۳۶e-001]

[۵] [۰] [۵] [ ۱] [ ۱]

[۵] [۱] [۴] [ ۳] [۲.۸۷۱۴e+000]

[۵] [۲] [۳] [ ۴.۶۶۶۷e+000] [4.4504e+000]

[۵] [۳] [۲] [ ۴.۶۶۶۷e+000] [4.4180e+000]

[۵] [۴] [۱] [ ۳] [۲.۸۰۹۱e+000]

[۵] [۵] [۰] [ ۱] [۹.۲۲۷۲e-001]

[۶] [۰] [۶] [ ۱] [ ۱]

[۶] [۱] [۵] [ ۳.۵۰۰۰e+000] [3.3500e+000]

[۶] [۲] [۴] [ ۶.۳۶۳۶e+000] [6.0687e+000]

[۶] [۳] [۳] [ ۷.۶۳۶۴e+000] [7.2294e+000]

[۶] [۴] [۲] [ ۶.۳۶۳۶e+000] [5.9587e+000]

[۶] [۵] [۱] [ ۳.۵۰۰۰e+000] [3.2295e+000]

[۶] [۶] [۰] [ ۱] [۹.۰۵۹۳e-001]

[۷] [۰] [۷] [ ۱] [ ۱]

[۷] [۱] [۶] [ ۴] [۳.۸۲۸۶e+000]

[۷] [۲] [۵] [ ۸.۳۰۷۷e+000] [7.9227e+000]

[۷] [۳] [۴] [ ۱.۱۵۳۸e+001] [1.0924e+001]

[۷] [۴] [۳] [ ۱.۱۵۳۸e+001] [1.0804e+001]

[۷] [۵] [۲] [ ۸.۳۰۷۷e+000] [7.6657e+000]

[۷] [۶] [۱] [ ۴] [۳.۶۲۳۷e+000]

[۷] [۷] [۰] [ ۱] [۸.۸۶۱۶e-001]

[۸] [۰] [۸] [ ۱] [ ۱]

[۸] [۱] [۷] [ ۴.۵۰۰۰e+000] [4.3072e+000]

[۸] [۲] [۶] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [1.0013e+001]

[۸] [۳] [۵] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [1.5621e+001]

[۸] [۴] [۴] [ ۱.۹۰۳۸e+001] [1.7827e+001]

[۸] [۵] [۳] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [1.5225e+001]

[۸] [۶] [۲] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [9.5123e+000]

[۸] [۷] [۱] [ ۴.۵۰۰۰e+000] [3.9877e+000]

[۸] [۸] [۰] [ ۱] [۸.۶۳۶۰e-001]

[۹] [۰] [۹] [ ۱] [ ۱]

[۹] [۱] [۸] [ ۵] [۴.۷۸۵۷e+000]

[۹] [۲] [۷] [ ۱.۲۹۴۱e+001] [1.2341e+001]

پیوست الف: تعداد راه­های تشکیل هسته­ها

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۹] [۳] [۶] [ ۲.۲۶۴۷e+001] [2.1440e+001]

[۹] [۴] [۵] [ ۲.۹۴۴۱e+001] [2.7568e+001]

[۹] [۵] [۴] [ ۲.۹۴۴۱e+001] [2.7166e+001]

[۹] [۶] [۳] [ ۲.۲۶۴۷e+001] [2.0517e+001]

[۹] [۷] [۲] [ ۱.۲۹۴۱e+001] [1.1468e+001]

[۹] [۸] [۱] [ ۵.۰۰۰۰e+000] [4.3180e+000]

[۹] [۹] [۰] [ ۱] [۸.۳۸۴۹e-001]

[۱۰] [ ۰] [۱۰] [ ۱] [ ۱]

[۱۰] [ ۱] [ ۹] [ ۵.۵۰۰۰e+000] [5.2643e+000]

[۱۰] [ ۲] [ ۸] [ ۱.۵۶۳۲e+001] [1.4907e+001]

[۱۰] [ ۳] [ ۷] [ ۳.۰۱۰۵e+001] [2.8501e+001]

[۱۰] [ ۴] [ ۶] [ ۴.۳۳۸۷e+001] [4.0626e+001]

[۱۰] [ ۵] [ ۵] [ ۴.۸۸۱۰e+001] [4.5038e+001]

[۱۰] [ ۶] [ ۴] [ ۴.۳۳۸۷e+001] [3.9306e+001]

[۱۰] [ ۷] [ ۳] [ ۳.۰۱۰۵e+001] [2.6678e+001]

[۱۰] [ ۸] [ ۲] [ ۱.۵۶۳۲e+001] [1.3499e+001]

[۱۰] [ ۹] [ ۱] [ ۵.۵۰۰۰e+000] [4.6117e+000]

[۱۰] [۱۰] [ ۰] [ ۱] [۸.۱۱۰۸e-001]

[۱۱] [ ۰] [۱۱] [ ۱] [ ۱]

[۱۱] [ ۱] [۱۰] [ ۶] [۵.۷۴۲۹e+000]

[۱۱] [ ۲] [ ۹] [ ۱.۸۵۷۱e+001] [1.7711e+001]

[۱۱] [ ۳] [ ۸] [ ۳.۹۰۰۰e+001] [3.6922e+001]

[۱۱] [ ۴] [ ۷] [ ۶.۱۵۷۹e+001] [5.7660e+001]

[۱۱] [ ۵] [ ۶] [ ۷.۶۶۳۲e+001] [7.0710e+001]

[۱۱] [ ۶] [ ۵] [ ۷.۶۶۳۲e+001] [6.9423e+001]

[۱۱] [ ۷] [ ۴] [ ۶.۱۵۷۹e+001] [5.4569e+001]

[۱۱] [ ۸] [ ۳] [ ۳۹] [۳.۳۶۸۰e+001]

[۱۱] [ ۹] [ ۲] [ ۱.۸۵۷۱e+001] [1.5572e+001]

[۱۱] [۱۰] [ ۱] [ ۶] [۴.۸۶۶۵e+000]

[۱۱] [۱۱] [ ۰] [ ۱] [۷.۸۱۶۲e-001]

[۱۲] [ ۰] [۱۲] [ ۱] [ ۱]

[۱۲] [ ۱] [۱۱] [ ۶.۵۰۰۰e+000] [6.2215e+000]

[۱۲] [ ۲] [۱۰] [ ۲.۱۷۶۱e+001] [2.0752e+001]

[۱۲] [ ۳] [ ۹] [ ۴.۹۴۵۷e+001] [4.6821e+001]

[۱۲] [ ۴] [ ۸] [ ۸.۴۷۸۳e+001] [7.9387e+001]

[۱۲] [ ۵] [ ۷] [ ۱.۱۵۳۰e+002] [1.0639e+002]

[۱۲] [ ۶] [ ۶] [ ۱.۲۷۴۴e+002] [1.1545e+002]

[۱۲] [ ۷] [ ۵] [ ۱.۱۵۳۰e+002] [1.0218e+002]

[۱۲] [ ۸] [ ۴] [ ۸.۴۷۸۳e+001] [7.3218e+001]

[۱۲] [ ۹] [ ۳] [ ۴.۹۴۵۷e+001] [4.1469e+001]

[۱۲] [۱۰] [ ۲] [ ۲.۱۷۶۱e+001] [1.7650e+001]

[۱۲] [۱۱] [ ۱] [ ۶.۵۰۰۰e+000] [5.0806e+000]

[۱۲] [۱۲] [ ۰] [ ۱] [۷.۵۰۴۲e-001]

[۱۳] [ ۰] [۱۳] [ ۱] [ ۱]

[۱۳] [ ۱] [۱۲] [ ۷] [۶.۷۰۰۰e+000]

[۱۳] [ ۲] [۱۱] [ ۲.۵۲۰۰e+001] [2.4032e+001]

[۱۳] [ ۳] [۱۰] [ ۶.۱۶۰۰e+001] [5.8317e+001]

[۱۳] [ ۴] [ ۹] [ ۱.۱۳۸۳e+002] [1.0658e+002]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۳] [ ۸] [ ۵] [ ۱.۶۷۶۳e+002] [1.4477e+002]

[۱۳] [ ۹] [ ۴] [ ۱.۱۳۸۳e+002] [9.5442e+001]

[۱۳] [۱۰] [ ۳] [ ۶.۱۶۰۰e+001] [4.9962e+001]

[۱۳] [۱۱] [ ۲] [ ۲.۵۲۰۰e+001] [1.9697e+001]

[۱۳] [۱۲] [ ۱] [ ۷.۰۰۰۰e+000] [5.2529e+000]

[۱۳] [۱۳] [ ۰] [ ۱] [۷.۱۷۷۵e-001]

[۱۴] [ ۰] [۱۴] [ ۱] [ ۱]

[۱۴] [ ۱] [۱۳] [ ۷.۵۰۰۰e+000] [7.1786e+000]

[۱۴] [ ۲] [۱۲] [ ۲.۸۸۸۹e+001] [2.7550e+001]

[۱۴] [ ۳] [۱۱] [ ۷.۵۵۵۶e+001] [7.1529e+001]

[۱۴] [ ۴] [۱۰] [ ۱.۴۹۶۰e+002] [1.4008e+002]

[۱۴] [ ۵] [ ۹] [ ۲.۳۶۸۷e+002] [2.1856e+002]

[۱۴] [ ۶] [ ۸] [ ۳.۰۸۹۶e+002] [2.7989e+002]

[۱۴] [ ۷] [ ۷] [ ۳.۳۷۰۴e+002] [2.9867e+002]

[۱۴] [ ۸] [ ۶] [ ۳.۰۸۹۶e+002] [2.6682e+002]

[۱۴] [ ۹] [ ۵] [ ۲.۳۶۸۷e+002] [1.9861e+002]

[۱۴] [۱۰] [ ۴] [ ۱.۴۹۶۰e+002] [1.2134e+002]

[۱۴] [۱۱] [ ۳] [ ۷.۵۵۵۶e+001] [5.9056e+001]

[۱۴] [۱۲] [ ۲] [ ۲.۸۸۸۹e+001] [2.1679e+001]

[۱۴] [۱۳] [ ۱] [ ۷.۵۰۰۰e+000] [5.3831e+000]

[۱۴] [۱۴] [ ۰] [ ۱] [۶.۸۳۹۲e-001]

[۱۵] [ ۰] [۱۵] [ ۱] [ ۱]

[۱۵] [ ۱] [۱۴] [ ۸] [۷.۶۵۷۲e+000]

[۱۵] [ ۲] [۱۳] [ ۳.۲۸۲۸e+001] [3.1306e+001]

[۱۵] [ ۳] [۱۲] [ ۹.۱۴۴۸e+001] [8.6575e+001]

[۱۵] [ ۴] [۱۱] [ ۱.۹۳۰۶e+002] [1.8077e+002]

[۱۵] [ ۵] [۱۰] [ ۳.۲۶۷۱e+002] [3.0147e+002]

[۱۵] [ ۶] [ ۹] [ ۴.۵۷۴۰e+002] [4.1437e+002]

[۱۵] [ ۷] [ ۸] [ ۵.۳۹۰۸e+002] [4.7771e+002]

[۱۵] [ ۸] [ ۷] [ ۵.۳۹۰۸e+002] [4.6555e+002]

[۱۵] [ ۹] [ ۶] [ ۴.۵۷۴۰e+002] [3.8352e+002]

[۱۵] [۱۰] [ ۵] [ ۳.۲۶۷۱e+002] [2.6499e+002]

[۱۵] [۱۱] [ ۴] [ ۱.۹۳۰۶e+002] [1.5090e+002]

[۱۵] [۱۲] [ ۳] [ ۹.۱۴۴۸e+001] [6.8625e+001]

[۱۵] [۱۳] [ ۲] [ ۳.۲۸۲۸e+001] [2.3562e+001]

[۱۵] [۱۴] [ ۱] [ ۸.۰۰۰۰e+000] [5.4714e+000]

[۱۵] [۱۵] [ ۰] [ ۱] [۶.۴۹۲۲e-001]

[۱۶] [ ۰] [۱۶] [ ۱] [ ۱]

[۱۶] [ ۱] [۱۵] [ ۸.۵۰۰۰e+000] [8.1358e+000]

[۱۶] [ ۲] [۱۴] [ ۳.۷۰۱۶e+001] [3.5301e+001]

[۱۶] [ ۳] [۱۳] [ ۱.۰۹۴۰e+002] [1.0357e+002]

[۱۶] [ ۴] [۱۲] [ ۲.۴۵۲۱e+002] [2.2961e+002]

[۱۶] [ ۵] [۱۱] [ ۴.۴۱۳۹e+002] [4.0728e+002]

[۱۶] [ ۶] [۱۰] [ ۶.۵۹۳۵e+002] [5.9733e+002]

[۱۶] [ ۷] [ ۹] [ ۸.۳۳۲۵e+002] [7.3839e+002]

[۱۶] [ ۸] [ ۸] [ ۸.۹۹۹۱e+002] [7.7716e+002]

[۱۶] [ ۹] [ ۷] [ ۸.۳۳۲۵e+002] [6.9867e+002]

[۱۶] [۱۰] [ ۶] [ ۶.۵۹۳۵e+002] [5.3479e+002]

[۱۶] [۱۱] [ ۵] [ ۴.۴۱۳۹e+002] [3.4500e+002]

[۱۶] [۱۲] [ ۴] [ ۲.۴۵۲۱e+002] [1.8401e+002]

[۱۶] [۱۳] [ ۳] [ ۱.۰۹۴۰e+002] [7.8524e+001]

[۱۶] [۱۴] [ ۲] [ ۳.۷۰۱۶e+001] [2.5316e+001]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۶] [۱۵] [ ۱] [ ۸.۵۰۰۰e+000] [5.5183e+000]

[۱۶] [۱۶] [ ۰] [ ۱] [۶.۱۳۹۴e-001]

[۱۷] [ ۰] [۱۷] [ ۱] [ ۱]

[۱۷] [ ۱] [۱۶] [ ۹] [۸.۶۱۴۳e+000]

[۱۷] [ ۲] [۱۵] [ ۴.۱۴۵۵e+001] [3.9533e+001]

[۱۷] [ ۳] [۱۴] [ ۱.۲۹۵۵e+002] [1.2264e+002]

[۱۷] [ ۴] [۱۳] [ ۳.۰۷۱۵e+002] [2.8760e+002]

[۱۷] [ ۵] [۱۲] [ ۵.۸۵۶۳e+002] [5.4037e+002]

[۱۷] [ ۶] [۱۱] [ ۹.۲۸۹۳e+002] [8.4155e+002]

[۱۷] [ ۷] [۱۰] [ ۱.۲۵۱۲e+003] [1.1088e+003]

[۱۷] [ ۸] [ ۹] [ ۱.۴۴۸۲e+003] [1.2506e+003]

[۱۷] [ ۹] [ ۸] [ ۱.۴۴۸۲e+003] [1.2143e+003]

[۱۷] [۱۰] [ ۷] [ ۱.۲۵۱۲e+003] [1.0148e+003]

[۱۷] [۱۱] [ ۶] [ ۹.۲۸۹۳e+002] [7.2607e+002]

[۱۷] [۱۲] [ ۵] [ ۵.۸۵۶۳e+002] [4.3947e+002]

[۱۷] [۱۳] [ ۴] [ ۳.۰۷۱۵e+002] [2.2046e+002]

[۱۷] [۱۴] [ ۳] [ ۱.۲۹۵۵e+002] [8.8599e+001]

[۱۷] [۱۵] [ ۲] [ ۴.۱۴۵۵e+001] [2.6913e+001]

[۱۷] [۱۶] [ ۱] [ ۹.۰۰۰۰e+000] [5.5255e+000]

[۱۷] [۱۷] [ ۰] [ ۱] [۵.۷۸۳۷e-001]

[۱۸] [ ۰] [۱۸] [ ۱] [ ۱]

[۱۸] [ ۱] [۱۷] [ ۹.۵۰۰۰e+000] [9.0929e+000]

[۱۸] [ ۲] [۱۶] [ ۴.۶۱۴۳e+001] [4.4005e+001]

[۱۸] [ ۳] [۱۵] [ ۱.۵۲۰۰e+002] [1.4390e+002]

[۱۸] [ ۴] [۱۴] [ ۳۸۰] [۳.۵۵۸۲e+002]

[۱۸] [ ۵] [۱۳] [ ۷.۶۴۷۵e+002] [7.0565e+002]

[۱۸] [ ۶] [۱۲] [ ۱.۲۸۲۸e+003] [1.1621e+003]

[۱۸] [ ۷] [۱۱] [ ۱.۸۳۲۶e+003] [1.6240e+003]

[۱۸] [ ۸] [۱۰] [ ۲.۲۵۹۱e+003] [1.9510e+003]

[۱۸] [ ۹] [ ۹] [ ۲.۴۲۰۵e+003] [2.0296e+003]

[۱۸] [۱۰] [ ۸] [ ۲.۲۵۹۱e+003] [1.8323e+003]

[۱۸] [۱۱] [ ۷] [ ۱.۸۳۲۶e+003] [1.4324e+003]

[۱۸] [۱۲] [ ۶] [ ۱.۲۸۲۸e+003] [9.6264e+002]

[۱۸] [۱۳] [ ۵] [ ۷.۶۴۷۵e+002] [5.4890e+002]

[۱۸] [۱۴] [ ۴] [ ۳۸۰] [۲.۵۹۸۹e+002]

[۱۸] [۱۵] [ ۳] [ ۱.۵۲۰۰e+002] [9.8681e+001]

[۱۸] [۱۶] [ ۲] [ ۴.۶۱۴۳e+001] [2.8329e+001]

[۱۸] [۱۷] [ ۱] [ ۹.۵۰۰۰e+000] [5.4945e+000]

[۱۸] [۱۸] [ ۰] [ ۱.۰۰۰۰e+000] [5.4279e-001]

[۱۹] [ ۰] [۱۹] [ ۱] [ ۱]

[۱۹] [ ۱] [۱۸] [ ۱۰] [۹.۵۷۱۵e+000]

[۱۹] [ ۲] [۱۷] [ ۵.۱۰۸۱e+001] [4.8714e+001]

[۱۹] [ ۳] [۱۶] [ ۱.۷۶۸۹e+002] [1.6746e+002]

[۱۹] [ ۴] [۱۵] [ ۴.۶۴۹۷e+002] [4.3538e+002]

[۱۹] [ ۵] [۱۴] [ ۹.۸۴۶۵e+002] [9.0856e+002]

[۱۹] [ ۶] [۱۳] [ ۱.۷۴۰۵e+003] [1.5768e+003]

[۱۹] [ ۷] [۱۲] [ ۲.۶۲۶۴e+003] [2.3274e+003]

[۱۹] [ ۸] [۱۱] [ ۳.۴۳۱۲e+003] [2.9632e+003]

[۱۹] [ ۹] [۱۰] [ ۳.۹۱۴۱e+003] [3.2819e+003]

[۱۹] [۱۰] [ ۹] [ ۳.۹۱۴۱e+003] [3.1746e+003]

[۱۹] [۱۱] [ ۸] [ ۳.۴۳۱۲e+003] [2.6819e+003]

[۱۹] [۱۲] [ ۷] [ ۲.۶۲۶۴e+003] [1.9709e+003]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۹] [۱۳] [ ۶] [ ۱.۷۴۰۵e+003] [1.2493e+003]

[۱۹] [۱۴] [ ۵] [ ۹.۸۴۶۵e+002] [6.7342e+002]

[۱۹] [۱۵] [ ۴] [ ۴.۶۴۹۷e+002] [3.0187e+002]

[۱۹] [۱۶] [ ۳] [ ۱.۷۶۸۹e+002] [1.0860e+002]

[۱۹] [۱۷] [ ۲] [ ۵.۱۰۸۱e+001] [2.9544e+001]

[۱۹] [۱۸] [ ۱] [ ۱.۰۰۰۰e+001] [5.4279e+000]

[۱۹] [۱۹] [ ۰] [ ۱] [۵.۰۷۴۵e-001]

[۲۰] [ ۰] [۲۰] [ ۱] [ ۱]

[۲۰] [ ۱] [۱۹] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [1.0050e+001]

[۲۰] [ ۲] [۱۸] [ ۵.۶۲۶۹e+001] [5.3662e+001]

[۲۰] [ ۳] [۱۷] [ ۲.۰۴۳۵e+002] [1.9346e+002]

[۲۰] [ ۴] [۱۶] [ ۵.۶۳۳۳e+002] [5.2748e+002]

[۲۰] [ ۵] [۱۵] [ ۱.۲۵۱۹e+003] [1.1551e+003]

[۲۰] [ ۶] [۱۴] [ ۲.۳۲۴۹e+003] [2.1062e+003]

[۲۰] [ ۷] [۱۳] [ ۳.۶۹۲۴e+003] [3.2721e+003]

[۲۰] [ ۸] [۱۲] [ ۵.۰۹۱۱e+003] [4.3967e+003]

[۲۰] [ ۹] [۱۱] [ ۶.۱۵۱۷e+003] [5.1582e+003]

[۲۰] [۱۰] [۱۰] [ ۶.۵۴۸۶e+003] [5.3114e+003]

[۲۰] [۱۱] [ ۹] [ ۶.۱۵۱۷e+003] [4.8083e+003]

[۲۰] [۱۲] [ ۸] [ ۵.۰۹۱۱e+003] [3.8204e+003]

[۲۰] [۱۳] [ ۷] [ ۳.۶۹۲۴e+003] [2.6503e+003]

[۲۰] [۱۴] [ ۶] [ ۲.۳۲۴۹e+003] [1.5900e+003]

[۲۰] [۱۵] [ ۵] [ ۱.۲۵۱۹e+003] [8.1272e+002]

[۲۰] [۱۶] [ ۴] [ ۵.۶۳۳۳e+002] [3.4585e+002]

[۲۰] [۱۷] [ ۳] [ ۲.۰۴۳۵e+002] [1.1819e+002]

[۲۰] [۱۸] [ ۲] [ ۵.۶۲۶۹e+001] [3.0542e+001]

[۲۰] [۱۹] [ ۱] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [5.3282e+000]

[۲۰] [۲۰] [ ۰] [ ۱] [۴.۷۲۵۹e-001]

[۲۴] [ ۰] [۲۴] [ ۱ [ ۱]

[۲۴] [ ۱] [۲۳] [ ۱.۲۵۰۰e+001] [1.1964e+001]

[۲۴] [ ۲] [۲۲] [ ۷.۹۵۲۱e+001] [7.5836e+001]

[۲۴] [ ۳] [۲۱] [ ۳.۴۲۲۹e+002] [3.2405e+002]

[۲۴] [ ۴] [۲۰] [ ۱.۱۱۸۱e+003] [1.0470e+003]

[۲۴] [ ۵] [۱۹] [ ۲.۹۴۷۸e+003] [2.7200e+003]

[۲۴] [ ۶] [۱۸] [ ۶.۵۱۲۶e+003] [5.9000e+003]

[۲۴] [ ۷] [۱۷] [ ۱.۲۳۶۱e+004] [1.0954e+004]

[۲۴] [ ۸] [۱۶] [ ۲.۰۵۰۱e+004] [1.7704e+004]

[۲۴] [ ۹] [۱۵] [ ۳.۰۰۶۸e+004] [2.5211e+004]

[۲۴] [۱۰] [۱۴] [ ۳.۹۳۱۹e+004] [3.1891e+004]

[۲۴] [۱۱] [۱۳] [ ۴.۶۰۹۲e+004] [3.6027e+004]

[۲۴] [۱۲] [۱۲] [ ۴.۸۵۸۳e+004] [3.6458e+004]

[۲۴] [۱۳] [۱۱] [ ۴.۶۰۹۲e+004] [3.3083e+004]

[۲۴] [۱۴] [۱۰] [ ۳.۹۳۱۹e+004] [2.6891e+004]

[۲۴] [۱۵] [ ۹] [ ۳.۰۰۶۸e+004] [1.9520e+004]

[۲۴] [۱۶] [ ۸] [ ۲.۰۵۰۱e+004] [1.2586e+004]

[۲۴] [۱۷] [ ۷] [ ۱.۲۳۶۱e+004] [7.1491e+003]

[۲۴] [۱۸] [ ۶] [ ۶.۵۱۲۶e+003] [3.5350e+003]

[۲۴] [۱۹] [ ۵] [ ۲.۹۴۷۸e+003] [1.4959e+003]

[۲۴] [۲۰] [ ۴] [ ۱.۱۱۸۱e+003] [5.2842e+002]

[۲۴] [۲۱] [ ۳] [ ۳.۴۲۲۹e+002] [1.5007e+002]

[۲۴] [۲۲] [ ۲] [ ۷.۹۵۲۱e+001] [3.2220e+001]

[۲۴] [۲۳] [ ۱] [ ۱.۲۵۰۰e+001] [4.6624e+000]

[۲۴] [۲۴] [ ۰] [ ۱] [۳.۴۲۰۳e-001]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۳۲] [ ۰] [۳۲] [ ۱] [ ۱]

[۳۲] [ ۱] [۳۱] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [1.5793e+001]

[۳۲] [ ۲] [۳۰] [ ۱.۳۸۰۲e+002] [1.3163e+002]

[۳۲] [ ۳] [۲۹] [ ۷.۷۹۱۷e+002] [7.3764e+002]

[۳۲] [ ۴] [۲۸] [ ۳.۳۳۳۸e+003] [3.1217e+003]

[۳۲] [ ۵] [۲۷] [ ۱.۱۵۱۳e+004] [1.0623e+004]

[۳۲] [ ۶] [۲۶] [ ۳.۳۳۶۷e+004] [3.0229e+004]

[۳۲] [ ۷] [۲۵] [ ۸.۳۳۳۷e+004] [7.3849e+004]

[۳۲] [ ۸] [۲۴] [ ۱.۸۲۷۶e+005] [1.5783e+005]

[۳۲] [ ۹] [۲۳] [ ۳.۵۶۸۱e+005] [2.9918e+005]

[۳۲] [۱۰] [۲۲] [ ۶.۲۶۶۹e+005] [5.0829e+005]

[۳۲] [۱۱] [۲۱] [ ۹.۹۸۰۵e+005] [7.8010e+005]

[۳۲] [۱۲] [۲۰] [ ۱.۴۵۰۰e+006] [1.0881e+006]

[۳۲] [۱۳] [۱۹] [ ۱.۹۳۰۵e+006] [1.3856e+006]

[۳۲] [۱۴] [۱۸] [ ۲.۳۶۳۱e+006] [1.6162e+006]

[۳۲] [۱۵] [۱۷] [ ۲.۶۶۵۶e+006] [1.7305e+006]

[۳۲] [۱۶] [۱۶] [ ۲.۷۷۴۴e+006] [1.7033e+006]

[۳۲] [۱۷] [۱۵] [ ۲.۶۶۵۶e+006] [1.5417e+006]

[۳۲] [۱۸] [۱۴] [ ۲.۳۶۳۱e+006] [1.2827e+006]

[۳۲] [۱۹] [۱۳] [ ۱.۹۳۰۵e+006] [9.7962e+005]

[۳۲] [۲۰] [۱۲] [ ۱.۴۵۰۰e+006] [6.8525e+005]

[۳۲] [۲۱] [۱۱] [ ۹.۹۸۰۵e+005] [4.3758e+005]

[۳۲] [۲۲] [۱۰] [ ۶.۲۶۶۹e+005] [2.5392e+005]

[۳۲] [۲۳] [ ۹] [ ۳.۵۶۸۱e+005] [1.3309e+005]

[۳۲] [۲۴] [ ۸] [ ۱.۸۲۷۶e+005] [6.2509e+004]

[۳۲] [۲۵] [ ۷] [ ۸.۳۳۳۷e+004] [2.6037e+004]

[۳۲] [۲۶] [ ۶] [ ۳.۳۳۶۷e+004] [9.4853e+003]

[۳۲] [۲۷] [ ۵] [ ۱.۱۵۱۳e+004] [2.9661e+003]

[۳۲] [۲۸] [ ۴] [ ۳.۳۳۳۸e+003] [7.7539e+002]

[۳۲] [۲۹] [ ۳] [ ۷.۷۹۱۷e+002] [1.6296e+002]

[۳۲] [۳۰] [ ۲] [ ۱.۳۸۰۲e+002] [2.5855e+001]

[۳۲] [۳۱] [ ۱] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [2.7573e+000]

[۳۲] [۳۲] [ ۰] [ ۱.۰۰۰۰e+000] [1.4849e-001]

[۴۸] [ ۰] [۴۸] [ ۱] [ ۱]

[۴۸] [ ۱] [۴۷] [ ۲.۴۵۰۰e+001] [2.3450e+001]

[۴۸] [ ۲] [۴۶] [ ۳.۰۳۰۳e+002] [2.8898e+002]

[۴۸] [ ۳] [۴۵] [ ۲.۵۲۰۹e+003] [2.3866e+003]

[۴۸] [ ۴] [۴۴] [ ۱.۵۸۵۷e+004] [1.4848e+004]

[۴۸] [ ۵] [۴۳] [ ۸.۰۳۹۰e+004] [7.4178e+004]

[۴۸] [ ۶] [۴۲] [ ۳.۴۱۸۸e+005] [3.0972e+005]

[۴۸] [ ۷] [۴۱] [ ۱.۲۵۳۶e+006] [1.1108e+006]

[۴۸] [ ۸] [۴۰] [ ۴.۰۴۲۴e+006] [3.4910e+006]

[۴۸] [ ۹] [۳۹] [ ۱.۱۶۳۷e+007] [9.7576e+006]

[۴۸] [۱۰] [۳۸] [ ۳.۰۲۵۷e+007] [2.4540e+007]

[۴۸] [۱۱] [۳۷] [ ۷.۱۷۰۷e+007] [5.6048e+007]

[۴۸] [۱۲] [۳۶] [ ۱.۵۶۰۷e+008] [1.1712e+008]

[۴۸] [۱۳] [۳۵] [ ۳.۱۳۸۵e+008] [2.2527e+008]

[۴۸] [۱۴] [۳۴] [ ۵.۸۶۱۱e+008] [4.0085e+008]

[۴۸] [۱۵] [۳۳] [ ۱.۰۲۰۷e+009] [6.6265e+008]

[۴۸] [۱۶] [۳۲] [ ۱.۶۶۳۳e+009] [1.0212e+009]

[۴۸] [۱۷] [۳۱] [ ۲.۵۴۳۹e+009] [1.4713e+009]

[۴۸] [۱۸] [۳۰] [ ۳.۶۶۰۳e+009] [1.9868e+009]

[۴۸] [۱۹] [۲۹] [ ۴.۹۶۴۳e+009] [2.5191e+009]

[۴۸] [۲۰] [۲۸] [ ۶.۳۵۶۹e+009] [3.0042e+009]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC [48] [21] [27] [ 7.6952e+009] [3.3738e+009]

[۴۸] [۲۲] [۲۶] [ ۸.۸۱۴۵e+009] [3.5714e+009]

[۴۸] [۲۳] [۲۵] [ ۹.۵۶۰۳e+009] [3.5659e+009]

[۴۸] [۲۴] [۲۴] [ ۹.۸۲۲۲e+009] [3.3595e+009]

[۴۸] [۲۵] [۲۳] [ ۹.۵۶۰۳e+009] [2.9869e+009]

[۴۸] [۲۶] [۲۲] [ ۸.۸۱۴۵e+009] [2.5057e+009]

[۴۸] [۲۷] [۲۱] [ ۷.۶۹۵۲e+009] [1.9826e+009]

[۴۸] [۲۸] [۲۰] [ ۶.۳۵۶۹e+009] [1.4785e+009]

[۴۸] [۲۹] [۱۹] [ ۴.۹۶۴۳e+009] [1.0382e+009]

[۴۸] [۳۰] [۱۸] [ ۳.۶۶۰۳e+009] [6.8564e+008]

[۴۸] [۳۱] [۱۷] [ ۲.۵۴۳۹e+009] [4.2512e+008]

[۴۸] [۳۲] [۱۶] [ ۱.۶۶۳۳e+009] [2.4699e+008]

[۴۸] [۳۳] [۱۵] [ ۱.۰۲۰۷e+009] [1.3414e+008]

[۴۸] [۳۴] [۱۴] [ ۵.۸۶۱۱e+008] [6.7899e+007]

[۴۸] [۳۵] [۱۳] [ ۳.۱۳۸۵e+008] [3.1922e+007]

[۴۸] [۳۶] [۱۲] [ ۱.۵۶۰۷e+008] [1.3881e+007]

[۴۸] [۳۷] [۱۱] [ ۷.۱۷۰۷e+007] [5.5546e+006]

[۴۸] [۳۸] [۱۰] [ ۳.۰۲۵۷e+007] [2.0330e+006]

[۴۸] [۳۹] [ ۹] [ ۱.۱۶۳۷e+007] [6.7549e+005]

[۴۸] [۴۰] [ ۸] [ ۴.۰۴۲۴e+006] [2.0189e+005]

[۴۸] [۴۱] [ ۷] [ ۱.۲۵۳۶e+006] [5.3645e+004]

[۴۸] [۴۲] [ ۶] [ ۳.۴۱۸۸e+005] [1.2485e+004]

[۴۸] [۴۳] [ ۵] [ ۸.۰۳۹۰e+004] [2.4951e+003]

[۴۸] [۴۴] [ ۴] [ ۱.۵۸۵۷e+004] [4.1657e+002]

[۴۸] [۴۵] [ ۳] [ ۲.۵۲۰۹e+003] [5.5820e+001]

[۴۸] [۴۶] [ ۲] [ ۳.۰۳۰۳e+002] [5.6322e+000]

[۴۸] [۴۷] [ ۱] [ ۲.۴۵۰۰e+001] [3.8066e-001]

[۴۸] [۴۸] [ ۰] [ ۱.۰۰۰۰e+000] [1.2934e-002]

[۵۶] [ ۰] [۵۶] [ ۱] [ ۱]

[۵۶] [ ۱] [۵۵] [ ۲.۸۵۰۰e+001] [2.7279e+001]

[۵۶] [ ۲] [۵۴] [ ۴.۰۹۵۳e+002] [3.9055e+002]

[۵۶] [ ۳] [۵۳] [ ۳.۹۵۳۸e+003] [3.7431e+003]

[۵۶] [ ۴] [۵۲] [ ۲.۸۸۳۷e+004] [2.7002e+004]

[۵۶] [ ۵] [۵۱] [ ۱.۶۹۳۹e+005] [1.5630e+005]

[۵۶] [ ۶] [۵۰] [ ۸.۳۴۳۰e+005] [7.5582e+005]

[۵۶] [ ۷] [۴۹] [ ۳.۵۴۱۸e+006] [3.1386e+006]

[۵۶] [ ۸] [۴۸] [ ۱.۳۲۲۳e+007] [1.1419e+007]

[۵۶] [ ۹] [۴۷] [ ۴.۴۰۷۶e+007] [3.6957e+007]

[۵۶] [۱۰] [۴۶] [ ۱.۳۲۷۴e+008] [1.0766e+008]

[۵۶] [۱۱] [۴۵] [ ۳.۶۴۶۳e+008] [2.8500e+008]

[۵۶] [۱۲] [۴۴] [ ۹.۲۰۵۹e+008] [6.9083e+008]

[۵۶] [۱۳] [۴۳] [ ۲.۱۴۹۹e+009] [1.5431e+009]

[۵۶] [۱۴] [۴۲] [ ۴.۶۶۹۰e+009] [3.1932e+009]

[۵۶] [۱۵] [۴۱] [ ۹.۴۷۱۵e+009] [6.1491e+009]

[۵۶] [۱۶] [۴۰] [ ۱.۸۰۱۵e+010] [1.1060e+010]

[۵۶] [۱۷] [۳۹] [ ۳.۲۲۳۳e+010] [1.8643e+010]

[۵۶] [۱۸] [۳۸] [ ۵.۴۴۰۱e+010] [2.9528e+010]

[۵۶] [۱۹] [۳۷] [ ۸.۶۸۱۰e+010] [4.4051e+010]

[۵۶] [۲۰] [۳۶] [ ۱.۳۱۲۴e+011] [6.2023e+010]

[۵۶] [۲۱] [۳۵] [ ۱.۸۸۳۰e+011] [8.2558e+010]

[۵۶] [۲۲] [۳۴] [ ۲.۵۶۷۸e+011] [1.0404e+011]

[۵۶] [۲۳] [۳۳] [ ۳.۳۳۱۹e+011] [1.2428e+011]

[۵۶] [۲۴] [۳۲] [ ۴.۱۱۸۱e+011] [1.4085e+011]

[۵۶] [۲۵] [۳۱] [ ۴.۸۵۱۸e+011] [1.5158e+011]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC [56] [26] [30] [ 5.4524e+011] [1.5500e+011]

[۵۶] [۲۷] [۲۹] [ ۵.۸۴۶۹e+011] [1.5064e+011]

[۵۶] [۲۸] [۲۸] [ ۵.۹۸۴۵e+011] [1.3919e+011]

[۵۶] [۲۹] [۲۷] [ ۵.۸۴۶۹e+011] [1.2228e+011]

[۵۶] [۳۰] [۲۶] [ ۵.۴۵۲۴e+011] [1.0213e+011]

[۵۶] [۳۱] [۲۵] [ ۴.۸۵۱۸e+011] [8.1080e+010]

[۵۶] [۳۲] [۲۴] [ ۴.۱۱۸۱e+011] [6.1150e+010]

[۵۶] [۳۳] [۲۳] [ ۳.۳۳۱۹e+011] [4.3788e+010]

[۵۶] [۳۴] [۲۲] [ ۲.۵۶۷۸e+011] [2.9747e+010]

[۵۶] [۳۵] [۲۱] [ ۱.۸۸۳۰e+011] [1.9153e+010]

[۵۶] [۳۶] [۲۰] [ ۱.۳۱۲۴e+011] [1.1673e+010]

[۵۶] [۳۷] [۱۹] [ ۸.۶۸۱۰e+010] [6.7245e+009]

[۵۶] [۳۸] [۱۸] [ ۵.۴۴۰۱e+010] [3.6553e+009]

[۵۶] [۳۹] [۱۷] [ ۳.۲۲۳۳e+010] [1.8710e+009]

[۵۶] [۴۰] [۱۶] [ ۱.۸۰۱۵e+010] [8.9973e+008]

[۵۶] [۴۱] [۱۵] [ ۹.۴۷۱۵e+009] [4.0533e+008]

[۵۶] [۴۲] [۱۴] [ ۴.۶۶۹۰e+009] [1.7051e+008]

[۵۶] [۴۳] [۱۳] [ ۲.۱۴۹۹e+009] [6.6729e+007]

[۵۶] [۴۴] [۱۲] [ ۹.۲۰۵۹e+008] [2.4184e+007]

[۵۶] [۴۵] [۱۱] [ ۳.۶۴۶۳e+008] [8.0738e+006]

[۵۶] [۴۶] [۱۰] [ ۱.۳۲۷۴e+008] [2.4672e+006]

[۵۶] [۴۷] [ ۹] [ ۴.۴۰۷۶e+007] [6.8481e+005]

[۵۶] [۴۸] [ ۸] [ ۱.۳۲۲۳e+007] [1.7102e+005]

[۵۶] [۴۹] [ ۷] [ ۳.۵۴۱۸e+006] [3.7974e+004]

[۵۶] [۵۰] [ ۶] [ ۸.۳۴۳۰e+005] [7.3841e+003]

[۵۶] [۵۱] [ ۵] [ ۱.۶۹۳۹e+005] [1.2324e+003]

[۵۶] [۵۲] [ ۴] [ ۲.۸۸۳۷e+004] [1.7174e+002]

[۵۶] [۵۳] [ ۳] [ ۳.۹۵۳۸e+003] [1.9193e+001]

[۵۶] [۵۴] [ ۲] [ ۴.۰۹۵۳e+002] [1.6136e+000]

[۵۶] [۵۵] [ ۱] [ ۲.۸۵۰۰e+001] [9.0756e-002]

[۵۶] [۵۶] [ ۰] [ ۱] [۲.۵۶۲۷e-003]

[۹۵] [ ۰] [۹۵] [ ۱] [ ۱]

[۹۵] [ ۱] [۹۴] [ ۴۸] [۴.۵۹۴۳e+001]

[۹۵] [ ۲] [۹۳] [ ۱.۱۵۷۸e+003] [1.1042e+003]

[۹۵] [ ۳] [۹۲] [ ۱.۸۷۱۰e+004] [1.7713e+004]

[۹۵] [ ۴] [۹۱] [ ۲.۲۷۸۲e+005] [2.1333e+005]

[۹۵] [ ۵] [۹۰] [ ۲.۲۲۹۳e+006] [2.0570e+006]

[۹۵] [ ۶] [۸۹] [ ۱.۸۲۵۶e+007] [1.6538e+007]

[۹۵] [ ۷] [۸۸] [ ۱.۲۸۶۷e+008] [1.1402e+008]

[۹۵] [ ۸] [۸۷] [ ۷.۹۶۶۲e+008] [6.8796e+008]

[۹۵] [ ۹] [۸۶] [ ۴.۴۰۰۴e+009] [3.6897e+009]

[۹۵] [۱۰] [۸۵] [ ۲.۱۹۵۳e+010] [1.7806e+010]

[۹۵] [۱۱] [۸۴] [ ۹.۹۸۹۹e+010] [7.8083e+010]

[۹۵] [۱۲] [۸۳] [ ۴.۱۸۰۱e+011] [3.1368e+011]

[۹۵] [۱۳] [۸۲] [ ۱.۶۱۹۳e+012] [1.1623e+012]

[۹۵] [۱۴] [۸۱] [ ۵.۸۴۰۷e+012] [3.9946e+012]

[۹۵] [۱۵] [۸۰] [ ۱.۹۷۱۲e+013] [1.2798e+013]

[۹۵] [۱۶] [۷۹] [ ۶.۲۵۱۷e+013] [3.8381e+013]

[۹۵] [۱۷] [۷۸] [ ۱.۸۷۰۰e+014] [1.0816e+014]

[۹۵] [۱۸] [۷۷] [ ۵.۲۹۲۹e+014] [2.8729e+014]

[۹۵] [۱۹] [۷۶] [ ۱.۴۲۱۷e+015] [7.2144e+014]

[۹۵] [۲۰] [۷۵] [ ۳.۶۳۳۳e+015] [1.7170e+015]

[۹۵] [۲۱] [۷۴] [ ۸.۸۵۴۱e+015] [3.8819e+015]

[۹۵] [۲۲] [۷۳] [ ۲.۰۶۱۸e+016] [8.3540e+015]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC [95] [23] [72] [ 4.5965e+016] [1.7144e+016]

[۹۵] [۲۴] [۷۱] [ ۹.۸۲۵۹e+016] [3.3608e+016]

[۹۵] [۲۵] [۷۰] [ ۲.۰۱۷۳e+017] [6.3025e+016]

[۹۵] [۲۶] [۶۹] [ ۳.۹۸۲۸e+017] [1.1322e+017]

[۹۵] [۲۷] [۶۸] [ ۷.۵۷۱۷e+017] [1.9507e+017]

[۹۵] [۲۸] [۶۷] [ ۱.۳۸۷۶e+018] [3.2273e+017]

[۹۵] [۲۹] [۶۶] [ ۲.۴۵۳۸e+018] [5.1320e+017]

[۹۵] [۳۰] [۶۵] [ ۴.۱۹۱۳e+018] [7.8512e+017]

[۹۵] [۳۱] [۶۴] [ ۶.۹۲۰۸e+018] [1.1565e+018]

[۹۵] [۳۲] [۶۳] [ ۱.۱۰۵۶e+019] [1.6417e+018]

[۹۵] [۳۳] [۶۲] [ ۱.۷۰۹۹e+019] [2.2471e+018]

[۹۵] [۳۴] [۶۱] [ ۲.۵۶۲۰e+019] [2.9680e+018]

[۹۵] [۳۵] [۶۰] [ ۳.۷۲۰۹e+019] [3.7846e+018]

[۹۵] [۳۶] [۵۹] [ ۵.۲۴۱۳e+019] [4.6617e+018]

[۹۵] [۳۷] [۵۸] [ ۷.۱۶۳۸e+019] [5.5492e+018]

[۹۵] [۳۸] [۵۷] [ ۹.۵۰۵۰e+019] [6.3865e+018]

[۹۵] [۳۹] [۵۶] [ ۱.۲۲۴۷e+020] [7.1088e+018]

[۹۵] [۴۰] [۵۵] [ ۱.۵۳۲۹e+020] [7.6555e+018]

[۹۵] [۴۱] [۵۴] [ ۱.۸۶۴۴e+020] [7.9785e+018]

[۹۵] [۴۲] [۵۳] [ ۲.۲۰۴۰e+020] [8.0490e+018]

[۹۵] [۴۳] [۵۲] [ ۲.۵۳۳۰e+020] [7.8618e+018]

[۹۵] [۴۴] [۵۱] [ ۲.۸۳۰۶e+020] [7.4360e+018]

[۹۵] [۴۵] [۵۰] [ ۳.۰۷۶۲e+020] [6.8115e+018]

[۹۵] [۴۶] [۴۹] [ ۳.۲۵۱۵e+020] [6.0434e+018]

[۹۵] [۴۷] [۴۸] [ ۳.۳۴۲۸e+020] [5.1936e+018]

[۹۵] [۴۸] [۴۷] [ ۳.۳۴۲۸e+020] [4.3234e+018]

[۹۵] [۴۹] [۴۶] [ ۳.۲۵۱۵e+020] [3.4861e+018]

[۹۵] [۵۰] [۴۵] [ ۳.۰۷۶۲e+020] [2.7227e+018]

[۹۵] [۵۱] [۴۴] [ ۲.۸۳۰۶e+020] [2.0595e+018]

[۹۵] [۵۲] [۴۳] [ ۲.۵۳۳۰e+020] [1.5085e+018]

[۹۵] [۵۳] [۴۲] [ ۲.۲۰۴۰e+020] [1.0699e+018]

[۹۵] [۵۴] [۴۱] [ ۱.۸۶۴۴e+020] [7.3459e+017]

[۹۵] [۵۵] [۴۰] [ ۱.۵۳۲۹e+020] [4.8813e+017]

[۹۵] [۵۶] [۳۹] [ ۱.۲۲۴۷e+020] [3.1385e+017]

[۹۵] [۵۷] [۳۸] [ ۹.۵۰۵۰e+019] [1.9519e+017]

[۹۵] [۵۸] [۳۷] [ ۷.۱۶۳۸e+019] [1.1738e+017]

[۹۵] [۵۹] [۳۶] [ ۵.۲۴۱۳e+019] [6.8224e+016]

[۹۵] [۶۰] [۳۵] [ ۳.۷۲۰۹e+019] [3.8312e+016]

[۹۵] [۶۱] [۳۴] [ ۲.۵۶۲۰e+019] [2.0775e+016]

[۹۵] [۶۲] [۳۳] [ ۱.۷۰۹۹e+019] [1.0873e+016]

[۹۵] [۶۳] [۳۲] [ ۱.۱۰۵۶e+019] [5.4888e+015]

[۹۵] [۶۴] [۳۱] [ ۶.۹۲۰۸e+018] [2.6708e+015]

[۹۵] [۶۵] [۳۰] [ ۴.۱۹۱۳e+018] [1.2518e+015]

[۹۵] [۶۶] [۲۹] [ ۲.۴۵۳۸e+018] [5.6470e+014]

[۹۵] [۶۷] [۲۸] [ ۱.۳۸۷۶e+018] [2.4496e+014]

[۹۵] [۶۸] [۲۷] [ ۷.۵۷۱۷e+017] [1.0208e+014]

[۹۵] [۶۹] [۲۶] [ ۳.۹۸۲۸e+017] [4.0828e+013]

[۹۵] [۷۰] [۲۵] [ ۲.۰۱۷۳e+017] [1.5653e+013]

[۹۵] [۷۱] [۲۴] [ ۹.۸۲۵۹e+016] [5.7453e+012]

[۹۵] [۷۲] [۲۳] [ ۴.۵۹۶۵e+016] [2.0162e+012]

[۹۵] [۷۳] [۲۲] [ ۲.۰۶۱۸e+016] [6.7540e+011]

[۹۵] [۷۴] [۲۱] [ ۸.۸۵۴۱e+015] [2.1562e+011]

[۹۵] [۷۵] [۲۰] [ ۳.۶۳۳۳e+015] [6.5480e+010]

[۹۵] [۷۶] [۱۹] [ ۱.۴۲۱۷e+015] [1.8876e+010]

[۹۵] [۷۷] [۱۸] [ ۵.۲۹۲۹e+014] [5.1536e+009]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۹۵] [۷۸] [۱۷] [ ۱.۸۷۰۰e+014] [1.3291e+009]

[۹۵] [۷۹] [۱۶] [ ۶.۲۵۱۷e+013] [3.2288e+008]

[۹۵] [۸۰] [۱۵] [ ۱.۹۷۱۲e+013] [7.3638e+007]

[۹۵] [۸۱] [۱۴] [ ۵.۸۴۰۷e+012] [1.5709e+007]

[۹۵] [۸۲] [۱۳] [ ۱.۶۱۹۳e+012] [3.1209e+006]

[۹۵] [۸۳] [۱۲] [ ۴.۱۸۰۱e+011] [5.7466e+005]

[۹۵] [۸۴] [۱۱] [ ۹.۹۸۹۹e+010] [9.7504e+004]

[۹۵] [۸۵] [۱۰] [ ۲.۱۹۵۳e+010] [1.5141e+004]

[۹۵] [۸۶] [ ۹] [ ۴.۴۰۰۴e+009] [2.1346e+003]

[۹۵] [۸۷] [ ۸] [ ۷.۹۶۶۲e+008] [2.7051e+002]

[۹۵] [۸۸] [ ۷] [ ۱.۲۸۶۷e+008] [3.0440e+001]

[۹۵] [۸۹] [ ۶] [ ۱.۸۲۵۶e+007] [2.9947e+000]

[۹۵] [۹۰] [ ۵] [ ۲.۲۲۹۳e+006] [2.5237e-001]

[۹۵] [۹۱] [ ۴] [ ۲.۲۷۸۲e+005] [1.7714e-002]

[۹۵] [۹۲] [ ۳] [ ۱.۸۷۱۰e+004] [9.9435e-004]

[۹۵] [۹۳] [ ۲] [ ۱.۱۵۷۸e+003] [4.1857e-005]

[۹۵] [۹۴] [ ۱] [ ۴.۸۰۰۰e+001] [1.1747e-006]

[۹۵] [۹۵] [ ۰] [ ۱] [۱.۶۴۸۷e-008]

[۱۵۹] [ ۰] [۱۵۹] [ ۱] [ ۱]

[۱۵۹] [ ۱] [۱۵۸] [ ۸۰] [۷.۶۵۷۲e+001]

[۱۵۹] [ ۲] [۱۵۷] [ ۳.۲۰۹۸e+003] [3.0611e+003]

[۱۵۹] [ ۳] [۱۵۶] [ ۸.۶۱۱۷e+004] [8.1528e+004]

[۱۵۹] [ ۴] [۱۵۵] [ ۱.۷۳۷۹e+006] [1.6273e+006]

[۱۵۹] [ ۵] [۱۵۴] [ ۲.۸۱۳۹e+007] [2.5964e+007]

[۱۵۹] [ ۶] [۱۵۳] [ ۳.۸۰۷۳e+008] [3.4491e+008]

[۱۵۹] [ ۷] [۱۵۲] [ ۴.۴۲۷۶e+009] [3.9235e+009]

[۱۵۹] [ ۸] [۱۵۱] [ ۴.۵۱۷۲e+010] [3.9011e+010]

[۱۵۹] [ ۹] [۱۵۰] [ ۴.۱۰۷۳e+011] [3.4439e+011]

[۱۵۹] [ ۱۰] [۱۴۹] [ ۳.۳۶۹۶e+012] [2.7330e+012]

[۱۵۹] [ ۱۱] [۱۴۸] [ ۲.۵۱۹۲e+013] [1.9691e+013]

[۱۵۹] [ ۱۲] [۱۴۷] [ ۱.۷۳۰۶e+014] [1.2987e+014]

[۱۵۹] [ ۱۳] [۱۴۶] [ ۱.۱۰۰۰e+015] [7.8951e+014]

[۱۵۹] [ ۱۴] [۱۴۵] [ ۶.۵۰۶۶e+015] [4.4500e+015]

[۱۵۹] [ ۱۵] [۱۴۴] [ ۳.۶۰۰۱e+016] [2.3372e+016]

[۱۵۹] [ ۱۶] [۱۴۳] [ ۱.۸۷۱۳e+017] [1.1489e+017]

[۱۵۹] [ ۱۷] [۱۴۲] [ ۹.۱۷۳۶e+017] [5.3058e+017]

[۱۵۹] [ ۱۸] [۱۴۱] [ ۴.۲۵۵۶e+018] [2.3099e+018]

[۱۵۹] [ ۱۹] [۱۴۰] [ ۱.۸۷۳۸e+019] [9.5086e+018]

[۱۵۹] [ ۲۰] [۱۳۹] [ ۷.۸۵۲۵e+019] [3.7110e+019]

[۱۵۹] [ ۲۱] [۱۳۸] [ ۳.۱۳۹۵e+020] [1.3764e+020]

[۱۵۹] [ ۲۲] [۱۳۷] [ ۱.۲۰۰۲e+021] [4.8627e+020]

[۱۵۹] [ ۲۳] [۱۳۶] [ ۴.۳۹۵۵e+021] [1.6395e+021]

[۱۵۹] [ ۲۴] [۱۳۵] [ ۱.۵۴۵۱e+022] [5.2849e+021]

[۱۵۹] [ ۲۵] [۱۳۴] [ ۵.۲۲۱۹e+022] [1.6315e+022]

[۱۵۹] [ ۲۶] [۱۳۳] [ ۱.۶۹۹۳e+023] [4.8305e+022]

[۱۵۹] [ ۲۷] [۱۳۲] [ ۵.۳۳۱۹e+023] [1.3737e+023]

[۱۵۹] [ ۲۸] [۱۳۱] [ ۱.۶۱۵۳e+024] [3.7569e+023]

[۱۵۹] [ ۲۹] [۱۳۰] [ ۴.۷۳۰۲e+024] [9.8929e+023]

[۱۵۹] [ ۳۰] [۱۲۹] [ ۱.۳۴۰۵e+025] [2.5110e+024]

[۱۵۹] [ ۳۱] [۱۲۸] [ ۳.۶۸۰۱e+025] [6.1498e+024]

[۱۵۹] [ ۳۲] [۱۲۷] [ ۹.۷۹۶۴e+025] [1.4547e+025]

[۱۵۹] [ ۳۳] [۱۲۶] [ ۲.۵۳۱۰e+026] [3.3262e+025]

[۱۵۹] [ ۳۴] [۱۲۵] [ ۶.۳۵۱۸e+026] [7.3584e+025]

[۱۵۹] [ ۳۵] [۱۲۴] [ ۱.۵۴۹۶e+027] [1.5761e+026]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۵۹] [ ۳۶] [۱۲۳] [ ۳.۶۷۷۸e+027] [3.2711e+026]

[۱۵۹] [ ۳۷] [۱۲۲] [ ۸.۴۹۷۷e+027] [6.5825e+026]

[۱۵۹] [ ۳۸] [۱۲۱] [ ۱.۹۱۲۷e+028] [1.2851e+027]

[۱۵۹] [ ۳۹] [۱۲۰] [ ۴.۱۹۶۳e+028] [2.4358e+027]

[۱۵۹] [ ۴۰] [۱۱۹] [ ۸.۹۷۹۱e+028] [4.4844e+027]

[۱۵۹] [ ۴۱] [۱۱۸] [ ۱.۸۷۴۹e+029] [8.0236e+027]

[۱۵۹] [ ۴۲] [۱۱۷] [ ۳.۸۲۲۴e+029] [1.3959e+028]

[۱۵۹] [ ۴۳] [۱۱۶] [ ۷.۶۱۱۹e+029] [2.3625e+028]

[۱۵۹] [ ۴۴] [۱۱۵] [ ۱.۴۸۱۴e+030] [3.8915e+028]

[۱۵۹] [ ۴۵] [۱۱۴] [ ۲.۸۱۸۵e+030] [6.2410e+028]

[۱۵۹] [ ۴۶] [۱۱۳] [ ۵.۲۴۵۲e+030] [9.7491e+028]

[۱۵۹] [ ۴۷] [۱۱۲] [ ۹.۵۵۰۹e+030] [1.4839e+029]

[۱۵۹] [ ۴۸] [۱۱۱] [ ۱.۷۰۲۲e+031] [2.2016e+029]

[۱۵۹] [ ۴۹] [۱۱۰] [ ۲.۹۷۰۶e+031] [3.1850e+029]

[۱۵۹] [ ۵۰] [۱۰۹] [ ۵.۰۷۷۷e+031] [4.4941e+029]

[۱۵۹] [ ۵۱] [۱۰۸] [ ۸.۵۰۳۶e+031] [6.1869e+029]

[۱۵۹] [ ۵۲] [۱۰۷] [ ۱.۳۹۵۷e+032] [8.3122e+029]

[۱۵۹] [ ۵۳] [۱۰۶] [ ۲.۲۴۵۷e+032] [1.0902e+030]

[۱۵۹] [ ۵۴] [۱۰۵] [ ۳.۵۴۳۳e+032] [1.3961e+030]

[۱۵۹] [ ۵۵] [۱۰۴] [ ۵.۴۸۳۳e+032] [1.7461e+030]

[۱۵۹] [ ۵۶] [۱۰۳] [ ۸.۳۲۴۷e+032] [2.1334e+030]

[۱۵۹] [ ۵۷] [۱۰۲] [ ۱.۲۴۰۲e+033] [2.5467e+030]

[۱۵۹] [ ۵۸] [۱۰۱] [ ۱.۸۱۳۳e+033] [2.9710e+030]

[۱۵۹] [ ۵۹] [۱۰۰] [ ۲.۶۰۲۷e+033] [3.3878e+030]

[۱۵۹] [ ۶۰] [ ۹۹] [ ۳.۶۶۷۹e+033] [3.7766e+030]

[۱۵۹] [ ۶۱] [ ۹۸] [ ۵.۰۷۶۱e+033] [4.1163e+030]

[۱۵۹] [ ۶۲] [ ۹۷] [ ۶.۸۹۹۶e+033] [4.3874e+030]

[۱۵۹] [ ۶۳] [ ۹۶] [ ۹.۲۱۲۳e+033] [4.5736e+030]

[۱۵۹] [ ۶۴] [ ۹۵] [ ۱.۲۰۸۴e+034] [4.6636e+030]

[۱۵۹] [ ۶۵] [ ۹۴] [ ۱.۵۵۷۶e+034] [4.6520e+030]

[۱۵۹] [ ۶۶] [ ۹۳] [ ۱.۹۷۲۸e+034] [4.5401e+030]

[۱۵۹] [ ۶۷] [ ۹۲] [ ۲.۴۵۵۹e+034] [4.3355e+030]

[۱۵۹] [ ۶۸] [ ۹۱] [ ۳.۰۰۵۰e+034] [4.0514e+030]

[۱۵۹] [ ۶۹] [ ۹۰] [ ۳.۶۱۴۳e+034] [3.7050e+030]

[۱۵۹] [ ۷۰] [ ۸۹] [ ۴.۲۷۳۷e+034] [3.3161e+030]

[۱۵۹] [ ۷۱] [ ۸۸] [ ۴.۹۶۸۴e+034] [2.9051e+030]

[۱۵۹] [ ۷۲] [ ۸۷] [ ۵.۶۷۹۱e+034] [2.4911e+030]

[۱۵۹] [ ۷۳] [ ۸۶] [ ۶.۳۸۳۱e+034] [2.0909e+030]

[۱۵۹] [ ۷۴] [ ۸۵] [ ۷.۰۵۴۸e+034] [1.7180e+030]

[۱۵۹] [ ۷۵] [ ۸۴] [ ۷.۶۶۷۸e+034] [1.3819e+030]

[۱۵۹] [ ۷۶] [ ۸۳] [ ۸.۱۹۵۹e+034] [1.0882e+030]

[۱۵۹] [ ۷۷] [ ۸۲] [ ۸.۶۱۵۵e+034] [8.3886e+029]

[۱۵۹] [ ۷۸] [ ۸۱] [ ۸.۹۰۷۰e+034] [6.3308e+029]

[۱۵۹] [ ۷۹] [ ۸۰] [ ۹.۰۵۶۴e+034] [4.6774e+029]

[۱۵۹] [ ۸۰] [ ۷۹] [ ۹.۰۵۶۴e+034] [3.3831e+029]

[۱۵۹] [ ۸۱] [ ۷۸] [ ۸.۹۰۷۰e+034] [2.3955e+029]

[۱۵۹] [ ۸۲] [ ۷۷] [ ۸.۶۱۵۵e+034] [1.6605e+029]

[۱۵۹] [ ۸۳] [ ۷۶] [ ۸.۱۹۵۹e+034] [1.1267e+029]

[۱۵۹] [ ۸۴] [ ۷۵] [ ۷.۶۶۷۸e+034] [7.4839e+028]

[۱۵۹] [ ۸۵] [ ۷۴] [ ۷.۰۵۴۸e+034] [4.8657e+028]

[۱۵۹] [ ۸۶] [ ۷۳] [ ۶.۳۸۳۱e+034] [3.0963e+028]

[۱۵۹] [ ۸۷] [ ۷۲] [ ۵.۶۷۹۱e+034] [1.9284e+028]

[۱۵۹] [ ۸۸] [ ۷۱] [ ۴.۹۶۸۴e+034] [1.1754e+028]

[۱۵۹] [ ۸۹] [ ۷۰] [ ۴.۲۷۳۷e+034] [7.0107e+027]

[۱۵۹] [ ۹۰] [ ۶۹] [ ۳.۶۱۴۳e+034] [4.0916e+027]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۵۹] [ ۹۱] [ ۶۸] [ ۳.۰۰۵۰e+034] [2.3364e+027]

[۱۵۹] [ ۹۲] [ ۶۷] [ ۲.۴۵۵۹e+034] [1.3052e+027]

[۱۵۹] [ ۹۳] [ ۶۶] [ ۱.۹۷۲۸e+034] [7.1320e+026]

[۱۵۹] [ ۹۴] [ ۶۵] [ ۱.۵۵۷۶e+034] [3.8118e+026]

[۱۵۹] [ ۹۵] [ ۶۴] [ ۱.۲۰۸۴e+034] [1.9923e+026]

[۱۵۹] [ ۹۶] [ ۶۳] [ ۹.۲۱۲۳e+033] [1.0182e+026]

[۱۵۹] [ ۹۷] [ ۶۲] [ ۶.۸۹۹۶e+033] [5.0876e+025]

[۱۵۹] [ ۹۸] [ ۶۱] [ ۵.۰۷۶۱e+033] [2.4849e+025]

[۱۵۹] [ ۹۹] [ ۶۰] [ ۳.۶۶۷۹e+033] [1.1862e+025]

[۱۵۹] [۱۰۰] [ ۵۹] [ ۲.۶۰۲۷e+033] [5.5333e+024]

[۱۵۹] [۱۰۱] [ ۵۸] [ ۱.۸۱۳۳e+033] [2.5217e+024]

[۱۵۹] [۱۰۲] [ ۵۷] [ ۱.۲۴۰۲e+033] [1.1226e+024]

[۱۵۹] [۱۰۳] [ ۵۶] [ ۸.۳۲۴۷e+032] [4.8802e+023]

[۱۵۹] [۱۰۴] [ ۵۵] [ ۵.۴۸۳۳e+032] [2.0715e+023]

[۱۵۹] [۱۰۵] [ ۵۴] [ ۳.۵۴۳۳e+032] [8.5829e+022]

[۱۵۹] [۱۰۶] [ ۵۳] [ ۲.۲۴۵۷e+032] [3.4705e+022]

[۱۵۹] [۱۰۷] [ ۵۲] [ ۱.۳۹۵۷e+032] [1.3691e+022]

[۱۵۹] [۱۰۸] [ ۵۱] [ ۸.۵۰۳۶e+031] [5.2681e+021]

[۱۵۹] [۱۰۹] [ ۵۰] [ ۵.۰۷۷۷e+031] [1.9765e+021]

[۱۵۹] [۱۱۰] [ ۴۹] [ ۲.۹۷۰۶e+031] [7.2287e+020]

[۱۵۹] [۱۱۱] [ ۴۸] [ ۱.۷۰۲۲e+031] [2.5762e+020]

[۱۵۹] [۱۱۲] [ ۴۷] [ ۹.۵۵۰۹e+030] [8.9438e+019]

[۱۵۹] [۱۱۳] [ ۴۶] [ ۵.۲۴۵۲e+030] [3.0235e+019]

[۱۵۹] [۱۱۴] [ ۴۵] [ ۲.۸۱۸۵e+030] [9.9494e+018]

[۱۵۹] [۱۱۵] [ ۴۴] [ ۱.۴۸۱۴e+030] [3.1856e+018]

[۱۵۹] [۱۱۶] [ ۴۳] [ ۷.۶۱۱۹e+029] [9.9202e+017]

[۱۵۹] [۱۱۷] [ ۴۲] [ ۳.۸۲۲۴e+029] [3.0032e+017]

[۱۵۹] [۱۱۸] [ ۴۱] [ ۱.۸۷۴۹e+029] [8.8343e+016]

[۱۵۹] [۱۱۹] [ ۴۰] [ ۸.۹۷۹۱e+028] [2.5239e+016]

[۱۵۹] [۱۲۰] [ ۳۹] [ ۴.۱۹۶۳e+028] [6.9993e+015]

[۱۵۹] [۱۲۱] [ ۳۸] [ ۱.۹۱۲۷e+028] [1.8831e+015]

[۱۵۹] [۱۲۲] [ ۳۷] [ ۸.۴۹۷۷e+027] [4.9119e+014]

[۱۵۹] [۱۲۳] [ ۳۶] [ ۳.۶۷۷۸e+027] [1.2415e+014]

[۱۵۹] [۱۲۴] [ ۳۵] [ ۱.۵۴۹۶e+027] [3.0384e+013]

[۱۵۹] [۱۲۵] [ ۳۴] [ ۶.۳۵۱۸e+026] [7.1951e+012]

[۱۵۹] [۱۲۶] [ ۳۳] [ ۲.۵۳۱۰e+026] [1.6474e+012]

[۱۵۹] [۱۲۷] [ ۳۲] [ ۹.۷۹۶۴e+025] [3.6442e+011]

[۱۵۹] [۱۲۸] [ ۳۱] [ ۳.۶۸۰۱e+025] [7.7810e+010]

[۱۵۹] [۱۲۹] [ ۳۰] [ ۱.۳۴۰۵e+025] [1.6022e+010]

[۱۵۹] [۱۳۰] [ ۲۹] [ ۴.۷۳۰۲e+024] [3.1784e+009]

[۱۵۹] [۱۳۱] [ ۲۸] [ ۱.۶۱۵۳e+024] [6.0683e+008]

[۱۵۹] [۱۳۲] [ ۲۷] [ ۵.۳۳۱۹e+023] [1.1138e+008]

[۱۵۹] [۱۳۳] [ ۲۶] [ ۱.۶۹۹۳e+023] [1.9627e+007]

[۱۵۹] [۱۳۴] [ ۲۵] [ ۵.۲۲۱۹e+022] [3.3163e+006]

[۱۵۹] [۱۳۵] [ ۲۴] [ ۱.۵۴۵۱e+022] [5.3656e+005]

[۱۵۹] [۱۳۶] [ ۲۳] [ ۴.۳۹۵۵e+021] [8.2993e+004]

[۱۵۹] [۱۳۷] [ ۲۲] [ ۱.۲۰۰۲e+021] [1.2252e+004]

[۱۵۹] [۱۳۸] [ ۲۱] [ ۳.۱۳۹۵e+020] [1.7230e+003]

[۱۵۹] [۱۳۹] [ ۲۰] [ ۷.۸۵۲۵e+019] [2.3038e+002]

[۱۵۹] [۱۴۰] [ ۱۹] [ ۱.۸۷۳۸e+019] [2.9221e+001]

[۱۵۹] [۱۴۱] [ ۱۸] [ ۴.۲۵۵۶e+018] [3.5072e+000]

[۱۵۹] [۱۴۲] [ ۱۷] [ ۹.۱۷۳۶e+017] [3.9727e-001]

[۱۵۹] [۱۴۳] [ ۱۶] [ ۱.۸۷۱۳e+017] [4.2338e-002]

[۱۵۹] [۱۴۴] [ ۱۵] [ ۳.۶۰۰۱e+016] [4.2307e-003]

[۱۵۹] [۱۴۵] [ ۱۴] [ ۶.۵۰۶۶e+015] [3.9487e-004]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۵۹] [۱۴۶] [ ۱۳] [ ۱.۱۰۰۰e+015] [3.4272e-005]

[۱۵۹] [۱۴۷] [ ۱۲] [ ۱.۷۳۰۶e+014] [2.7521e-006]

[۱۵۹] [۱۴۸] [ ۱۱] [ ۲.۵۱۹۲e+013] [2.0328e-007]

[۱۵۹] [۱۴۹] [ ۱۰] [ ۳.۳۶۹۶e+012] [1.3715e-008]

[۱۵۹] [۱۵۰] [ ۹] [ ۴.۱۰۷۳e+011] [8.3827e-010]

[۱۵۹] [۱۵۱] [ ۸] [ ۴.۵۱۷۲e+010] [4.5955e-011]

[۱۵۹] [۱۵۲] [ ۷] [ ۴.۴۲۷۶e+009] [2.2318e-012]

[۱۵۹] [۱۵۳] [ ۶] [ ۳.۸۰۷۳e+008] [9.4522e-014]

[۱۵۹] [۱۵۴] [ ۵] [ ۲.۸۱۳۹e+007] [3.4201e-015]

[۱۵۹] [۱۵۵] [ ۴] [ ۱.۷۳۷۹e+006] [1.0279e-016]

[۱۵۹] [۱۵۶] [ ۳] [ ۸.۶۱۱۷e+004] [2.4634e-018]

[۱۵۹] [۱۵۷] [ ۲] [ ۳.۲۰۹۸e+003] [4.4140e-020]

[۱۵۹] [۱۵۸] [ ۱] [ ۸.۰۰۰۰e+001] [5.2562e-022]

[۱۵۹] [۱۵۹] [ ۰] [ ۱] [۳.۱۱۹۹e-024]

[۲۳۸] [ ۰] [۲۳۸] [ ۱] [ ۱]

[۲۳۸] [ ۱] [۲۳۷] [ ۱.۱۹۵۰e+002] [1.1438e+002]

[۲۳۸] [ ۲] [۲۳۶] [ ۷.۱۵۴۹e+003] [6.8233e+003]

[۲۳۸] [ ۳] [۲۳۵] [ ۲.۸۶۱۸e+005] [2.7092e+005]

[۲۳۸] [ ۴] [۲۳۴] [ ۸.۶۰۱۹e+006] [8.0545e+006]

[۲۳۸] [ ۵] [۲۳۳] [ ۲.۰۷۲۶e+008] [1.9124e+008]

[۲۳۸] [ ۶] [۲۳۲] [ ۴.۱۶۹۵e+009] [3.7772e+009]

[۲۳۸] [ ۷] [۲۳۱] [ ۷.۲۰۳۴e+010] [6.3833e+010]

[۲۳۸] [ ۸] [۲۳۰] [ ۱.۰۹۱۰e+012] [9.4218e+011]

[۲۳۸] [ ۹] [۲۲۹] [ ۱.۴۷۱۵e+013] [1.2338e+013]

[۲۳۸] [ ۱۰] [۲۲۸] [ ۱.۷۸۹۵e+014] [1.4514e+014]

[۲۳۸] [ ۱۱] [۲۲۷] [ ۱.۹۸۱۹e+015] [1.5491e+015]

[۲۳۸] [ ۱۲] [۲۲۶] [ ۲.۰۱۵۷e+016] [1.5126e+016]

[۲۳۸] [ ۱۳] [۲۲۵] [ ۱.۸۹۵۶e+017] [1.3605e+017]

[۲۳۸] [ ۱۴] [۲۲۴] [ ۱.۶۵۸۱e+018] [1.1340e+018]

[۲۳۸] [ ۱۵] [۲۲۳] [ ۱.۳۵۶۰e+019] [8.8031e+018]

[۲۳۸] [ ۱۶] [۲۲۲] [ ۱.۰۴۱۳e+020] [6.3928e+019]

[۲۳۸] [ ۱۷] [۲۲۱] [ ۷.۵۳۷۹e+020] [4.3597e+020]

[۲۳۸] [ ۱۸] [۲۲۰] [ ۵.۱۶۱۷e+021] [2.8017e+021]

[۲۳۸] [ ۱۹] [۲۱۹] [ ۳.۳۵۳۸e+022] [1.7019e+022]

[۲۳۸] [ ۲۰] [۲۱۸] [ ۲.۰۷۳۲e+023] [9.7979e+022]

[۲۳۸] [ ۲۱] [۲۱۷] [ ۱.۲۲۲۴e+024] [5.3595e+023]

[۲۳۸] [ ۲۲] [۲۱۶] [ ۶.۸۹۰۰e+024] [2.7917e+024]

[۲۳۸] [ ۲۳] [۲۱۵] [ ۳.۷۱۹۹e+025] [1.3875e+025]

[۲۳۸] [ ۲۴] [۲۱۴] [ ۱.۹۲۷۴e+026] [6.5922e+025]

[۲۳۸] [ ۲۵] [۲۱۳] [ ۹.۵۹۹۶e+026] [2.9992e+026]

[۲۳۸] [ ۲۶] [۲۱۲] [ ۴.۶۰۳۵e+027] [1.3086e+027]

[۲۳۸] [ ۲۷] [۲۱۱] [ ۲.۱۲۸۶e+028] [5.4840e+027]

[۲۳۸] [ ۲۸] [۲۱۰] [ ۹.۵۰۲۸e+028] [2.2102e+028]

[۲۳۸] [ ۲۹] [۲۰۹] [ ۴.۱۰۱۲e+029] [8.5772e+028]

[۲۳۸] [ ۳۰] [۲۰۸] [ ۱.۷۱۳۰e+030] [3.2088e+029]

[۲۳۸] [ ۳۱] [۲۰۷] [ ۶.۹۳۲۳e+030] [1.1585e+030]

[۲۳۸] [ ۳۲] [۲۰۶] [ ۲.۷۲۰۸e+031] [4.0402e+030]

[۲۳۸] [ ۳۳] [۲۰۵] [ ۱.۰۳۶۷e+032] [1.3624e+031]

[۲۳۸] [ ۳۴] [۲۰۴] [ ۳.۸۳۷۸e+032] [4.4460e+031]

[۲۳۸] [ ۳۵] [۲۰۳] [ ۱.۳۸۱۶e+033] [1.4053e+032]

[۲۳۸] [ ۳۶] [۲۰۲] [ ۴.۸۴۰۵e+033] [4.3052e+032]

[۲۳۸] [ ۳۷] [۲۰۱] [ ۱.۶۵۱۷e+034] [1.2794e+033]

[۲۳۸] [ ۳۸] [۲۰۰] [ ۵.۴۹۲۶e+034] [3.6905e+033]

[۲۳۸] [ ۳۹] [۱۹۹] [ ۱.۷۸۱۳e+035] [1.0340e+034]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۲۳۸] [ ۴۰] [۱۹۸] [ ۵.۶۳۷۷e+035] [2.8156e+034]

[۲۳۸] [ ۴۱] [۱۹۷] [ ۱.۷۴۲۲e+036] [7.4558e+034]

[۲۳۸] [ ۴۲] [۱۹۶] [ ۵.۲۶۰۰e+036] [1.9210e+035]

[۲۳۸] [ ۴۳] [۱۹۵] [ ۱.۵۵۲۴e+037] [4.8182e+035]

[۲۳۸] [ ۴۴] [۱۹۴] [ ۴.۴۸۰۶e+037] [1.1770e+036]

[۲۳۸] [ ۴۵] [۱۹۳] [ ۱.۲۶۵۴e+038] [2.8019e+036]

[۲۳۸] [ ۴۶] [۱۹۲] [ ۳.۴۹۸۴e+038] [6.5024e+036]

[۲۳۸] [ ۴۷] [۱۹۱] [ ۹.۴۷۲۲e+038] [1.4717e+037]

[۲۳۸] [ ۴۸] [۱۹۰] [ ۲.۵۱۲۸e+039] [3.2499e+037]

[۲۳۸] [ ۴۹] [۱۸۹] [ ۶.۵۳۳۵e+039] [7.0050e+037]

[۲۳۸] [ ۵۰] [۱۸۸] [ ۱.۶۶۵۷e+040] [1.4743e+038]

[۲۳۸] [ ۵۱] [۱۸۷] [ ۴.۱۶۵۶e+040] [3.0307e+038]

[۲۳۸] [ ۵۲] [۱۸۶] [ ۱.۰۲۲۲e+041] [6.0876e+038]

[۲۳۸] [ ۵۳] [۱۸۵] [ ۲.۴۶۲۰e+041] [1.1952e+039]

[۲۳۸] [ ۵۴] [۱۸۴] [ ۵.۸۲۲۵e+041] [2.2941e+039]

[۲۳۸] [ ۵۵] [۱۸۳] [ ۱.۳۵۲۴e+042] [4.3068e+039]

[۲۳۸] [ ۵۶] [۱۸۲] [ ۳.۰۸۶۴e+042] [7.9094e+039]

[۲۳۸] [ ۵۷] [۱۸۱] [ ۶.۹۲۱۸e+042] [1.4214e+040]

[۲۳۸] [ ۵۸] [۱۸۰] [ ۱.۵۲۶۰e+043] [2.5002e+040]

[۲۳۸] [ ۵۹] [۱۷۹] [ ۳.۳۰۷۹e+043] [4.3057e+040]

[۲۳۸] [ ۶۰] [۱۷۸] [ ۷.۰۵۲۳e+043] [7.2612e+040]

[۲۳۸] [ ۶۱] [۱۷۷] [ ۱.۴۷۹۱e+044] [1.1994e+041]

[۲۳۸] [ ۶۲] [۱۷۶] [ ۳.۰۵۲۵e+044] [1.9410e+041]

[۲۳۸] [ ۶۳] [۱۷۵] [ ۶.۲۰۰۰e+044] [3.0781e+041]

[۲۳۸] [ ۶۴] [۱۷۴] [ ۱.۲۳۹۷e+045] [4.7841e+041]

 

رنگ­های کرومودینامیک نقش بار الکتریکی را بازی می­ کنند و فرایند اصلی و عمده آن شبیه  به صورت  بیان می­ شود. در اینجا g گلوئون و q کوارک است. از آنجایی که لپتون­ها نمی ­توانند رنگ­ها را با خود حمل کنند، پس در برهم­کنش­های قوی شرکت نمی­کنند. مانند حالت قبل، برای نشان دادن مراحل پیچیده­تر دو یا چند گره را با هم ترکیب می­کنیم. به عنوان مثال نیروی بین دو کوارک، که در نخستین لحظه مسئول یکپارچگی و پیوستن کوارک­ها به یکدیگر در ساختن باریون­ها و نیز مسئول به هم پیوستن پروتون­ها و نوترون­ها در هسته است، در پایین­ترین مرتبه در نمودار a شکل (۳-۲) نشان داده شده است. گفته می­ شود نیروی بین دو کوارک به وسیله­ تبادل گلوئون تأمین می­ شود، شکل (۳-۲).

 

b

a

شکل (۳-۲): نمودار a فرایند اصلی برهم­کنش قوی در نمودارهای فاینمن است و نمودار b برهم­کنش دو کوارک است که از طریق مبادله یک گلوئون بین آنها صورت گرفته است.

کرومودینامیک تا حدود زیادی همانند الکترودینامیک است، هر چند که تفاوت­های بسیاری بین آنها موجود است. در حالی که در الکترودینامیک تنها یک نوع بار الکتریکی وجود دارد، در کرومودینامیک سه نوع رنگ وجود دارد. در پدیده­  رنگ کوارک ممکن است تغییر یابد ولی طعم آن ثابت است. به عنوان مثال یک کوارک آبی رنگ بالا ممکن است به یک کوارک سبز بالا تبدیل شود. بنابراین گلوئون­ها باید با خود رنگ حمل کنند، و حامل یک واحد رنگ مثبت و یک واحد رنگ منفی خواهند بود. بنابراین احتمال وجود ۹ گلوئون وجود دارد، اما به دلایل فنی ۸ گلوئون وجود دارد. برخلاف فوتون در الکترودینامیک، که بدون بار الکتریکی است و با همدیگر برهم­کنش ندارند. گلوئون­ها دارای رنگ هستند، می­توانند با همدیگر برهم­کنش داشته باشند. بنابراین، افزون بر گره­های کوارک- گلوئون اولیه، گره­های گلوئون- گلوئون اولیه هم وجود دارد، که در حقیقت دو نوع گره هستند. گره­های سه گلوئونی و گره­های چهار گلوئونی. اندازه ثابت جفتیدگی تفاوت دیگر بین کرومودینامیک و الکترودینامیک است. هر گره در QED معرف یک فاکتور  است. کوچکی این عدد باعث می­ شود که نمودارهای فاینمن با تعداد گره­های کم را در نظر بگیریم. از نظر تجربی ثابت جفتیدگی مربوطه در نیروی قوی،  ، بیش از یک است. بزرگی این عدد باعث نگرانی فیزیک ذرات در چند دهه شد. زیرا به جای اینکه با افزایش پیچیدگی نمودارهای فاینمن ثابت جفتیدگی کوچک و کوچک­تر شود، برعکس بزرگ­تر می­ شود و نمودارهای فاینمن که در الکترودینامیک کارایی داشتند در این مورد کاملاً بی­ارزش و بدون کارایی هستند. در QCD عددی که نقش جفتیدگی و مقدار “ثابت” را بازی می­ کند، در حقیقت ثابت نیست. بلکه به فاصله جدایی بین ذرات برهم­کنش کننده بستگی دارد. اگر چه ثابت جفتیدگی قوی در فاصله­های به نسبت زیاد، متعلق به ویژگی­های هسته­ای، بزرگ می­باشد، اما در فاصله­های کوتاه (کمتر از اندازه­ یک پروتون) بسیار کوچک می­ شود. این پدیده به عنوان آزادی مجانبی شناخته شده است. بدان معنا که در درون یک پروتون یا پایون، کوارک­ها بدون هیچ برهم­کنشی به اطراف حرکت می­ کنند. از نظر نظریه کشف آزادی مجانبی محاسبه فاینمن برای QCD در حالت انرژی زیاد را نجات داد. حتی در الکترودینامیک هم جفتیدگی کارآمد، تا حدی به فاصله از منبع بستگی دارد.

۲-۴- برهمکنش­های ضعیف

تمامی کوار­ک­ها و لپتون­ها در برهمکنش­های ضعیف شرکت می­ کنند. دو نوع برهم­کنش ضعیف وجود دارد: دارای بار (به واسطه­ W­ها) و خنثی (به واسطه­ Z). گره باردار بنیادی در شکل (۴-۲) نشان داده شده است. همانند همیشه، گره­های اولیه را به یکدیگر پیوند می­زنند تا واکنش­های پیچیده­تری تولید کنند.

 

شکل (۴-۲): فرایند اصلی برهم­کنش ضعیف و برهم­کنش دو کوارک که از طریق ضعیف صورت می­گیرد.

۲-۵- برهمکنش­های نوکلئون­ها

نوترون با واپاشی بتا به پروتون، الکترون و آنتی­نوترینوی الکترون واپاشیده می­ شود. طبق رابطه زیر:

(۱-۲)

این واکنش که از طریق برهم­کنش ضعیف امکان­ پذیر است، در شکل (۵-۲) نشان داده شده است. برهم­کنش­های پروتون­ها و نوترون­ها با همدیگر بیشتر از طریق قوی رخ می­دهد، که در شکل­های (۶-۲) نشان داده شده است.

شکل (۵-۲): فرایند واپاشی نوترون به پروتون که از طریق برهم­کنش ضعیف رخ می­دهد.

 

شکل (۶-۲): برهم­کنش قوی بین دو پروتون که از طریق تبادل یک پایون خنثی صورت گرفته است.

۲-۵-۱- خواص نیروی هسته­ای

بسیاری از خصوصیات نیروی هسته­ای از آزمایش­های پراکندگی نوکلئون­ها به دست آمده است. در این بخش، ویژگی­های اصلی بین نوکلئون­ها را به طور خلاصه شرح می­دهیم.

برهم­کنش بین دو نوکلئون از پایین­ترین مرتبه­ی پتانسیل جاذبه­ای حاصل می­ شود. ویژگی مشترک همه پتانسیل­هایی که به عنوان پتانسیل هسته­ای در نظر گرفته می­ شود، وابستگی انحصاری همه آنها به فاصله بین نوکلئونی r است.

برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون قویاً وابسته به اسپین است. این نتیجه ­گیری از عدم موفقیت در مشاهده حالت مقید تک­تایه دوترون و همچنین از اندازه ­گیری اختلاف سطح مقطع­های حالت­های تک­تایه و سه­تایه حاصل شده است. روشن است این جمله باید به اسپین دو نوکلئون بستگی داشته باشد، اما با در نظر گرفتن تقارن­های پاریته و برگشت زمان، هر ترکیبی از اسپین­ها قابل قبول نیست. جملاتی که می­توان در نظر گرفت به شکل  یا  می ­تواند باشد.

پتانسیل بین نوکلئونی شامل یک جمله­ غیر مرکزی، به نام پتانسیل تانسوری، است. عمده­ترین دلیل وجود نیروی تانسوری از مشاهده­ گشتاور چارقطبی در حالت پایه دوترون حاصل می­ شود. برای نوکلئون منفرد، بدیهی است که انتخاب یک جهت مشخص در فضا اختیاری است. تنها جهت مرجع برای نوکلئون جهت اسپین آن است، از این رو جمله­ای که می­توان در نظر گرفت به صورت  یا  است، که بردار مکان r را به جهت اسپین s ارتباط می­دهد.

نیروی نوکلئون- نوکلئون نسبت به بار نوکلئون تقارن دارد. این بدان معنی است که پس از تصحیح نیروی کولونی در سیستم پروتون- پروتون، فرقی بین برهم­کنش پروتون- پروتون و برهم­کنش نوترون- نوترون نیست. منظور از «بار» خصوصیت یا جنس نوکلئون است.

نیروی نوکلئون- نوکلئون تقریباً مستقل از بار الکتریکی است. این بدان معنی است پس از تصحیح نیروی کولونی، هر سه نیروی هسته­ای nn، pp و np با هم مساوی­اند. به این ترتیب، استقلال بار شرطی قوی­تر از تقارن بار است. در این مورد شواهد امر چندان قاطع نیست.

برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون در فواصل خیلی کوتاه دافعه می­ شود. این نتیجه از بررسی کیفی چگالی هسته­ای حاصل می­ شود. رشد هسته در اثر افزایش نوکلئون­ها به صورتی است که چگالی مرکزی آن تقریباً ثابت می­ماند، و از این رو باید عاملی وجود داشته باشد که از تجمع و نزدیک شدن بیش از حد نوکلئون­ها جلوگیری کند.

برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون می ­تواند به تکانه یا سرعت نسبی نوکلئون­ها هم بستگی داشته باشد. نیروهای وابسته به سرعت یا تکانه را نمی­ توان با پتانسیل نرده­ای نشان داد، اما با بهره گرفتن از جملات درجه اول p، درجه دوم p و غیره، که هر کدام از آنها به یک پتانسیل مشخصه  متناظرند، می­توان آنها را به طرز قابل قبولی در نظر گرفت. یکی از صورت­های قابل قبول که شامل توان­های درجه اول p می­ شود و نسبت به پاریته و برگشت زمان هر دو ناورداست،  است؛ که در آن  اسپین کل دو نوکلئون مورد بررسی است. تکانه زاویه­ای نسبی نوکلئون­ها برابر  است، و در نتیجه این جمله که به خاطر مشابهت با فیزیک اتمی جمله اسپین- مدار نامیده می­ شود، به صورت  نوشته می­ شود. فرض برهم­کنش اسپین- مدار، با این مشاهده تجربی تقویت می­ شود که اسپین نوکلئون­های پراکنده ممکن است سمت­گیری خاصی در فضا داشته باشدکه در این حالت اسپین نوکلئون­ها را قطبیده می­گویند [۶].

۲-۶- هسته سازی

تولید هسته­های جدید، از پروتون­ها، نوترون­ها و هسته­های موجود هسته سازی گفته می­ شود. اولین هسته­ها در حدود ۳ دقیقه پس از مهبانگ از طریق فرایندی به نام سنتز هسته­ای تشکیل شدند. پس از آن هیدروژن و هلیوم تشکیل شدند. با تشکیل ستارگان، هسته­های سنگین­تر به وجود آمدند. هسته­های سبک تا آهن و نیکل از طریق همجوشی به وجود می­آیند، ولی هسته­های سنگین­تر نیاز به واکنش انفجاری و گیراندازی نوترون دارند. چهار نوع اصلی فرایند هسته­سازی عبارتند از: فرایند هسته­سازی در مهبانگ، فرایند هسته­سازی ستاره­ای، فرایند هسته­سازی انفجاری و فرایند هسته­سازی با اسپلاشی اشعه کیهانی.

۲-۷- فرایند هسته­سازی در مهبانگ

فرایند هسته­سازی مهبانگ در سه دقیقه اول خلقت اتفاق افتاده است. به نوعی علت فراوانی نسبی بیشتر هیدروژن،  ، دوتریوم،  ، هلیوم-۳،  و هلیوم-۴،  ،در جهان می­باشد. تولید  توسط مکانیسم­های دیگر مانند همجوشی ستاره­ای و واپاشی آلفا ادامه دارد، و مقدار کمی از  توسط فرایند اسپلاشی تولید می­ شود. همچنین هیدروژن توسط پاره­ای واکنش­های مشخص هسته­­ای تولید می­ شود. تصور می­ شود که اکثر هسته­های موجود در جهان، در مهبانگ به وجود آمده­اند. اعتقاد بر این است که هسته­هایی که در اینجا ذکر شده ­اند به همراه  و  بین ۱۰۰ تا ۳۰۰ ثانیه پس از انفجار بزرگ به وجود آمدند. یعنی پس از اینکه پلاسمای کوارک-گلوئون اولیه به قدری سرد شد که پروتون و نوترون تشکیل شوند، هسته سازی شروع شد. حدود ۲۰ دقیقه پس از انفجار بزرگ، به خاطر سرد شدن و انبساط هسته سازی متوقف شد. به دلیل دوره کوتاهی که طی آن فرایند هسته سازی مهبانگ اتفاق افتاده است، هیچ هسته سنگین­تر از بریلیوم (یا احتمالاً برم) نمی­توانسته به وجود آید. عناصری که در طی این زمان کوتاه تشکیل شده ­اند در یک حالت پلاسما بوده ­اند و به حالت اتمی خنثی سرد نشده­اند، این پروسه بعدها اتفاق افتاده است. واکنش­هایی که در مهبانگ رخ داده و مسئول فراوانی نسبی عناصر در جهان می­باشد در زیر آورده شده ­اند.

 

۲-۸- فرایند هسته سازی ستاره­ای

فرایند هسته­سازی ستاره­ای درون ستارگان، در طول فرایند تحول ستاره­ای اتفاق می­افتد و این فرایند مسئول نسل دیگری از عناصر یعنی از کربن تا کلسیوم با بهره گرفتن از فرایند­های همجوشی است. ستارگان کوره­های هسته­ای هستند که در آنها هیدروژن و هلیوم به هسته­های سنگین­تر جوش می­خورند [۷]. فرایند زنجیره پروتون-پروتون در ستارگان سردتر از خورشید و چرخه CNO (چرخه کربن، نیتروژن و اکسیژن) در ستارگان داغ­تر از خورشید، اتفاق می­افتد. کربن اهمیت خاصی دارد، زیرا تشکیل آن از هلیوم در کل فرایند وجود دارد. کربن توسط فرایند سه گانه آلفا در تمام ستارگان تولید می­ شود. همچنین، کربن عنصر اصلی استفاده شده در تولید نوترونهای آزاد در ستارگان است که در فرایند s آزاد می­شوند، فرایندی که شامل جذب آهسته نوترون­ها برای تولید عناصر سنگین­تر از آهن و نیکل می­باشد [۸]. کربن و دیگر عناصر ایجاد شده با این فرایند در زندگی ما نقش اساسی و بنیادیی دارند.

اولین اثبات مستقیم فرایند هسته­سازی در ستارگان با آشکار سازی تکنتیوم رادیواکتیو در اتمسفر یک غول قرمز در اوایل دهه ۱۹۵۰ اتفاق افتاد [۹] از آنجا که تکنتیوم رادیواکتیو است (با نیمه عمر خیلی کمتر از سن ستارگان)، توزیع فراوانی­اش بایستی بیان کننده تولید آن در ستاره در مدت زمان عمرش باشد. مدارک متقاعدکننده­ای مبنی بر توزیع فراوانی بیشتر برای عناصر پایدار خاص در یک اتمسفر ستاره­ای وجود دارد. اهمیت تاریخی این موضوع به مشاهده فراوانی باریوم که ۲۰ تا ۵۰ برابر بیشتر از درون ستارگان بود، برمی­گردد. بسیاری از مشاهدات جدید در ترکیب­های ایزوتوپی که از شهاب­سنگ­های آسمانی خارج شده ­اند، حکایت از غبار ستاره­ای^[۱۷] دارند که از گازهای چگال شده ستارگان تشکیل شده ­اند. ذره ستاره­ای یکی از اجزای ذرات کیهانی است. ترکیبهای ایزوتوپی اندازه ­گیری شده، بسیاری از جنبه­ های فرایند هسته­سازی را درون ستارگان از چگالش غبار ستاره­ای، نشان می­ دهند. [۱۰]

۲-۹- فرایند هسته­سازی انفجاری

این فرایند شامل­ هسته­سازی ابرنواخترهاست. و عناصر سنگین­تر از آهن را با بهره گرفتن از انفجار شدید برهم­کنش­های هسته­ای تولید می­ کند. این فرایند در مدت چند ثانیه در طول انفجار هسته ابرنواختر اتفاق می­افتد. در محیط انفجاری ابرنواختر، عناصر بین سیلیکون و نیکل با یک همجوشی سریع تولید می­شوند. همچنین در ابرنواخترها فرایندهای هسته­سازی بیشتری می ­تواند رخ دهد، از قبیل فرایند r (فرایند سریع^[۱۸]) که در آن بیشترین ایزوتوپ­های غنی نوترونی مربوط به عناصر سنگین­تر از نیکل، با جذب سریع نوترون­های آزاد شده در طول انفجار، تولید می­شوند. این پدیده توضیح دهنده­ عناصر رادیواکتیوی مانند اورانیوم و توریوم است که بیشترین ایزوتوپ­های غنی نوترونی را دارند. فرایند rp شامل جذب سریع پروتون­های آزاد، مشابه نوترون­ها، است که نقش آن کمتر از نوترون­هاست [۱۱ و ۱۲].

بهترین و بیشترین مشاهدات قانع کننده مربوط به فرایند هسته­سازی در ابرنواخترها در سال ۱۹۸۷ اتفاق افتاد. وقتی که طیف اشعه گاما از ابرنواختر A1987 استخراج شد. اشعه­های گاما که مشخص کننده  و  بودند (نیمه عمر رادیواکتیو آنها تقریباً به یک سال محدود می­شوند) اثبات می­ کنند که توسط والدین رادیواکتیو آنها تولید شده ­اند. این پدیده­ اخترفیزیکی در سال ۱۹۶۹ پیش ­بینی شده بود [۱۳]، که تأییدی بر هسته­سازی انفجاری بود. دلایل دیگر فرایند هسته­سازی انفجاری در غبار ستاره­ای که درون ابرنواخترها چگال شده، و سپس منبسط و سرد شده، یافت شده است. به طور خاص،  یک هسته رادیواکتیو است که با فراوانی زیاد درون ذرات ستاره­ای ابرنواختر اندازه ­گیری شده است [۱۰]، که تأییدی بر پیش ­بینی سال ۱۹۷۵ برای شناسایی ذرات ابرنواختر بود. نسبت­های ایزوتوپی غیر معمول این ذرات به جنبه­ های خاص فرایند هسته­سازی انفجاری مربوط می­شوند.

۲-۱۰- فرایند هسته­سازی با اسپلاشی اشعه کیهانی

فرایند اسپلاشی اشعه کیهانی، بعضی از سبک­ترین عناصر موجود در جهان را تولید می­ کند. تصور می­ شود که اسپلاشی به طور قابل ملاحظه­ای مسئول تولید عناصر لیتیوم، بریلیوم، کربن و تقریباً تمام هلیوم-۳ها می­باشد. (بعضی از  و  در مهبانگ به وجود آمده­اند.) فرایند اسپلاشی ناشی از برخورد اشعه­های کیهانی (اغلب پروتون­های سریع) با محیط­های بین ستاره­ای می­باشد. این برخوردها، هسته­های کربن، نیتروژن و اکسیژن موجود در اشعه­های کیهانی را متلاشی می­ کنند. همچنین این عناصر با پروتون­های اشعه کیهانی برخورد می­ کنند.

۲-۱۰- تشکیل هسته­ها در جهان

ویژگی جهان کنونی، دمای بسیار کم و چگالی اندک ذرات آن است که ساختار و تحول آن را نیروی گرانشی کنترل می­ کند. چون جهان در حال انبساط و خنک شدن است، علی­الاصول در گذشته دور باید دما و چگالی ذرات بیشتری داشته است. اگر فرض کنیم بتوانیم ساعت کیهانی را به عقب برگردانیم و جهان را در زمان­های اولیه، حتی پیش از تشکیل ستارگان و کهکشان­ها بررسی کنیم، در نقطه­ای از تاریخ جهان، دمای آن باید به اندازه کافی زیاد باشد که اتم­ها را یونیده کند. در آن زمان جهان از پلاسمای الکترون­ها و یون­های مثبت تشکیل شده و نیروی الکترومغناطیسی در تعیین ساختار جهان اهمیت داشته است. در زمان­های پیش­تر از آن، دما تا آن حد زیاد بوده که برخورد بین یون­ها سبب آزاد شدن تک­تک نوکلئون­ها می­شده، بطوری که جهان متشکل از الکترون­ها، پروتون­ها و نوترون­ها، همراه با تابش بوده است. در این عصر نیروی هسته­ای قوی در تعیین جهان اهمیت داشته است. در زمان­های باز هم پیش­تر از آن، برهم­کنش ضعیف نقشی بارز داشته است. اگر بکوشیم که باز هم عقب­تر برویم، به زمانی می­رسیم که ماده موجود در جهان شامل پلاسمایی از کوارک­ها و گلوئون­ها بوده است که پیش­تر از آن، تنها کوارک­ها و لپتون­ها بصورت کاملاً آزاد وجود داشته اند. چون هرگز یک کوارک آزاد را مشاهده نکرده­ایم، اطلاعات چندانی درباره برهم­کنش کوارک­ها نمی­دانیم، و در نتیجه نمی­توانیم این حالت بسیار اولیه جهان را توصیف کنیم. سرانجام به یک سد بنیادی می­رسیم که در آن سن جهان فقط  است و به «زمان پلانک» معروف است. در آن سوی این زمان، نظریه کوانتومی و گرانشی به صورت ناامید کننده ­ای به هم آمیخته­اند و هیچ­کدام از نظریه­ های کنونی ما هیچ سر­نخی از ساختار جهان به ما نمی­دهند.

در این قسمت علاقه­مندیم که نظریه رایج مربوط به تشکیل هسته­ها را بررسی کنیم. اگر از لحظه یک میکرو ثانیه آغاز کنیم، جایی که دما تقریبا  بوده است، تا زمان  ، جهان تحولات زیر را پشت سر گذاشته است: ۱- یک جهان داغ، چگال و پر از فوتون­ها که تا دمای کمتر از  خنک شده است. ۲- بیشتر ذرات ناپایدار واپاشیده شده ­اند. ۳- همه پاد ماده اولیه و بخش اعظم ماده یکدیگر را نابود کرده ­اند و تعداد کمی پروتون و به همان تعداد الکترون و در حدود یک پنجم این تعداد نوترون به جا گذاشته­اند. ۴- نوترینوها که دارای چگالی در حدود فوتون­ها هستند در زمان حدود  واجفتیده­اند و با انبساط جهان خنک شدن آنها ادامه می­یابد. در این لحظه،  ، با برخورد نوترون­ها و پروتون­ها با یکدیگر، ممکن است یک دوترون (هسته  ) تشکیل شود:

(۲-۲)

اما چگالی زیاد فوتون­ها می ­تواند واکنش معکوس را نیز تولید کند:

(۲-۳)

از آنجا که انرژی بستگی دوترون  است، برای تشکیل تعداد چشم­گیری دوترون، فوتون­های موجود باید ابتدا تا انرژی  خنک شوند. در غیر این صورت، دوترون­ها با همان سرعت تشکیل، شکسته می­شوند. انرژی  با دمای  متناظر است. در نتیجه شاید انتظار داشته باشیم که دوترن­ها به محض کاهش دما به کمتر از  تشکیل شوند. اما این وضعیت رخ نمی­دهد. تابش تک انرژی نیست، بلکه دارای یک طیف جسم سیاه است. کسر کوچکی از فوتون­ها انرژی­های بالاتر از  دارند، که این فوتون­ها به شکستن دوترن­ها ادامه می­ دهند.

قبل از نابودی ماده- پاد ماده، تعداد فوتون­ها در حدود تعداد نوکلئون­ها و پاد نوکلئون­ها بوده است. اما پس از  نسبت نوکلئون­ها به فوتون­ها در حدود  است و در حدود  نوکلئون­ها، نوترون هستند. اگر کسر فوتون­های با انرژی بیشتر از  ، بیش از  باشد، دست کم یک فوتون پر انرژی به ازای هر نوترون وجود دارد که عملا مانع از تشکیل دوترون می­ شود. در زمان  که دما کمتر از  است، دوترون­ها می­توانند تولید شوند. لذا از  تا  رویدادهای کمی (به جز انبساط و افت دمای متناظر با آن) در جهان به وقوع می­پیوندد، اما پس از  وقایع به سرعت اتفاق می­افتند. دوترون­ها تشکیل می­شوند و سپس با پروتون­ها و نوترون­های زیادی که وجود دارند در واکنش­های زیر شرکت می­ کنند:

(۲-۴)

(۲-۵)

انرژی تشکیل این هسته­ها، به ترتیب  و  است که از آستانه تشکیل دوترون  بسیار بیشتر است. اگر فوتون­ها برای شکستن دوترون به اندازه کافی پر انرژی نباشند، بدون شک برای شکستن  و  نیز انرژی کافی ندارند.

۳- مدل­های هسته­ای و مدل شبه کوارکی هسته

۳-۱- مقدمه

مسئله اصلی در فیزیک هسته­ای مشخص کردن معادلات حرکت A نوکلئون تحت تاثیر پتانسلی است که خودشان به وجود آورده­اند. حل دقیق یک سیستم A جسمی که دو به دو برهم­کنش دارند، برای  تا به حال به صورت دقیق حل نشده است. بنابراین باید به راه حل­های تقریبی بسنده کنیم. از طرف دیگر با در نظر گرفتن محدودیت­های ما در شناخت نیروی هسته­ای حل مسأله هسته­ی A جسمی را به مراتب مشکل­تر خواهد کرد. در غیاب یک نظریه دقیق برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون مجبوریم به پدیده شناسی برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون که از طریق پراکندگی نوکلئون- نوکلئون بدست می ­آید روی بیاوریم. علاوه بر اینها نگرانی­های بیشتری در مورد نیروی چند جسمی وجود دارد، بخصوص در مورد اجسامی که برهم­کنش قوی با همدیگر دارند. برهم­کنش پراکندگی نوکلئون- نوکلئون در مورد نیروی سه جسمی موجود در بین نوکلئون­ها چیزی به ما یاد نمی­دهد. پتانسیل سه جسمی شامل حالتی است که برهم­کنش دو جسم ۱ و ۲ در حضور جسم ۳، تنها به مکان دو جسم ۱ و ۲ بستگی ندارد، بلکه به موقعیت جسم ۳ نیز وابسته است. پتانسیل سه جسمی را می­توان به شکل  یا  نوشت. که قابل شکستن به جمع چند پتانسل دو جسمی نیست. پتانسل ۳ جسمی دارای خاصیتی است، که در پتانسیل دو جسمی وجود ندارد. این پدیده کوانتومی است و معادل کلاسیکی ندارد.

مدل­هایی که در این فصل مورد بحث قرار گرفته­اند عبارتند از: مدل گاز فرمی، مدل پوسته­­ای، مدل جمعی و مدل شبه کوارکی. علاوه بر اینها متدهای دیگری برای به دست آوردن بعضی خواص هسته­ها مورد استفاده قرار گرفته است، که می­توان از محاسبات مربوط به کشش سطحی هسته­ها نام برد. از کارهای انجام شده در این راستا می­توان به منابع [۱۴-۲۲] اشاره کرد. در مدل آلفا ذره­ای سعی شده است که هسته را مرکب از ذرات آلفا در نظر بگیرند [۲۳ و ۲۴] تا بتوانند برخی خصوصیات هسته را توضیح دهند.

۳-۲- مدل گاز فرمی^[۱۹]

یک سیستم شامل تعدادی از نوترون­ها وپروتون­ها که در یک جعبه مکعبی به طول a قرار دارند را در نظر می­گیریم. معادله شرودینگر برای یک تک ذره که در این جعبه قرار دارد به صورت زیر است.

(۳-۱)

با اعمال شرط مرزی، سد پتانسیل بی­نهایت در دیواره­ های جعبه، تابع موج در مرز برابر صفر خواهد شد،  . مرز تابع جایی است که یکی از حالات زیر اتفاق بیفتد.

(۳-۲)

عمل دیواره­ های جعبه در واقع جایگزین میانگین برهم­کنش بین نوکلئون­هاست. با تنظیم اندازه جعبه می­توان به چگالی نوکلئون­ها در هسته رسید. حل معادله (۳-۱) با شرایط مرزی داده شده برابر است با:

(۳-۳)

در اینجا روابط زیر برقرار است.

(۳-۴)

در اینجا  ،  و  همگی اعداد صحیح مثبت هستند و A ثابت بهنجارش است. (اعداد صحیح منفی به جواب یکسان با معادله (۳-۳) ختم خواهند شد.) هر مجموعه از اعداد صحیح  یک جواب متناظر با انرژی زیر به دست خواهد آورد.

(۳-۵)

این معادله به همراه محدودیت­هایی که معادله (۳-۴) بر روی مقادیر  ،  و  قرار می­دهد نمایانگر کوانتیزه شدن یک ذره در جعبه خواهد شد. از معادله (۳-۵) آشکار است که  تکانه (تقسیم بر  ) یک ذره در جعبه است.

بنابر اصل طرد پائولی هر حالت می ­تواند با چهار نوکلئون پر شود. دو پروتون با اسپین­های مختلف و دو نوترون با اسپین­های متفاوت. کمترین انرژی هسته با پر شدن پایین­ترین ترازهای انرژی جعبه به دست می ­آید. مقدار این انرژی بستگی به تعداد حالت­های در دسترس دارد.

با در نظر گرفتن فضای تکانه k به خاطر رابطه (۳-۴)، به ازای هر عنصر حجم مکعبی با طول  (و حجم  ) در این فضا تنها یک نقطه وجود دارد که یک جواب به فرم معادله (۳-۳) برای معادله (۳-۱) وجود دارد. تعداد حالت­های مجاز  ، با اندازه k بین k و  با رابطه زیر داده می­ شود.

(۳-۶)

در این رابطه  حجم پوسته کروی در فضای تکانه با شعاع­های k و  است؛ تنها یک هشتم از این پوسته در نظر گرفته شده است، چون  ،  و  تنها مقادیر مثبت را اختیار می­ کنند.  حجم فضای تکانه­ای است که هر حالت می ­تواند اشغال کند. شکل (۳-۱) تعداد حالت­های مجاز تا انرژی  با رابطه زیر بیان می­ شود.

(۳-۷)

شکل (۳-۱): هر نقطه در محل تقاطع خطوط نماینده یک زوج مجاز  است. به منظور یافتن تعداد زوج­های مجاز بین  و  ، تعداد نقطه­های بین دو کمان دایروی مشخص شده در شکل را می­شماریم. معادله (۳-۶) به طریق مشابه اما در سه بعد به دست آمده است.

چون هر حالت تکانه، براساس اصل طرد پائولی، دو پروتون و دو نوترون را در خود جای دهد. می­خواهیم پایین­ترین سطح انرژی A نوکلئون که برهم­کنشی با همدیگر ندارند، و در یک جعبه به طول a قرار دارند را حساب کنیم. پایین­ترین سطح انرژی هنگامی است که تعداد پروتون­ها و نوترون­ها با هم برابر باشد. بیشترین تکانه خطی با بهره گرفتن از رابطه بالا به دست می ­آید.

(۳-۸)

در اینجا  حجم جعبه است. نتیجه­ای که از این رابطه به دست می ­آید این است که تکانه بالاترین حالت اشغال شده تنها به چگالی نوکلئون­ها،  ، در جعبه بستگی دارد.

(۳-۹)

ما برهم­کنش بین نوکلئون­ها را نادیده گرفتیم (بجز در حالتی که چگالی را تعیین می­کرد، که از طریق دیوارهای جعبه اعمال شد). با این محدودیت، توزیع تکانه در واحد حجم در فضای تکانه، تابع پله­ای است، با یک مقدار ثابت محدود هنگامی که  و برابر با صفر خواهد بود هنگامی که  ، شکل (۳-۱). این توزیع تکانه تحت عنوان توزیع فرمی نامیده شده است. در آزمایشات پراکندگی انرژی بالا می­توان توزیع تکانه نوکلئون­ها در هسته­ها را اندازه ­گیری کرد، که نتیجه چنین آزمایشاتی عدم وجود تابع پله­ای به ازای  می­باشد، اما احتمال یافتن نوکلئونی با تکانه  سریعاً با k کاهش می­یابد.

N(k)

k_F

k

شکل (۳-۲): توزیع تکانه نوکلئون­ها در حالت پایه گاز فرمی.  تکانه فرمی و  برابر با تعداد حالت­هایی که تکانه بین  و  دارند.

با بهره گرفتن از مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها،  ، که عملاً برای هسته­های با  ثابت است، مقدار  و  را به دست می­آوریم.

(۳-۱۰)

و  به ترتیب تکانه فرمی و انرژی فرمی مدل گاز تبهگن است. متوسط انرژی جنبشی فرمیون­های داخل جعبه کمتر از  است و با در نظر گرفتن چگالی مشاهده شده هسته­ها از رابطه زیر به دست می ­آید.

(۳-۱۱)

همچنین مناسب است که شعاع هسته­ها را با بهره گرفتن از رابطه  به دست آوریم. از آنجایی که چگالی مشاهده شده هسته­ها تقریباً از عدد جرمی آنها مستقل است، رابطه زیر به دست می ­آید.

(۳-۱۲)

با مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها شعاع هسته­ها به دست می ­آید و در نتیجه:

(۳-۱۳)

راه­های گوناگونی برای محاسبه شعاع هسته­ها وجود دارد، چون هسته­ها مرز پله­ای ندارند، بلکه چگالی هسته­ها تقریباً به صورت هموار به صفر می­ کند، معادله (۳-۱۳) نمایانگر شعاع کره­ای است که همه نوکلئون­ها را در بر بگیرد.

با توجه به رابطه (۳-۶) و شکل (۳-۱ ) می­بینیم که به ازای هر مقدار  ، به عنوان نمونه، نباید حالت­هایی را بشماریم که  ، زیرا در این حالت­ها تابع موج صفر است. تعداد این چنین حالاتی که در عنصر دایروی سطحی  و شعاع k قرار دارد برابر  است. بنابراین تعداد حالات­های مجاز بین k و  برابر است با:

(۳-۱۴)

که در اینجا  سطح مکعب دربرگیرنده گاز فرمی است. چون  بر حسب نسبت  نوشته شده است، برای هسته با هر شکلی معتبر است. می­توان نشان داد که در واقع  تابعی از نسبت  است. با بهره گرفتن از این رابطه می­توان انرژی هسته را به دست آورد.

(۳-۱۵)

در اینجا  و  . در این مدل  را در واقع ضریب جمله حجمی و  را ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی هسته­ها می­دانند.

 

برای شعاع هسته رابطه  برقرار است. و چگالی هسته  است. بنابراین  و بنابراین ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی بدست می ­آید.

(۳-۱۶)

با جایگزینی مقدار انرژی فرمی، از رابطه (۳-۱۱)، در این رابطه و استفاده از مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها انرژی سطحی برابر با  به دست می ­آید؛ که قابل مقایسه با مقدار فرمول نیمه تجربی جرم است (یعنی  ).

چندان معقول به نظر نمی­رسد که چگالی هسته­ها را به صورت یک تابع پله­ای که در شکل (۳-۲) نشان داده شده در نظر بگیریم بلکه بهتر است آن را مانند شکل (۳-۳) در نظر بگیریم که با رابطه زیر بیان می­ شود.

(۳-۱۷)

در این صورت تا اولین مرتبه  خواهیم داشت.

(۳-۱۸)

از طرف دیگر چگالی متوسط با رابطه زیر بدست می ­آید.

(۳-۱۹)

طرف چب معادله (۳-۱۸) تا اولین مرتبه مستقل از  است بنابراین مقدار t برابر خواهد بود با:  . مقدار تجربی ضخامت پوست هسته­ها، فاصله­ای است که چگالی هسته­ها از  تا  چگالی قسمت ثابت تغییر می­ کند. با این تعریف ضخامت پوست برابر  می­ شود. اندازه ­گیری ضخامت پوست هسته­ها مقدار  را می­دهد که با مقدار به دست آمده با مدل گاز فرمی قابل مقایسه است. البته اگر تابع چگالی به صورت هموارتر تعریف شود. مقدار به دست آمده بهتر خواهد شد [۲۵].

شکل (۳-۳): توزیع چگالی فرض شده که بر اساس آن ضخامت پوست به دست آمده است.

R+t

R

r

۳-۳- مدل پوسته­ای هسته

۳-۳-۱- مقدمه

نظریه اتمی با بهره گرفتن از مدل پوسته­ای توانسته است به طور کا­ملاً روشن جزئیات پیچیده ساختار اتم­ها را توضیح دهد. به همین دلیل متخصصان فیزیک هسته­ای، به امید آنکه بتوانند به توصیف روشنی از خواص هسته­ها دست یابند، سعی کردند در بررسی ساختار هسته­ای از نظریه مشابهی استفاده کنند. در مدل پوسته­ای اتم­ها، پوسته­ها را با الکترون­ها­یی که انرژی­شان به ترتیب افزایش می­یابد پر می­کنیم، و این آرایش الکترونی به گونه ­ای است که اصل طرد پائولی در آن رعایت می­ شود. بدین ترتیب، هر اتم متشکل است از: یک ناحیه مرکزی خنثی که پوسته­های پر دارد، و چند الکترون ظرفیت که در پوسته­ای خارج از این ناحیه مرکزی قرار می­گیرند. در این مدل، فرض بر این است که عمدتاً همین الکترون­ها­ی ظرفیت هستند که خواص اتم­ها را تعیین می­ کنند. هنگامی که پیش ­بینی­ها­ی این مدل را با بعضی از خواص اندازه ­گیری شده سیستم­ها­ی اتمی مقایسه می­کنیم، آنها را به خوبی با هم سازگار می­یابیم. بویژه مشاهده می­کنیم که تغیرات خواص اتمی در محدوده هر زیرپوسته تدریجی و کم است، در حالی وقتی از یک زیرپوسته به زیرپوسته دیگری می­رویم تغییرات خواص ناگهانی و زیاد است.

هنگامی که سعی می­کنیم تا این مدل را به قلمرو هسته­ای هم گسترش دهیم، از همان آغاز کار با چند مانع روبه­رو می­شویم. در مورد اتم­ها، پتانسیل حاکم را میدان کولنی هسته تأمین می­ کند. یعنی یک عامل خارجی زیرپوسته­ها (یا مدارها) را سازمان می­دهد. اما در مورد هسته هیچ عامل خارجیی وجود ندارد، و نوکلئون­ها در پتانسیلی که خودشان به وجود می­آورند در حرکت­اند. یکی دیگر از جنبه­ های جالب توجه نظریه پوسته­ای اتم­­ها وجود مدارهای فضایی است. خواص اتم­ها را اغلب بر حسب مدارهای فضایی الکترون­ها توصیف می­کنیم. الکترون­ها می­توانند نسبتاً آزادانه در این مدارها حرکت کنند، بدون اینکه برخوردی با الکترون­های دیگر داشته باشند. قطر نوکلئون­ها در مقایسه با اندازه هسته نسبتاً بزرگ است. در حالی که هر نوکلئون منفرد در خلال حرکتش در هر مدار می ­تواند برخوردهای متعددی با نوکلئون­های دیگر داشته باشد، چگونه می­توان نوکلئون­ها را در مدارهای کاملاً مشخص در حرکت تصور کرد. در مدل پوسته­ای، مسئله پتانسیل هسته­ای را با بیان این فرض بنیادی حل می کنیم: حرکت هر نوکلئون منفرد را تحت تأثیر پتانسیل واحدی که نوکلئون­های دیگر همه در تولید آن شرکت دارند، در نظر می­گیریم. اگر هر یک از نوکلئون­ها را به این نحو مورد بررسی قرار دهیم، آنگاه برای تمامی نوکلئون­های موجود در هسته می­توانیم ترازهای انرژی متناظر به زیر­پوسته­ها را به دست آوریم. وجود مدارهای فضایی مشخص را اصل طرد پائولی تعیین می کند. فرض می­کنیم که در یک هسته سنگین، تقریباً در ته چاه پتانسل، برخوردی بین دو نوکلئون صورت می­گیرد و نوکلئون­ها هنگام برخورد با هم انرژی تولید می­ کنند، اما اگر تمامی ترازهای انرژی تا تراز نوکلئون­های ظرفیت پر شده باشد، هیچ راهی برای کسب انرژی نوکلئون نمی­ماند؛ مگر آنکه مقدار انرژی به اندازه­ای باشد که نوکلئون را به تراز ظرفیت برساند. سایر ترازهای نزدیک­تر به تراز اولیه نوکلئون همگی پر هستند و نمی ­توانند یک نوکلئون اضافی را بپذیرند. انرژی لازم برای این انتقال که از ترازی نزدیک به تراز پایه به نوار ظرفیت انجام می­ شود، بیشتر از مقداری است که معمولا در برخورد بین دو نوکلئون از یکی از آنها به دیگری منتقل می­ شود. از این رو، چنین برخوردی بین نوکلئون­ها نمی­تواند صورت گیرد، و گویی نوکلئون­ها در حرکت مداری­شان با هیچ گونه ممانعتی از طرف نوکلئون­های درون هسته روبه­رو نمی­شوند [۲۶].

۳-۳-۲- پتانسیل مدل پوسته­ای

نخستین گام در ارائه مدل پوسته­ای، انتخاب پتانسیل هسته­ای مناسب است. در آغاز دو نوع پتانسیل چاه نامتناهی و نوسانگر هماهنگ را در نظر می­گیریم. همچنانکه در فیزیک اتمی دیدیم، واگنی هر تراز را تعداد نوکلئون­هایی که می­توانند در آن قرار بگیرند تعیین می کند. به عبارت دیگر، واگنی هر تراز برابر  می­ شود که در آن عامل  از طریق واگنی  وعامل۲ از طریق واگنی  حاصل شده است. نوترون­ها و پروتون­ها، چون ذرات نا­یکسان هستند، به طور جداگانه شمرده می­شوند. بنابرین در تراز  علاوه بر ۲ نوترون، ۲ پروتون هم می ­تواند قرار گیرد. ظهور اعداد جادویی ۲، ۸ و ۲۰ در هر دو نوع پتانسیل دل­گرم­کننده است، ولی در ترازهای انرژی بالاتر هیچ گونه ارتباطی با اعداد جادویی تجربی به چشم نمی­خورد. به عنوان اولین گام در اصلاح مدل، سعی می­کنیم پتانسیل واقع­بینانه­تری را انتخاب کنیم. چاه نامتناهی، بنابر دلایلی، تقریب خوبی برای پتانسیل هسته­ای نیست: برای جدا کردن یک نوترون یا پروتون از هسته، با صرف انرژی کافی باید بتوانیم آن را از چاه خارج کنیم. در این صورت، عمق چاه نمی­تواند بی­نهایت باشد. بعلاوه، لبه پتانسیل هسته­ای نباید تیز باشد بلکه مثل توزیع بار و جرم هسته­ای، مقدار پتانسیل بعد از شعاع میانگین R باید به آهستگی به سوی صفر میل کند. از طرف دیگر، پتانسیل نوسانگر هماهنگ هم لبه­اش به قدر کافی تیز نیست و انرژی جدایی آن نیز بی­نهایت می­ شود. از این رو، شکل واقع بینانه­تر پتانسیل را به صورت بینابینی

(۳-۲۰)

انتخاب می­کنیم که منحنی نمایش آن در شکل (۳-۴) رسم شده است. پارامترهای R و a به ترتیب شعاع میانگین و ضخامت پوست هستند، که مقادیرشان تقریبا برابر است با:  و  . عمق چاه  چنان تنظیم می شود که برای انرژی­های جدایی که از مرتبه  است، مقادیر مناسبی به دست می ­آید. ترازهای انرژی حاصل در شکل (۳-۵) نشان داده شده است. نتیجه پتانسیل جدید، در مقایسه با نوسانگر هماهنگ این است که واگنی l را در پوسته­های اصلی برطرف می کند. هر چه به طرف انرژی­های بالاتر پیش می­رویم، فاصله ایجاد شده در این مورد بیشتر می­ شود، به طوری که سرانجام این فاصله با فاصله بین ترازهای نوسانگر هماهنگ قابل مقایسه خواهد شد. وقتی پوسته­های حاصل را به ترتیب با  نوکلئون پر می کنیم، باز هم اعداد جادویی۲، ۸ و۲۰ را به دست می­آوریم، ولی اعداد جادویی بالاتر را نمی­ توان با این محاسبات پیدا کرد.

شکل (۳-۴): پتانسیل هسته­ای بین نوکلئون­های هسته به همراه پتانسیل کولونی

۳-۳-۳- پتانیسل اسپین– مدار

این پتانسیل را چگونه می­توانیم اصلاح کنیم تا همه اعداد جادویی را از آن به دست آوریم؟ چون نمی­خواهیم محتوای فیزیکی مدل را از بین ببریم، مسلماً نمی­توانیم تغییر زیادی در پتانسیل وارد کنیم. دلایل توجیهی معادله (۳-۲۰) را به عنوان یک حدس خوب پتانسیل هسته­ای قبلاً ارائه کردیم. بنابراین، برای بهبود محاسبات لازم است که جمله­های مختلفی به معادله (۳-۲۰) افزوده شود. در دهه ۱۹۴۰ تلاش­ های نافرجام زیادی برای یافتن این جمله تصحیحی صورت گرفت و سرانجام مایر^[۲۰]، هاکسل^[۲۱]، سوئس^[۲۲]، و جنسن^[۲۳] در سال ۱۹۴۹ موفق شدند که با افزودن یک پتانسیل اسپین- مدار فاصله­های مناسبی بین زیرپوسته­ها به دست آورند [۲۷ و ۲۸].

در اینجا، بار دیگر به فیزیک اتمی روی می­آوریم، یکی دیگر از مفاهیم آن را به کار می­گیریم. برهم­کنش اسپین- مدار در فیزیک اتمی که مولد ساختار ریز مشاهده شده در خطوط طیفی است، از برهم­کنش الکترومغناطیسی بین گشتاور مغناطیسی الکترون و میدان مغناطیسی ناشی از حرکت الکترون به دور هسته حاصل می­ شود. اثر این برهم­کنش نوعاً خیلی کوچک و شاید از مرتبه یک قسمت از  قسمت فاصله بین ترازهای اتمی است.

هیچ برهم­کنش الکترومغناطیسی از این نوع نخواهد توانست تغییرات محسوسی را در فواصل تراز هسته­ای ایجاد و اعداد جادویی تجربی را باز تولید کند. با وجود این، در اینجا مفهوم نیروی اسپین- مدار هسته­ای را به همان صورت نیروی اسپین- مدار اتمی، ولی نه از نوع الکترومغناطیسی آن، در نظر می­گیریم. در واقع، با توجه به آزمایش­های پراکندگی شواهدی قوی در دست است که حاکی از وجود نیروی اسپین- مدار در برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون است.

برهم­کنش اسپین- مدار را به صورت  در نظر می­گیریم، ولی شکل  خیلی مهم نیست. این عامل  است که باعث تجدید سازمان ترازها می­ شود. همچنان که در فیزیک اتمی دیدیم، حالت­ها را در حضور برهم­کنش اسپین- مدار باید با تکانه زاویه­ای کل  نشانه­گذاری کنیم. عدد کوانتومی اسپین هر نوکلئون برابر  است، پس مقادیر ممکن برای عدد کوانتمی تکانه زاویه­ای کل عبارت­اند از  و  (البته به استثنای مورد  که در آن فقط مقدار  مجاز است). مقدار انتظاری  را با بهره گرفتن از یک شگرد متداول می­توان محاسبه کرد. نخست مقدار  را به دست می­آوریم.

(۳-۲۱)

با قرار دادن مقادیر انتظاری در این معادله، رابطه زیر حاصل می­ شود.

(۳-۲۲)

اکنون تراز  را که دارای واگنی  است در نظر می­گیریم. مقادیر ممکن برای j در این تراز عبارت اند از  بنابراین، ترازهای مورد نظر به صورت  و  خواهند بود. واگنی هر تراز برابر  است که از مقادیر  حاصل می­ شود. (در حضور بر هم کنش اسپین- مدار،  و  دیگر اعداد کوانتومی «خوب» به حساب نمی­آیند و نمی­ توان آنها را برای نمایاندن حالت­ها یا شمردن واگنی­ها به کار برد.) در این صورت، ظرفیت نوکلئونی تراز  برابر ۶ و ظرفیت  برابر ۸ می­ شود که از جمع آنها مجداً تعداد ۱۴ حالت به دست می ­آید (تعداد حالت­های ممکن باید حفظ شود، فقط نحوه دسته­بندی آنها را تغییر داده­ایم ). فاصله انرژی بین حالت­های  و  که زوج اسپین- مدار یا دوتا­یه نامیده می­شوند، متناسب با مقدار  است. در واقع می­توان اختلاف انرژی هر زوج حالتی را که در آن  باشد، به کمک معادله (۳-۳) محاسبه کرد.

(۳-۲۳)

شکافتگی (یا فاصله) انرژی بین حالت­ها با افزایش j افزایش می­یابد. حال اگر اثر  به صورت منفی در نظر بگیریم، عضوی از زوج، که مقدار j در آن بزرگتر است در سطح پایین­تر قرار خواهد گرفت. اثر این شکافتگی در نمودار شکل (۳-۵) نشان داده شده است. در اینجا، تراز  در فاصله یا (گاف) بین پوسته­های دوم و سوم قرار می­گیرد. ظرفیت این تراز برابر ۸ نوکلئون است، بدین سان عدد جادویی ۲۸ از آرایش جدید حاصل خواهد شد. (شکافتگی­های p و d به اندازه­ای نیستند که تغییرات مهمی در دسته بندی ترازها به وجود آورند.) اثر مهم بعدی ناشی از جمله تصحیحی اسپین- مدار را در تراز  می­بینیم. حالت  آن قدر به پایین رانده می­ شود که در پوسته اصلی پایین­تر قرار می­گیرد، و وقتی ظرفیت ۱۰ نوکلئونی آن به پوسته ۴۰ نوکلئونی قبلی افزوده می­ شود، عدد جادویی ۵۰ به دست می­­آید. این اثر روی پوسته­های اصلی دیگر نیز تکرار می­ شود. در هریک از این موارد، عضو کم انرژی­تر زوج اسپین- مدار از پوسته بعدی به پوسته قبلی تنزل می­ کند، و بدین ترتیب باقیمانده اعداد جادویی هم طبق انتظار به دست می ­آید.

شکل (۳-۵): ترازهای انرژی هسته­ها. a) با در نظر گرفتن پتانسیل نوسانگر هماهنگ ساده. b) با در نظر گرفتن چاه پتانسیل با لبه­های گرد شده. c) چاه پتانسیل با لبه گرد شده همراه با برهم­کنش اسپین- مدار.

مدل پوسته­ای، با وجود سادگی­اش، در توضیح اسپین و پاریته حالت پایه تقریباً تمام هسته­ها موفق بوده است، و آنها را به خوبی باز تولید می­ کند. برای گشتاورهای دوقطبی مغناطیسی و چارقطبی الکتریکی آنها نیز توضیحی نسبتاً موفق (و رضایت­بخش) به دست می­دهد. کاربرد خاصی از مدل پوسته­ای را که در اینجا در نظر گرفتیم، مدل ذره خیلی مستقل^[۲۴] می­گویند. فرضیه اساسی مدل ذره­ی خیلی مستقل این است که به استثنای یکی از نوکلئون­ها، بقیه نوکلئون­های موجود در هسته تزویج شده ­اند و خواص هسته از حرکت همین نوکلئون تزویج نشده منفرد ناشی می­ شود. روشن است که چنین برخوردی مسئله را بیش از حد ساده می­ کند، و بهتر است که در تقریب بعدی تمام ذرات موجود در زیرپوسته پر نشده را در نظر بگیریم [۲۶].

۳-۴- مدل قطره مایعی^[۲۵] و فرمول نیمه تجربی جرم

نظریه­ مفصل بستگی هسته­ای، مبتنی بر روش­های ریاضی و مفاهیم فیزیکی پیچیده، توسط “بروکنر” و همکارانش (از ۱۹۵۴ تا ۱۹۶۱) ابداع شده است. مدل بسیار ساده شده­ای نیز وجود دارد که در آن از بعضی ویژگی­های ظریف­تر نیروهای هسته­ای صرف­نظر می­ شود، ولی بر جاذبه­ی قوی بین نوکلئونی تاکید می­ کند. این مدل را وایس­زکر^[۲۶] بر پایه­ مانستگی قطره­ی مایع با ماده­ هسته­ای، که توسط بوهر^[۲۷] پیشنهاد شده بود، (۱۹۳۵)، به دست آورد [۲۹-۳۱]. فرض­های اساسی به قرار زیرند.

هسته متشکل از ماده­ تراکم ناپذیر است، به طوری که  .

نیروی هسته­ای برای هر نوکلئون، مستقل از بار است، به نوع آن که پروتون باشد یا نوترون، بستگی ندارد و یکسان است.

آثار کولومبی و مکانیک کوانتومی را به طور جداگانه بررسی می­کنیم. طبق فرض­های ۱ و ۲، در یک هسته­ی نامتناهی با A نوکلئون، انرژی بستگی اصل متناسب با A است. اما چون هسته­های واقعی متناهی هستند، معمولا یک شکل کروی برای آن در نظر می­گیرند. از این رو نوکلئون­های سطحی، به اندازه­ آنچه هم اکنون تخمین زدیم، تحت جاذبه یکسان از طرف دیگر نوکلئون­ها قرار نمی­گیرند و از این رو باید جمله­ای متناسب با تعداد نوکلئون­های سطحی یا متناسب با مساحت سطح را از تخمین مبتنی بر هسته­ی نامتناهی، کم کرد. از طرفی نیروی دافعه کولومبی که بین تمام جفت پروتون­ها برقرار است، از انرژی بستگی کم خواهد کرد. (نیروی کولومبی دارای برد زیاد است و اشباع نمی­ شود). علاوه بر این، جمله­ای را باید معرفی کنیم که به هسته­های با  ، بیشترین بستگی را نسبت دهد. این جمله، پیامد مستقیمی از رفتار مکانیک کوانتومی نوترون­ها و پروتون­ها می­باشد. بالاخره، باید جملات تصحیحی لازمی را معرفی کنیم که بیشترین بستگی را برای هسته­های زوج- زوج و کمترین بستگی را برای هسته­های فرد- فرد به دست بدهند و آثار پوسته­ای را منعکس کنند.

اهمیت این مدل در این حقیقت نهفته است که می ­تواند جنبه­ های تجربی داده ­های جرم هسته­ای را تبیین کند. این امر مؤید آن است که جمله­ انرژی بستگی اصلی، که متناسب با A می­باشد، باید تصحیح شود. اما چون این جمله در بین فرض­های دیگر به فرض “استقلال از بار” نیروهای هسته­ای بستگی دارد، می­توان نتیجه گرفت که برهم­کنش­های هسته­ای n-n، p-p، p-n یکسان هستند.

انرژی بستگی، B، یک هسته عبارت است از اختلاف انرژی بین جرم هسته و جرم کل پروتون­ها (Z پروتون) و نوترون­های تشکیل دهنده آن (N نوترون) که به صورت زیر نوشته می­ شود.

(۳-۲۴)

رابطه انرژی بستگی کل یک هسته را می­توان به صورت زیر نوشت.

(۳-۲۵)

که در آن  جمله­ حجمی،  جمله سطحی متناسب با مساحت سطح کره  ،  جمله­ انرژی زوجیت^[۲۸]، که برای هسته­های با Aی فرد برابر صفر است، برای هسته­های (زوج- زوج) علامت (+) و برای هسته­های (فرد- فرد) علامت (-) را به کار می­بریم،  جمله­ پوسته­ای، که اگر N یا Z یک عدد جادویی باشد مثبت است. نمودار انرژی بستگی هسته­ها برحسب داده ­های تجربی و فرمول نیمه تجربی جرم در شکل­های (۳-۶) و (۳-۷) نشان داده شده است.

شکل (۳-۶): انرژی بستگی هسته­ها که به صورت تجربی به دست آمده­اند

شکل (۳-۷): انرژی بستگی هسته­ها بر اساس فرمول نیمه تجربی جرم

هرچند که مدل قطره مایعی را بیشتر بر حالت­های پایه اعمال می­ کنند، ولی می­توان آن را برای حالت­های برانگیخته نیز به کار برد. این حالت­ها می­توانند توسط نوسان­های سطحی قطره­ی هسته، یا توسط چین و شکن­هایی که بر روی سطح آن حرکت می­ کنند، ایجاد شوند. این عقیده مخصوصاً در توجیه بعضی از جنبه­ های شکافت هسته­ای موفق بوده است. مدل قطره مایعی بر آثار جمعی بین نوکلئون­های متعدد موجود در هسته نیز تأیید دارد و پیشقراول مدل­های جمعی ساختار هسته­ای است. آنچه در این مدل صراحت دارد تقسیم سریع انرژی بین نوکلئون­هاست که مبنای نظری بوهر را در مورد شکل­بندی هسته مرکب در واکنش­های هسته­ای تشکیل می­دهد [۳۲].

۳-۵- ساختار جمعی هسته­ها و ارتعاشات و دوران­های هسته

هنگامی که هسته­های زوج- زوج را بررسی می­کنیم ملاحظه می­کنیم که تقریباً همه آنها دارای حالت برانگیخته  در انرژی­های حدود  می­باشند. اگر از مدل پوسته­ای بخواهیم این حالت برانگیخته را توضیح دهیم باید یک جفت از نوکلئون­های تزویج شده شکسته شده و یکی از نوکلئون­ها به ترازی بالاتر برود. شکستن هر زوج مستلزم کسب انرژی در حدود  می­باشد. بنابراین با توجه به اینکه این حالت برانگیخته در اکثر هسته­ها وجود دارد، این حالت برانگیخته باید ناشی از خاصیت دیگری از هسته­ها باشد، که آن را به خاصیت جمعی هسته­ها ربط می­ دهند.

علاوه بر انرژی اولین حالت برانگیخته هسته­ها، که با افزایش هسته­ها به تدریج کاهش می­یابد، موارد استثنای دیگری نیز وجود دارد. نسبت  برای هسته­های سبک­تر از  تقریباً برابر با  و برای هسته­های  و  برابر مقدار ثابت  است. همچنین گشتاور دو قطبی مغناطیسی حالت­های  در گستره مقادیر  تا  تقریباً ثابت می­ماند، و گشتاور چارقطبی الکتریکی برای هسته­های  دارای مقادیر کوچک و برای هسته­های  داری مقادیر خیلی بزرگ­تر است. برای توضیح این خصوصیات باید دو نوع ساختار جمعی در نظر بگیریم، زیرا به نظر می­رسد که یک دسته از خواص به هسته­های  و دسته دیگر به هسته­های  مربوط می­ شود. که دسته اول را با بهره گرفتن از ارتعاشات هسته­ای و دسته دوم را با استفاده دوران­های هسته­ای بررسی می­ کنند. مدل جمعی هسته­ها را غالباً مدل قطره مایع می­گویند.

ارتعاشات هسته­ای

با در نظر گرفتن قطره مایعی که با بسامد زیاد در حال ارتعاش باشد، می­توان به مفهوم قابل قبولی از فیزیک ارتعاشات هسته­ای دست یافت. هر چند شکل چنین قطره­ای به طور متوسط کروی است، ولی شکل لحظه­ای آن کروی نیست. مختصه لحظه­ای  یک نقطه از سطح هسته را در زوایای  به آسانی می­توان به صورت هماهنگ کروی نشان داد. هر مولفه از هماهنگ کروی دارای دامنه  خواهد بود.

(۳-۲۶)

دامنه­های  کاملاً اختیاری نیستند، تقارن انعکاسی مستلزم آن است که  شود و اگر مایع هسته­ای را تراکم ناپذیر بگیریم، محدودیت­های دیگری هم وارد خواهد شد. جمله ثابت  ، در شعاع متوسط  مستتر است. ارتعاش نمونه­وار  ارتعاش دو قطبی نامیده می­ شود، باید توجه داشته باشیم که در این ارتعاش با جا به ­جایی مرکز جرم روبه­رو هستیم، و بنابراین نمی­توانیم آن را نتیجه عملکرد نیروهای درون هسته به شمار آوریم. در این صورت، پایین­ترین مد بعدی ارتعاش را که ارتعاش (چارقطبی)  است، در نظر می­گیریم، شکل (۳-۸). همانند نظریه کوانتمی الکترومغناطیسی که در آن واحد انرژی الکترومغناطیسی را فوتون می­نامند، یک کوانتوم انرژی ارتعاشی را فونون می­گویند. در هر جایی که ارتعاش مکانیکی وجود داشته باشد، می­توان گفت که فونون­های ارتعاشی تولید می­ شود. بدین گونه، واحد منفرد انرژی ارتعاشی متناظر به  را فونون چارقطبی می­نامند.

در اینجا نتیجه افزایش یک واحد انرژی ارتعاشی (یا یک فونون چارقطبی) را به حالت پایه هسته­­­­ای زوج - زوج مورد برسی قرار می­دهیم. فونون  حاوی ۲ واحد تکانه زاویه­ای (که درست مانند مورد  با  ، باعث افزایش مولفه  به تابع موج هسته می­ شود) و پاریته زوج است، زیرا پاریته  به صورت  است. با افزودن دو واحد تکانه زاویه­ای به حالت  یک حالت  حاصل می­ شود که با نتایج تجربی اسپین- پاریته نخستین حالت­های برانگیخته هسته­های زوج– زوج سازگاری دقیقی دارد. (در این نظریه، انرژی فوتون چارقطبی پیش ­بینی نمی­ شود و باید آن را به صورت یک پارامتر قابل تنظیم در نظر گرفت.) اکنون فرض می­کنیم که فونون چارقطبی دومی را هم به هسته افزوده­ایم. تعداد مولفه­های ممکن  برای هر فونون برابر ۵ است برای این دو فونون تعداد ۲۵ ترکیب  قابل تصور است. حال ترکیبات مختلف را بررسی می­کنیم. در میان این ترکیبات، یک حالت با جمع کل  وجود دارد. طبیعی است که این ترکیب را متناظر با انتقال ۴ واحد تکانه زاویه­ای تلقی کنیم. دو ترکیب با مقدار کل  وجود دارد که یکی از  و دیگری از  به دست می ­آید. اما وقتی ترکیب متقارن تابع موج­های فونونی را مورد توجه قرار می­دهیم، فقط یک نوع ترکیب دیده می­ شود. سه ترکیب با مقدار  وجود دارد که از مجموعه­های

 

حاصل می­ شود. از ترکیب اولی و سومی باید یک تابع موج متقارن به دست آید. پیش از این دیدیم که ترکیب  متقارن است. اگر تعداد ترکیب­های ممکن را به همین طریق تعیین کنیم، تعداد ترکیب­های مجاز را نه ۲۵ بلکه ۱۵ خواهیم یافت. این ترکیب­ها را به صورت زیر می­توان دسته­بندی کرد.

 

به این ترتیب، در انرژی معادل دو برابر نخستین حالت  (چون انرژی دو فونون یکسان، دو برابر انرژی یکی از آنهاست)، انتظار داریم که با سه تایه­ای از حالت­های  روبه­رو شویم. سه تایه  یکی از ویژگی­های مشترک هسته­های ارتعاشی است و پشتوانه­ای قوی برای اعتبار این مدل به شمار می­رود. این سه حالت، به دلیل اثرات دیگری که در این مدل ساده در نظر گرفته نشده­اند، هرگز انرژی دقیقاً یکسان ندارند. با محاسبه مشابهی می­توان نشان داد که با افزودن سه فونون چارقطبی به هسته، حالت­های  به دست می ­آید.

مد ارتعاشی بعدی، مد هشت قطبی  است که حاوی سه واحد تکانه زاویه­ای با پاریته منفی است. با افزایش یک فونون منفرد هشت قطبی به حالت پایه  یک حالت  حاصل می­ شود. معمولا در انرژی­های اندکی بالاتر از سه تایه دو فونونی، چنین حالت­هایی را هم می­­توان در هسته­های ارتعاشی پیدا کرد. وقتی به طرف انرژی­های بالاتر می­رویم، ساختار ارتعاشی به تدریج با ساختار برانگیزش ذره­ای جایگزین می­ شود که با شکسته شدن یک زوج حالت پایه متناظر است. بررسی این گونه برانگیختگی­ها پیچیده است، و جای بحث آن در ساختار جمعی هسته­ها نیست.

 

شکل (۳-۸): ارتعاشات چند قطبی هسته­ها، ارتعاش چارقطبی، هشت قطبی و شانزده قطبی.

دوران­های هسته­ای

حرکت دورانی را تنها در هسته­هایی می­توان مشاهده کرد که شکل تعادل غیر کروی دارند. این هسته­ها را که ممکن است تغیر شکل زیادی به نسبت شکل کروی در آنها رخ داده باشد، غالباً هسته­های تغیر شکل یافته می­گویند. این گونه هسته­ها در گستره­های جرمی  و  دیده می­شوند. شکل عمومی این نوع هسته­ها به صورت یک بیضی­وار دوار است شکل (۳-۹)، می­توان نشان داد که سطح آن­ها با معادله زیر توصیف می­ شود.

(۳-۲۷)

چون این معادله مستقل از  است، هسته دارای تقارن استوانه­ای است. رابطه بین پارامتر تغییر شکل  و خروج از مرکز بیضی به صورت زیر است.

(۳-۲۸)

که در آن  اختلاف طول محورهای بزرگ و کوچک بیضی است. معمولاً شعاع متوسط هسته را به صورت  در نظر می­گیرند که چندان دقیق نیست. چون حجم هسته­ای که با معادله (۳-۲۷) توصیف می­ شود کاملاً برابر  نمی­ شود، تقریب حاضر دقت زیادی ندارد. محور تقارن معادله (۳-۲۷) محور مرجعی است که زاویه  نسبت به آن تعریف می­ شود. هنگامی که  باشد، هسته به صورت یک بیضی­وار کشیده و طویل است؛ و هنگامی که  باشد، هسته به شکل یک بیضیوار پخت و پهن در می ­آید.

انرژی جنبشی یک جسم دوار به صورت  است، که در آن  گشتاور لختی جسم است. این مقدار انرژی را می­توان بر حسب تکانه زاویه­ای  به صورت  نوشت. اگر مقادیر کوانتوم مکانیکی  را در نظر بگیریم و عدد کوانتومی تکانه زاویه­ای را با I نشان دهیم، بنابر مکانیک کوانتومی انرژی جسم دوار چنین می­ شود.

(۳-۲۹)

افزایش انرژی دورانی هسته با افزایش عدد کوانتومی I متناظر است؛ و از توالی حالت­های برانگیخته هسته یک نوار دورانی به وجود می ­آید. (حالت­های برانگیخته در مولکول­ها هم نوار دورانی تشکیل می­ دهند که در این مورد دوران مولکول حول مرکز جرم آن خواهد بود.) حالت پایه یک هسته z زوج و N زوج، همیشه حالت  است و تقارن آینه­ای هسته در این مورد خاص باعث می­ شود که تمامی حالت­های دورانی به مقادیر زوج Iمحدود شوند. بنابراین، توالی حالت­ها چنین خواهد شد.

 

و همین طور تا آخر. با مقایسه این مقادیر انرژی با مقادیر مشاهده شده سازگاری خوبی مشاهده می­ شود، بخصوص نسبت  که از این طریق برابر با  به دست می ­آید که با مقدار تجربی مطابقت دارد. همچنین مقادیر گشتاورهای دوقطبی و چارقطبی که از این طریق محاسبه شده با مقادیر تجربی سازگاری دارد [۲۶ و ۳۳].

شکل (۳-۹): شکل تغییر شکل یافته هسته­ها، یک بیضی­وار پخت.

۳-۶- مدل شبه کوارکی هسته

در مدل ساختار جمعی هسته­ها، هسته همانند یک جسم واحد در نظر گرفته شده، مانند یک قطره مایع، بعضی از خواص هسته­ها نیز بر اساس همین فرض استخراج شده است، که در قسمت­ های قبلی بیان شدند. از طرفی در مدل پوسته­ای اجزاء تشکیل دهنده هسته­ها یعنی پروتون­ها و نوترون­ها نیز در نظر گرفته شده است. این مدل با در نظر گرفتن برهم­کنش هسته­ای بین نوکلئون­ها در توجیه بعضی خواص هسته­ای به خوبی موفق بوده است. مدل گاز فرمی که در ابتدای این فصل معرفی شده است، حالت بسیار ساده شده­ای است که جایگزین هسته شده است، این مدل گر چه در توجیه خواص هسته­ای چندان موفق نبوده ولی به هر حال در توجیه برخی خواص موفقیت­های داشته است.

در مدل شبه کوارکی علاوه بر اینکه پروتون­ها و نوترون­ها را در تشکیل هسته­ها در نظر می­گیرد، کوارک­های سازنده نوکلئون­ها را نیز در نظر می­گیرد. با توجه به نزدیکی بسیار زیاد نوکلئون­ها در هسته­ها، قطعاً کوارک­های سازنده آنها نیروی شدیدی به همدیگر وارد می­سازند، که باعث می­ شود نوکئلون­ها، به صورت لحظه­ای هم که باشد، فروپاشیده شوند و سپس نوکلئون­های جدید تشکیل گردند. این پروسه می ­تواند مکرراً در هسته در حال اتفاق باشد. گرچه در این شرایط محیط هسته را نمی­ توان یک محیط با کوارک­های آزاد در نظر گرفت. با این حال فرض می­ شود که هسته را با تقریب بتوان یک محیط کوارکی در نظر گرفت که شدیداً با هم برهم­کنش دارند. گرچه در این مدل نظریه واحدی که بتواند بعضی از خواص هسته را یکجا ارائه دهد وجود ندارد، با این حال با بهره گرفتن از این مدل می­توان اعداد جادویی هسته را به صورت غیر دینامیک باز تولید کرد. در این مدل فرمولی برای انرژی بستگی هسته­ها ارائه شده که هم­زمان هم کوارک­های سازنده هسته و هم نوکلئون­های سازنده هسته در نظر گرفته است. انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون تقریباً مقداری ثابت، حدود  است. با در نظر گرفتن تعداد پیوندهای کوارکی که در هسته وجود دارد، انرژی بستگی به ازای هر پیوند تقریباً ثابت و برابر با  به دست می ­آید. با بهبود رابطه انرژی بستگی مبتنی بر مدل شبه کوارکی می­توان سهمی­های جرم را نیز استخراج کرد. با بهره گرفتن از ساخنار کوارکی دوترون می­توان گشتاور دو قطبی مغناطیسی را به دست آورد، که سازگاری خوبی با مقدار اندازه ­گیری شده دارد. با بهره گرفتن از این مدل می­توان توضیحی بر نسبت پروتون­ها و نوترون­ها در هسته­های پایدار موجود در طبیعت ارائه داد. مواردی که در اینجا شمرده شدند در ادامه این فصل و دو فصل آینده به صورت مبسوط آورده شده ­اند.

۳-۶-۱- پلاسمای کوارک- گلوئونی و سرچشمه اعداد جادویی

در فیزیک هسته­ای، یک عدد جادویی تعداد نوکلئون­هایی (پروتون­ها و نوترون­ها) است که درون پوسته­های کامل مربوط به هسته­های اتمی قرار می­گیرند. این اعداد و وجود آنها اولین بار توسط السیسر^[۲۹] در سال ۱۹۳۳ [۳۴] مورد توجه قرار گرفته است. چیزی که باعث جادویی بودن این اعداد می­ شود، خواصی است که هسته­هایی با این تعداد پروتون­ها و نوترون­ها دارا می­باشند. از مهم­ترین این خواص می­توان به این نکات اشاره نمود: پایداری هسته­های جادویی، فراوانی بیشتر هسته­های جادویی در عالم.

این مدل فرض بر این دارد که در محیط ترمودینامیکی پلاسمای کوارک– گلوئونی، کوارک­های تقریباً مجزا سعی در تشکیل نوکلئون­ها دارند؛ و اگر بپذیریم که تعادل و پایداری هر سیستم ترمودینامیکی در بیشینه بی­نظمی و بیشترین مقدار ترکیب­ها رخ می دهد، آنگاه با در نظر گرفتن سیستم­های جداگانه­ ای شامل یک کوارک مرکزی و تعداد ۲، ۳، ،۴ ،۵ ،۶ ،۷ و نهایتاً ۸ کوارک اطراف به حالت­های بیشینه­ای برابر با اعداد جادویی می­رسیم [۳۵ و ۳۶]. اگر پلاسمای کوارک- گلوئونی را به عنوان یک محیط ترمودینامیکی فرض نماییم، بایستی تحقیق نمود این محیط ترمودینامیکی که همانند هر محیط دیگر از این نوع به سمت بیشینه بی­نظمی پیش می­رود، چگونه به تعادل نزدیک می­ شود. حالت ترمودینامیکی از کوارک­ها را در نظر می­گیریم که این کوارک­ها تقریباً آزادانه در حال حرکت می­باشند. اگر دقیق­تر به محیط پلاسمای کوارک- گلوئونی نگاه کنیم، می­بینیم که در سوپ کوارک– گلوئونی آزادی محض وجود ندارد.

q

q

q

q

q

q

q

q

q

شکل (۳-۱۰): محیط یک پلاسمای کوارک- گلوئونی

در شکل (۳-۱۰) یک محیط پلاسمای کوارک– گلوئونی فرضی رسم شده است، که کوارک­ها همانند ذرات یک گاز ایده­ال در فضا پراکنده­اند. در این محیط فرضی یک کوارک را در نظر بگیرید که جهت تشکیل یک پروتون یا نوترون تلاش می کند. هر کوارک با گیرانداختن دو کوارک دیگر تشکیل یک نوکلئون می­دهد. در این فضای رقابتی میان کوارک­ها حالات مختلفی از تشکیل یک نوکلئون می ­تواند روی دهد. به عنوان مثال به شکل (۳-۱۱) توجه کنید.

u

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

شکل (۳-۱۱): شبکه مکعبی پلاسمای کوارک– گلوئونی [۳۶]

در این شکل کوارک­ها همانند یک محیط شبکه­ ای در اطراف یکدیگر قرار دارند. کوارک u مرکزی برای تشکیل یک نوترون در حال تلاش است، و برای این امر بایستی دو کوارک d را گیر اندازد. اگر چنین فرض کنیم که از تمام کوارک­های اطراف این کوارک u دو کوارک d باشد، آنگاه رقابت دو کوارک رقابت ساده­ای است. در نگاه اول یک حالت ممکن بیشتر وجود ندارد و آن هم حالت  است. در نگاه دقیق تر دو حالت وجود دارد، یعنی u قرمز به همراه  آبی و  سبز یا u قرمز به همراه  سبز و  آبی. پس دو حالت به دست می ­آید. حال شرایطی را در نظر بگیرید که ۳ کوارک d در اطراف کوارک u جهت پیوند با آن رقابت کنند. در چنین شرایطی ترکیبات ممکن عبارتند از: ud₁d₂، ud₁d₃ و ud₂d₃. اگر رنگ کوارک­ها را نیز منظور کنیم ۶ حالت ممکن به وجود می ­آید که این شش حالت با دو حالت قبل روی هم ۸ حالت را نشان می­ دهند. ذکر این نکته ضروری است که هر کدام از حالت­ها می ­تواند تشکیل یک نوکلئون بدهد ولی حداکثر حالاتی که می ­تواند با ۳ کوارک اتفاق بیفتد ۸ حالت است. مشابه حالت ۳ کوارکی عدد به دست آمده برای حالت ۴ کوارکی برابر ۲۰ می­باشد. با در نظر گرفتن ۵ کوارک d اطراف کوارک مرکزی با استدلالی مشابه استدلال بالا ۲۰ حالت جدید به دست خواهد آمد که با مجموع قبلی عدد ۴۰ برای عدد جادویی بعدی به دست خواهد آمد، در حالی که عدد جادویی بعدی برابر ۲۸ است. از آنجا که شرایط محیط کوارک– گلوئونی بیشتر به یک سوپ کوارک– گلوئونی شبیه است، مطابق تلاش­ های صورت گرفته در نظریه کرومودینامیک کوانتومی شبکه­ ای، این امر تقریباً محرز است که نیروی جاذبه بین کوارک­ها کاملاً از بین نمی­رود. بنابراین اگر هر کوارک d (اطراف u مرکزی) را نزدیک به کوارک­های دیگر فرض کنیم، آنگاه به عنوان مثال اگر کوارک  توسط u جذب شود. ناگزیر کوارک پنجمی که بیشترین نیروی جاذبه با  را دارد و نام آن را  می گذاریم، وارد کار می­ شود که آن را کوارک “تحمیل شده” می­نامیم. پس هر ۴ کوارک d هنگام جذب توسط کوارک u مرکزی می­توانند کوارکی را در سطحی فراتر از کوارک­های اولیه به واسطه فاصله نزدیک و یا اینکه باز نشدگی کامل از هم، به سیستم تحمیل نمایند، که این حالت جدید را چنین می نویسیم:

 

که به همراه رنگ­های مختلف آن ۸ حالت جدید به وجود می ­آید. این ۸ حالت و ۲۰ حالت قبل جمعاً ۲۸ حالت در اختیار ما می­گذارد. به طور مشابه برای ۵، ۶ و ۷ کوارک d اعداد ۵۰، ۸۲ و ۱۲۶ و نهایتاً با ۸ کوارک عدد ۱۸۴ به دست می آید. شواهدی مبنی بر وجود چنین عدد جادویی وجود دارد [۳۷ و ۳۸]. به منظور به دست آوردن اعداد جادویی بالاتر، باید شبکه ­های هندسی دیگری را در نظر گرفت و یا اینکه علاوه بر در نظر گرفتن کوارک­های سطح اول و دوم، کوارک­های سطح سوم را نیز در نظر گرفت.

۳-۶-۳- محاسبه انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی بین نوکلئون­ها

انرژی بستگی که به طور معمول در فیزیک هسته­ای به کار برده می­ شود، انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون است. با در نظر گرفتن کوارک­های محتوایی هسته­ها انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی که بین نوکلئون­ها به وجود می ­آید محاسبه شده است [۳۹ و ۴۰]. با توجه به حجم هسته و حجم نوکلئون­های تشکیل دهنده هسته، تابع موج هر نوکلئون ناچاراً با نوکلئون­های همسایه خود، در ناحیه­ای همپوشانی خواهد داشت. ناحیه­های همپوشانی شده را به عنوان یک پیوند کوارکی بین نوکلئون­ها در نظر می­گیریم. طوری که نوکلئون­ها در این ناحیه، با گسیل گلوئون با همدیگر برهم­کنش دارند. منشأ اصلی انرژی بستگی هسته­ها، کوارک­ها هستند. بنابراین انرژی بستگی کل کوارک­ها را با رابطه زیر تعریف می­کنیم و آن را با QBE^[30] نشان می­دهیم [۳۹].

(۳-۳۰)

در این رابطه BE همان انرژی بستگی هسته­ها­ست که به صورت تجربی بدست آمده است، و  قسمتی از انرژی بستگی کل کوارک­ها است که صرف غلبه بر دافعه کولمبی بین پروتون­ها می­ شود. انرژی کولمبی، یا  ، با رابطه زیر بیان می­ شود.

(۳-۳۱)

از طرف دیگر با شمارش تعداد پیوند­های کوارکی (NQB^[31]) که نوکلئون­ها را در درون هر هسته مقید نگه می­دارد، می­توان نسبت  را محاسبه کرد.

 

شکل (۳-۱۲): پیوند کوارکی بین دو نوکلئون تشکیل دهنده دوترون. همانطور که در شکل نشان داده شده دو نوکلئون با هم هم­پوشانی دارند، که این هم­پوشانی معادل یک پیوند کوارکی در نظر گرفته می­ شود.

در ابتدا هسته­های سبک را در نظر می­گیریم، دوترون دارای دو نوکلئون است و مانند شکل (۳-۱۲) با همدیگر همپوشانی دارند. در اینجا یک ناحیه همپوشانی شده وجود دارد که آن را معادل یک پیوند کوارکی در نظر می­گیریم. هسته­های هلیوم-۳ و تریتیم ساختاری همانند شکل (۳-۱۳) تشکیل می­ دهند. که در هر کدام سه پیوند کوارکی وجود دارد، هلیوم-۴ ساختاری مانند شکل (۳-۱۴) دارد که دارای ۶ پیوند کوارکی است. با در نظر گرفتن  و  انرژی بستگی کوارک­ها برابر  و انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی برابر با  به دست می ­آید.

 

شکل (۳-۱۳): پیوند­های کوارکی بین نوکلئون­ها با  ، هسته­های هلیوم-۳ و تریتیم

 

شکل (۳-۱۴): ۶ پیوند­ کوارکی موجود بین نوکلئون­های هسته هلیوم

به منظور اینکه این بحث را به کل هسته­ها تعمیم دهیم، و تعداد پیوند­های کوارکی بین نوکلئون­های هسته را مشخص کنیم، نکات زیر را در نظر می­گیریم.

توزیع نوکلئون­ها در هسته باید متقارن باشد.

هسته ترجیحاً شکل کروی داشته باشد.

برای یک هسته مشخص حالت­های گوناگونی را ممکن است بتوان در نظر گرفت. اما چون برهم­کنش قوی بین کوارک­ها وجود دارد، لاجرم حالتی را در نظر می­گیریم که تعداد پیوندهای کوارکی آن ماکزیمم باشد.

به همین منظور، اولین مرحله یافتن این است که نوکلئون­ها چگونه در هسته مرتب شده ­اند. همانطور که بیان شد نوکلئون­ها باید به صورت متقارن و کروی قرار گیرند. نوکلئون­ها تشکیل یک شبکه می­ دهند. به طور خاص یک سری صفحات یا لایه­ های موازی را در نظر می­گیریم و نوکلئون­ها را با یک نظم متقارن در هر لایه قرار می­دهیم، مانند شکل (۳-۱۵)؛ به منظور ساده سازی بحث هر نوکلئون به صورت یک نقطه در این شکل نشان داده شده است. همچنین به منظور اینکه موضوع آشکارتر شود لایه ­ها را با فاصله نشان داده­ایم، که در واقع فاصله آنها در حدود  است، که دو نوکلئون همسایه در دو صفحه کنار هم همدیگر را جذب می­ کنند و تشکیل یک پیوند می­ دهند، که در شمارش تعداد پیوند­های کوارکی محاسبه می­شوند. برای شمارش تعداد پیوند­های کوارکی دو دسته پیوند بین نوکلئون­ها را در نظر می­گیریم:

هر نوکلئون در هر لایه با نوکلئون­های همسایه­اش؛

در دو لایه مجاور اگر فاصله یک نوکلئون در یک لایه تا فاصله نوکلئونی دیگر در لایه مجاور در حدود  باشد پیوند کوارکی دارند.

 

شکل (۳-۱۵): نوکلئون­ها در هسته به صورت متقارن بر روی یک سری صفحات موازی قرار می­گیرند. هر نوکلئون با نوکلئون­های همسایه خود پیوند کوارکی می­سازد. در این شکل صفحات با فاصله از یکدیگر نشان داده شده ­اند، اما در واقع فاصله آنها از مرتبه فاصله نوکلئون­ها با یکدیگر است.

به عنوان مثال خاص هسته کلسیم  را بررسی می­کنیم. توزیع نوکلئون­ها در لایه­ های مختلف همانطور که در شکل (۳-۱۵) نشان داده شده به قرار زیر است.

 

در اینجا  به این معنی است که در لایه  ، ۱۲ نوکلئون جای می­گیرد و . . . ،که تعداد کل نوکلئون­ها برابر ۴۰ به دست می ­آید. این پیوندها در شکل (۱۶-۳) نشان داده شده است. در این شکل هر دایره نمایانگر یک نوکلئون است، و ناحیه هم­پوشانی بین هر دو نوکلئون نمایانگر یک پیوند کوارکی بین آن دو نوکلئون می­باشد.

 

شکل (۳-۱۶): پیوند­های کوارکی بین نوکلئون­های تشکیل دهنده کلسیم  ، هر دایره نمایانگر یک نوکلئون است و هر ناحیه هم­پوشانی نمایانگر یک پیوند کوارکی است.

همانطور که دیده می­ شود امکان نمایش ناحیه هم­پوشانی بین دو نوکلئون مجاور از دو لایه مجاور وجود ندارد، در عوض پیوند کوارکی بین این دو نوکلئون را با یک مثلث توپر نشان داده­ایم، همانطور که در شکل (۳-۱۷) دیده می­ شود امکان نمایش ناحیه هم­پوشانی بین دو نوکلئون  و  نیست در عوض با یک مثلث توپر نشان داده شده است. با شمارش این مثلث­ها­ی توپر تعداد پیوند­های بین لایه­ های مجاور به دست می ­آید. نتیجه حاصل برای کلسیم  در جدول (۳-۱) نشان داده شده است، که تعداد کل پیوند­های کوارکی این هسته برابر ۱۵۲ به دست می ­آید و بنابراین مقدار زیر برای نسبت  به دست می ­آید.

(۳-۳۲)

خلاصه نتایج در جدول (۳-۱) نشان داده شده است.

جدول (۳-۱): تعداد پیوندهای کوارکی بین نوکلئون­های تشکیل دهنده کلسیوم

الف- تعداد پیوندهای کوارکی که نوکلئون­های واقع در هر لایه بین خود به وجود می­آورند. در لایه a ، ۱۶ در لایه b، ۱۲ و در لایه  ، ۱۲ در لایه c، ۴ و در لایه  ، ۴ در لایه d ، صفر و در لایه  ، صفر ب- تعداد پیوندهای کوارکی که نوکلئون­های واقع در دو لایه مجاور با هم تشکیل می­ دهند. بین لایه a و b، ۳۲ بین لایه a و  ، ۳۲ بین لایه b و c، ۱۶ بین لایه  و  ، ۱۶ بین لایه c و d، ۴ بین لایه  و  ، ۴ تعداد کل پیوند­های کوارکی برابر با ۱۵۲ است.

به همین طریق نتایج برای ۶۴ هسته پایدار محاسبه گردیده و در جدول (۳-۲) نشان داده شده است. مقدار انرژی بستگی به ازای هر پیوند در همه هسته­ها تقریباً ثابت و برابر با  به دست می ­آید. ثابت بودن تقریبی این کمیت قابل توجه است.

 

شکل (۳-۱۷): پیوندهای کوارکی که بین دو نوکلئون در دو لایه مجاور قرار دارند، به وسیله یک مثلث توپر نشان داده­ شده است. همانند پیوند بین نوکلئون­های و ، که با یک مثلث توپر مشخص شده است.

استفاده از مدل شبه کوارکی در بحث انرژی بستگی هسته­ها فوایدی در بر دارد که در اینجا بیان می­شوند.

به طور معمول در فیزیک هسته­ای، انرژی بستگی به ازای نوکلئون معرفی می­ شود، که ایده­ای در مورد منشأ نیروی هسته­ای به دست نمی­دهد. اما معرفی انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی بین نوکلئون­ها، انرژی بستگی را مستقیماً به نیروی قوی بین کوارک­ها ربط می­دهد.

مقدار به دست آمده برای کمیت انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی، مقداری تقریباً ثابت است (به ازای  ). ثابت بودن این کمیت یک نتیجه مهم به حساب می ­آید.

همانطور که می­دانیم، یک جمله متناسب با سطح هسته در رابطه انرژی بستگی منتج از مدل قطره مایع وجود دارد. اما اگر انرژی بستگی را به تعداد پیوند­های کوارکی ربط دهیم، نیازی به چنین جمله­ای نیست، چرا که نوکلئون­هایی که در سطح هسته قرار دارند تعداد پیوند­های کوارکی کمتری دارند، چون تعداد نوکلئون­های اطراف آنها کمتر است، و بنابراین نیاز به جمله سطحی خود به خود حذف می­ شود.

جدول (۳-۲): انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی بین نوکلئون­های هسته، برای ۶۴ هسته مختلف.

	Nuclide	No		Nuclide	No
۲.۸۱۷   ۳۳ ۲.۷۱۰   ۳۴ ۲.۸۰۰   ۳۵ ۲.۸۳۰   ۳۶ ۲.۶۹۰   ۳۷ ۲.۶۷۰   ۳۸ ۲.۹۱۰   ۳۹ ۲.۹۸۹   ۴۰ ۲.۹۶۰   ۴۱ ۲.۷۵۰   ۴۲ ۲.۸۲۰   ۴۳ ۲.۷۴۰   ۴۴ ۲.۸۳۰   ۴۵ ۲.۸۰۰   ۴۶ ۲.۷۷۰   ۴۷ ۲.۷۰۰   ۴۸ ۲.۸۱۰   ۴۹ ۲.۷۰۷   ۵۰ ۲.۷۶۰   ۵۱ ۲.۷۲۸   ۵۲ ۲.۷۰۷   ۵۳ ۲.۸۹۰   ۵۴ ۲.۷۷۵   ۵۵ ۲.۶۳۹   ۵۶ ۲.۶۹۴   ۵۷ ۲.۷۶۰   ۵۸ ۲.۷۴۷   ۵۹ ۲.۶۹۰   ۶۰ ۲.۷۴۰   ۶۱ ۲.۷۹۰   ۶۲ ۲.۷۲۰   ۶۳ ۲.۶۲۰   ۶۴			۲.۲۲۵   ۱ ۲.۶۵۰   ۲ ۲.۵۴۰   ۳ ۴.۷۶۰   ۴ ۲.۷۳۳   ۵ ۲.۷۳۷   ۶ ۲.۷۵۰   ۷ ۲.۷۲۰   ۸ ۲.۷۷۰   ۹ ۲.۹۶۶   ۱۰ ۲.۷۵۵   ۱۱ ۲.۶۹۶   ۱۲ ۲.۷۰۹   ۱۳ ۲.۸۴۰   ۱۴ ۲.۶۰۸   ۱۵ ۲.۶۷۵   ۱۶ ۲.۸۴۰   ۱۷ ۲.۸۹۰   ۱۸ ۲.۸۱۰   ۱۹ ۲.۸۴۰   ۲۰ ۲.۸۶۰   ۲۱ ۲.۷۹۳   ۲۲ ۲.۸۰۷   ۲۳ ۲.۹۱۰   ۲۴ ۲.۸۰۶   ۲۵ ۲.۸۸۹   ۲۶ ۲.۷۷۰   ۲۷ ۲.۷۳۸   ۲۸ ۲.۶۶۰   ۲۹ ۲.۷۵۰   ۳۰ ۲.۷۱۷   ۳۱ ۲.۷۷۶   ۳۲

۳-۶-۳- انرژی بستگی هسته­ها از دیدگاه مدل شبه کوارکی

به منظور به دست آوردن انرژی بستگی هسته­ای، با نگاه شبه– کوارکی به نکات زیر توجه می­کنیم:

برای تشکیل هسته باید انرژی بستگی مثبت باشد.

انرژی بستگی مثبت از مرتبه یک درصد انرژی جرم سکون کوارک­های درون هسته  می­باشد، که q نشان دهنده کوارک بالا و یا پایین است.

در این مدل انرژی بستگی با حجم پلاسمای کوارک گلوئونی متناسب است. با توجه به اینکه هر نوکلئون از سه کوارک تشکیل شده است، لذا به ازای عدد جرمی A برای هسته، انرژی بستگی متناسب با A3 است.

با توجه به عدم تقارون بین تعداد پروتون­ها و نوترون­ها، به خصوص در هسته­های سنگین و در نظر گرفتن نیروی کولنی می­توان این عدم تقارن و تصحیح کولنی را مابین کوارک­های بالا و پایین موجود در پلاسمای کوارک– گلوئونی درون هسته را به صورت  در نظر گرفت.

با در نظر گرفتن نکات فوق فرمول زیر برای محاسبه انرژی بستگی هسته­ها ارائه شده است [۴۱].

(۳-۳۳)

مشابه با فرمول نیمه تجربی جرم در مدل قطره مایعی، هر جمله در معادله بالا شامل مفاهیم فیزیکی است. اولین ضریب،  مربوط به قانون  با  است، که نشان دهنده تقارون سه­گانه کوارکی درون هسته­هاست.  ثابتی است که مقدار آن بین ۹۰ تا ۱۰۰ قرار دارد، و رابطه  برقرار است. جرم کوارک «بالا»ی ظاهر شده در فرمول بالا به خاطر نقش بارز کوارک بالا در اغلب باریون­های پایدار مانند پروتون می باشد [۴۱]. نمودار انرژی بستگی هسته­ها بر اساس رابطه ارائه شده در اینجا در شکل (۳-۱۹) نشان داده شده است.

۳-۶-۴- بهبود انرژی بستگی هسته­ها در مدل شبه کوارکی

به منظور بهبود انرژی بستگی هسته­ها نسبت به مقادیر اندازه ­گیری شده و همچنین به دست آوردن سهمی­های جرم به در هسته­هایی که عدد جرمی یکسانی دارند، رابطه (۳-۳۳) را به صورت زیر بازنویسی می­کنیم [۴۲].

(۳-۳۴)

در اینجا  جرم نوکلئون است. بررسی­های ما نشان داد که ضریب  خود به عدد جرمی و عدد اتمی وابسته است، دلیل این وابستگی به خاطر نیروی کولمب می­باشد. رابطه را با اعمال تغییراتی به صورت زیر می­نویسیم [۴۲]:

(۳-۳۵)

در اینجا روابط زیر برقرار است.

 

همانطور که در این رابطه مشاهده می­ شود، همه کمیت­ها مشخص است تنها ضریب n است که بین یک محدوده کوچک تغییر می­ کند. حال با این فرمول بهبود یافته سهمی­های جرم را به دست می­آوریم. در ابتدا معادله جرم هسته­ها را می­نویسیم:

(۳-۳۶)

با مشتق گرفتن از  نسبت به Z و قرار دادن آن برابر با صفر مقدار کمینه  را به دست می­آوریم.

(۳-۳۷)

در این رابطه

 

در شکل (۳-۱۸) سهمی­های جرم برای A فرد  و A زوج  رسم شده است. در این نمودار  با یک پیکان رو به پایین مشخص شده است. برای A فرد تنها یک سهمی داده شده، در حالی که برای A زوج دو سهمی رسم شده است. همانطور که در این شکل دیده می­ شود برای  تنها یک ایزوبار پایدار یعنی  ، که بسیار نزدیک یافته ما،  ، است، وجود دارد. اما در مورد  که دو سهمی وجود دارد دو ایزوبار پایدار وجود دارد  و  ، بر اساس سهمی جرم بدست آمده احتمال  بیشترین است. در مدل قطره مایع برای  مقدار  و برای  مقدار  [۳۲] پیش ­بینی می­ شود [۴۲].

شکل (۳-۱۸): سهمی­های جرم. (a) سهمی­های جرم هسته­های با عدد جرمی زوج  و (b) سهمی جرم هسته­های با عدد جرمی فرد

رابطه (۳-۳۵) نه تنها باعث شد تا بتوانیم نمودار سهمی­های جرم را استخراج کنیم بلکه باعث شده است تا مقادیر انرژی بستگی به دست آمده برای هسته­های پایدار با مقادیر اندازه ­گیری شده هم­خوانی بهتری داشته باشد. در روابط زیر این مقایسه به صورت کمی بیان شده است.

(۳-۳۸)

در این رابطه  انرژی بستگی اندازه ­گیری شده هسته­ها،  انرژی بستگی حاصل از مدل قطره مایع LDM،  انرژی بستگی منتج شده از مدل شبه کوارکی (^[۳۲]QLM)و  انرژی بستگی حاصل از مدل شبه کوارکی بهبود یافته یا MQLM^[33] است.

شکل (۳-۱۹): انرژی بستگی هسته­ها بر اساس داده ­های مدل شبه کوارکی هسته­ها

۴- محاسبه گشتاور دو قطبی دوترون بر اساس ساختار کوارکی آن و مقایسه با مقدار آزمایشگاهی آن

۴-۱- مقدمه

در حضور مواد مغناطیسی، دو قطبی مغناطیسی تمایل به تراز نمودن خود در یک جهت خاص دارد. این جهت طبق تعریف، جهت چگالی شار مغناطیسی است که معمولاً با B نشان داده می­ شود، مشروط بر اینکه دو قطبی مغناطیسی بقدری کوچک و ضعیف باشد که میدان موجود را آشفته نکند. اندازه چگالی شار مغناطیسی فوق را می­توان با گشتاور مکانیکی N، که روی دو قطبی مغناطیسی وارد می­ شود تعریف کرد.

(۴-۱)

در اینجا  گشتاور دوقطبی مغناطیسی است. ساده­ترین مثالی که برای یک دوقطبی مغناطیسی می­توان بیان کرد، یک سیم دایروی تخت حامل جریان الکتریکی می­باشد. گشتاور مغناطیسی حاصل از این حلقه سیم را نیز گشتاور دوقطبی مغناطیسی می­نامند. در حالت کلی گشتاور مغناطیسی در الکترودینامیک با رابطه زیر بیان می­گردد [۴۳].

(۴-۲)

این رابطه برای یک حلقه جریان به شکل زیر در می ­آید.

(۴-۳)

در این روابط m، گشتاور مغناطیسی، r بردار مکان و I جریان موجود در مدار است. اگر این رابطه برای یک حلقه دایروی تخت جریان به کار گرفته شود، مقدار حاصل که همان گشتاور دوقطبی مغناطیسی است برابر است با  . اگر جریان I در اثر گردش بار e که با سرعت v در دایره­ای به شعاع r (و با دوره تناوب  ) در حرکت است به وجود آید، رابطه زیر به دست می ­آید.

(۴-۴)

که در آن  تکانه زاویه­ای کلاسیک بار متحرک یا mvr است. در مکانیک کوانتومی، گشتاور مغناطیسی قابل مشاهده به طور عملیاتی در راستای بزرگترین مؤلفه l تعریف می­ شود. چنانچه به جای l مقدار انتظاری آن را نسبت به محوری که تصویر بردار تکانه روی آن بزرگ­ترین مقدار یعنی  است  قرار دهیم، معادله (۴-۴) را می­توان مستقیماً وارد محاسبات کوانتومی کرد. در این صورت:

(۴-۵)

که در آن l اکنون عدد کوانتومی تکانه زاویه­ای است. کمیت  را یک مگنتون می­نامند. در حرکت­های اتمی، به­جای m جرم الکترون را قرار می­ دهند و مگنتون بور را به صورت  به دست می­آورند. اگر به جای m جرم پروتون قرار گیرد، مگنتون هسته­ای به صورت  به دست می ­آید. توجه داشته باشیم که به خاطر اختلاف جرم پروتون و الکترون  ، یعنی در بسیاری از شرایط، مغناطیس اتمی خیلی قوی­تر از مغناطیس هسته­ای است. برهم­کنش­های مغناطیسی عادی در ماده (مثل خاصیت فرومغناطیسی) از طریق مغناطیس اتمی ماده تعیین می­ شود. اثرات مغناطیس هسته­ای مواد را فقط در شرایط خیلی خاص می­توان مشاهده کرد. معادله (۴-۵) را به شکل مفیدتر زیر می­توان نوشت.

(۴-۶)

که در آن  را ضریب g می­گویند که به تکانه زاویه­ای مداری l وابسته است. برای پروتون­ها  است. چون نوترون­ها بار الکتریکی ندارند، در صورتی می­توان از این معادله برای توصیف حرکت مداری نوترون­ها استفاده کرد که در مورد آنها  باشد.

تا کنون فقط حرکت مداری نوکلئون­ها را در نظر گرفته­ایم. پروتون­ها و نوترون­ها هم مانند الکترون­ها، علاوه برگشتاور مداری، دارای گشتاور مغناطیسی ذاتی یا اسپینی هستند که هیچ­گونه مشابه کلاسیکی ندارند. در اینجا این گشتاور به همان صورت معادله (۴-۶) در نظر گرفته می­ شود.

(۴-۷)

که در آن برای هر سه ذره­ی پروتون، نوترون و الکترون  است. کمیت  را ضریب اسپینی g گویند که از حل معادله نسبیتی مکانیک کوانتومی حاصل می­ شود. برای ذره­ای مانند الکترون که ذره­ای نقطه­ای با اسپین  است، بنابر معادله دیراک  است، که با مقدار حاصل از اندازه ­گیری  سازگاری خیلی خوبی دارد. اختلاف بین  و عدد ۲ خیلی کم و با در نظر گرفتن مراتب بالاتر تصحیحات الکترودینامیک کوانتومی به دقت قابل محاسبه است. اما تفاوت بین مقادیر تجربی  برای نوکلئون­های آزاد، و مقدار انتظاری ذرات نقطه­ای خیلی چشم­گیر است [۴۴].

(۴-۸)

در اینجا نه تنها اختلاف بین گشتاور مغناطیسی تجربی پروتون و مقدار انتظاری ۲ برای یک ذره­ی نقطه­ای بسیار زیاد است، بلکه برای نوترون بدون بار هم گشتاور مغناطیسی غیر صفر به دست آمده است. شاید این اختلافات اولین قرائنی باشند که نشان می­دهد نوکلئون­ها ذراتی نقطه­ای مانند الکترون نیستند، بلکه دارای ساختار درونی هستند. در ساختار داخلی نوکلئون­ها باید ذرات باردار در حال حرکت دخالت داشته باشند، و حرکت این ذرات باردار باید به تولید جریان­هایی منجر شود که با گشتاور مغناطیسی مشاهده شده سازگار باشد. یکی از نکات جالب توجه این است که  پروتون در حدود ۶_/۳ از مقدار انتظاری­اش بزرگ­تر است، در حالی که  نوترون در همین حدود از مقدار انتظاری آن (صفر) کوچک­تر است. امروزه نوکلئون­ها را متشکل از سه کوارک در نظر می­گیرند، و گشتاور مغناطیسی هر نوکلئون را مستقیماً از جمع گشتاورهای مغناطیسی کوارک­ها به دست می­آورند [۴۵].

نیروی تزویج در هسته­ها، جفت­شدگی میان نوکلئون­ها را چنان تنظیم می­ کند که برایند تکانه­های زاویه­ای مداری و اسپینی هر زوج برابر صفر می­ شود. بدین ترتیب، نوکلئون­های تزویج شده هیچ­گونه سهمی در گشتاور مغناطیسی ندارند، و در تعیین آن فقط کافی است که نوکلئون­های ظرفیت را در نظر بگیریم. اگر چنین نبود، بر اساس ملاحظات آماری در بعضی از هسته­های سنگین احتمالاً با گشتاورهای مغناطیسی خیلی بزرگ که شاید به ده­ها مگنتون هسته­ای بالغ می­شد، روبرو می­شدیم. اما تا کنون هیچ هسته­ای با گشتاور مغناطیسی دوقطبی بزرگ­تر از حدود  مشاهده نشده است [۲۶].

۴-۲- گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون در مدل پوسته­ای

دوترون از گردهمایی یک پروتون و یک نوترون تشکیل می­ شود. این هسته ساده­ترین حالت مقید نوکلئون­هاست. انرژی بستگی دوترون نسبت به دیگر هسته­های پایدار کم است. این انرژی بستگی در حدود  است، در اندازه ­گیری آن از روش دوتایه جرمی استفاده شده است. تکانه زاویه­ای کل دوترون، I، برابر با یک است. این تکانه زاویه­ای دارای سه مؤلفه است که عبارتند از: اسپین هریک از ذرات پروتون و نوترون،  و  (که هر کدام برابر با  است)، و تکانه زاویه­ای مداری، l، نوکلئون­ها در حرکت حول مرکز جرم مشترک

(۴-۹)

یکی دیگر از خواص قابل تعیین دوترون، پاریته آن (به صورت زوج یا فرد) است که رفتار تابع موج را هنگام  نشان می­دهد. از بررسی واکنش­هایی که دوترون در آنها شرکت دارد و بررسی خواص فوتون گسیل شده در طی تشکیل دوترون، پاریته دوترون زوج به دست آمده است. پاریته منتسب به حرکت مداری به صورت  قابل تعیین است. با در نظر گرفتن اسپین و پاریته دوترون، تکانه زاویه­ای مداری دوترون می ­تواند صفر یا دو باشد. اگر فرض کنیم  باشد، حرکت مداری هیچ گونه سهمی در گشتاور دوقطبی مغناطیسی ندارد. بنابراین می­توان گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون را حاصل ترکیب گشتاورهای دوقطبی مغناطیسی نوترون و پروتون تلقی کرد.

(۴-۱۰)

در اینجا گشتاور دوقطبی محاسبه شده، در شرایطی که اسپین­ها بزرگ­ترین مقدارشان  را دارند محاسبه شده است. و  و  در رابطه (۴-۸) داده شده ­اند. مقداری که از طریق آزمایش به دست آمده برابر  [۲۶] است. با مقایسه سازگاری خوبی بین مقدار محاسبه شده و مقدار تجربی مشاهده می­ شود. در مدل پوسته­ای اختلافی که مشاهده می­ شود را ناشی از اختلاط تابع موج و وجود سهم کوچکی از حالت d  در تابع موج دوترون می­دانند.

(۴-۱۱)

گشتاور مغناطیسی دوترون به کمک این تابع موج، چنین به دست می­ید.

(۴-۱۲)

که در آن  همان مقداری است که در معادله (۴-۱۰) محاسبه شده است. برای محاسبه  با در نظر گرفتن اینکه دوترون از یک پروتون و یک نوترون تشکیل شده است، بنابراین هرکدام نصف تکانه زاویه­ای مداری دوترون را حمل می­ کنند؛ بنابراین عملگر گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون را می­توان به شکل زیر نوشت.

(۴-۱۳)

با به دست آوردن مقداری انتظاری این عملگر در راستای بزرگ­ترین مؤلفه تکانه زاویه­ای، یعنی  ، مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی به دست می ­آید. در مورد نوترون چون بدون بار الکتریکی است،  است.

(۴-۱۴)

با جایگذاری  از رابطه (۴-۱۳) به رابطه زیر می­رسیم.

(۴-۱۵)

حال با بهره گرفتن از روابط آشنای زیر، مقدار رابطه بالا بدست می ­آید.

(۴-۱۶)

(۴-۱۷)

(۴-۱۸)

با جایگذاری روابط (۴-۱۷) و (۴-۱۸) در رابطه (۴-۱۵) نتیجه زیر به دست می ­آید.

(۴-۱۹)

همان طور که قبلاً گفته شد تکانه زاویه­ای دوترون برابر با یک است، در اینجا یعنی  . اکنون اگر بخواهیم گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون با تکانه زاویه­ای مداری برابر با ۲ را حساب کنیم، با قرار دادن  ،  ،  و  در رابطه بالا به نتیجه زیر می­رسیم.

(۴-۲۰)

با جایگذاری  و  از رابطه (۴-۸) مقدار عددی گشتاور دو قطبی مغناطیسی برای حالت  به دست می ­آید. این مقدار برابر است با:  . با داشتن  حال می­توان مقادیر عددی  و  را به دست آورد.  و  . نتیجه­ای که گرفته می­ شود واضح است. تابع موج دوترون در حالت پایه از ۹۶ درصد  و ۴ درصد  تشکیل شده است [۲۶].

۴-۳- محاسبه گشتاور دوقطبی مغناطیسی دیگر هسته­ها در مدل پوسته­ای

به منظور به دست آوردن گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های با A فرد (عدد اتمی)، با در نظر گرفتن اینکه نوکلئون­های تزویج شده در ایجاد گشتاور دو قطبی مغناطیسی تأثیری ندارند و بنابراین تنها نوکلئون فرد باعث ایجاد گشتاور دو قطبی مغناطیسی می­ شود، به محاسبه آن می­پردازیم. برای این کار از رابطه (۴-۱۴) استفاده می­کنیم. عملگر گشتاور دو قطبی مغناطیسی را با رابطه زیر جایگزین می­کنیم.

(۴-۲۱)

در اینجا  ضریب اسپینی g نوکلئون و  ضریب g مداری نوکلئون فرد است. با جایگذاری این رابطه در رابطه (۴-۱۴) به رابطه زیر می­رسیم.

(۴-۲۲)

حال با بهره گرفتن از روابط (۴-۱۶) و (۴-۱۷) و در نظر گرفتن اینکه در مدل پوسته ای روابط زیر بین تکانه زاویه­ای کل و تکانه زاویه­ای مداری وجود دارد رابطه بالا را محاسبه می­کنیم.

(۴-۲۳)

(۴-۲۴)

در مدل پوسته­ای پتانسیل اسپین مدار به منظور باز تولید اعداد جادویی هسته­ای معرفی شد، که موفقیت بسیار خوبی در توضیح اعداد جادویی هسته­ای، پاریته و اسپین حالت پایه هسته­های پایدار موجود در طبیعت دارد. این پتانسیل اسپین مدار باعث تولید دو دسته گشتاور دو قطبی مغناطیسی، که بستگی به رابطه بین تکانه زاویه­ای مداری و تکانه زاویه­ای کل دارد، شد. گشتاور دوقطبی مغناطیسی هسته­ها که از طریق آزمایش به دست آمده نیز چنین الگویی را نشان می­دهد، اما مقادیر به دست آمده با مقادیر محاسبه شده متفاوت است. به منظور نزدیک شدن مقادیر محاسبه شده با مقادی آزمایشگاهی آن، بیان شده است که ضریب اسپینی g نوکلئون­های آزاد و ضریب اسپینی g نوکلئون­های مقید با هم برابر نیستند و رابطه تقریبی زیر بین آنها برقرار است [۴۶].

 

علت این رابطه در مدل پوسته­ای به ابر مزونی اطراف نوکلئون­ها در درون هسته نسبت داده می­ شود، چرا که در درون هسته نوکلئون­ها در فاصله نزدیک هم هستند، و به همین دلیل برهم­کنش شدیدتری با هم دارند. که این خود می ­تواند منجر به متلاشی شدن لحظه­ای نوکلئون شود. نتایج حاصل در شکل­های (۴-۱) و (۴-۲) آورده شده است.

شکل (۴-۱): مقادیر تجربی گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های پروتون فرد و پیش بینی مدل پوسته­ای.

شکل (۴-۲): مقادیر تجربی گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های نوترون فرد و پیش بینی مدل پوسته­ای.

۴-۴- محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون با بهره گرفتن از مدل شبه کوارکی

۴-۴-۱- مقدمه

بر طبق نظریه­ های موجود باریون­ها از سه کوارک تشکیل شده ­اند. کوارک­ها در شش طعم مختلف و سه رنگ آبی سبز و قرمز از ذرات بنیادی تشکیل دهنده جهان می­باشند.

هسته دوترون از یک پروتون و یک نوترون تشکیل شده است. برای محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون در مدل پوسته­ای با در نظر گرفتن اینکه هسته در حالت پایه دارای تکانه زاویه­ای مداری  است، گشتاور دو قطبی مغناطیسی را برابر با  به دست آورده­اند (معادله (۴-۱۰)). همان طور که در قسمت­ های قبلی گفته شد، به منظور بهبود نتیجه به دست آمده با مقدار آزمایشگاهی، در مدل پوسته­ای فرض شده است که حالت پایه دوترون ترکیبی از تکانه زاویه­ای مداری یک و دو می­باشد. در هسته­های سنگین­تر نیز، در این مدل مقدار ضریب g پروتون و نوترون مقید با ضریب g پروتون و نوترون آزاد، به منظور مطابقت با مقادیر آزمایشگاهی، متفاوت در نظر گرفته می­ شود. در اینجا دوترون را تشکیل شده از دو نوکلئون در نظر می­گیریم، یک پروتون و یک نوترون، ولی به خاطر نزدیکی این دو نوکلئون به هم، کواک­های سازنده آنها مرتباً با هم برهم­کنش دارند که این برهم­کنش باعث متلاشی شدن نوکلئون­ها می­گردد و سپس مجدداً به علت وجود نیروی قوی بین کوارک­ها، نوکلئون­ها تشکیل می­گردند. بنابراین دوترون را تشکیل شده از ۶ کوارک در نظر می­گیریم، که خود تشکیل دو نوکلئون می­ دهند. دوترون را تشکیل شده از ۳ کوارک u با رنگ­های مختلف و سه کوارک d با رنگ­های مختلف در نظر می گیریم. اگر سه کوارک u به سه رنگ مختلف قرمز، آبی و سبز باشد و سه کوارک d نیز سه رنگ مختلف داشته باشد، هر شش کوارک با در نظر گرفتن اصل طرد پائولی در یک تراز (تراز پایه) جای می گیرند. دوترون در حالت پایه دارای تکانه زاویه­ای مداری  می­باشد. در قسمت ۴-۴-۲ تابع موج دوترون را محاسبه می کنیم و در قسمت ۴-۴-۳ با بهره گرفتن از این تابع موج مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون را محاسبه می­کنیم.

۴-۴-۲- محاسبه تابع موج دوترون

تابع موج دوترون را بر اساس ساختار کوارکی آن می توان به شکل رابطه (۴-۲۵) نوشت، که شامل چهار قسمت جداگانه، تابع فضایی، تابع اسپینی، تابع طعم و تابع رنگ می باشد.

(۴-۲۵)

چون نوکلئون­ها و کوارک­ها همگی فرمیون هستند بنابراین از آمار فرمی- دیراک پیروی می­ کنند و تابع موج کل دوترون نتیجتاً بایستی پاد متقارن باشد (در اثر جایگشت هر دو نوکلئون و در داخل هر نوکلئون در اثر جایگشت هر دو تا کوارک). ما نمی­دانیم که شکل تابعی قسمت فضایی حالت پایه چگونه است اما مطمئناً متقارن می­باشد، به دلیل اینکه برای همه کوارک­ها،  . سه رنگ مولد تقارن رنگی SU(3) است، با کنار هم قرار دادن ۳ رنگ یک رنگ دهگانه دو رنگ هشت­گانه و یک رنگ یگانه به دست می آوریم.

(۴-۲۶)

به طور طبیعی تمام ذرات بی­رنگ هستند. در حقیقت این یک حالت ساده از قانون کلی­تر می­باشد. هر ذره که به گونه طبیعی به وجود آمده یک یگانه رنگ می­باشد. در SU(3) حالت یگانه کاملاً پاد متقارن می­باشد. بنابراین هر یک از دو نوکلئون دوترون دارای تابع رنگ یگانه و پاد متقارن است. حاصلضرب  از تابع موج دوترون را بهتر است بر حسب توابع موج پروتون و نوترون بنویسیم.

(۴-۲۷)

در این رابطه  و  به ترتیب تابع موج نوترون و پروتون است. چون نوکلئون­ها فرمیون هستند تابع موج کلی پاد متقارن می­باشد. نوکلئون­ها از ۳ کوارک تشکیل شده ­اند. برای به دست آوردن قسمت اسپینی با توجه به اینکه تشکیل گروه SU(2) می­ دهند داریم [۴۷]

(۴-۲۸)

(۴-۲۹)

(۴-۳۰)

(۴-۳۱)

ترکیب­های اسپین متقارن هستند ولی ترکیب­های اسپین به طور جزئی پاد متقارن هستند. جابجایی دو ذره منجر به تغییر علامت خواهد شد. مطابق زیرنویس در ردیف اول جابجایی دو ذره­ی ۲ و ۱ و در ردیف دوم جابجایی دو ذره ی ۳ و ۲ منجر به تغییر علامت رابطه می­ شود. همچنین می­توانیم یک جفت حالت نامتقارن را در ذره­ی ۱ و ۳ ایجاد کنیم.

(۴-۳۲)

اما (۴-۳۲) از دو تای دیگر مستقل نیست و مطابق رابطه زیر به آن­ها مربوط می­ شود.

(۴-۳۳)

قسمت  نوکلئون­ها چون از دو کوارک u و d تشکیل شده ­اند همانند قسمت اسپینی تشکیل گروه SU(2) می­ دهند و می­توان با جایگزینی اسپین با u و اسپین با d قسمت  را به دست آورد. چون همانطور که گفته شد تابع رنگ برای پروتون­ها پاد متقارن، تابع فضایی نیز به خاطر  متقارن است حاصلضرب  برای پروتون و نوترون باید متقارن باشد. اسپین نوکلئون­ها  است، بنابراین از تقارن­های آمیخته انتخاب می­ شود. بنابراین  نیز از تقارن­­های آمیخته انتخاب می شود. قسمت اسپین و طعم تابع موج نوکلئون به صورت زیر نوشته می­ شود.

(۴-۳۴)

(۴-۳۵)

که ۹ جمله متمایز می­باشد. تابع موج نوترون با تعویض در تابع موج پروتون به دست می ­آید. تابع موج دوترون به شکل زیر است.

(۴-۳۶)

با در نظر گرفتن مولفه­های اسپین تابع موج دوترون به شکل زیر خواهد بود.

(۴-۳۷)

در این رابطه حاصل­ضرب  با بهره گرفتن از رابطه (۴-۳۵) به صورت زیر در خواهد آمد.

(۴-۳۸)

که جمعاً  جمله خواهد بود که به صورت زیر خلاصه شده است.

(۴-۳۹)

جمله  نیز شامل ۸۱ جمله خواهد بود که با تعویض از حالت قبل به دست می آید.

۴-۴-۲- محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون

در غیاب حرکت اربیتال مقدار حرکت گشتاور مغناطیسی دوترون به طور ساده مجموع برداری شش کوارک تشکیل دهنده آن می­باشد.

(۴-۴۰)

این عبارت به ویژگی­های طعم کوارک ( زیرا کوارک­های u و d گشتاور مغناطیسی متفاوتی دارند) و به ترکیب اسپین (چون جهت نسبی شش دو قطبی را تعیین می­ کند) بستگی دارد.

گشتاور دو قطبی ذره­ای با اسپین ، بار q و جرم m عبارت است از:

(۴-۴۱)

در مکانیک کوانتومی، گشتاور مغناطیسی قابل مشاهده، به طور عملیاتی در راستای بزرگ­ترین مولفه تکانه زاویه­ای تعریف می­ شود [۲۶].

اندازه رابطه (۴-۴۱) برابر است با ، دقیق­تر بگوییم این اندازه  در حالت اسپین بالاست که برای آن . برای کوارک داریم

(۴-۴۲)

بنابراین گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون با رابطه زیر داده می­ شود؛

(۴-۴۳)

تابع موج دوترون در معادله (۴-۳۹) آمده است. جمله اول برابر  و حالا:

(۴-۴۴)

بنابراین مقدار انتظاری گشتاور مغناطیسی ناشی از جمله اول برابر است با:

(۴-۴۵)

برای تک­تک جملات به همین صورت محاسبه می­کنیم، که نتیجه به صورت زیر است.

(۴-۴۶)

همچنین برای جمله دیگر همین مقدار به دست خواهد آمد.

(۴-۴۷)

بنابراین گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون با رابطه زیر داده می شود.

(۴-۴۸)

(۴-۴۹)

(۴-۵۰)

 مگنتون هسته­ای است،  جرم پروتون و  جرم­های کوارک­های u و d است [۴۵].

اگر عدد به دست آمده را با مقدار مشاهده شده تجربی یعنی  مقایسه کنیم سازگاری خوبی یافت می شود. در مدل پوسته­ای با در نظر گرفتن اینکه دوترون در حالت پایه  است، مقداری که برای گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون به دست آمده است برابر با  است. با مقایسه معلوم می­ شود که مقداری که در اینجا به دست آورده­ایم به مقدار تجربی آن نزدیک­تر است. در مدل پوسته­ای برای اینکه سازگاری با مقدار طبیعی بیشتر شود فرض می شود که اتم تنها در حالت  نباشد بلکه تابع موج با حالت  مختلط شده است [۴۸]. مقدار عددیی که برای جرم کوارک در نظر گرفته شده، در واقع جرم موثر متوسط کوارک­های بالا و پایین در درون باریون­هاست، این امر ما را به سوی این موضوع رهنمون ساخت که کوارک­های سازنده دوترون می­توانند علاوه بر نوکلئون­ها دیگر باریون­ها را نیز تشکیل دهند. با در نظر گرفتن خصوصیات معلوم دوترون، باریون­هایی که احتمال تشکیل آنها در دوترون وجود دارد را مشخص می­کنیم و بر این اساس گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون را محاسبه می­کنیم.

 

محاسبه گشتاور دو قطبی دوترون با در نظر گرفتن امکان تشکیل باریون­های ، ، ، ، p و n

دوترون که از سه کوارک up و سه کوارک down تشکیل شده است فرض می­ شود که این شش کوارک کاملاً در درون دو نوکلئون مقید نیستند بلکه فرض می­ شود که این دو باریون به کوارک­های سازنده­یشان شکسته می­شوند و سپس دو باریون دیگر تشکیل می­ شود این دو باریون لزوماً دو نوکلئون یا دو باریون قبلی نیستند. تعداد زوج باریون­هایی که که می­توان از این شش کوارک تولید کرد شامل زوج­های ذیل می­باشد.

(۴-۵۱)

دوترون دارای بار الکتریکی واحد است و این شرط در نوشتن زوج باریون­های تشکیل شده دخالت داده شده است. اگر چه جرم باریون­های دلتا بیشتر از جرم نوکلئون­هاست و انرژی بستگی دوترون تنها کمی بیشتر از  است و نمی­تواند جواب­گوی این اضافه جرم باریون­های دلتا به نسبت نوکلئون­ها باشد، اما با در نظر گرفتن اصل عدم قطعیت هایزنبرگ^[۳۴] بین تغییرات انرژی و تغییرات زمان چنین امکانی عملی خواهد شد. باریون­های دلتا از طریق نیروی قوی واپاشی می­ کنند و نیمه عمر آنها برابر با  است و بنابراین تغییر انرژی آنها، با در نظر گرفتن رابطه  ، می ­تواند چند صد مگا الکترون ولت باشد. حال تابع موج دوترون طوری باید نوشته شود که تمام حالت­های ممکن تشکیل دو باریون در آن لحاظ شود. بنابراین تابع موج دوترون به شکل زیر است.

(۴-۵۲) 

در اینجا مربع ضریب هر جمله بیانگر احتمال تشکیل دوترونی است که از زوج باریون مورد نظر ساخته شده است به عنوان نمونه  احتمال تشکیل دوترون ساخته شده از باریون­های  و  است و . . . . این ضرایب در ادامه محاسبه شده ­اند. مشابه معادله (۴-۲۷) تابع موج هر زوج باریون رابه شکل زیر می­نویسیم

(۴-۵۳) 

در اینجا  و  تابع موج هر کدام از باریون­های تشکیل شده در درون دوترون می ­تواند باشد. بنابراین تابع موج دوترون به صورت زیر گسترده می­ شود.

(۴-۵۴) 

این تابع موج طوری نوشته شده است که نسبت به جابجایی هر دو باریون پاد متقارن می­باشد. تابع موج دوترون همچنین از چهار قسمت اسپین، طعم، فضا و رنگ ساخته شده است؛ مانند معادله (۴-۲۵). بنابراین هر جمله از معادله (۴-۵۲) باید به صورت معادله (۴-۲۵) نوشته شود. در اینجا بحث­هایی که در قسمت قبل راجع به قسمت فضایی و قسمت رنگ تابع موج گفته شد نیز صادق است. با فرض اینکه دوترون در حالت پایه است، یعنی  بنابراین قسمت فضایی تابع موج متقارن است. قسمت رنگ تابع موج به خاطر یگانه بودن رنگ برای هر باریون پاد متقارن خواهد بود. بنابراین حاصلضرب قسمت اسپین و قسمت طعم تابع موج هر باریون باید متقارن باشد. بنابراین انتخاب تابع موج اسپینی و طعم باید این امر را برآورده سازد. در مورد نوکلئون­ها این قسمت از تابع موج در قسمت­ های قبلی این فصل محاسبه شده است. به خاطر اینکه نوکلئون­ها دارای اسپین  هستند از ترکیب­های آمیخته اسپینی و طعمی استفاده شد، تا یک تابع متقارن به دست بیاید. در مورد باریون­های دلتا، ، شرایط متفاوت است. این باریون­ها دارای اسپین  هستند و در ساخت تابع موج اسپینی آنها از رابطه (۴-۲۹) استفاده خواهد شد. همانطور که از این رابطه مشاهده می­ شود نسبت به جابجایی هر دو ذره­ای متقارن می­باشد. بنابراین قسمت طعم تابع موج برای باریون­های دلتا نیز باید متقارن در نظر گرفته شود؛ تا حاصلضرب این دو قسمت از تابع موج متقارن باشد. در نظر داشته باشیم که قسمت رنگ تابع موج پاد متقارن است. حال حاصلضرب  برای باریون  به شکل زیر است.

(۴-۵۵) 

در اینجا تابع طعمی که برای باریون  استفاده شده به صورت  است. سادگی آن به خاطر یکسان بودن سه کوارک تشکیل دهنده آن می­باشد. برای سه باریون دیگر به همین طریق حاصلضرب  را حساب می­کنیم  آنها در زیر آورده شده است. برای قسمت  آنها از رابطه (۲۹-۴) استفاده می­ شود.

(۴-۵۶) 

حال معادله (۴-۵۴) را برحسب اسپین و طعم کوارک­های تشکیل دهنده آن گسترش می­دهیم. برای این منظور باید در نظر داشته باشیم که اسپین دوترون برابر با یک است. این شرط محدودیتی بر روی ساخت تابع موج اعمال خواهد کرد. دو باریون دلتا که هر کدام دارای اسپین  هستند وقتی که با هم یک سیستم تشکیل می­ دهند می­توانند دارای اسپین ۰، ۱، ۲ و ۳ باشند. تنها حالتی را در نظر می­گیریم که اسپین برایند برابر با یک شود. همانطور که قبلاً در این فصل بیان شد، در مکانیک کوانتومی، گشتاور مغناطیسی قابل مشاهده را به طور عملیاتی در راستای بزرگ­ترین مؤلفه تکانه زاویه­ای تعریف می­ کنند. چون هدف به دست آوردن گشتاور دو قطبی مغناطیسی است، بنابراین تنها مؤلفه­ای از تابع موج دوترون را محاسبه می­کنیم، که مؤلفه اسپین آن یک باشد. بنابراین با در نظر گرفتن تابع موج دوترون که مؤلفه z آن برابر با یک باشد، جملات معادله (۴-۵۲) به صورت زیر در می ­آید.

(۴-۵۷) 

(۴-۵۸) 

(۴-۵۹) 

(۴-۶۰) 

(۴-۶۱) 

در این روابط ضرایب قبل از هر جمله ضرایب کلبش- گوردون^[۳۵] هستند، که از اعمال عملگر نردبانی  بر روی ماکسیمم اسپینی به دست می­آیند. مقدار ویژه­ی این عملگر از رابطه زیر به دست می ­آید و یک واحد از مؤلفه z تکانه زاویه­ای کم می­ کند.

(۴-۶۲) 

به عنوان نمونه برای به دست آوردن رابطه (۴-۵۷) مراحل زیر طی شده است. (به منظور خلاصه نویسی جملات تقارنی نوشته نشده­اند)

 

 

 

 

 

 

حال می­توانیم جمله اول تابع موج در معادله (۴-۵۲) را به صورت زیر بنویسیم.

(۴-۶۳)

بقیه جملات را به همین طریق به دست خواهیم آورد که در پیوست آورده شده است. جمله مربوط به زوج نوکلئون­ها در قسمت قبلی به دست آمده است.

حال ضرایب موجود در رابطه (۴-۵۲) را به دست می­آوریم. با در نظر گرفتن اینکه اسپین دوترون برابر با یک است و بنابراین مؤلفه z اسپین دوترون می ­تواند اعداد ۱، ۰، ۱- باشد. تعداد حالت­هایی که از زوج باریون­های داده شده در معادله (۴-۵۲) منجر به تشکیل دوترون می­ شود را می­شماریم.

 

به همین طریق محاسبات را برای زوج­های دیگر باریون­ها انجام می­دهیم و تعداد حالت­های تشکیل دوترون را می­شماریم. سپس حالت­هایی که اسپین برایند مخالف با یک باشد را از مجموع کم می­کنیم. (در شمارش بالا فقط مولفه اسپین در نظر گرفته شد، که مجاز به انتخاب اعداد ۱، ۰، ۱- بود، با این حال ممکن است اسپین کل مخالف یک باشد. به عنوان مثال اگر اسپین کل ۲ باشد مولفه­های آن اعداد ۱، ۰، ۱- هم می ­تواند باشد. باید سهم این اسپین­ها در شمارش کم شود.) نتایج حاصل در جدول (۴-۱) نشان داده شده ­اند.

جدول (۴-۱): تعداد راه­های ممکن تشکیل دوترون توسط هر زوج باریون

Baryon pair
Number of states	۱۵	۴۵	۲۷۰	۲۷۰	۴۳۲

با توجه به جدول شماره (۴-۱) ضرایب موجود در رابطه (۴-۵۲) را به دست می­آوریم. این نتایج در رابطه زیر آورده شده ­اند.

(۴-۶۴)

با قرار دادن این نتایج در رابطه (۴-۵۴) تابع موج دوترون به شکل زیر در می ­آید.

(۴-۶۵)

اکنون با بهره گرفتن از رابطه (۴-۶۳) تابع موج دوترون بر حسب کوارک­های سازنده آن و اسپین وابسته به آنها به دست خواهد آمد. با بهره گرفتن از این تابع موج گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون به دست خواهد آمد. در غیاب حرکت اربیتال مقدار حرکت گشتاور مغناطیسی دوترون به طور ساده مجموع برداری شش کوارک تشکیل دهنده آن می­باشد، معادله (۴-۴۳). گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون از رابطه (۴-۴۷) به دست خواهد آمد. با داشتن تابع موج دوترون و جایگذاری در این رابطه مقدار انتظاری عملگر دوقطبی مغناطیسی به دست خواهد آمد. با جایگذاری جمله اول تابع موج،  ، در معادله (۴-۴۷) نتیجه زیر به دست می ­آید.

(۴-۶۶)

محاسبات مشابه برای دیگر جمله­های تابع موج نیز به همین صورت انجام می­ شود؛ و سرانجام گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون به صورت زیر به دست می ­آید.

(۴-۶۷)

در این رابطه، کمیت­های زیر مورد استفاده قرار گرفته­اند.

(۴-۶۸)

(۴-۶۹)

(۴-۷۰)

(۴-۷۱)

در معادلات (۴-۶۷) تا (۴-۷۱)  ، مگنتون هسته­ای است،  ،  و  [۴۹ و ۵۰]. با مقایسه مقدار به دست آمده، یعنی  ، با مقدار آزمایشگاهی آن،  ، سازگاری خوبی مشاهده می­ شود. در اینجا مناسب است که نتایج حاصل از روش­های مختلف برای اندازه ­گیری یا محاسبه گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون را به منظور مقایسه بیان کنیم.

جدول ۴-۲:مقایسه گشتاور مغناطیسی دوترون در روش­های مختلف

روش مورد استفاده	مقدار به دست آمده
اندازه ­گیری تجربی
استفاده از مدل پوسته­ای با حالت پایه l=0
در نظر گرفتن محتوای کوارکی نوکلئون­های سازنده دوترون
در نظر گرفتن محتوای کوارکی باریون­های سازنده دوترون (شامل نوکلئون­ها و باریون­های دلتا)

۵- بررسی پایداری هسته­ها در مدل شبه کوارکی هسته

۱-۵- مقدمه

بیشتر تلاش­ های صورت گرفته در زمینه فیزیک هسته­ای به منظور شناخت بهتر خواص هسته­ها است. یکی از خاصیت­های مهم هسته­ها پایداری آنهاست، چه هسته­هایی پایدار هستند و چه هسته­هایی ناپایدار. عامل پایداری هسته­ها تحت تأثیر چه نیروها و خصوصیاتی است. بعضی هسته­ها نسبت به بعضی دیگر پایدارترند. به عنوان نمونه، هسته­هایی که تعداد پروتون یا نوترون برابر با اعداد جادویی دارند، پایدارترند. در هسته­های سنگین نسبت نوترون­ها به پروتون­ها بیشتر می­ شود، در حالی که در هسته­های سبک، تعداد پروتون­ها و نوترون­ها تقریباً برابر است.

در مدل پوسته­ای، که می­توان آن را موفق­ترین مدل در زمینه فیزیک هسته­ای نامید، سعی شده است که الگویی برای پایداری و خصوصیات هسته­ها طرح­ریزی شود. به منظور به دست آوردن اعداد جادویی پتانسیل اسپین- مدار معرفی شده است، که به خوبی توانسته است این اعداد را تولید کند، و اسپین و پاریته حالت پایه هسته­های پایدار را به خوبی به دست آورد. در این مدل با در نظر گرفتن اصل طرد پائولی انتظار می­رود که در هر تراز دو پروتون و دو نوترون به خاطر اسپین ذرات جای گیرد، و بنابراین انتظار می­رود که در حالت پایه، تعداد پروتون­ها و نوترون­های هسته­های پایدار یکسان باشد. البته در این مدل این اختلاف موجود بین تعداد پروتون­ها و نوترون­ها تا حدی توسط نیروی کولمبی توجیه می­ شود، چرا که پروتون­ها طبق نیروی کولمب همدیگر را دفع می­ کنند. اما در عمل پتانسیل کولمبی نتوانسته است به اندازه کافی ترازها را جابجا کند، طوری که نسبت پروتون­ها به نوترون­ها در هسته­های پایدار را تولید کند. از طرفی شواهدی در دست است که نیروی تزویج بین پروتون­ها اندکی از نیروی تزویج بین نوترون­ها بیشتر است. به عنوان مثال دو هسته  و  هر دو دارای سه نوکلئون هستند، اما با وجود دافعه کولمبی بین پروتون­های هلیوم-۳ نسبت به تریتیم، هلیوم-۳ پایدار و تریتیم ناپایدار است. در واقع هلیوم-۳ تنها عنصر پایداری است که تعداد پروتون­های آن از نوترون­هایش بیشتر است.

در به دست آوردن انرژی بستگی هسته­ها، بیشتر، هسته­های پایدار مدنظر بوده و سعی شده رابطه­ای برای این دسته عناصر به دست آورده شود. در رابطه انرژی بستگی جمله­ای تحت عنوان جمله تقارن یا پاد تقارن وجود دارد، که به تفاوت بین پروتون­ها و نوترون­ها در هسته وابسته است. در مدل گاز فرمی سعی شده است، که به منظور به دست آوردن ضریب این جمله از تفاوت ترازهای انرژی بین پروتون­ها و نوترون­ها استفاده شود.

در واقع چرا، به عنوان نمونه، تعداد پروتون­ها و نوترون­ها در هسته طلا به ترتیب ۱۱۸ و ۷۹ است. چرا این نسبت اعداد دیگری نیست. آیا راهی هست که بتوان این اعداد را توجیه کرد. برای به دست آوردن توجیهی برای پایداری این هسته­های موجود، در اینجا ما تشکیل هسته را از ابتدا مورد بررسی قرار داده­ایم. فرض کرده­ایم که در ابتدا کوارک­های آزاد وجود داشته و این کوارک­ها با همدیگر برهم­کنش داشته اند. در واقع این حالت پس از انفجار بزرگ یا مهبانگ وجود داشته است. هر گاه دما بالاتر از دمای هاگدورن^[۳۶] باشد، کوارک­ها به صورت آزاد خواهند بود. دمای هاگدورن حدوداً معادل  می­باشد. برهم­کنش کوارک­ها بیشتر از طریق نیروی قوی است. این کوارک­ها سعی در تشکیل نوکلئون و به تبع آن تشکیل هسته دارند. با شمارش تعداد حالاتی که منجر به تشکیل نوکلئون­های یک هسته می­ شود، که آن را با NWN^[37] نشان می­دهیم، هسته­ای که تعداد حالات تشکیل آن بیشتر باشد قاعدتاً پایداری آن نیز بیشتر است. البته در شمارش تعداد حالات باید برهم­کنش الکترومغناطیسی بین ذرات باردار را نیز در نظر گرفت. در نهایت ماکزیمم­های به دست آمده، با هسته­های پایدار شناخته شده در طبیعت، که در شکل (۵-۱) نشان داده شده است، مقایسه شده ­اند شکل­های (۵-۲) و (۵-۳).

 

شکل (۵-۱): هسته­های پایدار موجود در طبیعت

۵-۲- پایداری هسته­ها حول محور N=Z

دیدگاه کنونی در مورد هسته این است که هسته از پروتون و نوترون­ها ساخته شده است. از طرفی نوکلئون­ها خود از کوارک­ها ساخته شده ­اند. قبل از اینکه هسته­ها در لحظات اولیه جهان تشکیل شوند کوارک­های آزاد وجود داشته و این کوارک­ها با همدیگر برهم­کنش داشته اند. در اینجا ما شرایط تشکیل هسته­ها را از کوارک­های اولیه در نظر می­گیریم، و شرایط پایداری هسته­ها را بررسی می­کنیم. ساده­ترین هسته موجود در جهان هیدروژن است که البته فراوان­ترین هسته موجود در جهان نیز همین هیدروژن است. از طرف دیگر هیدروژن تنها از یک نوکلئون، که پروتون می­باشد ساخته شده است. اگر چه از دیدگاه اتمی هیدروژن یک عنصر است، ولی از دیدگاه فیزیک هسته­ای، که با هسته اتم سروکار دارد، هسته اتم هیدروژن تنها یک نوکلئون است و قابلیت بررسی هسته­ای ندارد. بنابراین ساده­ترین هسته که می­توان در نظر گرفت، می ­تواند از دو نوکلئون تشکیل شده باشد. خوشبختانه چنین هسته­ی دو نوکلئونی در طبیعت وجود دارد و پایدار هم هست. بنابراین برای شروع کار، هسته­ای را در نظر می­گیریم که از دو نوکلئون تشکیل شده باشد. این هسته دو نوکلئونی در واقع از ۶ کوارک تشکیل شده است. اگر هر دو نوکلئون پروتون باشد، آنگاه این هسته شامل ۴ کوارک بالا، up، و دو کوارک پایین، down، می باشد. حال فرض می­کنیم که اگر ۴ کوارک بالا و ۲ کوارک پایین وجود داشته باشد، این کوارک­ها به چند طریق قادر خواهند بود که یک هسته دو نوکلئونی تشکیل دهند. اگر آنها را به صورت u₁,u₂,u₃,u₄ و d_1,d₂ نام گذاری کنیم، تعداد حالت­هایی که منجر به تولید دو پروتون می­شوند عبارتند از:

(۵-۱)

که جمعاً شش حالت می باشند و هیچ حالت دیگری وجود ندارد. در اینجا هر {} نماینده تشکیل یک هسته و هر پرانتز، ()، نماینده تشکیل یک نوکلئون است. همانطور که دیده می­ شود در درون هر هسته، {}، دو نوکلئون وجود دارد، (عامل رنگ در ادامه بحث می شود).

اکنون با در نظر گرفتن هسته­ای دو نوکلئونی، که شامل یک نوترون و یک پروتون باشد یعنی هسته­ای که از سه کوارک بالا و سه کوارک پایین تشکیل شده باشد، (u₁,u₂,u₃ و d₁,d₂,d₃) مانند حالت قبل تعداد حالت­های تشکیل هسته را می­شماریم. در این حالت، ۹ حالت مختلف وجود دارد که عبارتند از:

(۵-۲)

در اینجا نیز هر () نشان دهنده یک نوکلئون و هر {} نشان دهنده یک هسته است. هسته­ای که از دو نوترون تشکیل شده باشد، شامل ۴ کوارک پایین و ۲ کوارک بالا خواهد بود. تعداد راه­های قابل تشکیل چنین هسته­ای در پایین آورده شده است.

(۵-۳)

اگر عامل رنگ کوارک­ها را در نظر بگیریم هر نوکلئون به تنهایی ۳ حالت مختلف قابل شکل­ گیری است. که در معادله زیر برای یک پروتون نشان داده شده است. نوترون نیز مشابه پروتون است.

(۵-۴)

در اینجا r، b و g به ترتیب بیان کننده رنگ­های قرمز، آبی و سبز است. بنابراین تعداد راه­های تشکیل هر نوکلئون را باید به خاطر عامل رنگ در ۳ ضرب کنیم. این عدد برای یک هسته دونوکلئونی برابر با  است و برای هسته­ای با A نوکلئون برابر است با:  . بنابراین نتایج زیر به دست می آید.

برای تشکیل هسته­ای با دو نوترون  حالت مختلف

برای تشکیل هسته­ای با یک پروتون و یک نوترون  حالت مختلف

برای تشکیل هسته­ای با دو پروتون  حالت مختلف

هم­چنان­که می­بینیم، تعداد فرایندهای تشکیل یک هسته مرکب از یک پروتون و یک نوترون بیشتر از دو حالت دیگر است. در نظر گرفتن عامل رنگ باعث می شود که تعداد فرایندهای وقوع در یک عدد ثابت ضرب شود که می­توان آن را نادیده گرفت، چرا که تنها فراوانی نسبی برای ما مهم است. اکنون تعداد فرایندهای وقوع تشکیل هسته­ای با سه نوکلئون را بررسی می­کنیم.

الف- هسته­ای با ۳ پروتون (هسته­ای با ۶ کوارک بالا و ۳ کوارک پایین)

(۵-۵)

در این رابطه، از رابطه ترکیباتی  استفاده می­ شود. در رابطه (۵-۵) عامل  تعداد حالات تشکیل نوکلئون اول که در اینجا  تعداد حالات انتخاب دو کوارک بالا از بین ۶ کوارک بالای موجود می­باشد و عدد ۳ تعداد حالات انتخاب تک کوارک پایین از بین ۳ کوارک پایین موجود می­باشد،  تعداد حالات تشکیل نوکلئون دوم و …. و عامل  به خاطر تمیز ناپذیری پروتون­ها و مهم نبودن ترتیب تشکیل پروتون­ها آمده است.

b- هسته­ای با دو پروتون و یک نوترون (هسته ای با ۵ کوارک بالا و ۴ کوارک پایین)

(۵-۶)

در اینجا عامل  ، تعداد حالات تشکیل تک نوترون می­باشد.

c- هسته­ای با یک پروتون و دو نوترون (هسته­ای با ۴ کوارک بالا و ۵ کوارک پایین)

(۵-۷)

d- هسته­ای با ۳ نوترون (هسته­ای با ۳ کوارک بالا و ۶ کوارک پایین)

(۵-۸) 

در حالت کلی از رابطه زیر برای شمارش تعداد حالت­ها می­توان استفاده کرد.

(۵-۹) 

در اینجا A تعداد کل نوکلئون­های هسته و Z تعداد پروتون­هاست. به منظور ساده سازی این رابطه جمله­های ترکیباتی را بسط می­دهیم، و از رابطه  استفاده می­کنیم. بنابراین رابطه بالا به صورت زیر دوباره نویسی می­ شود.

(۵-۱۰)

(۵-۱۱)

که با ساده­سازی به رابطه زیر تبدیل می­ شود.

(۵-۱۲)

چون فقط بزرگی نسبی این کمیت برای ما مهم است، رابطه را بر  تقسیم می­کنیم. و بهتر است کمیت زیر را محاسبه کنیم.

(۵-۱۳)

در هسته­های با A یکسان، هسته­ای که تعداد حالت­های ممکن بیشتری برای تشکیل دارد، احتمال وجود آن نیز باید بیشتر است. نتایج عددی برای چندین هسته در جدول (۵-۱) و پیوست ج، نشان داده شده است.

۵-۳- بررسی اثر نیروی الکترومغناطیسی در پایداری هسته­ها

در هسته­های سبک پایدار تقریباً تعداد پروتون­ها و نوترون­ها برابر است، اما هر چه هسته­ها سنگین­تر می­شوند، و عدد جرمی آنها بیشتر می­ شود، تفاوت بین تعداد پروتون­ها و نوترون­ها بیشتر می­ شود تا جایی که تعداد نوترون­ها تقریباً به ۵_/۱ برابر تعداد پروتون­ها می­رسد. این اختلاف بین پروتون­ها و نوترون­ها را به نیروی کولمبی پروتون­ها ربط می­ دهند، که با افزایش عدد اتمی سریعاً افزایش می­یابد. بنابراین و به همین منظور در اینجا تأثیر نیروی الکترومغناطیسی را بر تشکیل هسته­ها مد نظر قرار می­دهیم، و انتظار داریم که بتوانیم انحراف هسته­های پایدار را از خط  توضیح دهیم. تاثیر نیروی الکترومغناطیسی را در دو مرحله زمانی بررسی می کنیم. ۱- در هنگام فرایند تشکیل نوکلئون و هسته، ۲- پس از تشکیل نوکلئون و هسته.

قبل از تشکیل نوکلئون­ها کوارک­ها هستند که با هم برهم­کنش دارند، که در نهایت تبدیل به پروتون و نوترون می­شوند. نوترون ذره­ای خنثی است و نیروی الکترومغناطیسی همواره موافق تشکیل ذره­­ای خنثی از یک سری ذرات باردار است، به عبارتی دیگر ذرات ناهمنام همدیگر را جذب می­ کنند، پس این تأثیر، موافق نیروی جاذبه­ی قوی است و بنابراین باید با تأثیر نیروی قوی جمع شود. ولی در مورد پروتون که ذره­ای با بار مثبت است، نیروی الکترومغناطیسی با تشکیل پروتون مخالف است. بنابراین در این مورد تأثیر نیروی الکترومغناطیسی باید از تأثیر نیروی قوی کسر شود. در جمع این دو نیرو باید در نظر داشته باشیم که اندازه نیروی الکترومغناطیسی به مراتب از نیروی قوی ضعیف­تر است. در واقع نیروی الکترومغناطیسی به نسبت ثابت جفتیدگی،  ، از نیروی قوی ضعیف­تر است. با این اوصاف تشکیل هر نوترون را باید در عامل  و تشکیل هر پروتون را در عامل  ضرب کنیم. حال چون هر نوکلئون با در نظر گرفتن رنگ کوارک­های آن به ۳ حالت می ­تواند وجود داشته باشد (به عنوان مثال برای پروتون u_ru_gd_b , u_gu_bd_r , u_bu_rd_g )، بنابراین تشکیل هر پروتون در عامل  و تشکیل هر نوترون در عامل  ضرب می­ شود و تا این مرحله رابطه (۵-۱۳) به صورت زیر تعمیم می­یابد.

(۵-۱۴)

در اینجا  ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی است و مقدار رابطه جدید را با حرف R نشان داده­ایم. حال نوکلئون­ها شکل گرفته­اند و هسته تشکیل شده است. اما همچنان نیروی الکترومغناطیسی بین پروتون­ها و نیروی هسته­ای بین نوکلئون­ها وجود دارند و بر روی پایداری هسته تاثیر می­گذارند. برای اینکه تأثیر نیروی الکترومغناطیسی و هسته­ای در این مرحله را وارد محاسباتمان بکنیم، خصوصیات زیر را در نظر می­گیریم.

نیروی الکترومغناطیسی (کولنی) بلند برد است.

نیروی هسته­ای (نیروی بین نوکلئون­ها) کوتاه برد است.

قدرت نیروی الکترومغناطیسی  برابر نیروی هسته­ای است. (  ، ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی یا ثابت ساختار ریز)

فرض می کنیم که نوکلئون­ها در درون هسته شبکه­ ای منظم تشکیل داده­اند. این شبکه را همانند اتم­های کربن در الماس در نظر می­گیریم (شکل (۵-۱))، و فرض می­کنیم که هر نوکلئون تنها با نوکلئون­های همسایه­اش برهم­کنش هسته­ای دارد.

هسته­ها دارای چگالی ثابت هستند، طوری که رابطه  بین شعاع هسته و تعداد نوکلئون­های تشکیل دهنده هسته برقرار باشد.

شکل(۵-۲): شبکه چهار وجهی منتظم که نوکلئون­ها تشکیل می­ دهند

حال تعداد برهم­کنش­هایی که هر نوکلئون با دیگر نوکلئون­ها دارد را هم از دیدگاه الکترومغناطیسی و هم از دیدگاه هسته­ای شمرده و تأثیر آن را در محاسبات دخیل می­کنیم. هسته­ای با Z پروتون را در نظر می­گیریم، هر پروتون با (Z-1) پروتون دیگر برهم­کنش الکترومغناطیسی دارد و برای جلوگیری از دو باره شمرده شدن، تعداد برهم­کنش­­های الکترومغناطیسی آن برابر با  خواهد بود. چون برهم­کنش هسته­ای کوتاه برد است، فرض می­کنیم که هر پروتون تنها با نوکلئون­های همسایه­اش برهم­کنش دارد. بر این اساس هر پروتون با چهار نوکلئون همسایه­اش برهم­کنش هسته­ای دارد، که برای جلوگیری از دوبار شمرده شدن تعداد برهم­کنش­های هسته­ای نیز برابر با  خواهد بود. بنابراین وجود هر پروتون باعث می شود که رابطه (۵-۱۴) را به ازای هر پروتون در عبارت  ضرب کنیم. در این عبارت عدد ۲ نماینده تعداد برهم­کنش­های هسته­ای هر پروتون است، عدد  نشان دهنده تعداد برهم­کنش­های الکترومغناطیسی است که هر پروتون دارد،  ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی به خاطر ضعیف بودن نیروی الکترومغناطیسی در مقابل نیروی هسته­ای وارد شده است و علامت منها نشان دهنده دافعه بودن نیروی الکترومغناطیسی در میان پروتون­هاست. اگر هسته­ای دارای Z پروتون باشد، آنگاه عامل  وارد محاسبه می شود. به ازای هر نوترون چون عامل الکترومغناطیسی وجود ندارد فقط عامل  در رابطه (۵-۱۴) ضرب خواهد شد. بنابراین در مجموع با در نظر گرفتن هم پروتون­ها و هم نوترون­ها، رابطه (۵-۱۴) در عامل  ضرب خواهد شد. عامل  برای هسته­های با A یکسان ثابت است، چون فقط بزرگی نسبی این عامل برای ما مهم است، می­توان آن را از محاسبات حذف کرد. بنابراین به رابطه زیر می­رسیم.

(۵-۱۵)

با A ثابت، ماکزیمم مقداری که برای R به دست خواهد آمد، نشان دهنده پایداری هسته خواهد بود. نتایج حاصله از این رابطه برای برخی از هسته­ها در جدول (۵-۱) آورده شده است. که نشان دهنده سازگاری بسیار خوب با هسته های پایدار کشف شده در طبیعت است. (به خصوص برای هسته­های  ) در شکل (۵-۳) نمودار ماکزیمم R برای هسته­های مختلف رسم شده است.

 

شکل (۵-۳): پیش بینی رابطه (۵-۱۵) برای هسته های پایدار، در هسته­های با تعداد نوکلئون بالا انحراف از هسته­های پایدار موجود در طبیعت مشاهده می­ شود.

در به دست آورد معادله (۵-۱۵)، نیروی برهم­کنش الکترومغناطیسی بین دو پروتون بدون در نظر گرفتن فاصله بین آنها یکسان در نظر گرفته شده، در حالی که نیروی الکترومغناطیسی به فاصله بین دو بار بستگی دارد. در هسته­های سبک چون تعداد نوکلئون­های هسته کم است می­توان با تقریب فاصله هر دو پروتون در هسته را یکسان در نظر گرفت. در هسته های سنگین، چون شعاع هسته بزرگ شده است دیگر نمی­ توان انتظار داشت که برهم­کنش الکترومغناطیسی بین هر دو پروتونی را یکسان در نظر گرفت. بنابراین باید وابستگی نیروی الکترومغناطیسی به شعاع را در نظر گرفت. انتظار داریم که در هسته­های سنگین تاثیر نیروی الکترومغناطیسی با شعاع کاهش یابد. اگر این کاهش را به صورت یک ضریب که وابسته به شعاع است، وارد رابطه کنیم، تأثیر نیروی الکترومغناطیسی به صورت  در می ­آید. در اینجا  ، ضریبی است که تأثیر نیروی الکترومغناطیسی را بر حسب شعاع نشان می­دهد. این ضریب برای هسته­های سنگین کوچک­تر از یک است. به عنوان مثال این ضریب برای U-238 باید برابر با ۰.۸۳ باشد. اگر قرار دهیم  ، (که ۱۲۰ عدد اتمی یک هسته میان وزن است) سازگاری با مقادیر تجربی بسیار خوب می­ شود. بنابراین با وارد کردن این ضریب در معادله (۵-۱۵)، تعداد حالت­های تشکیل یک هسته با تعداد مشخص پروتون و نوترون به دست خواهد آمد.

(۵-۱۶)

با مقایسه ماکزیمم مقدار به دست آمده به ازای مقادیر ثابت A با هسته­هایی که در طبیعت وجود دارد، سازگاری خوبی مشاهده می­ شود. نتایج حاصل از مقادیر ماکزیمم که از این رابطه به دست می ­آید به همراه هسته­های پایدار موجود در طبیعت در شکل (۵-۴) رسم شده است. همان­گونه که در شکل (۵-۴) نشان داده شده، سازگاری خوبی بین مقادیری که ما به دست آورده­ایم و هسته­های پایدار موجود در طبیعت ملاحظه می­ شود [۵۱].

 

شکل (۵-۴): نمودار هسته­های پایدار موجود در طبیعت و ماکزیمم­های به دست آمده از رابطه (۵-۱۵) و مقایسه آنها با همدیگر

نتیجه گیری و پیشنهادات

مدل شبه کوارکی هسته سعی دارد با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده نوکلئون­ها برخی خواص هسته را استخراج نماید. نوکلئون­ها در درون هسته با همدیگر هم­پوشانی دارند و در این ناحیه به خاطر نزدیکی زیاد کوارک­های دو نوکلئون با همدیگر برهم­کنش قوی دارند و بنابراین احتمال اینکه این کوارک­ها که با همدیگر برهم­کنش دارند، تشکیل نوکلئونی جدید بدهند وجود دارد. و همین امر باعث می­ شود که نوکلئون­های هسته به کوارک­های سازنده­یشان شکسته شده و سپس نوکلئون­های جدید تشکیل گردند. همین امر مستلزم این است که در بررسی ساختار هسته­ها، کوارک­های سازنده آنها را نیز در نظر بگیریم. در همین راستا در فصل دوم برهم­کنش­های مواد بخصوص برهم­کنش بین کوارک­ها و نوکلئون­ها بررسی شد. با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده هسته­ها، اعداد جادویی هسته­ای استخراج شده، انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی مشخص گردیده و رابطه­ای برای انرژی بستگی هسته­ها استخراج شده است.

گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون بر اساس ساختار کوارکی آن مورد بررسی قرار گرفته است. با به دست آوردن تابع موج دوترون بر اساس کوارک­های سازنده­ی دو نوکلئون آن و محاسبه مقدار انتظاری عمگر گشتاور دو قطبی مغناطیسی آن بر اساس این تابع موج، مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون را به دست آورده­ایم، که با مقایسه با محاسبات مدل پوسته­ای نتایج قابل ملاحظه است و به مقدار اندازه ­گیری شده همخوانی بهتری دارد. در مرحله بعد با فرض اینکه کوارک­های دوترون تنها تشکیل دو نوکلئون نمی­دهند بلکه ممکن است تشکیل باریون­های دلتا نیز بدهند دوباره تابع موج دوترون بر اساس احتمال تشکیل باریون­های دلتا محاسبه شده و بر اساس این تابع موج، دوباره مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون محاسبه شده است. با مقایسه این مقدار به دست آمده با مقدار اندازه ­گیری شده ملاحظه می­ شود که در این حالت سازگاری بهتری نسبت به مقدار قبلی با مقدار اندازه ­گیری شده وجود دارد.

پایداری هسته­ها موضوعی است که در فیزیک هسته­ای همیشه مد نظر بوده و سعی شده که دلیلی برای نسبت بین پروتون­ها و نوترون­ها در هسته­های پایدار بیان شود. در این پایان نامه، به منظور پیدا کردن خط پایداری هسته­ها، تشکیل هسته­ها را از کوارک­های سازنده­ی آنها در نظر گرفته­ایم، تعداد راه­های تشکیل هسته را از کوارک­های سازنده­اش شمرده­ایم. ترکیبی خاص از پروتون­ها و نوترون­ها که بیشترین فراوانی را دارد، احتمال تشکیل بیشتری نیز دارد. سپس با اعمال برهم­کنش الکترومغناطیسی در دو مرحله (یک مرحله قبل از تشکیل نوکلئون­ها بین کوارک­های باردار و مرحله دیگر پس از تشکیل نوکلئون­ها به خاطر برهم­کنش الکترومغناطیسی بین پروتون­ها)، روابط را اصلاح کردیم و در نهایت ترکیب خاص پروتون­ها و نوترون­های هسته­های پایدار را استخراج نمودیم که با مقایسه با هسته­های پایدار موجود در طبیعت، سازگاری بسیار خوبی مشاهده می­ شود.

در نظر گرفتن ساختار کوارکی هسته­ها می ­تواند بعضی خواص هسته­ها رابه خوبی بیان و باز تولید کند. مواردی در این رساله ذکر گردیدند، موارد دیگری که می­ شود بر اساس این مدل مورد پیگیری و تحقیق قرار داد در زیر بیان شده ­اند؛

محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های هلیوم-۳ و تریتیم؛

محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های سنگین­تر با در نظر گرفتن مدل پوسته­ای و در نظر گرفتن ساختار کوارکی نوکلئون­هایی که در لایه آخر یا همان لایه ظرفیت قرار دارند؛

محاسبه گشتاور چارقطبی الکتریکی دوترون با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده آن و پتانسیل بین کوارک­های آن؛

بررسی نیروی تزویج بین نوکلئون­ها با در نظر گرفتن راه­های مختلف تشکیل زوج­های نوکلئونی، همانند روش استخراج خط پایداری هسته­ها که در این رساله انجام گرفت؛

ایجاد رابطه­ای برای انرژی بستگی هسته­ها با بهره گرفتن از تعداد پیوند­های کوارکی موجود در هر هسته و برخی دیگر از خواص هسته­ای همچون انرژی زوجیت و هسته­های با لایه­ های پر یا همان هسته­های جادویی.

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۲] [۰] [۲] [ ۱] [ ۱]

[۲] [۱] [۱] [ ۱.۵۰۰۰e+000] [1.4357e+000]

[۲] [۲] [۰] [ ۱] [۹.۵۳۶۶e-001]

[۳] [۰] [۳] [ ۱] [ ۱]

[۳] [۱] [۲] [ ۲] [۱.۹۱۴۳e+000]

[۳] [۲] [۱] [ ۲] [۱.۹۰۷۳e+000]

[۳] [۳] [۰] [ ۱] [۹.۴۶۷۱e-001]

[۴] [۰] [۴] [ ۱] [ ۱]

[۴] [۱] [۳] [ ۲.۵۰۰۰e+000] [2.3929e+000]

[۴] [۲] [۲] [ ۳.۲۱۴۳e+000] [3.0653e+000]

[۴] [۳] [۱] [ ۲.۵۰۰۰e+000] [2.3668e+000]

[۴] [۴] [۰] [ ۱] [۹.۳۶۳۶e-001]

[۵] [۰] [۵] [ ۱] [ ۱]

[۵] [۱] [۴] [ ۳] [۲.۸۷۱۴e+000]

[۵] [۲] [۳] [ ۴.۶۶۶۷e+000] [4.4504e+000]

[۵] [۳] [۲] [ ۴.۶۶۶۷e+000] [4.4180e+000]

[۵] [۴] [۱] [ ۳] [۲.۸۰۹۱e+000]

[۵] [۵] [۰] [ ۱] [۹.۲۲۷۲e-001]

[۶] [۰] [۶] [ ۱] [ ۱]

[۶] [۱] [۵] [ ۳.۵۰۰۰e+000] [3.3500e+000]

[۶] [۲] [۴] [ ۶.۳۶۳۶e+000] [6.0687e+000]

[۶] [۳] [۳] [ ۷.۶۳۶۴e+000] [7.2294e+000]

[۶] [۴] [۲] [ ۶.۳۶۳۶e+000] [5.9587e+000]

[۶] [۵] [۱] [ ۳.۵۰۰۰e+000] [3.2295e+000]

[۶] [۶] [۰] [ ۱] [۹.۰۵۹۳e-001]

[۷] [۰] [۷] [ ۱] [ ۱]

[۷] [۱] [۶] [ ۴] [۳.۸۲۸۶e+000]

[۷] [۲] [۵] [ ۸.۳۰۷۷e+000] [7.9227e+000]

[۷] [۳] [۴] [ ۱.۱۵۳۸e+001] [1.0924e+001]

[۷] [۴] [۳] [ ۱.۱۵۳۸e+001] [1.0804e+001]

[۷] [۵] [۲] [ ۸.۳۰۷۷e+000] [7.6657e+000]

[۷] [۶] [۱] [ ۴] [۳.۶۲۳۷e+000]

[۷] [۷] [۰] [ ۱] [۸.۸۶۱۶e-001]

[۸] [۰] [۸] [ ۱] [ ۱]

[۸] [۱] [۷] [ ۴.۵۰۰۰e+000] [4.3072e+000]

[۸] [۲] [۶] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [1.0013e+001]

[۸] [۳] [۵] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [1.5621e+001]

[۸] [۴] [۴] [ ۱.۹۰۳۸e+001] [1.7827e+001]

[۸] [۵] [۳] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [1.5225e+001]

[۸] [۶] [۲] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [9.5123e+000]

[۸] [۷] [۱] [ ۴.۵۰۰۰e+000] [3.9877e+000]

[۸] [۸] [۰] [ ۱] [۸.۶۳۶۰e-001]

[۹] [۰] [۹] [ ۱] [ ۱]

[۹] [۱] [۸] [ ۵] [۴.۷۸۵۷e+000]

[۹] [۲] [۷] [ ۱.۲۹۴۱e+001] [1.2341e+001]

پیوست الف: تعداد راه­های تشکیل هسته­ها

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۹] [۳] [۶] [ ۲.۲۶۴۷e+001] [2.1440e+001]

[۹] [۴] [۵] [ ۲.۹۴۴۱e+001] [2.7568e+001]

[۹] [۵] [۴] [ ۲.۹۴۴۱e+001] [2.7166e+001]

[۹] [۶] [۳] [ ۲.۲۶۴۷e+001] [2.0517e+001]

[۹] [۷] [۲] [ ۱.۲۹۴۱e+001] [1.1468e+001]

[۹] [۸] [۱] [ ۵.۰۰۰۰e+000] [4.3180e+000]

[۹] [۹] [۰] [ ۱] [۸.۳۸۴۹e-001]

[۱۰] [ ۰] [۱۰] [ ۱] [ ۱]

[۱۰] [ ۱] [ ۹] [ ۵.۵۰۰۰e+000] [5.2643e+000]

[۱۰] [ ۲] [ ۸] [ ۱.۵۶۳۲e+001] [1.4907e+001]

[۱۰] [ ۳] [ ۷] [ ۳.۰۱۰۵e+001] [2.8501e+001]

[۱۰] [ ۴] [ ۶] [ ۴.۳۳۸۷e+001] [4.0626e+001]

[۱۰] [ ۵] [ ۵] [ ۴.۸۸۱۰e+001] [4.5038e+001]

[۱۰] [ ۶] [ ۴] [ ۴.۳۳۸۷e+001] [3.9306e+001]

[۱۰] [ ۷] [ ۳] [ ۳.۰۱۰۵e+001] [2.6678e+001]

[۱۰] [ ۸] [ ۲] [ ۱.۵۶۳۲e+001] [1.3499e+001]

[۱۰] [ ۹] [ ۱] [ ۵.۵۰۰۰e+000] [4.6117e+000]

[۱۰] [۱۰] [ ۰] [ ۱] [۸.۱۱۰۸e-001]

[۱۱] [ ۰] [۱۱] [ ۱] [ ۱]

[۱۱] [ ۱] [۱۰] [ ۶] [۵.۷۴۲۹e+000]

[۱۱] [ ۲] [ ۹] [ ۱.۸۵۷۱e+001] [1.7711e+001]

[۱۱] [ ۳] [ ۸] [ ۳.۹۰۰۰e+001] [3.6922e+001]

[۱۱] [ ۴] [ ۷] [ ۶.۱۵۷۹e+001] [5.7660e+001]

[۱۱] [ ۵] [ ۶] [ ۷.۶۶۳۲e+001] [7.0710e+001]

[۱۱] [ ۶] [ ۵] [ ۷.۶۶۳۲e+001] [6.9423e+001]

[۱۱] [ ۷] [ ۴] [ ۶.۱۵۷۹e+001] [5.4569e+001]

[۱۱] [ ۸] [ ۳] [ ۳۹] [۳.۳۶۸۰e+001]

[۱۱] [ ۹] [ ۲] [ ۱.۸۵۷۱e+001] [1.5572e+001]

[۱۱] [۱۰] [ ۱] [ ۶] [۴.۸۶۶۵e+000]

[۱۱] [۱۱] [ ۰] [ ۱] [۷.۸۱۶۲e-001]

[۱۲] [ ۰] [۱۲] [ ۱] [ ۱]

[۱۲] [ ۱] [۱۱] [ ۶.۵۰۰۰e+000] [6.2215e+000]

[۱۲] [ ۲] [۱۰] [ ۲.۱۷۶۱e+001] [2.0752e+001]

[۱۲] [ ۳] [ ۹] [ ۴.۹۴۵۷e+001] [4.6821e+001]

[۱۲] [ ۴] [ ۸] [ ۸.۴۷۸۳e+001] [7.9387e+001]

[۱۲] [ ۵] [ ۷] [ ۱.۱۵۳۰e+002] [1.0639e+002]

[۱۲] [ ۶] [ ۶] [ ۱.۲۷۴۴e+002] [1.1545e+002]

[۱۲] [ ۷] [ ۵] [ ۱.۱۵۳۰e+002] [1.0218e+002]

[۱۲] [ ۸] [ ۴] [ ۸.۴۷۸۳e+001] [7.3218e+001]

[۱۲] [ ۹] [ ۳] [ ۴.۹۴۵۷e+001] [4.1469e+001]

[۱۲] [۱۰] [ ۲] [ ۲.۱۷۶۱e+001] [1.7650e+001]

[۱۲] [۱۱] [ ۱] [ ۶.۵۰۰۰e+000] [5.0806e+000]

[۱۲] [۱۲] [ ۰] [ ۱] [۷.۵۰۴۲e-001]

[۱۳] [ ۰] [۱۳] [ ۱] [ ۱]

[۱۳] [ ۱] [۱۲] [ ۷] [۶.۷۰۰۰e+000]

[۱۳] [ ۲] [۱۱] [ ۲.۵۲۰۰e+001] [2.4032e+001]

[۱۳] [ ۳] [۱۰] [ ۶.۱۶۰۰e+001] [5.8317e+001]

[۱۳] [ ۴] [ ۹] [ ۱.۱۳۸۳e+002] [1.0658e+002]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۳] [ ۸] [ ۵] [ ۱.۶۷۶۳e+002] [1.4477e+002]

[۱۳] [ ۹] [ ۴] [ ۱.۱۳۸۳e+002] [9.5442e+001]

[۱۳] [۱۰] [ ۳] [ ۶.۱۶۰۰e+001] [4.9962e+001]

[۱۳] [۱۱] [ ۲] [ ۲.۵۲۰۰e+001] [1.9697e+001]

[۱۳] [۱۲] [ ۱] [ ۷.۰۰۰۰e+000] [5.2529e+000]

[۱۳] [۱۳] [ ۰] [ ۱] [۷.۱۷۷۵e-001]

[۱۴] [ ۰] [۱۴] [ ۱] [ ۱]

[۱۴] [ ۱] [۱۳] [ ۷.۵۰۰۰e+000] [7.1786e+000]

[۱۴] [ ۲] [۱۲] [ ۲.۸۸۸۹e+001] [2.7550e+001]

[۱۴] [ ۳] [۱۱] [ ۷.۵۵۵۶e+001] [7.1529e+001]

[۱۴] [ ۴] [۱۰] [ ۱.۴۹۶۰e+002] [1.4008e+002]

[۱۴] [ ۵] [ ۹] [ ۲.۳۶۸۷e+002] [2.1856e+002]

[۱۴] [ ۶] [ ۸] [ ۳.۰۸۹۶e+002] [2.7989e+002]

[۱۴] [ ۷] [ ۷] [ ۳.۳۷۰۴e+002] [2.9867e+002]

[۱۴] [ ۸] [ ۶] [ ۳.۰۸۹۶e+002] [2.6682e+002]

[۱۴] [ ۹] [ ۵] [ ۲.۳۶۸۷e+002] [1.9861e+002]

[۱۴] [۱۰] [ ۴] [ ۱.۴۹۶۰e+002] [1.2134e+002]

[۱۴] [۱۱] [ ۳] [ ۷.۵۵۵۶e+001] [5.9056e+001]

[۱۴] [۱۲] [ ۲] [ ۲.۸۸۸۹e+001] [2.1679e+001]

[۱۴] [۱۳] [ ۱] [ ۷.۵۰۰۰e+000] [5.3831e+000]

[۱۴] [۱۴] [ ۰] [ ۱] [۶.۸۳۹۲e-001]

[۱۵] [ ۰] [۱۵] [ ۱] [ ۱]

[۱۵] [ ۱] [۱۴] [ ۸] [۷.۶۵۷۲e+000]

[۱۵] [ ۲] [۱۳] [ ۳.۲۸۲۸e+001] [3.1306e+001]

[۱۵] [ ۳] [۱۲] [ ۹.۱۴۴۸e+001] [8.6575e+001]

[۱۵] [ ۴] [۱۱] [ ۱.۹۳۰۶e+002] [1.8077e+002]

[۱۵] [ ۵] [۱۰] [ ۳.۲۶۷۱e+002] [3.0147e+002]

[۱۵] [ ۶] [ ۹] [ ۴.۵۷۴۰e+002] [4.1437e+002]

[۱۵] [ ۷] [ ۸] [ ۵.۳۹۰۸e+002] [4.7771e+002]

[۱۵] [ ۸] [ ۷] [ ۵.۳۹۰۸e+002] [4.6555e+002]

[۱۵] [ ۹] [ ۶] [ ۴.۵۷۴۰e+002] [3.8352e+002]

[۱۵] [۱۰] [ ۵] [ ۳.۲۶۷۱e+002] [2.6499e+002]

[۱۵] [۱۱] [ ۴] [ ۱.۹۳۰۶e+002] [1.5090e+002]

[۱۵] [۱۲] [ ۳] [ ۹.۱۴۴۸e+001] [6.8625e+001]

[۱۵] [۱۳] [ ۲] [ ۳.۲۸۲۸e+001] [2.3562e+001]

[۱۵] [۱۴] [ ۱] [ ۸.۰۰۰۰e+000] [5.4714e+000]

[۱۵] [۱۵] [ ۰] [ ۱] [۶.۴۹۲۲e-001]

[۱۶] [ ۰] [۱۶] [ ۱] [ ۱]

[۱۶] [ ۱] [۱۵] [ ۸.۵۰۰۰e+000] [8.1358e+000]

[۱۶] [ ۲] [۱۴] [ ۳.۷۰۱۶e+001] [3.5301e+001]

[۱۶] [ ۳] [۱۳] [ ۱.۰۹۴۰e+002] [1.0357e+002]

[۱۶] [ ۴] [۱۲] [ ۲.۴۵۲۱e+002] [2.2961e+002]

[۱۶] [ ۵] [۱۱] [ ۴.۴۱۳۹e+002] [4.0728e+002]

[۱۶] [ ۶] [۱۰] [ ۶.۵۹۳۵e+002] [5.9733e+002]

[۱۶] [ ۷] [ ۹] [ ۸.۳۳۲۵e+002] [7.3839e+002]

[۱۶] [ ۸] [ ۸] [ ۸.۹۹۹۱e+002] [7.7716e+002]

[۱۶] [ ۹] [ ۷] [ ۸.۳۳۲۵e+002] [6.9867e+002]

[۱۶] [۱۰] [ ۶] [ ۶.۵۹۳۵e+002] [5.3479e+002]

[۱۶] [۱۱] [ ۵] [ ۴.۴۱۳۹e+002] [3.4500e+002]

[۱۶] [۱۲] [ ۴] [ ۲.۴۵۲۱e+002] [1.8401e+002]

[۱۶] [۱۳] [ ۳] [ ۱.۰۹۴۰e+002] [7.8524e+001]

[۱۶] [۱۴] [ ۲] [ ۳.۷۰۱۶e+001] [2.5316e+001]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۶] [۱۵] [ ۱] [ ۸.۵۰۰۰e+000] [5.5183e+000]

[۱۶] [۱۶] [ ۰] [ ۱] [۶.۱۳۹۴e-001]

[۱۷] [ ۰] [۱۷] [ ۱] [ ۱]

[۱۷] [ ۱] [۱۶] [ ۹] [۸.۶۱۴۳e+000]

[۱۷] [ ۲] [۱۵] [ ۴.۱۴۵۵e+001] [3.9533e+001]

[۱۷] [ ۳] [۱۴] [ ۱.۲۹۵۵e+002] [1.2264e+002]

[۱۷] [ ۴] [۱۳] [ ۳.۰۷۱۵e+002] [2.8760e+002]

[۱۷] [ ۵] [۱۲] [ ۵.۸۵۶۳e+002] [5.4037e+002]

[۱۷] [ ۶] [۱۱] [ ۹.۲۸۹۳e+002] [8.4155e+002]

[۱۷] [ ۷] [۱۰] [ ۱.۲۵۱۲e+003] [1.1088e+003]

[۱۷] [ ۸] [ ۹] [ ۱.۴۴۸۲e+003] [1.2506e+003]

[۱۷] [ ۹] [ ۸] [ ۱.۴۴۸۲e+003] [1.2143e+003]

[۱۷] [۱۰] [ ۷] [ ۱.۲۵۱۲e+003] [1.0148e+003]

[۱۷] [۱۱] [ ۶] [ ۹.۲۸۹۳e+002] [7.2607e+002]

[۱۷] [۱۲] [ ۵] [ ۵.۸۵۶۳e+002] [4.3947e+002]

[۱۷] [۱۳] [ ۴] [ ۳.۰۷۱۵e+002] [2.2046e+002]

[۱۷] [۱۴] [ ۳] [ ۱.۲۹۵۵e+002] [8.8599e+001]

[۱۷] [۱۵] [ ۲] [ ۴.۱۴۵۵e+001] [2.6913e+001]

[۱۷] [۱۶] [ ۱] [ ۹.۰۰۰۰e+000] [5.5255e+000]

[۱۷] [۱۷] [ ۰] [ ۱] [۵.۷۸۳۷e-001]

[۱۸] [ ۰] [۱۸] [ ۱] [ ۱]

[۱۸] [ ۱] [۱۷] [ ۹.۵۰۰۰e+000] [9.0929e+000]

[۱۸] [ ۲] [۱۶] [ ۴.۶۱۴۳e+001] [4.4005e+001]

[۱۸] [ ۳] [۱۵] [ ۱.۵۲۰۰e+002] [1.4390e+002]

[۱۸] [ ۴] [۱۴] [ ۳۸۰] [۳.۵۵۸۲e+002]

[۱۸] [ ۵] [۱۳] [ ۷.۶۴۷۵e+002] [7.0565e+002]

[۱۸] [ ۶] [۱۲] [ ۱.۲۸۲۸e+003] [1.1621e+003]

[۱۸] [ ۷] [۱۱] [ ۱.۸۳۲۶e+003] [1.6240e+003]

[۱۸] [ ۸] [۱۰] [ ۲.۲۵۹۱e+003] [1.9510e+003]

[۱۸] [ ۹] [ ۹] [ ۲.۴۲۰۵e+003] [2.0296e+003]

[۱۸] [۱۰] [ ۸] [ ۲.۲۵۹۱e+003] [1.8323e+003]

[۱۸] [۱۱] [ ۷] [ ۱.۸۳۲۶e+003] [1.4324e+003]

[۱۸] [۱۲] [ ۶] [ ۱.۲۸۲۸e+003] [9.6264e+002]

[۱۸] [۱۳] [ ۵] [ ۷.۶۴۷۵e+002] [5.4890e+002]

[۱۸] [۱۴] [ ۴] [ ۳۸۰] [۲.۵۹۸۹e+002]

[۱۸] [۱۵] [ ۳] [ ۱.۵۲۰۰e+002] [9.8681e+001]

[۱۸] [۱۶] [ ۲] [ ۴.۶۱۴۳e+001] [2.8329e+001]

[۱۸] [۱۷] [ ۱] [ ۹.۵۰۰۰e+000] [5.4945e+000]

[۱۸] [۱۸] [ ۰] [ ۱.۰۰۰۰e+000] [5.4279e-001]

[۱۹] [ ۰] [۱۹] [ ۱] [ ۱]

[۱۹] [ ۱] [۱۸] [ ۱۰] [۹.۵۷۱۵e+000]

[۱۹] [ ۲] [۱۷] [ ۵.۱۰۸۱e+001] [4.8714e+001]

[۱۹] [ ۳] [۱۶] [ ۱.۷۶۸۹e+002] [1.6746e+002]

[۱۹] [ ۴] [۱۵] [ ۴.۶۴۹۷e+002] [4.3538e+002]

[۱۹] [ ۵] [۱۴] [ ۹.۸۴۶۵e+002] [9.0856e+002]

[۱۹] [ ۶] [۱۳] [ ۱.۷۴۰۵e+003] [1.5768e+003]

[۱۹] [ ۷] [۱۲] [ ۲.۶۲۶۴e+003] [2.3274e+003]

[۱۹] [ ۸] [۱۱] [ ۳.۴۳۱۲e+003] [2.9632e+003]

[۱۹] [ ۹] [۱۰] [ ۳.۹۱۴۱e+003] [3.2819e+003]

[۱۹] [۱۰] [ ۹] [ ۳.۹۱۴۱e+003] [3.1746e+003]

[۱۹] [۱۱] [ ۸] [ ۳.۴۳۱۲e+003] [2.6819e+003]

[۱۹] [۱۲] [ ۷] [ ۲.۶۲۶۴e+003] [1.9709e+003]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۹] [۱۳] [ ۶] [ ۱.۷۴۰۵e+003] [1.2493e+003]

[۱۹] [۱۴] [ ۵] [ ۹.۸۴۶۵e+002] [6.7342e+002]

[۱۹] [۱۵] [ ۴] [ ۴.۶۴۹۷e+002] [3.0187e+002]

[۱۹] [۱۶] [ ۳] [ ۱.۷۶۸۹e+002] [1.0860e+002]

[۱۹] [۱۷] [ ۲] [ ۵.۱۰۸۱e+001] [2.9544e+001]

[۱۹] [۱۸] [ ۱] [ ۱.۰۰۰۰e+001] [5.4279e+000]

[۱۹] [۱۹] [ ۰] [ ۱] [۵.۰۷۴۵e-001]

[۲۰] [ ۰] [۲۰] [ ۱] [ ۱]

[۲۰] [ ۱] [۱۹] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [1.0050e+001]

[۲۰] [ ۲] [۱۸] [ ۵.۶۲۶۹e+001] [5.3662e+001]

[۲۰] [ ۳] [۱۷] [ ۲.۰۴۳۵e+002] [1.9346e+002]

[۲۰] [ ۴] [۱۶] [ ۵.۶۳۳۳e+002] [5.2748e+002]

[۲۰] [ ۵] [۱۵] [ ۱.۲۵۱۹e+003] [1.1551e+003]

[۲۰] [ ۶] [۱۴] [ ۲.۳۲۴۹e+003] [2.1062e+003]

[۲۰] [ ۷] [۱۳] [ ۳.۶۹۲۴e+003] [3.2721e+003]

[۲۰] [ ۸] [۱۲] [ ۵.۰۹۱۱e+003] [4.3967e+003]

[۲۰] [ ۹] [۱۱] [ ۶.۱۵۱۷e+003] [5.1582e+003]

[۲۰] [۱۰] [۱۰] [ ۶.۵۴۸۶e+003] [5.3114e+003]

[۲۰] [۱۱] [ ۹] [ ۶.۱۵۱۷e+003] [4.8083e+003]

[۲۰] [۱۲] [ ۸] [ ۵.۰۹۱۱e+003] [3.8204e+003]

[۲۰] [۱۳] [ ۷] [ ۳.۶۹۲۴e+003] [2.6503e+003]

[۲۰] [۱۴] [ ۶] [ ۲.۳۲۴۹e+003] [1.5900e+003]

[۲۰] [۱۵] [ ۵] [ ۱.۲۵۱۹e+003] [8.1272e+002]

[۲۰] [۱۶] [ ۴] [ ۵.۶۳۳۳e+002] [3.4585e+002]

[۲۰] [۱۷] [ ۳] [ ۲.۰۴۳۵e+002] [1.1819e+002]

[۲۰] [۱۸] [ ۲] [ ۵.۶۲۶۹e+001] [3.0542e+001]

[۲۰] [۱۹] [ ۱] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [5.3282e+000]

[۲۰] [۲۰] [ ۰] [ ۱] [۴.۷۲۵۹e-001]

[۲۴] [ ۰] [۲۴] [ ۱ [ ۱]

[۲۴] [ ۱] [۲۳] [ ۱.۲۵۰۰e+001] [1.1964e+001]

[۲۴] [ ۲] [۲۲] [ ۷.۹۵۲۱e+001] [7.5836e+001]

[۲۴] [ ۳] [۲۱] [ ۳.۴۲۲۹e+002] [3.2405e+002]

[۲۴] [ ۴] [۲۰] [ ۱.۱۱۸۱e+003] [1.0470e+003]

[۲۴] [ ۵] [۱۹] [ ۲.۹۴۷۸e+003] [2.7200e+003]

[۲۴] [ ۶] [۱۸] [ ۶.۵۱۲۶e+003] [5.9000e+003]

[۲۴] [ ۷] [۱۷] [ ۱.۲۳۶۱e+004] [1.0954e+004]

[۲۴] [ ۸] [۱۶] [ ۲.۰۵۰۱e+004] [1.7704e+004]

[۲۴] [ ۹] [۱۵] [ ۳.۰۰۶۸e+004] [2.5211e+004]

[۲۴] [۱۰] [۱۴] [ ۳.۹۳۱۹e+004] [3.1891e+004]

[۲۴] [۱۱] [۱۳] [ ۴.۶۰۹۲e+004] [3.6027e+004]

[۲۴] [۱۲] [۱۲] [ ۴.۸۵۸۳e+004] [3.6458e+004]

[۲۴] [۱۳] [۱۱] [ ۴.۶۰۹۲e+004] [3.3083e+004]

[۲۴] [۱۴] [۱۰] [ ۳.۹۳۱۹e+004] [2.6891e+004]

[۲۴] [۱۵] [ ۹] [ ۳.۰۰۶۸e+004] [1.9520e+004]

[۲۴] [۱۶] [ ۸] [ ۲.۰۵۰۱e+004] [1.2586e+004]

[۲۴] [۱۷] [ ۷] [ ۱.۲۳۶۱e+004] [7.1491e+003]

[۲۴] [۱۸] [ ۶] [ ۶.۵۱۲۶e+003] [3.5350e+003]

[۲۴] [۱۹] [ ۵] [ ۲.۹۴۷۸e+003] [1.4959e+003]

[۲۴] [۲۰] [ ۴] [ ۱.۱۱۸۱e+003] [5.2842e+002]

[۲۴] [۲۱] [ ۳] [ ۳.۴۲۲۹e+002] [1.5007e+002]

[۲۴] [۲۲] [ ۲] [ ۷.۹۵۲۱e+001] [3.2220e+001]

[۲۴] [۲۳] [ ۱] [ ۱.۲۵۰۰e+001] [4.6624e+000]

[۲۴] [۲۴] [ ۰] [ ۱] [۳.۴۲۰۳e-001]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۳۲] [ ۰] [۳۲] [ ۱] [ ۱]

[۳۲] [ ۱] [۳۱] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [1.5793e+001]

[۳۲] [ ۲] [۳۰] [ ۱.۳۸۰۲e+002] [1.3163e+002]

[۳۲] [ ۳] [۲۹] [ ۷.۷۹۱۷e+002] [7.3764e+002]

[۳۲] [ ۴] [۲۸] [ ۳.۳۳۳۸e+003] [3.1217e+003]

[۳۲] [ ۵] [۲۷] [ ۱.۱۵۱۳e+004] [1.0623e+004]

[۳۲] [ ۶] [۲۶] [ ۳.۳۳۶۷e+004] [3.0229e+004]

[۳۲] [ ۷] [۲۵] [ ۸.۳۳۳۷e+004] [7.3849e+004]

[۳۲] [ ۸] [۲۴] [ ۱.۸۲۷۶e+005] [1.5783e+005]

[۳۲] [ ۹] [۲۳] [ ۳.۵۶۸۱e+005] [2.9918e+005]

[۳۲] [۱۰] [۲۲] [ ۶.۲۶۶۹e+005] [5.0829e+005]

[۳۲] [۱۱] [۲۱] [ ۹.۹۸۰۵e+005] [7.8010e+005]

[۳۲] [۱۲] [۲۰] [ ۱.۴۵۰۰e+006] [1.0881e+006]

[۳۲] [۱۳] [۱۹] [ ۱.۹۳۰۵e+006] [1.3856e+006]

[۳۲] [۱۴] [۱۸] [ ۲.۳۶۳۱e+006] [1.6162e+006]

[۳۲] [۱۵] [۱۷] [ ۲.۶۶۵۶e+006] [1.7305e+006]

[۳۲] [۱۶] [۱۶] [ ۲.۷۷۴۴e+006] [1.7033e+006]

[۳۲] [۱۷] [۱۵] [ ۲.۶۶۵۶e+006] [1.5417e+006]

[۳۲] [۱۸] [۱۴] [ ۲.۳۶۳۱e+006] [1.2827e+006]

[۳۲] [۱۹] [۱۳] [ ۱.۹۳۰۵e+006] [9.7962e+005]

[۳۲] [۲۰] [۱۲] [ ۱.۴۵۰۰e+006] [6.8525e+005]

[۳۲] [۲۱] [۱۱] [ ۹.۹۸۰۵e+005] [4.3758e+005]

[۳۲] [۲۲] [۱۰] [ ۶.۲۶۶۹e+005] [2.5392e+005]

[۳۲] [۲۳] [ ۹] [ ۳.۵۶۸۱e+005] [1.3309e+005]

[۳۲] [۲۴] [ ۸] [ ۱.۸۲۷۶e+005] [6.2509e+004]

[۳۲] [۲۵] [ ۷] [ ۸.۳۳۳۷e+004] [2.6037e+004]

[۳۲] [۲۶] [ ۶] [ ۳.۳۳۶۷e+004] [9.4853e+003]

[۳۲] [۲۷] [ ۵] [ ۱.۱۵۱۳e+004] [2.9661e+003]

[۳۲] [۲۸] [ ۴] [ ۳.۳۳۳۸e+003] [7.7539e+002]

[۳۲] [۲۹] [ ۳] [ ۷.۷۹۱۷e+002] [1.6296e+002]

[۳۲] [۳۰] [ ۲] [ ۱.۳۸۰۲e+002] [2.5855e+001]

[۳۲] [۳۱] [ ۱] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [2.7573e+000]

[۳۲] [۳۲] [ ۰] [ ۱.۰۰۰۰e+000] [1.4849e-001]

[۴۸] [ ۰] [۴۸] [ ۱] [ ۱]

[۴۸] [ ۱] [۴۷] [ ۲.۴۵۰۰e+001] [2.3450e+001]

[۴۸] [ ۲] [۴۶] [ ۳.۰۳۰۳e+002] [2.8898e+002]

[۴۸] [ ۳] [۴۵] [ ۲.۵۲۰۹e+003] [2.3866e+003]

[۴۸] [ ۴] [۴۴] [ ۱.۵۸۵۷e+004] [1.4848e+004]

[۴۸] [ ۵] [۴۳] [ ۸.۰۳۹۰e+004] [7.4178e+004]

[۴۸] [ ۶] [۴۲] [ ۳.۴۱۸۸e+005] [3.0972e+005]

[۴۸] [ ۷] [۴۱] [ ۱.۲۵۳۶e+006] [1.1108e+006]

[۴۸] [ ۸] [۴۰] [ ۴.۰۴۲۴e+006] [3.4910e+006]

[۴۸] [ ۹] [۳۹] [ ۱.۱۶۳۷e+007] [9.7576e+006]

[۴۸] [۱۰] [۳۸] [ ۳.۰۲۵۷e+007] [2.4540e+007]

[۴۸] [۱۱] [۳۷] [ ۷.۱۷۰۷e+007] [5.6048e+007]

[۴۸] [۱۲] [۳۶] [ ۱.۵۶۰۷e+008] [1.1712e+008]

[۴۸] [۱۳] [۳۵] [ ۳.۱۳۸۵e+008] [2.2527e+008]

[۴۸] [۱۴] [۳۴] [ ۵.۸۶۱۱e+008] [4.0085e+008]

[۴۸] [۱۵] [۳۳] [ ۱.۰۲۰۷e+009] [6.6265e+008]

[۴۸] [۱۶] [۳۲] [ ۱.۶۶۳۳e+009] [1.0212e+009]

[۴۸] [۱۷] [۳۱] [ ۲.۵۴۳۹e+009] [1.4713e+009]

[۴۸] [۱۸] [۳۰] [ ۳.۶۶۰۳e+009] [1.9868e+009]

[۴۸] [۱۹] [۲۹] [ ۴.۹۶۴۳e+009] [2.5191e+009]

[۴۸] [۲۰] [۲۸] [ ۶.۳۵۶۹e+009] [3.0042e+009]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC [48] [21] [27] [ 7.6952e+009] [3.3738e+009]

[۴۸] [۲۲] [۲۶] [ ۸.۸۱۴۵e+009] [3.5714e+009]

[۴۸] [۲۳] [۲۵] [ ۹.۵۶۰۳e+009] [3.5659e+009]

[۴۸] [۲۴] [۲۴] [ ۹.۸۲۲۲e+009] [3.3595e+009]

[۴۸] [۲۵] [۲۳] [ ۹.۵۶۰۳e+009] [2.9869e+009]

[۴۸] [۲۶] [۲۲] [ ۸.۸۱۴۵e+009] [2.5057e+009]

[۴۸] [۲۷] [۲۱] [ ۷.۶۹۵۲e+009] [1.9826e+009]

[۴۸] [۲۸] [۲۰] [ ۶.۳۵۶۹e+009] [1.4785e+009]

[۴۸] [۲۹] [۱۹] [ ۴.۹۶۴۳e+009] [1.0382e+009]

[۴۸] [۳۰] [۱۸] [ ۳.۶۶۰۳e+009] [6.8564e+008]

[۴۸] [۳۱] [۱۷] [ ۲.۵۴۳۹e+009] [4.2512e+008]

[۴۸] [۳۲] [۱۶] [ ۱.۶۶۳۳e+009] [2.4699e+008]

[۴۸] [۳۳] [۱۵] [ ۱.۰۲۰۷e+009] [1.3414e+008]

[۴۸] [۳۴] [۱۴] [ ۵.۸۶۱۱e+008] [6.7899e+007]

[۴۸] [۳۵] [۱۳] [ ۳.۱۳۸۵e+008] [3.1922e+007]

[۴۸] [۳۶] [۱۲] [ ۱.۵۶۰۷e+008] [1.3881e+007]

[۴۸] [۳۷] [۱۱] [ ۷.۱۷۰۷e+007] [5.5546e+006]

[۴۸] [۳۸] [۱۰] [ ۳.۰۲۵۷e+007] [2.0330e+006]

[۴۸] [۳۹] [ ۹] [ ۱.۱۶۳۷e+007] [6.7549e+005]

[۴۸] [۴۰] [ ۸] [ ۴.۰۴۲۴e+006] [2.0189e+005]

[۴۸] [۴۱] [ ۷] [ ۱.۲۵۳۶e+006] [5.3645e+004]

[۴۸] [۴۲] [ ۶] [ ۳.۴۱۸۸e+005] [1.2485e+004]

[۴۸] [۴۳] [ ۵] [ ۸.۰۳۹۰e+004] [2.4951e+003]

[۴۸] [۴۴] [ ۴] [ ۱.۵۸۵۷e+004] [4.1657e+002]

[۴۸] [۴۵] [ ۳] [ ۲.۵۲۰۹e+003] [5.5820e+001]

[۴۸] [۴۶] [ ۲] [ ۳.۰۳۰۳e+002] [5.6322e+000]

[۴۸] [۴۷] [ ۱] [ ۲.۴۵۰۰e+001] [3.8066e-001]

[۴۸] [۴۸] [ ۰] [ ۱.۰۰۰۰e+000] [1.2934e-002]

[۵۶] [ ۰] [۵۶] [ ۱] [ ۱]

[۵۶] [ ۱] [۵۵] [ ۲.۸۵۰۰e+001] [2.7279e+001]

[۵۶] [ ۲] [۵۴] [ ۴.۰۹۵۳e+002] [3.9055e+002]

[۵۶] [ ۳] [۵۳] [ ۳.۹۵۳۸e+003] [3.7431e+003]

[۵۶] [ ۴] [۵۲] [ ۲.۸۸۳۷e+004] [2.7002e+004]

[۵۶] [ ۵] [۵۱] [ ۱.۶۹۳۹e+005] [1.5630e+005]

[۵۶] [ ۶] [۵۰] [ ۸.۳۴۳۰e+005] [7.5582e+005]

[۵۶] [ ۷] [۴۹] [ ۳.۵۴۱۸e+006] [3.1386e+006]

[۵۶] [ ۸] [۴۸] [ ۱.۳۲۲۳e+007] [1.1419e+007]

[۵۶] [ ۹] [۴۷] [ ۴.۴۰۷۶e+007] [3.6957e+007]

[۵۶] [۱۰] [۴۶] [ ۱.۳۲۷۴e+008] [1.0766e+008]

[۵۶] [۱۱] [۴۵] [ ۳.۶۴۶۳e+008] [2.8500e+008]

[۵۶] [۱۲] [۴۴] [ ۹.۲۰۵۹e+008] [6.9083e+008]

[۵۶] [۱۳] [۴۳] [ ۲.۱۴۹۹e+009] [1.5431e+009]

[۵۶] [۱۴] [۴۲] [ ۴.۶۶۹۰e+009] [3.1932e+009]

[۵۶] [۱۵] [۴۱] [ ۹.۴۷۱۵e+009] [6.1491e+009]

[۵۶] [۱۶] [۴۰] [ ۱.۸۰۱۵e+010] [1.1060e+010]

[۵۶] [۱۷] [۳۹] [ ۳.۲۲۳۳e+010] [1.8643e+010]

[۵۶] [۱۸] [۳۸] [ ۵.۴۴۰۱e+010] [2.9528e+010]

[۵۶] [۱۹] [۳۷] [ ۸.۶۸۱۰e+010] [4.4051e+010]

[۵۶] [۲۰] [۳۶] [ ۱.۳۱۲۴e+011] [6.2023e+010]

[۵۶] [۲۱] [۳۵] [ ۱.۸۸۳۰e+011] [8.2558e+010]

[۵۶] [۲۲] [۳۴] [ ۲.۵۶۷۸e+011] [1.0404e+011]

[۵۶] [۲۳] [۳۳] [ ۳.۳۳۱۹e+011] [1.2428e+011]

[۵۶] [۲۴] [۳۲] [ ۴.۱۱۸۱e+011] [1.4085e+011]

[۵۶] [۲۵] [۳۱] [ ۴.۸۵۱۸e+011] [1.5158e+011]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC [56] [26] [30] [ 5.4524e+011] [1.5500e+011]

[۵۶] [۲۷] [۲۹] [ ۵.۸۴۶۹e+011] [1.5064e+011]

[۵۶] [۲۸] [۲۸] [ ۵.۹۸۴۵e+011] [1.3919e+011]

[۵۶] [۲۹] [۲۷] [ ۵.۸۴۶۹e+011] [1.2228e+011]

[۵۶] [۳۰] [۲۶] [ ۵.۴۵۲۴e+011] [1.0213e+011]

[۵۶] [۳۱] [۲۵] [ ۴.۸۵۱۸e+011] [8.1080e+010]

[۵۶] [۳۲] [۲۴] [ ۴.۱۱۸۱e+011] [6.1150e+010]

[۵۶] [۳۳] [۲۳] [ ۳.۳۳۱۹e+011] [4.3788e+010]

[۵۶] [۳۴] [۲۲] [ ۲.۵۶۷۸e+011] [2.9747e+010]

[۵۶] [۳۵] [۲۱] [ ۱.۸۸۳۰e+011] [1.9153e+010]

[۵۶] [۳۶] [۲۰] [ ۱.۳۱۲۴e+011] [1.1673e+010]

[۵۶] [۳۷] [۱۹] [ ۸.۶۸۱۰e+010] [6.7245e+009]

[۵۶] [۳۸] [۱۸] [ ۵.۴۴۰۱e+010] [3.6553e+009]

[۵۶] [۳۹] [۱۷] [ ۳.۲۲۳۳e+010] [1.8710e+009]

[۵۶] [۴۰] [۱۶] [ ۱.۸۰۱۵e+010] [8.9973e+008]

[۵۶] [۴۱] [۱۵] [ ۹.۴۷۱۵e+009] [4.0533e+008]

[۵۶] [۴۲] [۱۴] [ ۴.۶۶۹۰e+009] [1.7051e+008]

[۵۶] [۴۳] [۱۳] [ ۲.۱۴۹۹e+009] [6.6729e+007]

[۵۶] [۴۴] [۱۲] [ ۹.۲۰۵۹e+008] [2.4184e+007]

[۵۶] [۴۵] [۱۱] [ ۳.۶۴۶۳e+008] [8.0738e+006]

[۵۶] [۴۶] [۱۰] [ ۱.۳۲۷۴e+008] [2.4672e+006]

[۵۶] [۴۷] [ ۹] [ ۴.۴۰۷۶e+007] [6.8481e+005]

[۵۶] [۴۸] [ ۸] [ ۱.۳۲۲۳e+007] [1.7102e+005]

[۵۶] [۴۹] [ ۷] [ ۳.۵۴۱۸e+006] [3.7974e+004]

[۵۶] [۵۰] [ ۶] [ ۸.۳۴۳۰e+005] [7.3841e+003]

[۵۶] [۵۱] [ ۵] [ ۱.۶۹۳۹e+005] [1.2324e+003]

[۵۶] [۵۲] [ ۴] [ ۲.۸۸۳۷e+004] [1.7174e+002]

[۵۶] [۵۳] [ ۳] [ ۳.۹۵۳۸e+003] [1.9193e+001]

[۵۶] [۵۴] [ ۲] [ ۴.۰۹۵۳e+002] [1.6136e+000]

[۵۶] [۵۵] [ ۱] [ ۲.۸۵۰۰e+001] [9.0756e-002]

[۵۶] [۵۶] [ ۰] [ ۱] [۲.۵۶۲۷e-003]

[۹۵] [ ۰] [۹۵] [ ۱] [ ۱]

[۹۵] [ ۱] [۹۴] [ ۴۸] [۴.۵۹۴۳e+001]

[۹۵] [ ۲] [۹۳] [ ۱.۱۵۷۸e+003] [1.1042e+003]

[۹۵] [ ۳] [۹۲] [ ۱.۸۷۱۰e+004] [1.7713e+004]

[۹۵] [ ۴] [۹۱] [ ۲.۲۷۸۲e+005] [2.1333e+005]

[۹۵] [ ۵] [۹۰] [ ۲.۲۲۹۳e+006] [2.0570e+006]

[۹۵] [ ۶] [۸۹] [ ۱.۸۲۵۶e+007] [1.6538e+007]

[۹۵] [ ۷] [۸۸] [ ۱.۲۸۶۷e+008] [1.1402e+008]

[۹۵] [ ۸] [۸۷] [ ۷.۹۶۶۲e+008] [6.8796e+008]

[۹۵] [ ۹] [۸۶] [ ۴.۴۰۰۴e+009] [3.6897e+009]

[۹۵] [۱۰] [۸۵] [ ۲.۱۹۵۳e+010] [1.7806e+010]

[۹۵] [۱۱] [۸۴] [ ۹.۹۸۹۹e+010] [7.8083e+010]

[۹۵] [۱۲] [۸۳] [ ۴.۱۸۰۱e+011] [3.1368e+011]

[۹۵] [۱۳] [۸۲] [ ۱.۶۱۹۳e+012] [1.1623e+012]

[۹۵] [۱۴] [۸۱] [ ۵.۸۴۰۷e+012] [3.9946e+012]

[۹۵] [۱۵] [۸۰] [ ۱.۹۷۱۲e+013] [1.2798e+013]

[۹۵] [۱۶] [۷۹] [ ۶.۲۵۱۷e+013] [3.8381e+013]

[۹۵] [۱۷] [۷۸] [ ۱.۸۷۰۰e+014] [1.0816e+014]

[۹۵] [۱۸] [۷۷] [ ۵.۲۹۲۹e+014] [2.8729e+014]

[۹۵] [۱۹] [۷۶] [ ۱.۴۲۱۷e+015] [7.2144e+014]

[۹۵] [۲۰] [۷۵] [ ۳.۶۳۳۳e+015] [1.7170e+015]

[۹۵] [۲۱] [۷۴] [ ۸.۸۵۴۱e+015] [3.8819e+015]

[۹۵] [۲۲] [۷۳] [ ۲.۰۶۱۸e+016] [8.3540e+015]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC [95] [23] [72] [ 4.5965e+016] [1.7144e+016]

[۹۵] [۲۴] [۷۱] [ ۹.۸۲۵۹e+016] [3.3608e+016]

[۹۵] [۲۵] [۷۰] [ ۲.۰۱۷۳e+017] [6.3025e+016]

[۹۵] [۲۶] [۶۹] [ ۳.۹۸۲۸e+017] [1.1322e+017]

[۹۵] [۲۷] [۶۸] [ ۷.۵۷۱۷e+017] [1.9507e+017]

[۹۵] [۲۸] [۶۷] [ ۱.۳۸۷۶e+018] [3.2273e+017]

[۹۵] [۲۹] [۶۶] [ ۲.۴۵۳۸e+018] [5.1320e+017]

[۹۵] [۳۰] [۶۵] [ ۴.۱۹۱۳e+018] [7.8512e+017]

[۹۵] [۳۱] [۶۴] [ ۶.۹۲۰۸e+018] [1.1565e+018]

[۹۵] [۳۲] [۶۳] [ ۱.۱۰۵۶e+019] [1.6417e+018]

[۹۵] [۳۳] [۶۲] [ ۱.۷۰۹۹e+019] [2.2471e+018]

[۹۵] [۳۴] [۶۱] [ ۲.۵۶۲۰e+019] [2.9680e+018]

[۹۵] [۳۵] [۶۰] [ ۳.۷۲۰۹e+019] [3.7846e+018]

[۹۵] [۳۶] [۵۹] [ ۵.۲۴۱۳e+019] [4.6617e+018]

[۹۵] [۳۷] [۵۸] [ ۷.۱۶۳۸e+019] [5.5492e+018]

[۹۵] [۳۸] [۵۷] [ ۹.۵۰۵۰e+019] [6.3865e+018]

[۹۵] [۳۹] [۵۶] [ ۱.۲۲۴۷e+020] [7.1088e+018]

[۹۵] [۴۰] [۵۵] [ ۱.۵۳۲۹e+020] [7.6555e+018]

[۹۵] [۴۱] [۵۴] [ ۱.۸۶۴۴e+020] [7.9785e+018]

[۹۵] [۴۲] [۵۳] [ ۲.۲۰۴۰e+020] [8.0490e+018]

[۹۵] [۴۳] [۵۲] [ ۲.۵۳۳۰e+020] [7.8618e+018]

[۹۵] [۴۴] [۵۱] [ ۲.۸۳۰۶e+020] [7.4360e+018]

[۹۵] [۴۵] [۵۰] [ ۳.۰۷۶۲e+020] [6.8115e+018]

[۹۵] [۴۶] [۴۹] [ ۳.۲۵۱۵e+020] [6.0434e+018]

[۹۵] [۴۷] [۴۸] [ ۳.۳۴۲۸e+020] [5.1936e+018]

[۹۵] [۴۸] [۴۷] [ ۳.۳۴۲۸e+020] [4.3234e+018]

[۹۵] [۴۹] [۴۶] [ ۳.۲۵۱۵e+020] [3.4861e+018]

[۹۵] [۵۰] [۴۵] [ ۳.۰۷۶۲e+020] [2.7227e+018]

[۹۵] [۵۱] [۴۴] [ ۲.۸۳۰۶e+020] [2.0595e+018]

[۹۵] [۵۲] [۴۳] [ ۲.۵۳۳۰e+020] [1.5085e+018]

[۹۵] [۵۳] [۴۲] [ ۲.۲۰۴۰e+020] [1.0699e+018]

[۹۵] [۵۴] [۴۱] [ ۱.۸۶۴۴e+020] [7.3459e+017]

[۹۵] [۵۵] [۴۰] [ ۱.۵۳۲۹e+020] [4.8813e+017]

[۹۵] [۵۶] [۳۹] [ ۱.۲۲۴۷e+020] [3.1385e+017]

[۹۵] [۵۷] [۳۸] [ ۹.۵۰۵۰e+019] [1.9519e+017]

[۹۵] [۵۸] [۳۷] [ ۷.۱۶۳۸e+019] [1.1738e+017]

[۹۵] [۵۹] [۳۶] [ ۵.۲۴۱۳e+019] [6.8224e+016]

[۹۵] [۶۰] [۳۵] [ ۳.۷۲۰۹e+019] [3.8312e+016]

[۹۵] [۶۱] [۳۴] [ ۲.۵۶۲۰e+019] [2.0775e+016]

[۹۵] [۶۲] [۳۳] [ ۱.۷۰۹۹e+019] [1.0873e+016]

[۹۵] [۶۳] [۳۲] [ ۱.۱۰۵۶e+019] [5.4888e+015]

[۹۵] [۶۴] [۳۱] [ ۶.۹۲۰۸e+018] [2.6708e+015]

[۹۵] [۶۵] [۳۰] [ ۴.۱۹۱۳e+018] [1.2518e+015]

[۹۵] [۶۶] [۲۹] [ ۲.۴۵۳۸e+018] [5.6470e+014]

[۹۵] [۶۷] [۲۸] [ ۱.۳۸۷۶e+018] [2.4496e+014]

[۹۵] [۶۸] [۲۷] [ ۷.۵۷۱۷e+017] [1.0208e+014]

[۹۵] [۶۹] [۲۶] [ ۳.۹۸۲۸e+017] [4.0828e+013]

[۹۵] [۷۰] [۲۵] [ ۲.۰۱۷۳e+017] [1.5653e+013]

[۹۵] [۷۱] [۲۴] [ ۹.۸۲۵۹e+016] [5.7453e+012]

[۹۵] [۷۲] [۲۳] [ ۴.۵۹۶۵e+016] [2.0162e+012]

[۹۵] [۷۳] [۲۲] [ ۲.۰۶۱۸e+016] [6.7540e+011]

[۹۵] [۷۴] [۲۱] [ ۸.۸۵۴۱e+015] [2.1562e+011]

[۹۵] [۷۵] [۲۰] [ ۳.۶۳۳۳e+015] [6.5480e+010]

[۹۵] [۷۶] [۱۹] [ ۱.۴۲۱۷e+015] [1.8876e+010]

[۹۵] [۷۷] [۱۸] [ ۵.۲۹۲۹e+014] [5.1536e+009]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۹۵] [۷۸] [۱۷] [ ۱.۸۷۰۰e+014] [1.3291e+009]

[۹۵] [۷۹] [۱۶] [ ۶.۲۵۱۷e+013] [3.2288e+008]

[۹۵] [۸۰] [۱۵] [ ۱.۹۷۱۲e+013] [7.3638e+007]

[۹۵] [۸۱] [۱۴] [ ۵.۸۴۰۷e+012] [1.5709e+007]

[۹۵] [۸۲] [۱۳] [ ۱.۶۱۹۳e+012] [3.1209e+006]

[۹۵] [۸۳] [۱۲] [ ۴.۱۸۰۱e+011] [5.7466e+005]

[۹۵] [۸۴] [۱۱] [ ۹.۹۸۹۹e+010] [9.7504e+004]

[۹۵] [۸۵] [۱۰] [ ۲.۱۹۵۳e+010] [1.5141e+004]

[۹۵] [۸۶] [ ۹] [ ۴.۴۰۰۴e+009] [2.1346e+003]

[۹۵] [۸۷] [ ۸] [ ۷.۹۶۶۲e+008] [2.7051e+002]

[۹۵] [۸۸] [ ۷] [ ۱.۲۸۶۷e+008] [3.0440e+001]

[۹۵] [۸۹] [ ۶] [ ۱.۸۲۵۶e+007] [2.9947e+000]

[۹۵] [۹۰] [ ۵] [ ۲.۲۲۹۳e+006] [2.5237e-001]

[۹۵] [۹۱] [ ۴] [ ۲.۲۷۸۲e+005] [1.7714e-002]

[۹۵] [۹۲] [ ۳] [ ۱.۸۷۱۰e+004] [9.9435e-004]

[۹۵] [۹۳] [ ۲] [ ۱.۱۵۷۸e+003] [4.1857e-005]

[۹۵] [۹۴] [ ۱] [ ۴.۸۰۰۰e+001] [1.1747e-006]

[۹۵] [۹۵] [ ۰] [ ۱] [۱.۶۴۸۷e-008]

[۱۵۹] [ ۰] [۱۵۹] [ ۱] [ ۱]

[۱۵۹] [ ۱] [۱۵۸] [ ۸۰] [۷.۶۵۷۲e+001]

[۱۵۹] [ ۲] [۱۵۷] [ ۳.۲۰۹۸e+003] [3.0611e+003]

[۱۵۹] [ ۳] [۱۵۶] [ ۸.۶۱۱۷e+004] [8.1528e+004]

[۱۵۹] [ ۴] [۱۵۵] [ ۱.۷۳۷۹e+006] [1.6273e+006]

[۱۵۹] [ ۵] [۱۵۴] [ ۲.۸۱۳۹e+007] [2.5964e+007]

[۱۵۹] [ ۶] [۱۵۳] [ ۳.۸۰۷۳e+008] [3.4491e+008]

[۱۵۹] [ ۷] [۱۵۲] [ ۴.۴۲۷۶e+009] [3.9235e+009]

[۱۵۹] [ ۸] [۱۵۱] [ ۴.۵۱۷۲e+010] [3.9011e+010]

[۱۵۹] [ ۹] [۱۵۰] [ ۴.۱۰۷۳e+011] [3.4439e+011]

[۱۵۹] [ ۱۰] [۱۴۹] [ ۳.۳۶۹۶e+012] [2.7330e+012]

[۱۵۹] [ ۱۱] [۱۴۸] [ ۲.۵۱۹۲e+013] [1.9691e+013]

[۱۵۹] [ ۱۲] [۱۴۷] [ ۱.۷۳۰۶e+014] [1.2987e+014]

[۱۵۹] [ ۱۳] [۱۴۶] [ ۱.۱۰۰۰e+015] [7.8951e+014]

[۱۵۹] [ ۱۴] [۱۴۵] [ ۶.۵۰۶۶e+015] [4.4500e+015]

[۱۵۹] [ ۱۵] [۱۴۴] [ ۳.۶۰۰۱e+016] [2.3372e+016]

[۱۵۹] [ ۱۶] [۱۴۳] [ ۱.۸۷۱۳e+017] [1.1489e+017]

[۱۵۹] [ ۱۷] [۱۴۲] [ ۹.۱۷۳۶e+017] [5.3058e+017]

[۱۵۹] [ ۱۸] [۱۴۱] [ ۴.۲۵۵۶e+018] [2.3099e+018]

[۱۵۹] [ ۱۹] [۱۴۰] [ ۱.۸۷۳۸e+019] [9.5086e+018]

[۱۵۹] [ ۲۰] [۱۳۹] [ ۷.۸۵۲۵e+019] [3.7110e+019]

[۱۵۹] [ ۲۱] [۱۳۸] [ ۳.۱۳۹۵e+020] [1.3764e+020]

[۱۵۹] [ ۲۲] [۱۳۷] [ ۱.۲۰۰۲e+021] [4.8627e+020]

[۱۵۹] [ ۲۳] [۱۳۶] [ ۴.۳۹۵۵e+021] [1.6395e+021]

[۱۵۹] [ ۲۴] [۱۳۵] [ ۱.۵۴۵۱e+022] [5.2849e+021]

[۱۵۹] [ ۲۵] [۱۳۴] [ ۵.۲۲۱۹e+022] [1.6315e+022]

[۱۵۹] [ ۲۶] [۱۳۳] [ ۱.۶۹۹۳e+023] [4.8305e+022]

[۱۵۹] [ ۲۷] [۱۳۲] [ ۵.۳۳۱۹e+023] [1.3737e+023]

[۱۵۹] [ ۲۸] [۱۳۱] [ ۱.۶۱۵۳e+024] [3.7569e+023]

[۱۵۹] [ ۲۹] [۱۳۰] [ ۴.۷۳۰۲e+024] [9.8929e+023]

[۱۵۹] [ ۳۰] [۱۲۹] [ ۱.۳۴۰۵e+025] [2.5110e+024]

[۱۵۹] [ ۳۱] [۱۲۸] [ ۳.۶۸۰۱e+025] [6.1498e+024]

[۱۵۹] [ ۳۲] [۱۲۷] [ ۹.۷۹۶۴e+025] [1.4547e+025]

[۱۵۹] [ ۳۳] [۱۲۶] [ ۲.۵۳۱۰e+026] [3.3262e+025]

[۱۵۹] [ ۳۴] [۱۲۵] [ ۶.۳۵۱۸e+026] [7.3584e+025]

[۱۵۹] [ ۳۵] [۱۲۴] [ ۱.۵۴۹۶e+027] [1.5761e+026]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۵۹] [ ۳۶] [۱۲۳] [ ۳.۶۷۷۸e+027] [3.2711e+026]

[۱۵۹] [ ۳۷] [۱۲۲] [ ۸.۴۹۷۷e+027] [6.5825e+026]

[۱۵۹] [ ۳۸] [۱۲۱] [ ۱.۹۱۲۷e+028] [1.2851e+027]

[۱۵۹] [ ۳۹] [۱۲۰] [ ۴.۱۹۶۳e+028] [2.4358e+027]

[۱۵۹] [ ۴۰] [۱۱۹] [ ۸.۹۷۹۱e+028] [4.4844e+027]

[۱۵۹] [ ۴۱] [۱۱۸] [ ۱.۸۷۴۹e+029] [8.0236e+027]

[۱۵۹] [ ۴۲] [۱۱۷] [ ۳.۸۲۲۴e+029] [1.3959e+028]

[۱۵۹] [ ۴۳] [۱۱۶] [ ۷.۶۱۱۹e+029] [2.3625e+028]

[۱۵۹] [ ۴۴] [۱۱۵] [ ۱.۴۸۱۴e+030] [3.8915e+028]

[۱۵۹] [ ۴۵] [۱۱۴] [ ۲.۸۱۸۵e+030] [6.2410e+028]

[۱۵۹] [ ۴۶] [۱۱۳] [ ۵.۲۴۵۲e+030] [9.7491e+028]

[۱۵۹] [ ۴۷] [۱۱۲] [ ۹.۵۵۰۹e+030] [1.4839e+029]

[۱۵۹] [ ۴۸] [۱۱۱] [ ۱.۷۰۲۲e+031] [2.2016e+029]

[۱۵۹] [ ۴۹] [۱۱۰] [ ۲.۹۷۰۶e+031] [3.1850e+029]

[۱۵۹] [ ۵۰] [۱۰۹] [ ۵.۰۷۷۷e+031] [4.4941e+029]

[۱۵۹] [ ۵۱] [۱۰۸] [ ۸.۵۰۳۶e+031] [6.1869e+029]

[۱۵۹] [ ۵۲] [۱۰۷] [ ۱.۳۹۵۷e+032] [8.3122e+029]

[۱۵۹] [ ۵۳] [۱۰۶] [ ۲.۲۴۵۷e+032] [1.0902e+030]

[۱۵۹] [ ۵۴] [۱۰۵] [ ۳.۵۴۳۳e+032] [1.3961e+030]

[۱۵۹] [ ۵۵] [۱۰۴] [ ۵.۴۸۳۳e+032] [1.7461e+030]

[۱۵۹] [ ۵۶] [۱۰۳] [ ۸.۳۲۴۷e+032] [2.1334e+030]

[۱۵۹] [ ۵۷] [۱۰۲] [ ۱.۲۴۰۲e+033] [2.5467e+030]

[۱۵۹] [ ۵۸] [۱۰۱] [ ۱.۸۱۳۳e+033] [2.9710e+030]

[۱۵۹] [ ۵۹] [۱۰۰] [ ۲.۶۰۲۷e+033] [3.3878e+030]

[۱۵۹] [ ۶۰] [ ۹۹] [ ۳.۶۶۷۹e+033] [3.7766e+030]

[۱۵۹] [ ۶۱] [ ۹۸] [ ۵.۰۷۶۱e+033] [4.1163e+030]

[۱۵۹] [ ۶۲] [ ۹۷] [ ۶.۸۹۹۶e+033] [4.3874e+030]

[۱۵۹] [ ۶۳] [ ۹۶] [ ۹.۲۱۲۳e+033] [4.5736e+030]

[۱۵۹] [ ۶۴] [ ۹۵] [ ۱.۲۰۸۴e+034] [4.6636e+030]

[۱۵۹] [ ۶۵] [ ۹۴] [ ۱.۵۵۷۶e+034] [4.6520e+030]

[۱۵۹] [ ۶۶] [ ۹۳] [ ۱.۹۷۲۸e+034] [4.5401e+030]

[۱۵۹] [ ۶۷] [ ۹۲] [ ۲.۴۵۵۹e+034] [4.3355e+030]

[۱۵۹] [ ۶۸] [ ۹۱] [ ۳.۰۰۵۰e+034] [4.0514e+030]

[۱۵۹] [ ۶۹] [ ۹۰] [ ۳.۶۱۴۳e+034] [3.7050e+030]

[۱۵۹] [ ۷۰] [ ۸۹] [ ۴.۲۷۳۷e+034] [3.3161e+030]

[۱۵۹] [ ۷۱] [ ۸۸] [ ۴.۹۶۸۴e+034] [2.9051e+030]

[۱۵۹] [ ۷۲] [ ۸۷] [ ۵.۶۷۹۱e+034] [2.4911e+030]

[۱۵۹] [ ۷۳] [ ۸۶] [ ۶.۳۸۳۱e+034] [2.0909e+030]

[۱۵۹] [ ۷۴] [ ۸۵] [ ۷.۰۵۴۸e+034] [1.7180e+030]

[۱۵۹] [ ۷۵] [ ۸۴] [ ۷.۶۶۷۸e+034] [1.3819e+030]

[۱۵۹] [ ۷۶] [ ۸۳] [ ۸.۱۹۵۹e+034] [1.0882e+030]

[۱۵۹] [ ۷۷] [ ۸۲] [ ۸.۶۱۵۵e+034] [8.3886e+029]

[۱۵۹] [ ۷۸] [ ۸۱] [ ۸.۹۰۷۰e+034] [6.3308e+029]

[۱۵۹] [ ۷۹] [ ۸۰] [ ۹.۰۵۶۴e+034] [4.6774e+029]

[۱۵۹] [ ۸۰] [ ۷۹] [ ۹.۰۵۶۴e+034] [3.3831e+029]

[۱۵۹] [ ۸۱] [ ۷۸] [ ۸.۹۰۷۰e+034] [2.3955e+029]

[۱۵۹] [ ۸۲] [ ۷۷] [ ۸.۶۱۵۵e+034] [1.6605e+029]

[۱۵۹] [ ۸۳] [ ۷۶] [ ۸.۱۹۵۹e+034] [1.1267e+029]

[۱۵۹] [ ۸۴] [ ۷۵] [ ۷.۶۶۷۸e+034] [7.4839e+028]

[۱۵۹] [ ۸۵] [ ۷۴] [ ۷.۰۵۴۸e+034] [4.8657e+028]

[۱۵۹] [ ۸۶] [ ۷۳] [ ۶.۳۸۳۱e+034] [3.0963e+028]

[۱۵۹] [ ۸۷] [ ۷۲] [ ۵.۶۷۹۱e+034] [1.9284e+028]

[۱۵۹] [ ۸۸] [ ۷۱] [ ۴.۹۶۸۴e+034] [1.1754e+028]

[۱۵۹] [ ۸۹] [ ۷۰] [ ۴.۲۷۳۷e+034] [7.0107e+027]

[۱۵۹] [ ۹۰] [ ۶۹] [ ۳.۶۱۴۳e+034] [4.0916e+027]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۵۹] [ ۹۱] [ ۶۸] [ ۳.۰۰۵۰e+034] [2.3364e+027]

[۱۵۹] [ ۹۲] [ ۶۷] [ ۲.۴۵۵۹e+034] [1.3052e+027]

[۱۵۹] [ ۹۳] [ ۶۶] [ ۱.۹۷۲۸e+034] [7.1320e+026]

[۱۵۹] [ ۹۴] [ ۶۵] [ ۱.۵۵۷۶e+034] [3.8118e+026]

[۱۵۹] [ ۹۵] [ ۶۴] [ ۱.۲۰۸۴e+034] [1.9923e+026]

[۱۵۹] [ ۹۶] [ ۶۳] [ ۹.۲۱۲۳e+033] [1.0182e+026]

[۱۵۹] [ ۹۷] [ ۶۲] [ ۶.۸۹۹۶e+033] [5.0876e+025]

[۱۵۹] [ ۹۸] [ ۶۱] [ ۵.۰۷۶۱e+033] [2.4849e+025]

[۱۵۹] [ ۹۹] [ ۶۰] [ ۳.۶۶۷۹e+033] [1.1862e+025]

[۱۵۹] [۱۰۰] [ ۵۹] [ ۲.۶۰۲۷e+033] [5.5333e+024]

[۱۵۹] [۱۰۱] [ ۵۸] [ ۱.۸۱۳۳e+033] [2.5217e+024]

[۱۵۹] [۱۰۲] [ ۵۷] [ ۱.۲۴۰۲e+033] [1.1226e+024]

[۱۵۹] [۱۰۳] [ ۵۶] [ ۸.۳۲۴۷e+032] [4.8802e+023]

[۱۵۹] [۱۰۴] [ ۵۵] [ ۵.۴۸۳۳e+032] [2.0715e+023]

[۱۵۹] [۱۰۵] [ ۵۴] [ ۳.۵۴۳۳e+032] [8.5829e+022]

[۱۵۹] [۱۰۶] [ ۵۳] [ ۲.۲۴۵۷e+032] [3.4705e+022]

[۱۵۹] [۱۰۷] [ ۵۲] [ ۱.۳۹۵۷e+032] [1.3691e+022]

[۱۵۹] [۱۰۸] [ ۵۱] [ ۸.۵۰۳۶e+031] [5.2681e+021]

[۱۵۹] [۱۰۹] [ ۵۰] [ ۵.۰۷۷۷e+031] [1.9765e+021]

[۱۵۹] [۱۱۰] [ ۴۹] [ ۲.۹۷۰۶e+031] [7.2287e+020]

[۱۵۹] [۱۱۱] [ ۴۸] [ ۱.۷۰۲۲e+031] [2.5762e+020]

[۱۵۹] [۱۱۲] [ ۴۷] [ ۹.۵۵۰۹e+030] [8.9438e+019]

[۱۵۹] [۱۱۳] [ ۴۶] [ ۵.۲۴۵۲e+030] [3.0235e+019]

[۱۵۹] [۱۱۴] [ ۴۵] [ ۲.۸۱۸۵e+030] [9.9494e+018]

[۱۵۹] [۱۱۵] [ ۴۴] [ ۱.۴۸۱۴e+030] [3.1856e+018]

[۱۵۹] [۱۱۶] [ ۴۳] [ ۷.۶۱۱۹e+029] [9.9202e+017]

[۱۵۹] [۱۱۷] [ ۴۲] [ ۳.۸۲۲۴e+029] [3.0032e+017]

[۱۵۹] [۱۱۸] [ ۴۱] [ ۱.۸۷۴۹e+029] [8.8343e+016]

[۱۵۹] [۱۱۹] [ ۴۰] [ ۸.۹۷۹۱e+028] [2.5239e+016]

[۱۵۹] [۱۲۰] [ ۳۹] [ ۴.۱۹۶۳e+028] [6.9993e+015]

[۱۵۹] [۱۲۱] [ ۳۸] [ ۱.۹۱۲۷e+028] [1.8831e+015]

[۱۵۹] [۱۲۲] [ ۳۷] [ ۸.۴۹۷۷e+027] [4.9119e+014]

[۱۵۹] [۱۲۳] [ ۳۶] [ ۳.۶۷۷۸e+027] [1.2415e+014]

[۱۵۹] [۱۲۴] [ ۳۵] [ ۱.۵۴۹۶e+027] [3.0384e+013]

[۱۵۹] [۱۲۵] [ ۳۴] [ ۶.۳۵۱۸e+026] [7.1951e+012]

[۱۵۹] [۱۲۶] [ ۳۳] [ ۲.۵۳۱۰e+026] [1.6474e+012]

[۱۵۹] [۱۲۷] [ ۳۲] [ ۹.۷۹۶۴e+025] [3.6442e+011]

[۱۵۹] [۱۲۸] [ ۳۱] [ ۳.۶۸۰۱e+025] [7.7810e+010]

[۱۵۹] [۱۲۹] [ ۳۰] [ ۱.۳۴۰۵e+025] [1.6022e+010]

[۱۵۹] [۱۳۰] [ ۲۹] [ ۴.۷۳۰۲e+024] [3.1784e+009]

[۱۵۹] [۱۳۱] [ ۲۸] [ ۱.۶۱۵۳e+024] [6.0683e+008]

[۱۵۹] [۱۳۲] [ ۲۷] [ ۵.۳۳۱۹e+023] [1.1138e+008]

[۱۵۹] [۱۳۳] [ ۲۶] [ ۱.۶۹۹۳e+023] [1.9627e+007]

[۱۵۹] [۱۳۴] [ ۲۵] [ ۵.۲۲۱۹e+022] [3.3163e+006]

[۱۵۹] [۱۳۵] [ ۲۴] [ ۱.۵۴۵۱e+022] [5.3656e+005]

[۱۵۹] [۱۳۶] [ ۲۳] [ ۴.۳۹۵۵e+021] [8.2993e+004]

[۱۵۹] [۱۳۷] [ ۲۲] [ ۱.۲۰۰۲e+021] [1.2252e+004]

[۱۵۹] [۱۳۸] [ ۲۱] [ ۳.۱۳۹۵e+020] [1.7230e+003]

[۱۵۹] [۱۳۹] [ ۲۰] [ ۷.۸۵۲۵e+019] [2.3038e+002]

[۱۵۹] [۱۴۰] [ ۱۹] [ ۱.۸۷۳۸e+019] [2.9221e+001]

[۱۵۹] [۱۴۱] [ ۱۸] [ ۴.۲۵۵۶e+018] [3.5072e+000]

[۱۵۹] [۱۴۲] [ ۱۷] [ ۹.۱۷۳۶e+017] [3.9727e-001]

[۱۵۹] [۱۴۳] [ ۱۶] [ ۱.۸۷۱۳e+017] [4.2338e-002]

[۱۵۹] [۱۴۴] [ ۱۵] [ ۳.۶۰۰۱e+016] [4.2307e-003]

[۱۵۹] [۱۴۵] [ ۱۴] [ ۶.۵۰۶۶e+015] [3.9487e-004]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۵۹] [۱۴۶] [ ۱۳] [ ۱.۱۰۰۰e+015] [3.4272e-005]

[۱۵۹] [۱۴۷] [ ۱۲] [ ۱.۷۳۰۶e+014] [2.7521e-006]

[۱۵۹] [۱۴۸] [ ۱۱] [ ۲.۵۱۹۲e+013] [2.0328e-007]

[۱۵۹] [۱۴۹] [ ۱۰] [ ۳.۳۶۹۶e+012] [1.3715e-008]

[۱۵۹] [۱۵۰] [ ۹] [ ۴.۱۰۷۳e+011] [8.3827e-010]

[۱۵۹] [۱۵۱] [ ۸] [ ۴.۵۱۷۲e+010] [4.5955e-011]

[۱۵۹] [۱۵۲] [ ۷] [ ۴.۴۲۷۶e+009] [2.2318e-012]

[۱۵۹] [۱۵۳] [ ۶] [ ۳.۸۰۷۳e+008] [9.4522e-014]

[۱۵۹] [۱۵۴] [ ۵] [ ۲.۸۱۳۹e+007] [3.4201e-015]

[۱۵۹] [۱۵۵] [ ۴] [ ۱.۷۳۷۹e+006] [1.0279e-016]

[۱۵۹] [۱۵۶] [ ۳] [ ۸.۶۱۱۷e+004] [2.4634e-018]

[۱۵۹] [۱۵۷] [ ۲] [ ۳.۲۰۹۸e+003] [4.4140e-020]

[۱۵۹] [۱۵۸] [ ۱] [ ۸.۰۰۰۰e+001] [5.2562e-022]

[۱۵۹] [۱۵۹] [ ۰] [ ۱] [۳.۱۱۹۹e-024]

[۲۳۸] [ ۰] [۲۳۸] [ ۱] [ ۱]

[۲۳۸] [ ۱] [۲۳۷] [ ۱.۱۹۵۰e+002] [1.1438e+002]

[۲۳۸] [ ۲] [۲۳۶] [ ۷.۱۵۴۹e+003] [6.8233e+003]

[۲۳۸] [ ۳] [۲۳۵] [ ۲.۸۶۱۸e+005] [2.7092e+005]

[۲۳۸] [ ۴] [۲۳۴] [ ۸.۶۰۱۹e+006] [8.0545e+006]

[۲۳۸] [ ۵] [۲۳۳] [ ۲.۰۷۲۶e+008] [1.9124e+008]

[۲۳۸] [ ۶] [۲۳۲] [ ۴.۱۶۹۵e+009] [3.7772e+009]

[۲۳۸] [ ۷] [۲۳۱] [ ۷.۲۰۳۴e+010] [6.3833e+010]

[۲۳۸] [ ۸] [۲۳۰] [ ۱.۰۹۱۰e+012] [9.4218e+011]

[۲۳۸] [ ۹] [۲۲۹] [ ۱.۴۷۱۵e+013] [1.2338e+013]

[۲۳۸] [ ۱۰] [۲۲۸] [ ۱.۷۸۹۵e+014] [1.4514e+014]

[۲۳۸] [ ۱۱] [۲۲۷] [ ۱.۹۸۱۹e+015] [1.5491e+015]

[۲۳۸] [ ۱۲] [۲۲۶] [ ۲.۰۱۵۷e+016] [1.5126e+016]

[۲۳۸] [ ۱۳] [۲۲۵] [ ۱.۸۹۵۶e+017] [1.3605e+017]

[۲۳۸] [ ۱۴] [۲۲۴] [ ۱.۶۵۸۱e+018] [1.1340e+018]

[۲۳۸] [ ۱۵] [۲۲۳] [ ۱.۳۵۶۰e+019] [8.8031e+018]

[۲۳۸] [ ۱۶] [۲۲۲] [ ۱.۰۴۱۳e+020] [6.3928e+019]

[۲۳۸] [ ۱۷] [۲۲۱] [ ۷.۵۳۷۹e+020] [4.3597e+020]

[۲۳۸] [ ۱۸] [۲۲۰] [ ۵.۱۶۱۷e+021] [2.8017e+021]

[۲۳۸] [ ۱۹] [۲۱۹] [ ۳.۳۵۳۸e+022] [1.7019e+022]

[۲۳۸] [ ۲۰] [۲۱۸] [ ۲.۰۷۳۲e+023] [9.7979e+022]

[۲۳۸] [ ۲۱] [۲۱۷] [ ۱.۲۲۲۴e+024] [5.3595e+023]

[۲۳۸] [ ۲۲] [۲۱۶] [ ۶.۸۹۰۰e+024] [2.7917e+024]

[۲۳۸] [ ۲۳] [۲۱۵] [ ۳.۷۱۹۹e+025] [1.3875e+025]

[۲۳۸] [ ۲۴] [۲۱۴] [ ۱.۹۲۷۴e+026] [6.5922e+025]

[۲۳۸] [ ۲۵] [۲۱۳] [ ۹.۵۹۹۶e+026] [2.9992e+026]

[۲۳۸] [ ۲۶] [۲۱۲] [ ۴.۶۰۳۵e+027] [1.3086e+027]

[۲۳۸] [ ۲۷] [۲۱۱] [ ۲.۱۲۸۶e+028] [5.4840e+027]

[۲۳۸] [ ۲۸] [۲۱۰] [ ۹.۵۰۲۸e+028] [2.2102e+028]

[۲۳۸] [ ۲۹] [۲۰۹] [ ۴.۱۰۱۲e+029] [8.5772e+028]

[۲۳۸] [ ۳۰] [۲۰۸] [ ۱.۷۱۳۰e+030] [3.2088e+029]

[۲۳۸] [ ۳۱] [۲۰۷] [ ۶.۹۳۲۳e+030] [1.1585e+030]

[۲۳۸] [ ۳۲] [۲۰۶] [ ۲.۷۲۰۸e+031] [4.0402e+030]

[۲۳۸] [ ۳۳] [۲۰۵] [ ۱.۰۳۶۷e+032] [1.3624e+031]

[۲۳۸] [ ۳۴] [۲۰۴] [ ۳.۸۳۷۸e+032] [4.4460e+031]

[۲۳۸] [ ۳۵] [۲۰۳] [ ۱.۳۸۱۶e+033] [1.4053e+032]

[۲۳۸] [ ۳۶] [۲۰۲] [ ۴.۸۴۰۵e+033] [4.3052e+032]

[۲۳۸] [ ۳۷] [۲۰۱] [ ۱.۶۵۱۷e+034] [1.2794e+033]

[۲۳۸] [ ۳۸] [۲۰۰] [ ۵.۴۹۲۶e+034] [3.6905e+033]

[۲۳۸] [ ۳۹] [۱۹۹] [ ۱.۷۸۱۳e+035] [1.0340e+034]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۲۳۸] [ ۴۰] [۱۹۸] [ ۵.۶۳۷۷e+035] [2.8156e+034]

[۲۳۸] [ ۴۱] [۱۹۷] [ ۱.۷۴۲۲e+036] [7.4558e+034]

[۲۳۸] [ ۴۲] [۱۹۶] [ ۵.۲۶۰۰e+036] [1.9210e+035]

[۲۳۸] [ ۴۳] [۱۹۵] [ ۱.۵۵۲۴e+037] [4.8182e+035]

[۲۳۸] [ ۴۴] [۱۹۴] [ ۴.۴۸۰۶e+037] [1.1770e+036]

[۲۳۸] [ ۴۵] [۱۹۳] [ ۱.۲۶۵۴e+038] [2.8019e+036]

[۲۳۸] [ ۴۶] [۱۹۲] [ ۳.۴۹۸۴e+038] [6.5024e+036]

[۲۳۸] [ ۴۷] [۱۹۱] [ ۹.۴۷۲۲e+038] [1.4717e+037]

[۲۳۸] [ ۴۸] [۱۹۰] [ ۲.۵۱۲۸e+039] [3.2499e+037]

[۲۳۸] [ ۴۹] [۱۸۹] [ ۶.۵۳۳۵e+039] [7.0050e+037]

[۲۳۸] [ ۵۰] [۱۸۸] [ ۱.۶۶۵۷e+040] [1.4743e+038]

[۲۳۸] [ ۵۱] [۱۸۷] [ ۴.۱۶۵۶e+040] [3.0307e+038]

[۲۳۸] [ ۵۲] [۱۸۶] [ ۱.۰۲۲۲e+041] [6.0876e+038]

[۲۳۸] [ ۵۳] [۱۸۵] [ ۲.۴۶۲۰e+041] [1.1952e+039]

[۲۳۸] [ ۵۴] [۱۸۴] [ ۵.۸۲۲۵e+041] [2.2941e+039]

[۲۳۸] [ ۵۵] [۱۸۳] [ ۱.۳۵۲۴e+042] [4.3068e+039]

[۲۳۸] [ ۵۶] [۱۸۲] [ ۳.۰۸۶۴e+042] [7.9094e+039]

[۲۳۸] [ ۵۷] [۱۸۱] [ ۶.۹۲۱۸e+042] [1.4214e+040]

[۲۳۸] [ ۵۸] [۱۸۰] [ ۱.۵۲۶۰e+043] [2.5002e+040]

[۲۳۸] [ ۵۹] [۱۷۹] [ ۳.۳۰۷۹e+043] [4.3057e+040]

[۲۳۸] [ ۶۰] [۱۷۸] [ ۷.۰۵۲۳e+043] [7.2612e+040]

[۲۳۸] [ ۶۱] [۱۷۷] [ ۱.۴۷۹۱e+044] [1.1994e+041]

[۲۳۸] [ ۶۲] [۱۷۶] [ ۳.۰۵۲۵e+044] [1.9410e+041]

[۲۳۸] [ ۶۳] [۱۷۵] [ ۶.۲۰۰۰e+044] [3.0781e+041]

[۲۳۸] [ ۶۴] [۱۷۴] [ ۱.۲۳۹۷e+045] [4.7841e+041]

 

رنگ­های کرومودینامیک نقش بار الکتریکی را بازی می­ کنند و فرایند اصلی و عمده آن شبیه  به صورت  بیان می­ شود. در اینجا g گلوئون و q کوارک است. از آنجایی که لپتون­ها نمی ­توانند رنگ­ها را با خود حمل کنند، پس در برهم­کنش­های قوی شرکت نمی­کنند. مانند حالت قبل، برای نشان دادن مراحل پیچیده­تر دو یا چند گره را با هم ترکیب می­کنیم. به عنوان مثال نیروی بین دو کوارک، که در نخستین لحظه مسئول یکپارچگی و پیوستن کوارک­ها به یکدیگر در ساختن باریون­ها و نیز مسئول به هم پیوستن پروتون­ها و نوترون­ها در هسته است، در پایین­ترین مرتبه در نمودار a شکل (۳-۲) نشان داده شده است. گفته می­ شود نیروی بین دو کوارک به وسیله­ تبادل گلوئون تأمین می­ شود، شکل (۳-۲).

 

b

a

شکل (۳-۲): نمودار a فرایند اصلی برهم­کنش قوی در نمودارهای فاینمن است و نمودار b برهم­کنش دو کوارک است که از طریق مبادله یک گلوئون بین آنها صورت گرفته است.

کرومودینامیک تا حدود زیادی همانند الکترودینامیک است، هر چند که تفاوت­های بسیاری بین آنها موجود است. در حالی که در الکترودینامیک تنها یک نوع بار الکتریکی وجود دارد، در کرومودینامیک سه نوع رنگ وجود دارد. در پدیده­  رنگ کوارک ممکن است تغییر یابد ولی طعم آن ثابت است. به عنوان مثال یک کوارک آبی رنگ بالا ممکن است به یک کوارک سبز بالا تبدیل شود. بنابراین گلوئون­ها باید با خود رنگ حمل کنند، و حامل یک واحد رنگ مثبت و یک واحد رنگ منفی خواهند بود. بنابراین احتمال وجود ۹ گلوئون وجود دارد، اما به دلایل فنی ۸ گلوئون وجود دارد. برخلاف فوتون در الکترودینامیک، که بدون بار الکتریکی است و با همدیگر برهم­کنش ندارند. گلوئون­ها دارای رنگ هستند، می­توانند با همدیگر برهم­کنش داشته باشند. بنابراین، افزون بر گره­های کوارک- گلوئون اولیه، گره­های گلوئون- گلوئون اولیه هم وجود دارد، که در حقیقت دو نوع گره هستند. گره­های سه گلوئونی و گره­های چهار گلوئونی. اندازه ثابت جفتیدگی تفاوت دیگر بین کرومودینامیک و الکترودینامیک است. هر گره در QED معرف یک فاکتور  است. کوچکی این عدد باعث می­ شود که نمودارهای فاینمن با تعداد گره­های کم را در نظر بگیریم. از نظر تجربی ثابت جفتیدگی مربوطه در نیروی قوی،  ، بیش از یک است. بزرگی این عدد باعث نگرانی فیزیک ذرات در چند دهه شد. زیرا به جای اینکه با افزایش پیچیدگی نمودارهای فاینمن ثابت جفتیدگی کوچک و کوچک­تر شود، برعکس بزرگ­تر می­ شود و نمودارهای فاینمن که در الکترودینامیک کارایی داشتند در این مورد کاملاً بی­ارزش و بدون کارایی هستند. در QCD عددی که نقش جفتیدگی و مقدار “ثابت” را بازی می­ کند، در حقیقت ثابت نیست. بلکه به فاصله جدایی بین ذرات برهم­کنش کننده بستگی دارد. اگر چه ثابت جفتیدگی قوی در فاصله­های به نسبت زیاد، متعلق به ویژگی­های هسته­ای، بزرگ می­باشد، اما در فاصله­های کوتاه (کمتر از اندازه­ یک پروتون) بسیار کوچک می­ شود. این پدیده به عنوان آزادی مجانبی شناخته شده است. بدان معنا که در درون یک پروتون یا پایون، کوارک­ها بدون هیچ برهم­کنشی به اطراف حرکت می­ کنند. از نظر نظریه کشف آزادی مجانبی محاسبه فاینمن برای QCD در حالت انرژی زیاد را نجات داد. حتی در الکترودینامیک هم جفتیدگی کارآمد، تا حدی به فاصله از منبع بستگی دارد.

۲-۴- برهمکنش­های ضعیف

تمامی کوار­ک­ها و لپتون­ها در برهمکنش­های ضعیف شرکت می­ کنند. دو نوع برهم­کنش ضعیف وجود دارد: دارای بار (به واسطه­ W­ها) و خنثی (به واسطه­ Z). گره باردار بنیادی در شکل (۴-۲) نشان داده شده است. همانند همیشه، گره­های اولیه را به یکدیگر پیوند می­زنند تا واکنش­های پیچیده­تری تولید کنند.

 

شکل (۴-۲): فرایند اصلی برهم­کنش ضعیف و برهم­کنش دو کوارک که از طریق ضعیف صورت می­گیرد.

۲-۵- برهمکنش­های نوکلئون­ها

نوترون با واپاشی بتا به پروتون، الکترون و آنتی­نوترینوی الکترون واپاشیده می­ شود. طبق رابطه زیر:

(۱-۲)

این واکنش که از طریق برهم­کنش ضعیف امکان­ پذیر است، در شکل (۵-۲) نشان داده شده است. برهم­کنش­های پروتون­ها و نوترون­ها با همدیگر بیشتر از طریق قوی رخ می­دهد، که در شکل­های (۶-۲) نشان داده شده است.

شکل (۵-۲): فرایند واپاشی نوترون به پروتون که از طریق برهم­کنش ضعیف رخ می­دهد.

 

شکل (۶-۲): برهم­کنش قوی بین دو پروتون که از طریق تبادل یک پایون خنثی صورت گرفته است.

۲-۵-۱- خواص نیروی هسته­ای

بسیاری از خصوصیات نیروی هسته­ای از آزمایش­های پراکندگی نوکلئون­ها به دست آمده است. در این بخش، ویژگی­های اصلی بین نوکلئون­ها را به طور خلاصه شرح می­دهیم.

برهم­کنش بین دو نوکلئون از پایین­ترین مرتبه­ی پتانسیل جاذبه­ای حاصل می­ شود. ویژگی مشترک همه پتانسیل­هایی که به عنوان پتانسیل هسته­ای در نظر گرفته می­ شود، وابستگی انحصاری همه آنها به فاصله بین نوکلئونی r است.

برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون قویاً وابسته به اسپین است. این نتیجه ­گیری از عدم موفقیت در مشاهده حالت مقید تک­تایه دوترون و همچنین از اندازه ­گیری اختلاف سطح مقطع­های حالت­های تک­تایه و سه­تایه حاصل شده است. روشن است این جمله باید به اسپین دو نوکلئون بستگی داشته باشد، اما با در نظر گرفتن تقارن­های پاریته و برگشت زمان، هر ترکیبی از اسپین­ها قابل قبول نیست. جملاتی که می­توان در نظر گرفت به شکل  یا  می ­تواند باشد.

پتانسیل بین نوکلئونی شامل یک جمله­ غیر مرکزی، به نام پتانسیل تانسوری، است. عمده­ترین دلیل وجود نیروی تانسوری از مشاهده­ گشتاور چارقطبی در حالت پایه دوترون حاصل می­ شود. برای نوکلئون منفرد، بدیهی است که انتخاب یک جهت مشخص در فضا اختیاری است. تنها جهت مرجع برای نوکلئون جهت اسپین آن است، از این رو جمله­ای که می­توان در نظر گرفت به صورت  یا  است، که بردار مکان r را به جهت اسپین s ارتباط می­دهد.

نیروی نوکلئون- نوکلئون نسبت به بار نوکلئون تقارن دارد. این بدان معنی است که پس از تصحیح نیروی کولونی در سیستم پروتون- پروتون، فرقی بین برهم­کنش پروتون- پروتون و برهم­کنش نوترون- نوترون نیست. منظور از «بار» خصوصیت یا جنس نوکلئون است.

نیروی نوکلئون- نوکلئون تقریباً مستقل از بار الکتریکی است. این بدان معنی است پس از تصحیح نیروی کولونی، هر سه نیروی هسته­ای nn، pp و np با هم مساوی­اند. به این ترتیب، استقلال بار شرطی قوی­تر از تقارن بار است. در این مورد شواهد امر چندان قاطع نیست.

برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون در فواصل خیلی کوتاه دافعه می­ شود. این نتیجه از بررسی کیفی چگالی هسته­ای حاصل می­ شود. رشد هسته در اثر افزایش نوکلئون­ها به صورتی است که چگالی مرکزی آن تقریباً ثابت می­ماند، و از این رو باید عاملی وجود داشته باشد که از تجمع و نزدیک شدن بیش از حد نوکلئون­ها جلوگیری کند.

برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون می ­تواند به تکانه یا سرعت نسبی نوکلئون­ها هم بستگی داشته باشد. نیروهای وابسته به سرعت یا تکانه را نمی­ توان با پتانسیل نرده­ای نشان داد، اما با بهره گرفتن از جملات درجه اول p، درجه دوم p و غیره، که هر کدام از آنها به یک پتانسیل مشخصه  متناظرند، می­توان آنها را به طرز قابل قبولی در نظر گرفت. یکی از صورت­های قابل قبول که شامل توان­های درجه اول p می­ شود و نسبت به پاریته و برگشت زمان هر دو ناورداست،  است؛ که در آن  اسپین کل دو نوکلئون مورد بررسی است. تکانه زاویه­ای نسبی نوکلئون­ها برابر  است، و در نتیجه این جمله که به خاطر مشابهت با فیزیک اتمی جمله اسپین- مدار نامیده می­ شود، به صورت  نوشته می­ شود. فرض برهم­کنش اسپین- مدار، با این مشاهده تجربی تقویت می­ شود که اسپین نوکلئون­های پراکنده ممکن است سمت­گیری خاصی در فضا داشته باشدکه در این حالت اسپین نوکلئون­ها را قطبیده می­گویند [۶].

۲-۶- هسته سازی

تولید هسته­های جدید، از پروتون­ها، نوترون­ها و هسته­های موجود هسته سازی گفته می­ شود. اولین هسته­ها در حدود ۳ دقیقه پس از مهبانگ از طریق فرایندی به نام سنتز هسته­ای تشکیل شدند. پس از آن هیدروژن و هلیوم تشکیل شدند. با تشکیل ستارگان، هسته­های سنگین­تر به وجود آمدند. هسته­های سبک تا آهن و نیکل از طریق همجوشی به وجود می­آیند، ولی هسته­های سنگین­تر نیاز به واکنش انفجاری و گیراندازی نوترون دارند. چهار نوع اصلی فرایند هسته­سازی عبارتند از: فرایند هسته­سازی در مهبانگ، فرایند هسته­سازی ستاره­ای، فرایند هسته­سازی انفجاری و فرایند هسته­سازی با اسپلاشی اشعه کیهانی.

۲-۷- فرایند هسته­سازی در مهبانگ

فرایند هسته­سازی مهبانگ در سه دقیقه اول خلقت اتفاق افتاده است. به نوعی علت فراوانی نسبی بیشتر هیدروژن،  ، دوتریوم،  ، هلیوم-۳،  و هلیوم-۴،  ،در جهان می­باشد. تولید  توسط مکانیسم­های دیگر مانند همجوشی ستاره­ای و واپاشی آلفا ادامه دارد، و مقدار کمی از  توسط فرایند اسپلاشی تولید می­ شود. همچنین هیدروژن توسط پاره­ای واکنش­های مشخص هسته­­ای تولید می­ شود. تصور می­ شود که اکثر هسته­های موجود در جهان، در مهبانگ به وجود آمده­اند. اعتقاد بر این است که هسته­هایی که در اینجا ذکر شده ­اند به همراه  و  بین ۱۰۰ تا ۳۰۰ ثانیه پس از انفجار بزرگ به وجود آمدند. یعنی پس از اینکه پلاسمای کوارک-گلوئون اولیه به قدری سرد شد که پروتون و نوترون تشکیل شوند، هسته سازی شروع شد. حدود ۲۰ دقیقه پس از انفجار بزرگ، به خاطر سرد شدن و انبساط هسته سازی متوقف شد. به دلیل دوره کوتاهی که طی آن فرایند هسته سازی مهبانگ اتفاق افتاده است، هیچ هسته سنگین­تر از بریلیوم (یا احتمالاً برم) نمی­توانسته به وجود آید. عناصری که در طی این زمان کوتاه تشکیل شده ­اند در یک حالت پلاسما بوده ­اند و به حالت اتمی خنثی سرد نشده­اند، این پروسه بعدها اتفاق افتاده است. واکنش­هایی که در مهبانگ رخ داده و مسئول فراوانی نسبی عناصر در جهان می­باشد در زیر آورده شده ­اند.

 

۲-۸- فرایند هسته سازی ستاره­ای

فرایند هسته­سازی ستاره­ای درون ستارگان، در طول فرایند تحول ستاره­ای اتفاق می­افتد و این فرایند مسئول نسل دیگری از عناصر یعنی از کربن تا کلسیوم با بهره گرفتن از فرایند­های همجوشی است. ستارگان کوره­های هسته­ای هستند که در آنها هیدروژن و هلیوم به هسته­های سنگین­تر جوش می­خورند [۷]. فرایند زنجیره پروتون-پروتون در ستارگان سردتر از خورشید و چرخه CNO (چرخه کربن، نیتروژن و اکسیژن) در ستارگان داغ­تر از خورشید، اتفاق می­افتد. کربن اهمیت خاصی دارد، زیرا تشکیل آن از هلیوم در کل فرایند وجود دارد. کربن توسط فرایند سه گانه آلفا در تمام ستارگان تولید می­ شود. همچنین، کربن عنصر اصلی استفاده شده در تولید نوترونهای آزاد در ستارگان است که در فرایند s آزاد می­شوند، فرایندی که شامل جذب آهسته نوترون­ها برای تولید عناصر سنگین­تر از آهن و نیکل می­باشد [۸]. کربن و دیگر عناصر ایجاد شده با این فرایند در زندگی ما نقش اساسی و بنیادیی دارند.

اولین اثبات مستقیم فرایند هسته­سازی در ستارگان با آشکار سازی تکنتیوم رادیواکتیو در اتمسفر یک غول قرمز در اوایل دهه ۱۹۵۰ اتفاق افتاد [۹] از آنجا که تکنتیوم رادیواکتیو است (با نیمه عمر خیلی کمتر از سن ستارگان)، توزیع فراوانی­اش بایستی بیان کننده تولید آن در ستاره در مدت زمان عمرش باشد. مدارک متقاعدکننده­ای مبنی بر توزیع فراوانی بیشتر برای عناصر پایدار خاص در یک اتمسفر ستاره­ای وجود دارد. اهمیت تاریخی این موضوع به مشاهده فراوانی باریوم که ۲۰ تا ۵۰ برابر بیشتر از درون ستارگان بود، برمی­گردد. بسیاری از مشاهدات جدید در ترکیب­های ایزوتوپی که از شهاب­سنگ­های آسمانی خارج شده ­اند، حکایت از غبار ستاره­ای^[۱۷] دارند که از گازهای چگال شده ستارگان تشکیل شده ­اند. ذره ستاره­ای یکی از اجزای ذرات کیهانی است. ترکیبهای ایزوتوپی اندازه ­گیری شده، بسیاری از جنبه­ های فرایند هسته­سازی را درون ستارگان از چگالش غبار ستاره­ای، نشان می­ دهند. [۱۰]

۲-۹- فرایند هسته­سازی انفجاری

این فرایند شامل­ هسته­سازی ابرنواخترهاست. و عناصر سنگین­تر از آهن را با بهره گرفتن از انفجار شدید برهم­کنش­های هسته­ای تولید می­ کند. این فرایند در مدت چند ثانیه در طول انفجار هسته ابرنواختر اتفاق می­افتد. در محیط انفجاری ابرنواختر، عناصر بین سیلیکون و نیکل با یک همجوشی سریع تولید می­شوند. همچنین در ابرنواخترها فرایندهای هسته­سازی بیشتری می ­تواند رخ دهد، از قبیل فرایند r (فرایند سریع^[۱۸]) که در آن بیشترین ایزوتوپ­های غنی نوترونی مربوط به عناصر سنگین­تر از نیکل، با جذب سریع نوترون­های آزاد شده در طول انفجار، تولید می­شوند. این پدیده توضیح دهنده­ عناصر رادیواکتیوی مانند اورانیوم و توریوم است که بیشترین ایزوتوپ­های غنی نوترونی را دارند. فرایند rp شامل جذب سریع پروتون­های آزاد، مشابه نوترون­ها، است که نقش آن کمتر از نوترون­هاست [۱۱ و ۱۲].

بهترین و بیشترین مشاهدات قانع کننده مربوط به فرایند هسته­سازی در ابرنواخترها در سال ۱۹۸۷ اتفاق افتاد. وقتی که طیف اشعه گاما از ابرنواختر A1987 استخراج شد. اشعه­های گاما که مشخص کننده  و  بودند (نیمه عمر رادیواکتیو آنها تقریباً به یک سال محدود می­شوند) اثبات می­ کنند که توسط والدین رادیواکتیو آنها تولید شده ­اند. این پدیده­ اخترفیزیکی در سال ۱۹۶۹ پیش ­بینی شده بود [۱۳]، که تأییدی بر هسته­سازی انفجاری بود. دلایل دیگر فرایند هسته­سازی انفجاری در غبار ستاره­ای که درون ابرنواخترها چگال شده، و سپس منبسط و سرد شده، یافت شده است. به طور خاص،  یک هسته رادیواکتیو است که با فراوانی زیاد درون ذرات ستاره­ای ابرنواختر اندازه ­گیری شده است [۱۰]، که تأییدی بر پیش ­بینی سال ۱۹۷۵ برای شناسایی ذرات ابرنواختر بود. نسبت­های ایزوتوپی غیر معمول این ذرات به جنبه­ های خاص فرایند هسته­سازی انفجاری مربوط می­شوند.

۲-۱۰- فرایند هسته­سازی با اسپلاشی اشعه کیهانی

فرایند اسپلاشی اشعه کیهانی، بعضی از سبک­ترین عناصر موجود در جهان را تولید می­ کند. تصور می­ شود که اسپلاشی به طور قابل ملاحظه­ای مسئول تولید عناصر لیتیوم، بریلیوم، کربن و تقریباً تمام هلیوم-۳ها می­باشد. (بعضی از  و  در مهبانگ به وجود آمده­اند.) فرایند اسپلاشی ناشی از برخورد اشعه­های کیهانی (اغلب پروتون­های سریع) با محیط­های بین ستاره­ای می­باشد. این برخوردها، هسته­های کربن، نیتروژن و اکسیژن موجود در اشعه­های کیهانی را متلاشی می­ کنند. همچنین این عناصر با پروتون­های اشعه کیهانی برخورد می­ کنند.

۲-۱۰- تشکیل هسته­ها در جهان

ویژگی جهان کنونی، دمای بسیار کم و چگالی اندک ذرات آن است که ساختار و تحول آن را نیروی گرانشی کنترل می­ کند. چون جهان در حال انبساط و خنک شدن است، علی­الاصول در گذشته دور باید دما و چگالی ذرات بیشتری داشته است. اگر فرض کنیم بتوانیم ساعت کیهانی را به عقب برگردانیم و جهان را در زمان­های اولیه، حتی پیش از تشکیل ستارگان و کهکشان­ها بررسی کنیم، در نقطه­ای از تاریخ جهان، دمای آن باید به اندازه کافی زیاد باشد که اتم­ها را یونیده کند. در آن زمان جهان از پلاسمای الکترون­ها و یون­های مثبت تشکیل شده و نیروی الکترومغناطیسی در تعیین ساختار جهان اهمیت داشته است. در زمان­های پیش­تر از آن، دما تا آن حد زیاد بوده که برخورد بین یون­ها سبب آزاد شدن تک­تک نوکلئون­ها می­شده، بطوری که جهان متشکل از الکترون­ها، پروتون­ها و نوترون­ها، همراه با تابش بوده است. در این عصر نیروی هسته­ای قوی در تعیین جهان اهمیت داشته است. در زمان­های باز هم پیش­تر از آن، برهم­کنش ضعیف نقشی بارز داشته است. اگر بکوشیم که باز هم عقب­تر برویم، به زمانی می­رسیم که ماده موجود در جهان شامل پلاسمایی از کوارک­ها و گلوئون­ها بوده است که پیش­تر از آن، تنها کوارک­ها و لپتون­ها بصورت کاملاً آزاد وجود داشته اند. چون هرگز یک کوارک آزاد را مشاهده نکرده­ایم، اطلاعات چندانی درباره برهم­کنش کوارک­ها نمی­دانیم، و در نتیجه نمی­توانیم این حالت بسیار اولیه جهان را توصیف کنیم. سرانجام به یک سد بنیادی می­رسیم که در آن سن جهان فقط  است و به «زمان پلانک» معروف است. در آن سوی این زمان، نظریه کوانتومی و گرانشی به صورت ناامید کننده ­ای به هم آمیخته­اند و هیچ­کدام از نظریه­ های کنونی ما هیچ سر­نخی از ساختار جهان به ما نمی­دهند.

در این قسمت علاقه­مندیم که نظریه رایج مربوط به تشکیل هسته­ها را بررسی کنیم. اگر از لحظه یک میکرو ثانیه آغاز کنیم، جایی که دما تقریبا  بوده است، تا زمان  ، جهان تحولات زیر را پشت سر گذاشته است: ۱- یک جهان داغ، چگال و پر از فوتون­ها که تا دمای کمتر از  خنک شده است. ۲- بیشتر ذرات ناپایدار واپاشیده شده ­اند. ۳- همه پاد ماده اولیه و بخش اعظم ماده یکدیگر را نابود کرده ­اند و تعداد کمی پروتون و به همان تعداد الکترون و در حدود یک پنجم این تعداد نوترون به جا گذاشته­اند. ۴- نوترینوها که دارای چگالی در حدود فوتون­ها هستند در زمان حدود  واجفتیده­اند و با انبساط جهان خنک شدن آنها ادامه می­یابد. در این لحظه،  ، با برخورد نوترون­ها و پروتون­ها با یکدیگر، ممکن است یک دوترون (هسته  ) تشکیل شود:

(۲-۲)

اما چگالی زیاد فوتون­ها می ­تواند واکنش معکوس را نیز تولید کند:

(۲-۳)

از آنجا که انرژی بستگی دوترون  است، برای تشکیل تعداد چشم­گیری دوترون، فوتون­های موجود باید ابتدا تا انرژی  خنک شوند. در غیر این صورت، دوترون­ها با همان سرعت تشکیل، شکسته می­شوند. انرژی  با دمای  متناظر است. در نتیجه شاید انتظار داشته باشیم که دوترن­ها به محض کاهش دما به کمتر از  تشکیل شوند. اما این وضعیت رخ نمی­دهد. تابش تک انرژی نیست، بلکه دارای یک طیف جسم سیاه است. کسر کوچکی از فوتون­ها انرژی­های بالاتر از  دارند، که این فوتون­ها به شکستن دوترن­ها ادامه می­ دهند.

قبل از نابودی ماده- پاد ماده، تعداد فوتون­ها در حدود تعداد نوکلئون­ها و پاد نوکلئون­ها بوده است. اما پس از  نسبت نوکلئون­ها به فوتون­ها در حدود  است و در حدود  نوکلئون­ها، نوترون هستند. اگر کسر فوتون­های با انرژی بیشتر از  ، بیش از  باشد، دست کم یک فوتون پر انرژی به ازای هر نوترون وجود دارد که عملا مانع از تشکیل دوترون می­ شود. در زمان  که دما کمتر از  است، دوترون­ها می­توانند تولید شوند. لذا از  تا  رویدادهای کمی (به جز انبساط و افت دمای متناظر با آن) در جهان به وقوع می­پیوندد، اما پس از  وقایع به سرعت اتفاق می­افتند. دوترون­ها تشکیل می­شوند و سپس با پروتون­ها و نوترون­های زیادی که وجود دارند در واکنش­های زیر شرکت می­ کنند:

(۲-۴)

(۲-۵)

انرژی تشکیل این هسته­ها، به ترتیب  و  است که از آستانه تشکیل دوترون  بسیار بیشتر است. اگر فوتون­ها برای شکستن دوترون به اندازه کافی پر انرژی نباشند، بدون شک برای شکستن  و  نیز انرژی کافی ندارند.

۳- مدل­های هسته­ای و مدل شبه کوارکی هسته

۳-۱- مقدمه

مسئله اصلی در فیزیک هسته­ای مشخص کردن معادلات حرکت A نوکلئون تحت تاثیر پتانسلی است که خودشان به وجود آورده­اند. حل دقیق یک سیستم A جسمی که دو به دو برهم­کنش دارند، برای  تا به حال به صورت دقیق حل نشده است. بنابراین باید به راه حل­های تقریبی بسنده کنیم. از طرف دیگر با در نظر گرفتن محدودیت­های ما در شناخت نیروی هسته­ای حل مسأله هسته­ی A جسمی را به مراتب مشکل­تر خواهد کرد. در غیاب یک نظریه دقیق برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون مجبوریم به پدیده شناسی برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون که از طریق پراکندگی نوکلئون- نوکلئون بدست می ­آید روی بیاوریم. علاوه بر اینها نگرانی­های بیشتری در مورد نیروی چند جسمی وجود دارد، بخصوص در مورد اجسامی که برهم­کنش قوی با همدیگر دارند. برهم­کنش پراکندگی نوکلئون- نوکلئون در مورد نیروی سه جسمی موجود در بین نوکلئون­ها چیزی به ما یاد نمی­دهد. پتانسیل سه جسمی شامل حالتی است که برهم­کنش دو جسم ۱ و ۲ در حضور جسم ۳، تنها به مکان دو جسم ۱ و ۲ بستگی ندارد، بلکه به موقعیت جسم ۳ نیز وابسته است. پتانسیل سه جسمی را می­توان به شکل  یا  نوشت. که قابل شکستن به جمع چند پتانسل دو جسمی نیست. پتانسل ۳ جسمی دارای خاصیتی است، که در پتانسیل دو جسمی وجود ندارد. این پدیده کوانتومی است و معادل کلاسیکی ندارد.

مدل­هایی که در این فصل مورد بحث قرار گرفته­اند عبارتند از: مدل گاز فرمی، مدل پوسته­­ای، مدل جمعی و مدل شبه کوارکی. علاوه بر اینها متدهای دیگری برای به دست آوردن بعضی خواص هسته­ها مورد استفاده قرار گرفته است، که می­توان از محاسبات مربوط به کشش سطحی هسته­ها نام برد. از کارهای انجام شده در این راستا می­توان به منابع [۱۴-۲۲] اشاره کرد. در مدل آلفا ذره­ای سعی شده است که هسته را مرکب از ذرات آلفا در نظر بگیرند [۲۳ و ۲۴] تا بتوانند برخی خصوصیات هسته را توضیح دهند.

۳-۲- مدل گاز فرمی^[۱۹]

یک سیستم شامل تعدادی از نوترون­ها وپروتون­ها که در یک جعبه مکعبی به طول a قرار دارند را در نظر می­گیریم. معادله شرودینگر برای یک تک ذره که در این جعبه قرار دارد به صورت زیر است.

(۳-۱)

با اعمال شرط مرزی، سد پتانسیل بی­نهایت در دیواره­ های جعبه، تابع موج در مرز برابر صفر خواهد شد،  . مرز تابع جایی است که یکی از حالات زیر اتفاق بیفتد.

(۳-۲)

عمل دیواره­ های جعبه در واقع جایگزین میانگین برهم­کنش بین نوکلئون­هاست. با تنظیم اندازه جعبه می­توان به چگالی نوکلئون­ها در هسته رسید. حل معادله (۳-۱) با شرایط مرزی داده شده برابر است با:

(۳-۳)

در اینجا روابط زیر برقرار است.

(۳-۴)

در اینجا  ،  و  همگی اعداد صحیح مثبت هستند و A ثابت بهنجارش است. (اعداد صحیح منفی به جواب یکسان با معادله (۳-۳) ختم خواهند شد.) هر مجموعه از اعداد صحیح  یک جواب متناظر با انرژی زیر به دست خواهد آورد.

(۳-۵)

این معادله به همراه محدودیت­هایی که معادله (۳-۴) بر روی مقادیر  ،  و  قرار می­دهد نمایانگر کوانتیزه شدن یک ذره در جعبه خواهد شد. از معادله (۳-۵) آشکار است که  تکانه (تقسیم بر  ) یک ذره در جعبه است.

بنابر اصل طرد پائولی هر حالت می ­تواند با چهار نوکلئون پر شود. دو پروتون با اسپین­های مختلف و دو نوترون با اسپین­های متفاوت. کمترین انرژی هسته با پر شدن پایین­ترین ترازهای انرژی جعبه به دست می ­آید. مقدار این انرژی بستگی به تعداد حالت­های در دسترس دارد.

با در نظر گرفتن فضای تکانه k به خاطر رابطه (۳-۴)، به ازای هر عنصر حجم مکعبی با طول  (و حجم  ) در این فضا تنها یک نقطه وجود دارد که یک جواب به فرم معادله (۳-۳) برای معادله (۳-۱) وجود دارد. تعداد حالت­های مجاز  ، با اندازه k بین k و  با رابطه زیر داده می­ شود.

(۳-۶)

در این رابطه  حجم پوسته کروی در فضای تکانه با شعاع­های k و  است؛ تنها یک هشتم از این پوسته در نظر گرفته شده است، چون  ،  و  تنها مقادیر مثبت را اختیار می­ کنند.  حجم فضای تکانه­ای است که هر حالت می ­تواند اشغال کند. شکل (۳-۱) تعداد حالت­های مجاز تا انرژی  با رابطه زیر بیان می­ شود.

(۳-۷)

شکل (۳-۱): هر نقطه در محل تقاطع خطوط نماینده یک زوج مجاز  است. به منظور یافتن تعداد زوج­های مجاز بین  و  ، تعداد نقطه­های بین دو کمان دایروی مشخص شده در شکل را می­شماریم. معادله (۳-۶) به طریق مشابه اما در سه بعد به دست آمده است.

چون هر حالت تکانه، براساس اصل طرد پائولی، دو پروتون و دو نوترون را در خود جای دهد. می­خواهیم پایین­ترین سطح انرژی A نوکلئون که برهم­کنشی با همدیگر ندارند، و در یک جعبه به طول a قرار دارند را حساب کنیم. پایین­ترین سطح انرژی هنگامی است که تعداد پروتون­ها و نوترون­ها با هم برابر باشد. بیشترین تکانه خطی با بهره گرفتن از رابطه بالا به دست می ­آید.

(۳-۸)

در اینجا  حجم جعبه است. نتیجه­ای که از این رابطه به دست می ­آید این است که تکانه بالاترین حالت اشغال شده تنها به چگالی نوکلئون­ها،  ، در جعبه بستگی دارد.

(۳-۹)

ما برهم­کنش بین نوکلئون­ها را نادیده گرفتیم (بجز در حالتی که چگالی را تعیین می­کرد، که از طریق دیوارهای جعبه اعمال شد). با این محدودیت، توزیع تکانه در واحد حجم در فضای تکانه، تابع پله­ای است، با یک مقدار ثابت محدود هنگامی که  و برابر با صفر خواهد بود هنگامی که  ، شکل (۳-۱). این توزیع تکانه تحت عنوان توزیع فرمی نامیده شده است. در آزمایشات پراکندگی انرژی بالا می­توان توزیع تکانه نوکلئون­ها در هسته­ها را اندازه ­گیری کرد، که نتیجه چنین آزمایشاتی عدم وجود تابع پله­ای به ازای  می­باشد، اما احتمال یافتن نوکلئونی با تکانه  سریعاً با k کاهش می­یابد.

N(k)

k_F

k

شکل (۳-۲): توزیع تکانه نوکلئون­ها در حالت پایه گاز فرمی.  تکانه فرمی و  برابر با تعداد حالت­هایی که تکانه بین  و  دارند.

با بهره گرفتن از مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها،  ، که عملاً برای هسته­های با  ثابت است، مقدار  و  را به دست می­آوریم.

(۳-۱۰)

و  به ترتیب تکانه فرمی و انرژی فرمی مدل گاز تبهگن است. متوسط انرژی جنبشی فرمیون­های داخل جعبه کمتر از  است و با در نظر گرفتن چگالی مشاهده شده هسته­ها از رابطه زیر به دست می ­آید.

(۳-۱۱)

همچنین مناسب است که شعاع هسته­ها را با بهره گرفتن از رابطه  به دست آوریم. از آنجایی که چگالی مشاهده شده هسته­ها تقریباً از عدد جرمی آنها مستقل است، رابطه زیر به دست می ­آید.

(۳-۱۲)

با مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها شعاع هسته­ها به دست می ­آید و در نتیجه:

(۳-۱۳)

راه­های گوناگونی برای محاسبه شعاع هسته­ها وجود دارد، چون هسته­ها مرز پله­ای ندارند، بلکه چگالی هسته­ها تقریباً به صورت هموار به صفر می­ کند، معادله (۳-۱۳) نمایانگر شعاع کره­ای است که همه نوکلئون­ها را در بر بگیرد.

با توجه به رابطه (۳-۶) و شکل (۳-۱ ) می­بینیم که به ازای هر مقدار  ، به عنوان نمونه، نباید حالت­هایی را بشماریم که  ، زیرا در این حالت­ها تابع موج صفر است. تعداد این چنین حالاتی که در عنصر دایروی سطحی  و شعاع k قرار دارد برابر  است. بنابراین تعداد حالات­های مجاز بین k و  برابر است با:

(۳-۱۴)

که در اینجا  سطح مکعب دربرگیرنده گاز فرمی است. چون  بر حسب نسبت  نوشته شده است، برای هسته با هر شکلی معتبر است. می­توان نشان داد که در واقع  تابعی از نسبت  است. با بهره گرفتن از این رابطه می­توان انرژی هسته را به دست آورد.

(۳-۱۵)

در اینجا  و  . در این مدل  را در واقع ضریب جمله حجمی و  را ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی هسته­ها می­دانند.

 

برای شعاع هسته رابطه  برقرار است. و چگالی هسته  است. بنابراین  و بنابراین ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی بدست می ­آید.

(۳-۱۶)

با جایگزینی مقدار انرژی فرمی، از رابطه (۳-۱۱)، در این رابطه و استفاده از مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها انرژی سطحی برابر با  به دست می ­آید؛ که قابل مقایسه با مقدار فرمول نیمه تجربی جرم است (یعنی  ).

چندان معقول به نظر نمی­رسد که چگالی هسته­ها را به صورت یک تابع پله­ای که در شکل (۳-۲) نشان داده شده در نظر بگیریم بلکه بهتر است آن را مانند شکل (۳-۳) در نظر بگیریم که با رابطه زیر بیان می­ شود.

(۳-۱۷)

در این صورت تا اولین مرتبه  خواهیم داشت.

(۳-۱۸)

از طرف دیگر چگالی متوسط با رابطه زیر بدست می ­آید.

(۳-۱۹)

طرف چب معادله (۳-۱۸) تا اولین مرتبه مستقل از  است بنابراین مقدار t برابر خواهد بود با:  . مقدار تجربی ضخامت پوست هسته­ها، فاصله­ای است که چگالی هسته­ها از  تا  چگالی قسمت ثابت تغییر می­ کند. با این تعریف ضخامت پوست برابر  می­ شود. اندازه ­گیری ضخامت پوست هسته­ها مقدار  را می­دهد که با مقدار به دست آمده با مدل گاز فرمی قابل مقایسه است. البته اگر تابع چگالی به صورت هموارتر تعریف شود. مقدار به دست آمده بهتر خواهد شد [۲۵].

شکل (۳-۳): توزیع چگالی فرض شده که بر اساس آن ضخامت پوست به دست آمده است.

R+t

R

r

۳-۳- مدل پوسته­ای هسته

۳-۳-۱- مقدمه

نظریه اتمی با بهره گرفتن از مدل پوسته­ای توانسته است به طور کا­ملاً روشن جزئیات پیچیده ساختار اتم­ها را توضیح دهد. به همین دلیل متخصصان فیزیک هسته­ای، به امید آنکه بتوانند به توصیف روشنی از خواص هسته­ها دست یابند، سعی کردند در بررسی ساختار هسته­ای از نظریه مشابهی استفاده کنند. در مدل پوسته­ای اتم­ها، پوسته­ها را با الکترون­ها­یی که انرژی­شان به ترتیب افزایش می­یابد پر می­کنیم، و این آرایش الکترونی به گونه ­ای است که اصل طرد پائولی در آن رعایت می­ شود. بدین ترتیب، هر اتم متشکل است از: یک ناحیه مرکزی خنثی که پوسته­های پر دارد، و چند الکترون ظرفیت که در پوسته­ای خارج از این ناحیه مرکزی قرار می­گیرند. در این مدل، فرض بر این است که عمدتاً همین الکترون­ها­ی ظرفیت هستند که خواص اتم­ها را تعیین می­ کنند. هنگامی که پیش ­بینی­ها­ی این مدل را با بعضی از خواص اندازه ­گیری شده سیستم­ها­ی اتمی مقایسه می­کنیم، آنها را به خوبی با هم سازگار می­یابیم. بویژه مشاهده می­کنیم که تغیرات خواص اتمی در محدوده هر زیرپوسته تدریجی و کم است، در حالی وقتی از یک زیرپوسته به زیرپوسته دیگری می­رویم تغییرات خواص ناگهانی و زیاد است.

هنگامی که سعی می­کنیم تا این مدل را به قلمرو هسته­ای هم گسترش دهیم، از همان آغاز کار با چند مانع روبه­رو می­شویم. در مورد اتم­ها، پتانسیل حاکم را میدان کولنی هسته تأمین می­ کند. یعنی یک عامل خارجی زیرپوسته­ها (یا مدارها) را سازمان می­دهد. اما در مورد هسته هیچ عامل خارجیی وجود ندارد، و نوکلئون­ها در پتانسیلی که خودشان به وجود می­آورند در حرکت­اند. یکی دیگر از جنبه­ های جالب توجه نظریه پوسته­ای اتم­­ها وجود مدارهای فضایی است. خواص اتم­ها را اغلب بر حسب مدارهای فضایی الکترون­ها توصیف می­کنیم. الکترون­ها می­توانند نسبتاً آزادانه در این مدارها حرکت کنند، بدون اینکه برخوردی با الکترون­های دیگر داشته باشند. قطر نوکلئون­ها در مقایسه با اندازه هسته نسبتاً بزرگ است. در حالی که هر نوکلئون منفرد در خلال حرکتش در هر مدار می ­تواند برخوردهای متعددی با نوکلئون­های دیگر داشته باشد، چگونه می­توان نوکلئون­ها را در مدارهای کاملاً مشخص در حرکت تصور کرد. در مدل پوسته­ای، مسئله پتانسیل هسته­ای را با بیان این فرض بنیادی حل می کنیم: حرکت هر نوکلئون منفرد را تحت تأثیر پتانسیل واحدی که نوکلئون­های دیگر همه در تولید آن شرکت دارند، در نظر می­گیریم. اگر هر یک از نوکلئون­ها را به این نحو مورد بررسی قرار دهیم، آنگاه برای تمامی نوکلئون­های موجود در هسته می­توانیم ترازهای انرژی متناظر به زیر­پوسته­ها را به دست آوریم. وجود مدارهای فضایی مشخص را اصل طرد پائولی تعیین می کند. فرض می­کنیم که در یک هسته سنگین، تقریباً در ته چاه پتانسل، برخوردی بین دو نوکلئون صورت می­گیرد و نوکلئون­ها هنگام برخورد با هم انرژی تولید می­ کنند، اما اگر تمامی ترازهای انرژی تا تراز نوکلئون­های ظرفیت پر شده باشد، هیچ راهی برای کسب انرژی نوکلئون نمی­ماند؛ مگر آنکه مقدار انرژی به اندازه­ای باشد که نوکلئون را به تراز ظرفیت برساند. سایر ترازهای نزدیک­تر به تراز اولیه نوکلئون همگی پر هستند و نمی ­توانند یک نوکلئون اضافی را بپذیرند. انرژی لازم برای این انتقال که از ترازی نزدیک به تراز پایه به نوار ظرفیت انجام می­ شود، بیشتر از مقداری است که معمولا در برخورد بین دو نوکلئون از یکی از آنها به دیگری منتقل می­ شود. از این رو، چنین برخوردی بین نوکلئون­ها نمی­تواند صورت گیرد، و گویی نوکلئون­ها در حرکت مداری­شان با هیچ گونه ممانعتی از طرف نوکلئون­های درون هسته روبه­رو نمی­شوند [۲۶].

۳-۳-۲- پتانسیل مدل پوسته­ای

نخستین گام در ارائه مدل پوسته­ای، انتخاب پتانسیل هسته­ای مناسب است. در آغاز دو نوع پتانسیل چاه نامتناهی و نوسانگر هماهنگ را در نظر می­گیریم. همچنانکه در فیزیک اتمی دیدیم، واگنی هر تراز را تعداد نوکلئون­هایی که می­توانند در آن قرار بگیرند تعیین می کند. به عبارت دیگر، واگنی هر تراز برابر  می­ شود که در آن عامل  از طریق واگنی  وعامل۲ از طریق واگنی  حاصل شده است. نوترون­ها و پروتون­ها، چون ذرات نا­یکسان هستند، به طور جداگانه شمرده می­شوند. بنابرین در تراز  علاوه بر ۲ نوترون، ۲ پروتون هم می ­تواند قرار گیرد. ظهور اعداد جادویی ۲، ۸ و ۲۰ در هر دو نوع پتانسیل دل­گرم­کننده است، ولی در ترازهای انرژی بالاتر هیچ گونه ارتباطی با اعداد جادویی تجربی به چشم نمی­خورد. به عنوان اولین گام در اصلاح مدل، سعی می­کنیم پتانسیل واقع­بینانه­تری را انتخاب کنیم. چاه نامتناهی، بنابر دلایلی، تقریب خوبی برای پتانسیل هسته­ای نیست: برای جدا کردن یک نوترون یا پروتون از هسته، با صرف انرژی کافی باید بتوانیم آن را از چاه خارج کنیم. در این صورت، عمق چاه نمی­تواند بی­نهایت باشد. بعلاوه، لبه پتانسیل هسته­ای نباید تیز باشد بلکه مثل توزیع بار و جرم هسته­ای، مقدار پتانسیل بعد از شعاع میانگین R باید به آهستگی به سوی صفر میل کند. از طرف دیگر، پتانسیل نوسانگر هماهنگ هم لبه­اش به قدر کافی تیز نیست و انرژی جدایی آن نیز بی­نهایت می­ شود. از این رو، شکل واقع بینانه­تر پتانسیل را به صورت بینابینی

(۳-۲۰)

انتخاب می­کنیم که منحنی نمایش آن در شکل (۳-۴) رسم شده است. پارامترهای R و a به ترتیب شعاع میانگین و ضخامت پوست هستند، که مقادیرشان تقریبا برابر است با:  و  . عمق چاه  چنان تنظیم می شود که برای انرژی­های جدایی که از مرتبه  است، مقادیر مناسبی به دست می ­آید. ترازهای انرژی حاصل در شکل (۳-۵) نشان داده شده است. نتیجه پتانسیل جدید، در مقایسه با نوسانگر هماهنگ این است که واگنی l را در پوسته­های اصلی برطرف می کند. هر چه به طرف انرژی­های بالاتر پیش می­رویم، فاصله ایجاد شده در این مورد بیشتر می­ شود، به طوری که سرانجام این فاصله با فاصله بین ترازهای نوسانگر هماهنگ قابل مقایسه خواهد شد. وقتی پوسته­های حاصل را به ترتیب با  نوکلئون پر می کنیم، باز هم اعداد جادویی۲، ۸ و۲۰ را به دست می­آوریم، ولی اعداد جادویی بالاتر را نمی­ توان با این محاسبات پیدا کرد.

شکل (۳-۴): پتانسیل هسته­ای بین نوکلئون­های هسته به همراه پتانسیل کولونی

۳-۳-۳- پتانیسل اسپین– مدار

این پتانسیل را چگونه می­توانیم اصلاح کنیم تا همه اعداد جادویی را از آن به دست آوریم؟ چون نمی­خواهیم محتوای فیزیکی مدل را از بین ببریم، مسلماً نمی­توانیم تغییر زیادی در پتانسیل وارد کنیم. دلایل توجیهی معادله (۳-۲۰) را به عنوان یک حدس خوب پتانسیل هسته­ای قبلاً ارائه کردیم. بنابراین، برای بهبود محاسبات لازم است که جمله­های مختلفی به معادله (۳-۲۰) افزوده شود. در دهه ۱۹۴۰ تلاش­ های نافرجام زیادی برای یافتن این جمله تصحیحی صورت گرفت و سرانجام مایر^[۲۰]، هاکسل^[۲۱]، سوئس^[۲۲]، و جنسن^[۲۳] در سال ۱۹۴۹ موفق شدند که با افزودن یک پتانسیل اسپین- مدار فاصله­های مناسبی بین زیرپوسته­ها به دست آورند [۲۷ و ۲۸].

در اینجا، بار دیگر به فیزیک اتمی روی می­آوریم، یکی دیگر از مفاهیم آن را به کار می­گیریم. برهم­کنش اسپین- مدار در فیزیک اتمی که مولد ساختار ریز مشاهده شده در خطوط طیفی است، از برهم­کنش الکترومغناطیسی بین گشتاور مغناطیسی الکترون و میدان مغناطیسی ناشی از حرکت الکترون به دور هسته حاصل می­ شود. اثر این برهم­کنش نوعاً خیلی کوچک و شاید از مرتبه یک قسمت از  قسمت فاصله بین ترازهای اتمی است.

هیچ برهم­کنش الکترومغناطیسی از این نوع نخواهد توانست تغییرات محسوسی را در فواصل تراز هسته­ای ایجاد و اعداد جادویی تجربی را باز تولید کند. با وجود این، در اینجا مفهوم نیروی اسپین- مدار هسته­ای را به همان صورت نیروی اسپین- مدار اتمی، ولی نه از نوع الکترومغناطیسی آن، در نظر می­گیریم. در واقع، با توجه به آزمایش­های پراکندگی شواهدی قوی در دست است که حاکی از وجود نیروی اسپین- مدار در برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون است.

برهم­کنش اسپین- مدار را به صورت  در نظر می­گیریم، ولی شکل  خیلی مهم نیست. این عامل  است که باعث تجدید سازمان ترازها می­ شود. همچنان که در فیزیک اتمی دیدیم، حالت­ها را در حضور برهم­کنش اسپین- مدار باید با تکانه زاویه­ای کل  نشانه­گذاری کنیم. عدد کوانتومی اسپین هر نوکلئون برابر  است، پس مقادیر ممکن برای عدد کوانتمی تکانه زاویه­ای کل عبارت­اند از  و  (البته به استثنای مورد  که در آن فقط مقدار  مجاز است). مقدار انتظاری  را با بهره گرفتن از یک شگرد متداول می­توان محاسبه کرد. نخست مقدار  را به دست می­آوریم.

(۳-۲۱)

با قرار دادن مقادیر انتظاری در این معادله، رابطه زیر حاصل می­ شود.

(۳-۲۲)

اکنون تراز  را که دارای واگنی  است در نظر می­گیریم. مقادیر ممکن برای j در این تراز عبارت اند از  بنابراین، ترازهای مورد نظر به صورت  و  خواهند بود. واگنی هر تراز برابر  است که از مقادیر  حاصل می­ شود. (در حضور بر هم کنش اسپین- مدار،  و  دیگر اعداد کوانتومی «خوب» به حساب نمی­آیند و نمی­ توان آنها را برای نمایاندن حالت­ها یا شمردن واگنی­ها به کار برد.) در این صورت، ظرفیت نوکلئونی تراز  برابر ۶ و ظرفیت  برابر ۸ می­ شود که از جمع آنها مجداً تعداد ۱۴ حالت به دست می ­آید (تعداد حالت­های ممکن باید حفظ شود، فقط نحوه دسته­بندی آنها را تغییر داده­ایم ). فاصله انرژی بین حالت­های  و  که زوج اسپین- مدار یا دوتا­یه نامیده می­شوند، متناسب با مقدار  است. در واقع می­توان اختلاف انرژی هر زوج حالتی را که در آن  باشد، به کمک معادله (۳-۳) محاسبه کرد.

(۳-۲۳)

شکافتگی (یا فاصله) انرژی بین حالت­ها با افزایش j افزایش می­یابد. حال اگر اثر  به صورت منفی در نظر بگیریم، عضوی از زوج، که مقدار j در آن بزرگتر است در سطح پایین­تر قرار خواهد گرفت. اثر این شکافتگی در نمودار شکل (۳-۵) نشان داده شده است. در اینجا، تراز  در فاصله یا (گاف) بین پوسته­های دوم و سوم قرار می­گیرد. ظرفیت این تراز برابر ۸ نوکلئون است، بدین سان عدد جادویی ۲۸ از آرایش جدید حاصل خواهد شد. (شکافتگی­های p و d به اندازه­ای نیستند که تغییرات مهمی در دسته بندی ترازها به وجود آورند.) اثر مهم بعدی ناشی از جمله تصحیحی اسپین- مدار را در تراز  می­بینیم. حالت  آن قدر به پایین رانده می­ شود که در پوسته اصلی پایین­تر قرار می­گیرد، و وقتی ظرفیت ۱۰ نوکلئونی آن به پوسته ۴۰ نوکلئونی قبلی افزوده می­ شود، عدد جادویی ۵۰ به دست می­­آید. این اثر روی پوسته­های اصلی دیگر نیز تکرار می­ شود. در هریک از این موارد، عضو کم انرژی­تر زوج اسپین- مدار از پوسته بعدی به پوسته قبلی تنزل می­ کند، و بدین ترتیب باقیمانده اعداد جادویی هم طبق انتظار به دست می ­آید.

شکل (۳-۵): ترازهای انرژی هسته­ها. a) با در نظر گرفتن پتانسیل نوسانگر هماهنگ ساده. b) با در نظر گرفتن چاه پتانسیل با لبه­های گرد شده. c) چاه پتانسیل با لبه گرد شده همراه با برهم­کنش اسپین- مدار.

مدل پوسته­ای، با وجود سادگی­اش، در توضیح اسپین و پاریته حالت پایه تقریباً تمام هسته­ها موفق بوده است، و آنها را به خوبی باز تولید می­ کند. برای گشتاورهای دوقطبی مغناطیسی و چارقطبی الکتریکی آنها نیز توضیحی نسبتاً موفق (و رضایت­بخش) به دست می­دهد. کاربرد خاصی از مدل پوسته­ای را که در اینجا در نظر گرفتیم، مدل ذره خیلی مستقل^[۲۴] می­گویند. فرضیه اساسی مدل ذره­ی خیلی مستقل این است که به استثنای یکی از نوکلئون­ها، بقیه نوکلئون­های موجود در هسته تزویج شده ­اند و خواص هسته از حرکت همین نوکلئون تزویج نشده منفرد ناشی می­ شود. روشن است که چنین برخوردی مسئله را بیش از حد ساده می­ کند، و بهتر است که در تقریب بعدی تمام ذرات موجود در زیرپوسته پر نشده را در نظر بگیریم [۲۶].

۳-۴- مدل قطره مایعی^[۲۵] و فرمول نیمه تجربی جرم

نظریه­ مفصل بستگی هسته­ای، مبتنی بر روش­های ریاضی و مفاهیم فیزیکی پیچیده، توسط “بروکنر” و همکارانش (از ۱۹۵۴ تا ۱۹۶۱) ابداع شده است. مدل بسیار ساده شده­ای نیز وجود دارد که در آن از بعضی ویژگی­های ظریف­تر نیروهای هسته­ای صرف­نظر می­ شود، ولی بر جاذبه­ی قوی بین نوکلئونی تاکید می­ کند. این مدل را وایس­زکر^[۲۶] بر پایه­ مانستگی قطره­ی مایع با ماده­ هسته­ای، که توسط بوهر^[۲۷] پیشنهاد شده بود، (۱۹۳۵)، به دست آورد [۲۹-۳۱]. فرض­های اساسی به قرار زیرند.

هسته متشکل از ماده­ تراکم ناپذیر است، به طوری که  .

نیروی هسته­ای برای هر نوکلئون، مستقل از بار است، به نوع آن که پروتون باشد یا نوترون، بستگی ندارد و یکسان است.

آثار کولومبی و مکانیک کوانتومی را به طور جداگانه بررسی می­کنیم. طبق فرض­های ۱ و ۲، در یک هسته­ی نامتناهی با A نوکلئون، انرژی بستگی اصل متناسب با A است. اما چون هسته­های واقعی متناهی هستند، معمولا یک شکل کروی برای آن در نظر می­گیرند. از این رو نوکلئون­های سطحی، به اندازه­ آنچه هم اکنون تخمین زدیم، تحت جاذبه یکسان از طرف دیگر نوکلئون­ها قرار نمی­گیرند و از این رو باید جمله­ای متناسب با تعداد نوکلئون­های سطحی یا متناسب با مساحت سطح را از تخمین مبتنی بر هسته­ی نامتناهی، کم کرد. از طرفی نیروی دافعه کولومبی که بین تمام جفت پروتون­ها برقرار است، از انرژی بستگی کم خواهد کرد. (نیروی کولومبی دارای برد زیاد است و اشباع نمی­ شود). علاوه بر این، جمله­ای را باید معرفی کنیم که به هسته­های با  ، بیشترین بستگی را نسبت دهد. این جمله، پیامد مستقیمی از رفتار مکانیک کوانتومی نوترون­ها و پروتون­ها می­باشد. بالاخره، باید جملات تصحیحی لازمی را معرفی کنیم که بیشترین بستگی را برای هسته­های زوج- زوج و کمترین بستگی را برای هسته­های فرد- فرد به دست بدهند و آثار پوسته­ای را منعکس کنند.

اهمیت این مدل در این حقیقت نهفته است که می ­تواند جنبه­ های تجربی داده ­های جرم هسته­ای را تبیین کند. این امر مؤید آن است که جمله­ انرژی بستگی اصلی، که متناسب با A می­باشد، باید تصحیح شود. اما چون این جمله در بین فرض­های دیگر به فرض “استقلال از بار” نیروهای هسته­ای بستگی دارد، می­توان نتیجه گرفت که برهم­کنش­های هسته­ای n-n، p-p، p-n یکسان هستند.

انرژی بستگی، B، یک هسته عبارت است از اختلاف انرژی بین جرم هسته و جرم کل پروتون­ها (Z پروتون) و نوترون­های تشکیل دهنده آن (N نوترون) که به صورت زیر نوشته می­ شود.

(۳-۲۴)

رابطه انرژی بستگی کل یک هسته را می­توان به صورت زیر نوشت.

(۳-۲۵)

که در آن  جمله­ حجمی،  جمله سطحی متناسب با مساحت سطح کره  ،  جمله­ انرژی زوجیت^[۲۸]، که برای هسته­های با Aی فرد برابر صفر است، برای هسته­های (زوج- زوج) علامت (+) و برای هسته­های (فرد- فرد) علامت (-) را به کار می­بریم،  جمله­ پوسته­ای، که اگر N یا Z یک عدد جادویی باشد مثبت است. نمودار انرژی بستگی هسته­ها برحسب داده ­های تجربی و فرمول نیمه تجربی جرم در شکل­های (۳-۶) و (۳-۷) نشان داده شده است.

شکل (۳-۶): انرژی بستگی هسته­ها که به صورت تجربی به دست آمده­اند

شکل (۳-۷): انرژی بستگی هسته­ها بر اساس فرمول نیمه تجربی جرم

هرچند که مدل قطره مایعی را بیشتر بر حالت­های پایه اعمال می­ کنند، ولی می­توان آن را برای حالت­های برانگیخته نیز به کار برد. این حالت­ها می­توانند توسط نوسان­های سطحی قطره­ی هسته، یا توسط چین و شکن­هایی که بر روی سطح آن حرکت می­ کنند، ایجاد شوند. این عقیده مخصوصاً در توجیه بعضی از جنبه­ های شکافت هسته­ای موفق بوده است. مدل قطره مایعی بر آثار جمعی بین نوکلئون­های متعدد موجود در هسته نیز تأیید دارد و پیشقراول مدل­های جمعی ساختار هسته­ای است. آنچه در این مدل صراحت دارد تقسیم سریع انرژی بین نوکلئون­هاست که مبنای نظری بوهر را در مورد شکل­بندی هسته مرکب در واکنش­های هسته­ای تشکیل می­دهد [۳۲].

۳-۵- ساختار جمعی هسته­ها و ارتعاشات و دوران­های هسته

هنگامی که هسته­های زوج- زوج را بررسی می­کنیم ملاحظه می­کنیم که تقریباً همه آنها دارای حالت برانگیخته  در انرژی­های حدود  می­باشند. اگر از مدل پوسته­ای بخواهیم این حالت برانگیخته را توضیح دهیم باید یک جفت از نوکلئون­های تزویج شده شکسته شده و یکی از نوکلئون­ها به ترازی بالاتر برود. شکستن هر زوج مستلزم کسب انرژی در حدود  می­باشد. بنابراین با توجه به اینکه این حالت برانگیخته در اکثر هسته­ها وجود دارد، این حالت برانگیخته باید ناشی از خاصیت دیگری از هسته­ها باشد، که آن را به خاصیت جمعی هسته­ها ربط می­ دهند.

علاوه بر انرژی اولین حالت برانگیخته هسته­ها، که با افزایش هسته­ها به تدریج کاهش می­یابد، موارد استثنای دیگری نیز وجود دارد. نسبت  برای هسته­های سبک­تر از  تقریباً برابر با  و برای هسته­های  و  برابر مقدار ثابت  است. همچنین گشتاور دو قطبی مغناطیسی حالت­های  در گستره مقادیر  تا  تقریباً ثابت می­ماند، و گشتاور چارقطبی الکتریکی برای هسته­های  دارای مقادیر کوچک و برای هسته­های  داری مقادیر خیلی بزرگ­تر است. برای توضیح این خصوصیات باید دو نوع ساختار جمعی در نظر بگیریم، زیرا به نظر می­رسد که یک دسته از خواص به هسته­های  و دسته دیگر به هسته­های  مربوط می­ شود. که دسته اول را با بهره گرفتن از ارتعاشات هسته­ای و دسته دوم را با استفاده دوران­های هسته­ای بررسی می­ کنند. مدل جمعی هسته­ها را غالباً مدل قطره مایع می­گویند.

ارتعاشات هسته­ای

با در نظر گرفتن قطره مایعی که با بسامد زیاد در حال ارتعاش باشد، می­توان به مفهوم قابل قبولی از فیزیک ارتعاشات هسته­ای دست یافت. هر چند شکل چنین قطره­ای به طور متوسط کروی است، ولی شکل لحظه­ای آن کروی نیست. مختصه لحظه­ای  یک نقطه از سطح هسته را در زوایای  به آسانی می­توان به صورت هماهنگ کروی نشان داد. هر مولفه از هماهنگ کروی دارای دامنه  خواهد بود.

(۳-۲۶)

دامنه­های  کاملاً اختیاری نیستند، تقارن انعکاسی مستلزم آن است که  شود و اگر مایع هسته­ای را تراکم ناپذیر بگیریم، محدودیت­های دیگری هم وارد خواهد شد. جمله ثابت  ، در شعاع متوسط  مستتر است. ارتعاش نمونه­وار  ارتعاش دو قطبی نامیده می­ شود، باید توجه داشته باشیم که در این ارتعاش با جا به ­جایی مرکز جرم روبه­رو هستیم، و بنابراین نمی­توانیم آن را نتیجه عملکرد نیروهای درون هسته به شمار آوریم. در این صورت، پایین­ترین مد بعدی ارتعاش را که ارتعاش (چارقطبی)  است، در نظر می­گیریم، شکل (۳-۸). همانند نظریه کوانتمی الکترومغناطیسی که در آن واحد انرژی الکترومغناطیسی را فوتون می­نامند، یک کوانتوم انرژی ارتعاشی را فونون می­گویند. در هر جایی که ارتعاش مکانیکی وجود داشته باشد، می­توان گفت که فونون­های ارتعاشی تولید می­ شود. بدین گونه، واحد منفرد انرژی ارتعاشی متناظر به  را فونون چارقطبی می­نامند.

در اینجا نتیجه افزایش یک واحد انرژی ارتعاشی (یا یک فونون چارقطبی) را به حالت پایه هسته­­­­ای زوج - زوج مورد برسی قرار می­دهیم. فونون  حاوی ۲ واحد تکانه زاویه­ای (که درست مانند مورد  با  ، باعث افزایش مولفه  به تابع موج هسته می­ شود) و پاریته زوج است، زیرا پاریته  به صورت  است. با افزودن دو واحد تکانه زاویه­ای به حالت  یک حالت  حاصل می­ شود که با نتایج تجربی اسپین- پاریته نخستین حالت­های برانگیخته هسته­های زوج– زوج سازگاری دقیقی دارد. (در این نظریه، انرژی فوتون چارقطبی پیش ­بینی نمی­ شود و باید آن را به صورت یک پارامتر قابل تنظیم در نظر گرفت.) اکنون فرض می­کنیم که فونون چارقطبی دومی را هم به هسته افزوده­ایم. تعداد مولفه­های ممکن  برای هر فونون برابر ۵ است برای این دو فونون تعداد ۲۵ ترکیب  قابل تصور است. حال ترکیبات مختلف را بررسی می­کنیم. در میان این ترکیبات، یک حالت با جمع کل  وجود دارد. طبیعی است که این ترکیب را متناظر با انتقال ۴ واحد تکانه زاویه­ای تلقی کنیم. دو ترکیب با مقدار کل  وجود دارد که یکی از  و دیگری از  به دست می ­آید. اما وقتی ترکیب متقارن تابع موج­های فونونی را مورد توجه قرار می­دهیم، فقط یک نوع ترکیب دیده می­ شود. سه ترکیب با مقدار  وجود دارد که از مجموعه­های

 

حاصل می­ شود. از ترکیب اولی و سومی باید یک تابع موج متقارن به دست آید. پیش از این دیدیم که ترکیب  متقارن است. اگر تعداد ترکیب­های ممکن را به همین طریق تعیین کنیم، تعداد ترکیب­های مجاز را نه ۲۵ بلکه ۱۵ خواهیم یافت. این ترکیب­ها را به صورت زیر می­توان دسته­بندی کرد.

 

به این ترتیب، در انرژی معادل دو برابر نخستین حالت  (چون انرژی دو فونون یکسان، دو برابر انرژی یکی از آنهاست)، انتظار داریم که با سه تایه­ای از حالت­های  روبه­رو شویم. سه تایه  یکی از ویژگی­های مشترک هسته­های ارتعاشی است و پشتوانه­ای قوی برای اعتبار این مدل به شمار می­رود. این سه حالت، به دلیل اثرات دیگری که در این مدل ساده در نظر گرفته نشده­اند، هرگز انرژی دقیقاً یکسان ندارند. با محاسبه مشابهی می­توان نشان داد که با افزودن سه فونون چارقطبی به هسته، حالت­های  به دست می ­آید.

مد ارتعاشی بعدی، مد هشت قطبی  است که حاوی سه واحد تکانه زاویه­ای با پاریته منفی است. با افزایش یک فونون منفرد هشت قطبی به حالت پایه  یک حالت  حاصل می­ شود. معمولا در انرژی­های اندکی بالاتر از سه تایه دو فونونی، چنین حالت­هایی را هم می­­توان در هسته­های ارتعاشی پیدا کرد. وقتی به طرف انرژی­های بالاتر می­رویم، ساختار ارتعاشی به تدریج با ساختار برانگیزش ذره­ای جایگزین می­ شود که با شکسته شدن یک زوج حالت پایه متناظر است. بررسی این گونه برانگیختگی­ها پیچیده است، و جای بحث آن در ساختار جمعی هسته­ها نیست.

 

شکل (۳-۸): ارتعاشات چند قطبی هسته­ها، ارتعاش چارقطبی، هشت قطبی و شانزده قطبی.

دوران­های هسته­ای

حرکت دورانی را تنها در هسته­هایی می­توان مشاهده کرد که شکل تعادل غیر کروی دارند. این هسته­ها را که ممکن است تغیر شکل زیادی به نسبت شکل کروی در آنها رخ داده باشد، غالباً هسته­های تغیر شکل یافته می­گویند. این گونه هسته­ها در گستره­های جرمی  و  دیده می­شوند. شکل عمومی این نوع هسته­ها به صورت یک بیضی­وار دوار است شکل (۳-۹)، می­توان نشان داد که سطح آن­ها با معادله زیر توصیف می­ شود.

(۳-۲۷)

چون این معادله مستقل از  است، هسته دارای تقارن استوانه­ای است. رابطه بین پارامتر تغییر شکل  و خروج از مرکز بیضی به صورت زیر است.

(۳-۲۸)

که در آن  اختلاف طول محورهای بزرگ و کوچک بیضی است. معمولاً شعاع متوسط هسته را به صورت  در نظر می­گیرند که چندان دقیق نیست. چون حجم هسته­ای که با معادله (۳-۲۷) توصیف می­ شود کاملاً برابر  نمی­ شود، تقریب حاضر دقت زیادی ندارد. محور تقارن معادله (۳-۲۷) محور مرجعی است که زاویه  نسبت به آن تعریف می­ شود. هنگامی که  باشد، هسته به صورت یک بیضی­وار کشیده و طویل است؛ و هنگامی که  باشد، هسته به شکل یک بیضیوار پخت و پهن در می ­آید.

انرژی جنبشی یک جسم دوار به صورت  است، که در آن  گشتاور لختی جسم است. این مقدار انرژی را می­توان بر حسب تکانه زاویه­ای  به صورت  نوشت. اگر مقادیر کوانتوم مکانیکی  را در نظر بگیریم و عدد کوانتومی تکانه زاویه­ای را با I نشان دهیم، بنابر مکانیک کوانتومی انرژی جسم دوار چنین می­ شود.

(۳-۲۹)

افزایش انرژی دورانی هسته با افزایش عدد کوانتومی I متناظر است؛ و از توالی حالت­های برانگیخته هسته یک نوار دورانی به وجود می ­آید. (حالت­های برانگیخته در مولکول­ها هم نوار دورانی تشکیل می­ دهند که در این مورد دوران مولکول حول مرکز جرم آن خواهد بود.) حالت پایه یک هسته z زوج و N زوج، همیشه حالت  است و تقارن آینه­ای هسته در این مورد خاص باعث می­ شود که تمامی حالت­های دورانی به مقادیر زوج Iمحدود شوند. بنابراین، توالی حالت­ها چنین خواهد شد.

 

و همین طور تا آخر. با مقایسه این مقادیر انرژی با مقادیر مشاهده شده سازگاری خوبی مشاهده می­ شود، بخصوص نسبت  که از این طریق برابر با  به دست می ­آید که با مقدار تجربی مطابقت دارد. همچنین مقادیر گشتاورهای دوقطبی و چارقطبی که از این طریق محاسبه شده با مقادیر تجربی سازگاری دارد [۲۶ و ۳۳].

شکل (۳-۹): شکل تغییر شکل یافته هسته­ها، یک بیضی­وار پخت.

۳-۶- مدل شبه کوارکی هسته

در مدل ساختار جمعی هسته­ها، هسته همانند یک جسم واحد در نظر گرفته شده، مانند یک قطره مایع، بعضی از خواص هسته­ها نیز بر اساس همین فرض استخراج شده است، که در قسمت­ های قبلی بیان شدند. از طرفی در مدل پوسته­ای اجزاء تشکیل دهنده هسته­ها یعنی پروتون­ها و نوترون­ها نیز در نظر گرفته شده است. این مدل با در نظر گرفتن برهم­کنش هسته­ای بین نوکلئون­ها در توجیه بعضی خواص هسته­ای به خوبی موفق بوده است. مدل گاز فرمی که در ابتدای این فصل معرفی شده است، حالت بسیار ساده شده­ای است که جایگزین هسته شده است، این مدل گر چه در توجیه خواص هسته­ای چندان موفق نبوده ولی به هر حال در توجیه برخی خواص موفقیت­های داشته است.

در مدل شبه کوارکی علاوه بر اینکه پروتون­ها و نوترون­ها را در تشکیل هسته­ها در نظر می­گیرد، کوارک­های سازنده نوکلئون­ها را نیز در نظر می­گیرد. با توجه به نزدیکی بسیار زیاد نوکلئون­ها در هسته­ها، قطعاً کوارک­های سازنده آنها نیروی شدیدی به همدیگر وارد می­سازند، که باعث می­ شود نوکئلون­ها، به صورت لحظه­ای هم که باشد، فروپاشیده شوند و سپس نوکلئون­های جدید تشکیل گردند. این پروسه می ­تواند مکرراً در هسته در حال اتفاق باشد. گرچه در این شرایط محیط هسته را نمی­ توان یک محیط با کوارک­های آزاد در نظر گرفت. با این حال فرض می­ شود که هسته را با تقریب بتوان یک محیط کوارکی در نظر گرفت که شدیداً با هم برهم­کنش دارند. گرچه در این مدل نظریه واحدی که بتواند بعضی از خواص هسته را یکجا ارائه دهد وجود ندارد، با این حال با بهره گرفتن از این مدل می­توان اعداد جادویی هسته را به صورت غیر دینامیک باز تولید کرد. در این مدل فرمولی برای انرژی بستگی هسته­ها ارائه شده که هم­زمان هم کوارک­های سازنده هسته و هم نوکلئون­های سازنده هسته در نظر گرفته است. انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون تقریباً مقداری ثابت، حدود  است. با در نظر گرفتن تعداد پیوندهای کوارکی که در هسته وجود دارد، انرژی بستگی به ازای هر پیوند تقریباً ثابت و برابر با  به دست می ­آید. با بهبود رابطه انرژی بستگی مبتنی بر مدل شبه کوارکی می­توان سهمی­های جرم را نیز استخراج کرد. با بهره گرفتن از ساخنار کوارکی دوترون می­توان گشتاور دو قطبی مغناطیسی را به دست آورد، که سازگاری خوبی با مقدار اندازه ­گیری شده دارد. با بهره گرفتن از این مدل می­توان توضیحی بر نسبت پروتون­ها و نوترون­ها در هسته­های پایدار موجود در طبیعت ارائه داد. مواردی که در اینجا شمرده شدند در ادامه این فصل و دو فصل آینده به صورت مبسوط آورده شده ­اند.

۳-۶-۱- پلاسمای کوارک- گلوئونی و سرچشمه اعداد جادویی

در فیزیک هسته­ای، یک عدد جادویی تعداد نوکلئون­هایی (پروتون­ها و نوترون­ها) است که درون پوسته­های کامل مربوط به هسته­های اتمی قرار می­گیرند. این اعداد و وجود آنها اولین بار توسط السیسر^[۲۹] در سال ۱۹۳۳ [۳۴] مورد توجه قرار گرفته است. چیزی که باعث جادویی بودن این اعداد می­ شود، خواصی است که هسته­هایی با این تعداد پروتون­ها و نوترون­ها دارا می­باشند. از مهم­ترین این خواص می­توان به این نکات اشاره نمود: پایداری هسته­های جادویی، فراوانی بیشتر هسته­های جادویی در عالم.

این مدل فرض بر این دارد که در محیط ترمودینامیکی پلاسمای کوارک– گلوئونی، کوارک­های تقریباً مجزا سعی در تشکیل نوکلئون­ها دارند؛ و اگر بپذیریم که تعادل و پایداری هر سیستم ترمودینامیکی در بیشینه بی­نظمی و بیشترین مقدار ترکیب­ها رخ می دهد، آنگاه با در نظر گرفتن سیستم­های جداگانه­ ای شامل یک کوارک مرکزی و تعداد ۲، ۳، ،۴ ،۵ ،۶ ،۷ و نهایتاً ۸ کوارک اطراف به حالت­های بیشینه­ای برابر با اعداد جادویی می­رسیم [۳۵ و ۳۶]. اگر پلاسمای کوارک- گلوئونی را به عنوان یک محیط ترمودینامیکی فرض نماییم، بایستی تحقیق نمود این محیط ترمودینامیکی که همانند هر محیط دیگر از این نوع به سمت بیشینه بی­نظمی پیش می­رود، چگونه به تعادل نزدیک می­ شود. حالت ترمودینامیکی از کوارک­ها را در نظر می­گیریم که این کوارک­ها تقریباً آزادانه در حال حرکت می­باشند. اگر دقیق­تر به محیط پلاسمای کوارک- گلوئونی نگاه کنیم، می­بینیم که در سوپ کوارک– گلوئونی آزادی محض وجود ندارد.

q

q

q

q

q

q

q

q

q

شکل (۳-۱۰): محیط یک پلاسمای کوارک- گلوئونی

در شکل (۳-۱۰) یک محیط پلاسمای کوارک– گلوئونی فرضی رسم شده است، که کوارک­ها همانند ذرات یک گاز ایده­ال در فضا پراکنده­اند. در این محیط فرضی یک کوارک را در نظر بگیرید که جهت تشکیل یک پروتون یا نوترون تلاش می کند. هر کوارک با گیرانداختن دو کوارک دیگر تشکیل یک نوکلئون می­دهد. در این فضای رقابتی میان کوارک­ها حالات مختلفی از تشکیل یک نوکلئون می ­تواند روی دهد. به عنوان مثال به شکل (۳-۱۱) توجه کنید.

u

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

شکل (۳-۱۱): شبکه مکعبی پلاسمای کوارک– گلوئونی [۳۶]

در این شکل کوارک­ها همانند یک محیط شبکه­ ای در اطراف یکدیگر قرار دارند. کوارک u مرکزی برای تشکیل یک نوترون در حال تلاش است، و برای این امر بایستی دو کوارک d را گیر اندازد. اگر چنین فرض کنیم که از تمام کوارک­های اطراف این کوارک u دو کوارک d باشد، آنگاه رقابت دو کوارک رقابت ساده­ای است. در نگاه اول یک حالت ممکن بیشتر وجود ندارد و آن هم حالت  است. در نگاه دقیق تر دو حالت وجود دارد، یعنی u قرمز به همراه  آبی و  سبز یا u قرمز به همراه  سبز و  آبی. پس دو حالت به دست می ­آید. حال شرایطی را در نظر بگیرید که ۳ کوارک d در اطراف کوارک u جهت پیوند با آن رقابت کنند. در چنین شرایطی ترکیبات ممکن عبارتند از: ud₁d₂، ud₁d₃ و ud₂d₃. اگر رنگ کوارک­ها را نیز منظور کنیم ۶ حالت ممکن به وجود می ­آید که این شش حالت با دو حالت قبل روی هم ۸ حالت را نشان می­ دهند. ذکر این نکته ضروری است که هر کدام از حالت­ها می ­تواند تشکیل یک نوکلئون بدهد ولی حداکثر حالاتی که می ­تواند با ۳ کوارک اتفاق بیفتد ۸ حالت است. مشابه حالت ۳ کوارکی عدد به دست آمده برای حالت ۴ کوارکی برابر ۲۰ می­باشد. با در نظر گرفتن ۵ کوارک d اطراف کوارک مرکزی با استدلالی مشابه استدلال بالا ۲۰ حالت جدید به دست خواهد آمد که با مجموع قبلی عدد ۴۰ برای عدد جادویی بعدی به دست خواهد آمد، در حالی که عدد جادویی بعدی برابر ۲۸ است. از آنجا که شرایط محیط کوارک– گلوئونی بیشتر به یک سوپ کوارک– گلوئونی شبیه است، مطابق تلاش­ های صورت گرفته در نظریه کرومودینامیک کوانتومی شبکه­ ای، این امر تقریباً محرز است که نیروی جاذبه بین کوارک­ها کاملاً از بین نمی­رود. بنابراین اگر هر کوارک d (اطراف u مرکزی) را نزدیک به کوارک­های دیگر فرض کنیم، آنگاه به عنوان مثال اگر کوارک  توسط u جذب شود. ناگزیر کوارک پنجمی که بیشترین نیروی جاذبه با  را دارد و نام آن را  می گذاریم، وارد کار می­ شود که آن را کوارک “تحمیل شده” می­نامیم. پس هر ۴ کوارک d هنگام جذب توسط کوارک u مرکزی می­توانند کوارکی را در سطحی فراتر از کوارک­های اولیه به واسطه فاصله نزدیک و یا اینکه باز نشدگی کامل از هم، به سیستم تحمیل نمایند، که این حالت جدید را چنین می نویسیم:

 

که به همراه رنگ­های مختلف آن ۸ حالت جدید به وجود می ­آید. این ۸ حالت و ۲۰ حالت قبل جمعاً ۲۸ حالت در اختیار ما می­گذارد. به طور مشابه برای ۵، ۶ و ۷ کوارک d اعداد ۵۰، ۸۲ و ۱۲۶ و نهایتاً با ۸ کوارک عدد ۱۸۴ به دست می آید. شواهدی مبنی بر وجود چنین عدد جادویی وجود دارد [۳۷ و ۳۸]. به منظور به دست آوردن اعداد جادویی بالاتر، باید شبکه ­های هندسی دیگری را در نظر گرفت و یا اینکه علاوه بر در نظر گرفتن کوارک­های سطح اول و دوم، کوارک­های سطح سوم را نیز در نظر گرفت.

۳-۶-۳- محاسبه انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی بین نوکلئون­ها

انرژی بستگی که به طور معمول در فیزیک هسته­ای به کار برده می­ شود، انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون است. با در نظر گرفتن کوارک­های محتوایی هسته­ها انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی که بین نوکلئون­ها به وجود می ­آید محاسبه شده است [۳۹ و ۴۰]. با توجه به حجم هسته و حجم نوکلئون­های تشکیل دهنده هسته، تابع موج هر نوکلئون ناچاراً با نوکلئون­های همسایه خود، در ناحیه­ای همپوشانی خواهد داشت. ناحیه­های همپوشانی شده را به عنوان یک پیوند کوارکی بین نوکلئون­ها در نظر می­گیریم. طوری که نوکلئون­ها در این ناحیه، با گسیل گلوئون با همدیگر برهم­کنش دارند. منشأ اصلی انرژی بستگی هسته­ها، کوارک­ها هستند. بنابراین انرژی بستگی کل کوارک­ها را با رابطه زیر تعریف می­کنیم و آن را با QBE^[30] نشان می­دهیم [۳۹].

(۳-۳۰)

در این رابطه BE همان انرژی بستگی هسته­ها­ست که به صورت تجربی بدست آمده است، و  قسمتی از انرژی بستگی کل کوارک­ها است که صرف غلبه بر دافعه کولمبی بین پروتون­ها می­ شود. انرژی کولمبی، یا  ، با رابطه زیر بیان می­ شود.

(۳-۳۱)

از طرف دیگر با شمارش تعداد پیوند­های کوارکی (NQB^[31]) که نوکلئون­ها را در درون هر هسته مقید نگه می­دارد، می­توان نسبت  را محاسبه کرد.

 

شکل (۳-۱۲): پیوند کوارکی بین دو نوکلئون تشکیل دهنده دوترون. همانطور که در شکل نشان داده شده دو نوکلئون با هم هم­پوشانی دارند، که این هم­پوشانی معادل یک پیوند کوارکی در نظر گرفته می­ شود.

در ابتدا هسته­های سبک را در نظر می­گیریم، دوترون دارای دو نوکلئون است و مانند شکل (۳-۱۲) با همدیگر همپوشانی دارند. در اینجا یک ناحیه همپوشانی شده وجود دارد که آن را معادل یک پیوند کوارکی در نظر می­گیریم. هسته­های هلیوم-۳ و تریتیم ساختاری همانند شکل (۳-۱۳) تشکیل می­ دهند. که در هر کدام سه پیوند کوارکی وجود دارد، هلیوم-۴ ساختاری مانند شکل (۳-۱۴) دارد که دارای ۶ پیوند کوارکی است. با در نظر گرفتن  و  انرژی بستگی کوارک­ها برابر  و انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی برابر با  به دست می ­آید.

 

شکل (۳-۱۳): پیوند­های کوارکی بین نوکلئون­ها با  ، هسته­های هلیوم-۳ و تریتیم

 

شکل (۳-۱۴): ۶ پیوند­ کوارکی موجود بین نوکلئون­های هسته هلیوم

به منظور اینکه این بحث را به کل هسته­ها تعمیم دهیم، و تعداد پیوند­های کوارکی بین نوکلئون­های هسته را مشخص کنیم، نکات زیر را در نظر می­گیریم.

توزیع نوکلئون­ها در هسته باید متقارن باشد.

هسته ترجیحاً شکل کروی داشته باشد.

برای یک هسته مشخص حالت­های گوناگونی را ممکن است بتوان در نظر گرفت. اما چون برهم­کنش قوی بین کوارک­ها وجود دارد، لاجرم حالتی را در نظر می­گیریم که تعداد پیوندهای کوارکی آن ماکزیمم باشد.

به همین منظور، اولین مرحله یافتن این است که نوکلئون­ها چگونه در هسته مرتب شده ­اند. همانطور که بیان شد نوکلئون­ها باید به صورت متقارن و کروی قرار گیرند. نوکلئون­ها تشکیل یک شبکه می­ دهند. به طور خاص یک سری صفحات یا لایه­ های موازی را در نظر می­گیریم و نوکلئون­ها را با یک نظم متقارن در هر لایه قرار می­دهیم، مانند شکل (۳-۱۵)؛ به منظور ساده سازی بحث هر نوکلئون به صورت یک نقطه در این شکل نشان داده شده است. همچنین به منظور اینکه موضوع آشکارتر شود لایه ­ها را با فاصله نشان داده­ایم، که در واقع فاصله آنها در حدود  است، که دو نوکلئون همسایه در دو صفحه کنار هم همدیگر را جذب می­ کنند و تشکیل یک پیوند می­ دهند، که در شمارش تعداد پیوند­های کوارکی محاسبه می­شوند. برای شمارش تعداد پیوند­های کوارکی دو دسته پیوند بین نوکلئون­ها را در نظر می­گیریم:

هر نوکلئون در هر لایه با نوکلئون­های همسایه­اش؛

در دو لایه مجاور اگر فاصله یک نوکلئون در یک لایه تا فاصله نوکلئونی دیگر در لایه مجاور در حدود  باشد پیوند کوارکی دارند.

 

شکل (۳-۱۵): نوکلئون­ها در هسته به صورت متقارن بر روی یک سری صفحات موازی قرار می­گیرند. هر نوکلئون با نوکلئون­های همسایه خود پیوند کوارکی می­سازد. در این شکل صفحات با فاصله از یکدیگر نشان داده شده ­اند، اما در واقع فاصله آنها از مرتبه فاصله نوکلئون­ها با یکدیگر است.

به عنوان مثال خاص هسته کلسیم  را بررسی می­کنیم. توزیع نوکلئون­ها در لایه­ های مختلف همانطور که در شکل (۳-۱۵) نشان داده شده به قرار زیر است.

 

در اینجا  به این معنی است که در لایه  ، ۱۲ نوکلئون جای می­گیرد و . . . ،که تعداد کل نوکلئون­ها برابر ۴۰ به دست می ­آید. این پیوندها در شکل (۱۶-۳) نشان داده شده است. در این شکل هر دایره نمایانگر یک نوکلئون است، و ناحیه هم­پوشانی بین هر دو نوکلئون نمایانگر یک پیوند کوارکی بین آن دو نوکلئون می­باشد.

 

شکل (۳-۱۶): پیوند­های کوارکی بین نوکلئون­های تشکیل دهنده کلسیم  ، هر دایره نمایانگر یک نوکلئون است و هر ناحیه هم­پوشانی نمایانگر یک پیوند کوارکی است.

همانطور که دیده می­ شود امکان نمایش ناحیه هم­پوشانی بین دو نوکلئون مجاور از دو لایه مجاور وجود ندارد، در عوض پیوند کوارکی بین این دو نوکلئون را با یک مثلث توپر نشان داده­ایم، همانطور که در شکل (۳-۱۷) دیده می­ شود امکان نمایش ناحیه هم­پوشانی بین دو نوکلئون  و  نیست در عوض با یک مثلث توپر نشان داده شده است. با شمارش این مثلث­ها­ی توپر تعداد پیوند­های بین لایه­ های مجاور به دست می ­آید. نتیجه حاصل برای کلسیم  در جدول (۳-۱) نشان داده شده است، که تعداد کل پیوند­های کوارکی این هسته برابر ۱۵۲ به دست می ­آید و بنابراین مقدار زیر برای نسبت  به دست می ­آید.

(۳-۳۲)

خلاصه نتایج در جدول (۳-۱) نشان داده شده است.

جدول (۳-۱): تعداد پیوندهای کوارکی بین نوکلئون­های تشکیل دهنده کلسیوم

الف- تعداد پیوندهای کوارکی که نوکلئون­های واقع در هر لایه بین خود به وجود می­آورند. در لایه a ، ۱۶ در لایه b، ۱۲ و در لایه  ، ۱۲ در لایه c، ۴ و در لایه  ، ۴ در لایه d ، صفر و در لایه  ، صفر ب- تعداد پیوندهای کوارکی که نوکلئون­های واقع در دو لایه مجاور با هم تشکیل می­ دهند. بین لایه a و b، ۳۲ بین لایه a و  ، ۳۲ بین لایه b و c، ۱۶ بین لایه  و  ، ۱۶ بین لایه c و d، ۴ بین لایه  و  ، ۴ تعداد کل پیوند­های کوارکی برابر با ۱۵۲ است.

به همین طریق نتایج برای ۶۴ هسته پایدار محاسبه گردیده و در جدول (۳-۲) نشان داده شده است. مقدار انرژی بستگی به ازای هر پیوند در همه هسته­ها تقریباً ثابت و برابر با  به دست می ­آید. ثابت بودن تقریبی این کمیت قابل توجه است.

 

شکل (۳-۱۷): پیوندهای کوارکی که بین دو نوکلئون در دو لایه مجاور قرار دارند، به وسیله یک مثلث توپر نشان داده­ شده است. همانند پیوند بین نوکلئون­های و ، که با یک مثلث توپر مشخص شده است.

استفاده از مدل شبه کوارکی در بحث انرژی بستگی هسته­ها فوایدی در بر دارد که در اینجا بیان می­شوند.

به طور معمول در فیزیک هسته­ای، انرژی بستگی به ازای نوکلئون معرفی می­ شود، که ایده­ای در مورد منشأ نیروی هسته­ای به دست نمی­دهد. اما معرفی انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی بین نوکلئون­ها، انرژی بستگی را مستقیماً به نیروی قوی بین کوارک­ها ربط می­دهد.

مقدار به دست آمده برای کمیت انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی، مقداری تقریباً ثابت است (به ازای  ). ثابت بودن این کمیت یک نتیجه مهم به حساب می ­آید.

همانطور که می­دانیم، یک جمله متناسب با سطح هسته در رابطه انرژی بستگی منتج از مدل قطره مایع وجود دارد. اما اگر انرژی بستگی را به تعداد پیوند­های کوارکی ربط دهیم، نیازی به چنین جمله­ای نیست، چرا که نوکلئون­هایی که در سطح هسته قرار دارند تعداد پیوند­های کوارکی کمتری دارند، چون تعداد نوکلئون­های اطراف آنها کمتر است، و بنابراین نیاز به جمله سطحی خود به خود حذف می­ شود.

جدول (۳-۲): انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی بین نوکلئون­های هسته، برای ۶۴ هسته مختلف.

	Nuclide	No		Nuclide	No
۲.۸۱۷   ۳۳ ۲.۷۱۰   ۳۴ ۲.۸۰۰   ۳۵ ۲.۸۳۰   ۳۶ ۲.۶۹۰   ۳۷ ۲.۶۷۰   ۳۸ ۲.۹۱۰   ۳۹ ۲.۹۸۹   ۴۰ ۲.۹۶۰   ۴۱ ۲.۷۵۰   ۴۲ ۲.۸۲۰   ۴۳ ۲.۷۴۰   ۴۴ ۲.۸۳۰   ۴۵ ۲.۸۰۰   ۴۶ ۲.۷۷۰   ۴۷ ۲.۷۰۰   ۴۸ ۲.۸۱۰   ۴۹ ۲.۷۰۷   ۵۰ ۲.۷۶۰   ۵۱ ۲.۷۲۸   ۵۲ ۲.۷۰۷   ۵۳ ۲.۸۹۰   ۵۴ ۲.۷۷۵   ۵۵ ۲.۶۳۹   ۵۶ ۲.۶۹۴   ۵۷ ۲.۷۶۰   ۵۸ ۲.۷۴۷   ۵۹ ۲.۶۹۰   ۶۰ ۲.۷۴۰   ۶۱ ۲.۷۹۰   ۶۲ ۲.۷۲۰   ۶۳ ۲.۶۲۰   ۶۴			۲.۲۲۵   ۱ ۲.۶۵۰   ۲ ۲.۵۴۰   ۳ ۴.۷۶۰   ۴ ۲.۷۳۳   ۵ ۲.۷۳۷   ۶ ۲.۷۵۰   ۷ ۲.۷۲۰   ۸ ۲.۷۷۰   ۹ ۲.۹۶۶   ۱۰ ۲.۷۵۵   ۱۱ ۲.۶۹۶   ۱۲ ۲.۷۰۹   ۱۳ ۲.۸۴۰   ۱۴ ۲.۶۰۸   ۱۵ ۲.۶۷۵   ۱۶ ۲.۸۴۰   ۱۷ ۲.۸۹۰   ۱۸ ۲.۸۱۰   ۱۹ ۲.۸۴۰   ۲۰ ۲.۸۶۰   ۲۱ ۲.۷۹۳   ۲۲ ۲.۸۰۷   ۲۳ ۲.۹۱۰   ۲۴ ۲.۸۰۶   ۲۵ ۲.۸۸۹   ۲۶ ۲.۷۷۰   ۲۷ ۲.۷۳۸   ۲۸ ۲.۶۶۰   ۲۹ ۲.۷۵۰   ۳۰ ۲.۷۱۷   ۳۱ ۲.۷۷۶   ۳۲

۳-۶-۳- انرژی بستگی هسته­ها از دیدگاه مدل شبه کوارکی

به منظور به دست آوردن انرژی بستگی هسته­ای، با نگاه شبه– کوارکی به نکات زیر توجه می­کنیم:

برای تشکیل هسته باید انرژی بستگی مثبت باشد.

انرژی بستگی مثبت از مرتبه یک درصد انرژی جرم سکون کوارک­های درون هسته  می­باشد، که q نشان دهنده کوارک بالا و یا پایین است.

در این مدل انرژی بستگی با حجم پلاسمای کوارک گلوئونی متناسب است. با توجه به اینکه هر نوکلئون از سه کوارک تشکیل شده است، لذا به ازای عدد جرمی A برای هسته، انرژی بستگی متناسب با A3 است.

با توجه به عدم تقارون بین تعداد پروتون­ها و نوترون­ها، به خصوص در هسته­های سنگین و در نظر گرفتن نیروی کولنی می­توان این عدم تقارن و تصحیح کولنی را مابین کوارک­های بالا و پایین موجود در پلاسمای کوارک– گلوئونی درون هسته را به صورت  در نظر گرفت.

با در نظر گرفتن نکات فوق فرمول زیر برای محاسبه انرژی بستگی هسته­ها ارائه شده است [۴۱].

(۳-۳۳)

مشابه با فرمول نیمه تجربی جرم در مدل قطره مایعی، هر جمله در معادله بالا شامل مفاهیم فیزیکی است. اولین ضریب،  مربوط به قانون  با  است، که نشان دهنده تقارون سه­گانه کوارکی درون هسته­هاست.  ثابتی است که مقدار آن بین ۹۰ تا ۱۰۰ قرار دارد، و رابطه  برقرار است. جرم کوارک «بالا»ی ظاهر شده در فرمول بالا به خاطر نقش بارز کوارک بالا در اغلب باریون­های پایدار مانند پروتون می باشد [۴۱]. نمودار انرژی بستگی هسته­ها بر اساس رابطه ارائه شده در اینجا در شکل (۳-۱۹) نشان داده شده است.

۳-۶-۴- بهبود انرژی بستگی هسته­ها در مدل شبه کوارکی

به منظور بهبود انرژی بستگی هسته­ها نسبت به مقادیر اندازه ­گیری شده و همچنین به دست آوردن سهمی­های جرم به در هسته­هایی که عدد جرمی یکسانی دارند، رابطه (۳-۳۳) را به صورت زیر بازنویسی می­کنیم [۴۲].

(۳-۳۴)

در اینجا  جرم نوکلئون است. بررسی­های ما نشان داد که ضریب  خود به عدد جرمی و عدد اتمی وابسته است، دلیل این وابستگی به خاطر نیروی کولمب می­باشد. رابطه را با اعمال تغییراتی به صورت زیر می­نویسیم [۴۲]:

(۳-۳۵)

در اینجا روابط زیر برقرار است.

 

همانطور که در این رابطه مشاهده می­ شود، همه کمیت­ها مشخص است تنها ضریب n است که بین یک محدوده کوچک تغییر می­ کند. حال با این فرمول بهبود یافته سهمی­های جرم را به دست می­آوریم. در ابتدا معادله جرم هسته­ها را می­نویسیم:

(۳-۳۶)

با مشتق گرفتن از  نسبت به Z و قرار دادن آن برابر با صفر مقدار کمینه  را به دست می­آوریم.

(۳-۳۷)

در این رابطه

 

در شکل (۳-۱۸) سهمی­های جرم برای A فرد  و A زوج  رسم شده است. در این نمودار  با یک پیکان رو به پایین مشخص شده است. برای A فرد تنها یک سهمی داده شده، در حالی که برای A زوج دو سهمی رسم شده است. همانطور که در این شکل دیده می­ شود برای  تنها یک ایزوبار پایدار یعنی  ، که بسیار نزدیک یافته ما،  ، است، وجود دارد. اما در مورد  که دو سهمی وجود دارد دو ایزوبار پایدار وجود دارد  و  ، بر اساس سهمی جرم بدست آمده احتمال  بیشترین است. در مدل قطره مایع برای  مقدار  و برای  مقدار  [۳۲] پیش ­بینی می­ شود [۴۲].

شکل (۳-۱۸): سهمی­های جرم. (a) سهمی­های جرم هسته­های با عدد جرمی زوج  و (b) سهمی جرم هسته­های با عدد جرمی فرد

رابطه (۳-۳۵) نه تنها باعث شد تا بتوانیم نمودار سهمی­های جرم را استخراج کنیم بلکه باعث شده است تا مقادیر انرژی بستگی به دست آمده برای هسته­های پایدار با مقادیر اندازه ­گیری شده هم­خوانی بهتری داشته باشد. در روابط زیر این مقایسه به صورت کمی بیان شده است.

(۳-۳۸)

در این رابطه  انرژی بستگی اندازه ­گیری شده هسته­ها،  انرژی بستگی حاصل از مدل قطره مایع LDM،  انرژی بستگی منتج شده از مدل شبه کوارکی (^[۳۲]QLM)و  انرژی بستگی حاصل از مدل شبه کوارکی بهبود یافته یا MQLM^[33] است.

شکل (۳-۱۹): انرژی بستگی هسته­ها بر اساس داده ­های مدل شبه کوارکی هسته­ها

۴- محاسبه گشتاور دو قطبی دوترون بر اساس ساختار کوارکی آن و مقایسه با مقدار آزمایشگاهی آن

۴-۱- مقدمه

در حضور مواد مغناطیسی، دو قطبی مغناطیسی تمایل به تراز نمودن خود در یک جهت خاص دارد. این جهت طبق تعریف، جهت چگالی شار مغناطیسی است که معمولاً با B نشان داده می­ شود، مشروط بر اینکه دو قطبی مغناطیسی بقدری کوچک و ضعیف باشد که میدان موجود را آشفته نکند. اندازه چگالی شار مغناطیسی فوق را می­توان با گشتاور مکانیکی N، که روی دو قطبی مغناطیسی وارد می­ شود تعریف کرد.

(۴-۱)

در اینجا  گشتاور دوقطبی مغناطیسی است. ساده­ترین مثالی که برای یک دوقطبی مغناطیسی می­توان بیان کرد، یک سیم دایروی تخت حامل جریان الکتریکی می­باشد. گشتاور مغناطیسی حاصل از این حلقه سیم را نیز گشتاور دوقطبی مغناطیسی می­نامند. در حالت کلی گشتاور مغناطیسی در الکترودینامیک با رابطه زیر بیان می­گردد [۴۳].

(۴-۲)

این رابطه برای یک حلقه جریان به شکل زیر در می ­آید.

(۴-۳)

در این روابط m، گشتاور مغناطیسی، r بردار مکان و I جریان موجود در مدار است. اگر این رابطه برای یک حلقه دایروی تخت جریان به کار گرفته شود، مقدار حاصل که همان گشتاور دوقطبی مغناطیسی است برابر است با  . اگر جریان I در اثر گردش بار e که با سرعت v در دایره­ای به شعاع r (و با دوره تناوب  ) در حرکت است به وجود آید، رابطه زیر به دست می ­آید.

(۴-۴)

که در آن  تکانه زاویه­ای کلاسیک بار متحرک یا mvr است. در مکانیک کوانتومی، گشتاور مغناطیسی قابل مشاهده به طور عملیاتی در راستای بزرگترین مؤلفه l تعریف می­ شود. چنانچه به جای l مقدار انتظاری آن را نسبت به محوری که تصویر بردار تکانه روی آن بزرگ­ترین مقدار یعنی  است  قرار دهیم، معادله (۴-۴) را می­توان مستقیماً وارد محاسبات کوانتومی کرد. در این صورت:

(۴-۵)

که در آن l اکنون عدد کوانتومی تکانه زاویه­ای است. کمیت  را یک مگنتون می­نامند. در حرکت­های اتمی، به­جای m جرم الکترون را قرار می­ دهند و مگنتون بور را به صورت  به دست می­آورند. اگر به جای m جرم پروتون قرار گیرد، مگنتون هسته­ای به صورت  به دست می ­آید. توجه داشته باشیم که به خاطر اختلاف جرم پروتون و الکترون  ، یعنی در بسیاری از شرایط، مغناطیس اتمی خیلی قوی­تر از مغناطیس هسته­ای است. برهم­کنش­های مغناطیسی عادی در ماده (مثل خاصیت فرومغناطیسی) از طریق مغناطیس اتمی ماده تعیین می­ شود. اثرات مغناطیس هسته­ای مواد را فقط در شرایط خیلی خاص می­توان مشاهده کرد. معادله (۴-۵) را به شکل مفیدتر زیر می­توان نوشت.

(۴-۶)

که در آن  را ضریب g می­گویند که به تکانه زاویه­ای مداری l وابسته است. برای پروتون­ها  است. چون نوترون­ها بار الکتریکی ندارند، در صورتی می­توان از این معادله برای توصیف حرکت مداری نوترون­ها استفاده کرد که در مورد آنها  باشد.

تا کنون فقط حرکت مداری نوکلئون­ها را در نظر گرفته­ایم. پروتون­ها و نوترون­ها هم مانند الکترون­ها، علاوه برگشتاور مداری، دارای گشتاور مغناطیسی ذاتی یا اسپینی هستند که هیچ­گونه مشابه کلاسیکی ندارند. در اینجا این گشتاور به همان صورت معادله (۴-۶) در نظر گرفته می­ شود.

(۴-۷)

که در آن برای هر سه ذره­ی پروتون، نوترون و الکترون  است. کمیت  را ضریب اسپینی g گویند که از حل معادله نسبیتی مکانیک کوانتومی حاصل می­ شود. برای ذره­ای مانند الکترون که ذره­ای نقطه­ای با اسپین  است، بنابر معادله دیراک  است، که با مقدار حاصل از اندازه ­گیری  سازگاری خیلی خوبی دارد. اختلاف بین  و عدد ۲ خیلی کم و با در نظر گرفتن مراتب بالاتر تصحیحات الکترودینامیک کوانتومی به دقت قابل محاسبه است. اما تفاوت بین مقادیر تجربی  برای نوکلئون­های آزاد، و مقدار انتظاری ذرات نقطه­ای خیلی چشم­گیر است [۴۴].

(۴-۸)

در اینجا نه تنها اختلاف بین گشتاور مغناطیسی تجربی پروتون و مقدار انتظاری ۲ برای یک ذره­ی نقطه­ای بسیار زیاد است، بلکه برای نوترون بدون بار هم گشتاور مغناطیسی غیر صفر به دست آمده است. شاید این اختلافات اولین قرائنی باشند که نشان می­دهد نوکلئون­ها ذراتی نقطه­ای مانند الکترون نیستند، بلکه دارای ساختار درونی هستند. در ساختار داخلی نوکلئون­ها باید ذرات باردار در حال حرکت دخالت داشته باشند، و حرکت این ذرات باردار باید به تولید جریان­هایی منجر شود که با گشتاور مغناطیسی مشاهده شده سازگار باشد. یکی از نکات جالب توجه این است که  پروتون در حدود ۶_/۳ از مقدار انتظاری­اش بزرگ­تر است، در حالی که  نوترون در همین حدود از مقدار انتظاری آن (صفر) کوچک­تر است. امروزه نوکلئون­ها را متشکل از سه کوارک در نظر می­گیرند، و گشتاور مغناطیسی هر نوکلئون را مستقیماً از جمع گشتاورهای مغناطیسی کوارک­ها به دست می­آورند [۴۵].

نیروی تزویج در هسته­ها، جفت­شدگی میان نوکلئون­ها را چنان تنظیم می­ کند که برایند تکانه­های زاویه­ای مداری و اسپینی هر زوج برابر صفر می­ شود. بدین ترتیب، نوکلئون­های تزویج شده هیچ­گونه سهمی در گشتاور مغناطیسی ندارند، و در تعیین آن فقط کافی است که نوکلئون­های ظرفیت را در نظر بگیریم. اگر چنین نبود، بر اساس ملاحظات آماری در بعضی از هسته­های سنگین احتمالاً با گشتاورهای مغناطیسی خیلی بزرگ که شاید به ده­ها مگنتون هسته­ای بالغ می­شد، روبرو می­شدیم. اما تا کنون هیچ هسته­ای با گشتاور مغناطیسی دوقطبی بزرگ­تر از حدود  مشاهده نشده است [۲۶].

۴-۲- گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون در مدل پوسته­ای

دوترون از گردهمایی یک پروتون و یک نوترون تشکیل می­ شود. این هسته ساده­ترین حالت مقید نوکلئون­هاست. انرژی بستگی دوترون نسبت به دیگر هسته­های پایدار کم است. این انرژی بستگی در حدود  است، در اندازه ­گیری آن از روش دوتایه جرمی استفاده شده است. تکانه زاویه­ای کل دوترون، I، برابر با یک است. این تکانه زاویه­ای دارای سه مؤلفه است که عبارتند از: اسپین هریک از ذرات پروتون و نوترون،  و  (که هر کدام برابر با  است)، و تکانه زاویه­ای مداری، l، نوکلئون­ها در حرکت حول مرکز جرم مشترک

(۴-۹)

یکی دیگر از خواص قابل تعیین دوترون، پاریته آن (به صورت زوج یا فرد) است که رفتار تابع موج را هنگام  نشان می­دهد. از بررسی واکنش­هایی که دوترون در آنها شرکت دارد و بررسی خواص فوتون گسیل شده در طی تشکیل دوترون، پاریته دوترون زوج به دست آمده است. پاریته منتسب به حرکت مداری به صورت  قابل تعیین است. با در نظر گرفتن اسپین و پاریته دوترون، تکانه زاویه­ای مداری دوترون می ­تواند صفر یا دو باشد. اگر فرض کنیم  باشد، حرکت مداری هیچ گونه سهمی در گشتاور دوقطبی مغناطیسی ندارد. بنابراین می­توان گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون را حاصل ترکیب گشتاورهای دوقطبی مغناطیسی نوترون و پروتون تلقی کرد.

(۴-۱۰)

در اینجا گشتاور دوقطبی محاسبه شده، در شرایطی که اسپین­ها بزرگ­ترین مقدارشان  را دارند محاسبه شده است. و  و  در رابطه (۴-۸) داده شده ­اند. مقداری که از طریق آزمایش به دست آمده برابر  [۲۶] است. با مقایسه سازگاری خوبی بین مقدار محاسبه شده و مقدار تجربی مشاهده می­ شود. در مدل پوسته­ای اختلافی که مشاهده می­ شود را ناشی از اختلاط تابع موج و وجود سهم کوچکی از حالت d  در تابع موج دوترون می­دانند.

(۴-۱۱)

گشتاور مغناطیسی دوترون به کمک این تابع موج، چنین به دست می­ید.

(۴-۱۲)

که در آن  همان مقداری است که در معادله (۴-۱۰) محاسبه شده است. برای محاسبه  با در نظر گرفتن اینکه دوترون از یک پروتون و یک نوترون تشکیل شده است، بنابراین هرکدام نصف تکانه زاویه­ای مداری دوترون را حمل می­ کنند؛ بنابراین عملگر گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون را می­توان به شکل زیر نوشت.

(۴-۱۳)

با به دست آوردن مقداری انتظاری این عملگر در راستای بزرگ­ترین مؤلفه تکانه زاویه­ای، یعنی  ، مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی به دست می ­آید. در مورد نوترون چون بدون بار الکتریکی است،  است.

(۴-۱۴)

با جایگذاری  از رابطه (۴-۱۳) به رابطه زیر می­رسیم.

(۴-۱۵)

حال با بهره گرفتن از روابط آشنای زیر، مقدار رابطه بالا بدست می ­آید.

(۴-۱۶)

(۴-۱۷)

(۴-۱۸)

با جایگذاری روابط (۴-۱۷) و (۴-۱۸) در رابطه (۴-۱۵) نتیجه زیر به دست می ­آید.

(۴-۱۹)

همان طور که قبلاً گفته شد تکانه زاویه­ای دوترون برابر با یک است، در اینجا یعنی  . اکنون اگر بخواهیم گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون با تکانه زاویه­ای مداری برابر با ۲ را حساب کنیم، با قرار دادن  ،  ،  و  در رابطه بالا به نتیجه زیر می­رسیم.

(۴-۲۰)

با جایگذاری  و  از رابطه (۴-۸) مقدار عددی گشتاور دو قطبی مغناطیسی برای حالت  به دست می ­آید. این مقدار برابر است با:  . با داشتن  حال می­توان مقادیر عددی  و  را به دست آورد.  و  . نتیجه­ای که گرفته می­ شود واضح است. تابع موج دوترون در حالت پایه از ۹۶ درصد  و ۴ درصد  تشکیل شده است [۲۶].

۴-۳- محاسبه گشتاور دوقطبی مغناطیسی دیگر هسته­ها در مدل پوسته­ای

به منظور به دست آوردن گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های با A فرد (عدد اتمی)، با در نظر گرفتن اینکه نوکلئون­های تزویج شده در ایجاد گشتاور دو قطبی مغناطیسی تأثیری ندارند و بنابراین تنها نوکلئون فرد باعث ایجاد گشتاور دو قطبی مغناطیسی می­ شود، به محاسبه آن می­پردازیم. برای این کار از رابطه (۴-۱۴) استفاده می­کنیم. عملگر گشتاور دو قطبی مغناطیسی را با رابطه زیر جایگزین می­کنیم.

(۴-۲۱)

در اینجا  ضریب اسپینی g نوکلئون و  ضریب g مداری نوکلئون فرد است. با جایگذاری این رابطه در رابطه (۴-۱۴) به رابطه زیر می­رسیم.

(۴-۲۲)

حال با بهره گرفتن از روابط (۴-۱۶) و (۴-۱۷) و در نظر گرفتن اینکه در مدل پوسته ای روابط زیر بین تکانه زاویه­ای کل و تکانه زاویه­ای مداری وجود دارد رابطه بالا را محاسبه می­کنیم.

(۴-۲۳)

(۴-۲۴)

در مدل پوسته­ای پتانسیل اسپین مدار به منظور باز تولید اعداد جادویی هسته­ای معرفی شد، که موفقیت بسیار خوبی در توضیح اعداد جادویی هسته­ای، پاریته و اسپین حالت پایه هسته­های پایدار موجود در طبیعت دارد. این پتانسیل اسپین مدار باعث تولید دو دسته گشتاور دو قطبی مغناطیسی، که بستگی به رابطه بین تکانه زاویه­ای مداری و تکانه زاویه­ای کل دارد، شد. گشتاور دوقطبی مغناطیسی هسته­ها که از طریق آزمایش به دست آمده نیز چنین الگویی را نشان می­دهد، اما مقادیر به دست آمده با مقادیر محاسبه شده متفاوت است. به منظور نزدیک شدن مقادیر محاسبه شده با مقادی آزمایشگاهی آن، بیان شده است که ضریب اسپینی g نوکلئون­های آزاد و ضریب اسپینی g نوکلئون­های مقید با هم برابر نیستند و رابطه تقریبی زیر بین آنها برقرار است [۴۶].

 

علت این رابطه در مدل پوسته­ای به ابر مزونی اطراف نوکلئون­ها در درون هسته نسبت داده می­ شود، چرا که در درون هسته نوکلئون­ها در فاصله نزدیک هم هستند، و به همین دلیل برهم­کنش شدیدتری با هم دارند. که این خود می ­تواند منجر به متلاشی شدن لحظه­ای نوکلئون شود. نتایج حاصل در شکل­های (۴-۱) و (۴-۲) آورده شده است.

شکل (۴-۱): مقادیر تجربی گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های پروتون فرد و پیش بینی مدل پوسته­ای.

شکل (۴-۲): مقادیر تجربی گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های نوترون فرد و پیش بینی مدل پوسته­ای.

۴-۴- محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون با بهره گرفتن از مدل شبه کوارکی

۴-۴-۱- مقدمه

بر طبق نظریه­ های موجود باریون­ها از سه کوارک تشکیل شده ­اند. کوارک­ها در شش طعم مختلف و سه رنگ آبی سبز و قرمز از ذرات بنیادی تشکیل دهنده جهان می­باشند.

هسته دوترون از یک پروتون و یک نوترون تشکیل شده است. برای محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون در مدل پوسته­ای با در نظر گرفتن اینکه هسته در حالت پایه دارای تکانه زاویه­ای مداری  است، گشتاور دو قطبی مغناطیسی را برابر با  به دست آورده­اند (معادله (۴-۱۰)). همان طور که در قسمت­ های قبلی گفته شد، به منظور بهبود نتیجه به دست آمده با مقدار آزمایشگاهی، در مدل پوسته­ای فرض شده است که حالت پایه دوترون ترکیبی از تکانه زاویه­ای مداری یک و دو می­باشد. در هسته­های سنگین­تر نیز، در این مدل مقدار ضریب g پروتون و نوترون مقید با ضریب g پروتون و نوترون آزاد، به منظور مطابقت با مقادیر آزمایشگاهی، متفاوت در نظر گرفته می­ شود. در اینجا دوترون را تشکیل شده از دو نوکلئون در نظر می­گیریم، یک پروتون و یک نوترون، ولی به خاطر نزدیکی این دو نوکلئون به هم، کواک­های سازنده آنها مرتباً با هم برهم­کنش دارند که این برهم­کنش باعث متلاشی شدن نوکلئون­ها می­گردد و سپس مجدداً به علت وجود نیروی قوی بین کوارک­ها، نوکلئون­ها تشکیل می­گردند. بنابراین دوترون را تشکیل شده از ۶ کوارک در نظر می­گیریم، که خود تشکیل دو نوکلئون می­ دهند. دوترون را تشکیل شده از ۳ کوارک u با رنگ­های مختلف و سه کوارک d با رنگ­های مختلف در نظر می گیریم. اگر سه کوارک u به سه رنگ مختلف قرمز، آبی و سبز باشد و سه کوارک d نیز سه رنگ مختلف داشته باشد، هر شش کوارک با در نظر گرفتن اصل طرد پائولی در یک تراز (تراز پایه) جای می گیرند. دوترون در حالت پایه دارای تکانه زاویه­ای مداری  می­باشد. در قسمت ۴-۴-۲ تابع موج دوترون را محاسبه می کنیم و در قسمت ۴-۴-۳ با بهره گرفتن از این تابع موج مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون را محاسبه می­کنیم.

۴-۴-۲- محاسبه تابع موج دوترون

تابع موج دوترون را بر اساس ساختار کوارکی آن می توان به شکل رابطه (۴-۲۵) نوشت، که شامل چهار قسمت جداگانه، تابع فضایی، تابع اسپینی، تابع طعم و تابع رنگ می باشد.

(۴-۲۵)

چون نوکلئون­ها و کوارک­ها همگی فرمیون هستند بنابراین از آمار فرمی- دیراک پیروی می­ کنند و تابع موج کل دوترون نتیجتاً بایستی پاد متقارن باشد (در اثر جایگشت هر دو نوکلئون و در داخل هر نوکلئون در اثر جایگشت هر دو تا کوارک). ما نمی­دانیم که شکل تابعی قسمت فضایی حالت پایه چگونه است اما مطمئناً متقارن می­باشد، به دلیل اینکه برای همه کوارک­ها،  . سه رنگ مولد تقارن رنگی SU(3) است، با کنار هم قرار دادن ۳ رنگ یک رنگ دهگانه دو رنگ هشت­گانه و یک رنگ یگانه به دست می آوریم.

(۴-۲۶)

به طور طبیعی تمام ذرات بی­رنگ هستند. در حقیقت این یک حالت ساده از قانون کلی­تر می­باشد. هر ذره که به گونه طبیعی به وجود آمده یک یگانه رنگ می­باشد. در SU(3) حالت یگانه کاملاً پاد متقارن می­باشد. بنابراین هر یک از دو نوکلئون دوترون دارای تابع رنگ یگانه و پاد متقارن است. حاصلضرب  از تابع موج دوترون را بهتر است بر حسب توابع موج پروتون و نوترون بنویسیم.

(۴-۲۷)

در این رابطه  و  به ترتیب تابع موج نوترون و پروتون است. چون نوکلئون­ها فرمیون هستند تابع موج کلی پاد متقارن می­باشد. نوکلئون­ها از ۳ کوارک تشکیل شده ­اند. برای به دست آوردن قسمت اسپینی با توجه به اینکه تشکیل گروه SU(2) می­ دهند داریم [۴۷]

(۴-۲۸)

(۴-۲۹)

(۴-۳۰)

(۴-۳۱)

ترکیب­های اسپین متقارن هستند ولی ترکیب­های اسپین به طور جزئی پاد متقارن هستند. جابجایی دو ذره منجر به تغییر علامت خواهد شد. مطابق زیرنویس در ردیف اول جابجایی دو ذره­ی ۲ و ۱ و در ردیف دوم جابجایی دو ذره ی ۳ و ۲ منجر به تغییر علامت رابطه می­ شود. همچنین می­توانیم یک جفت حالت نامتقارن را در ذره­ی ۱ و ۳ ایجاد کنیم.

(۴-۳۲)

اما (۴-۳۲) از دو تای دیگر مستقل نیست و مطابق رابطه زیر به آن­ها مربوط می­ شود.

(۴-۳۳)

قسمت  نوکلئون­ها چون از دو کوارک u و d تشکیل شده ­اند همانند قسمت اسپینی تشکیل گروه SU(2) می­ دهند و می­توان با جایگزینی اسپین با u و اسپین با d قسمت  را به دست آورد. چون همانطور که گفته شد تابع رنگ برای پروتون­ها پاد متقارن، تابع فضایی نیز به خاطر  متقارن است حاصلضرب  برای پروتون و نوترون باید متقارن باشد. اسپین نوکلئون­ها  است، بنابراین از تقارن­های آمیخته انتخاب می­ شود. بنابراین  نیز از تقارن­­های آمیخته انتخاب می شود. قسمت اسپین و طعم تابع موج نوکلئون به صورت زیر نوشته می­ شود.

(۴-۳۴)

(۴-۳۵)

که ۹ جمله متمایز می­باشد. تابع موج نوترون با تعویض در تابع موج پروتون به دست می ­آید. تابع موج دوترون به شکل زیر است.

(۴-۳۶)

با در نظر گرفتن مولفه­های اسپین تابع موج دوترون به شکل زیر خواهد بود.

(۴-۳۷)

در این رابطه حاصل­ضرب  با بهره گرفتن از رابطه (۴-۳۵) به صورت زیر در خواهد آمد.

(۴-۳۸)

که جمعاً  جمله خواهد بود که به صورت زیر خلاصه شده است.

(۴-۳۹)

جمله  نیز شامل ۸۱ جمله خواهد بود که با تعویض از حالت قبل به دست می آید.

۴-۴-۲- محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون

در غیاب حرکت اربیتال مقدار حرکت گشتاور مغناطیسی دوترون به طور ساده مجموع برداری شش کوارک تشکیل دهنده آن می­باشد.

(۴-۴۰)

این عبارت به ویژگی­های طعم کوارک ( زیرا کوارک­های u و d گشتاور مغناطیسی متفاوتی دارند) و به ترکیب اسپین (چون جهت نسبی شش دو قطبی را تعیین می­ کند) بستگی دارد.

گشتاور دو قطبی ذره­ای با اسپین ، بار q و جرم m عبارت است از:

(۴-۴۱)

در مکانیک کوانتومی، گشتاور مغناطیسی قابل مشاهده، به طور عملیاتی در راستای بزرگ­ترین مولفه تکانه زاویه­ای تعریف می­ شود [۲۶].

اندازه رابطه (۴-۴۱) برابر است با ، دقیق­تر بگوییم این اندازه  در حالت اسپین بالاست که برای آن . برای کوارک داریم

(۴-۴۲)

بنابراین گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون با رابطه زیر داده می­ شود؛

(۴-۴۳)

تابع موج دوترون در معادله (۴-۳۹) آمده است. جمله اول برابر  و حالا:

(۴-۴۴)

بنابراین مقدار انتظاری گشتاور مغناطیسی ناشی از جمله اول برابر است با:

(۴-۴۵)

برای تک­تک جملات به همین صورت محاسبه می­کنیم، که نتیجه به صورت زیر است.

(۴-۴۶)

همچنین برای جمله دیگر همین مقدار به دست خواهد آمد.

(۴-۴۷)

بنابراین گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون با رابطه زیر داده می شود.

(۴-۴۸)

(۴-۴۹)

(۴-۵۰)

 مگنتون هسته­ای است،  جرم پروتون و  جرم­های کوارک­های u و d است [۴۵].

اگر عدد به دست آمده را با مقدار مشاهده شده تجربی یعنی  مقایسه کنیم سازگاری خوبی یافت می شود. در مدل پوسته­ای با در نظر گرفتن اینکه دوترون در حالت پایه  است، مقداری که برای گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون به دست آمده است برابر با  است. با مقایسه معلوم می­ شود که مقداری که در اینجا به دست آورده­ایم به مقدار تجربی آن نزدیک­تر است. در مدل پوسته­ای برای اینکه سازگاری با مقدار طبیعی بیشتر شود فرض می شود که اتم تنها در حالت  نباشد بلکه تابع موج با حالت  مختلط شده است [۴۸]. مقدار عددیی که برای جرم کوارک در نظر گرفته شده، در واقع جرم موثر متوسط کوارک­های بالا و پایین در درون باریون­هاست، این امر ما را به سوی این موضوع رهنمون ساخت که کوارک­های سازنده دوترون می­توانند علاوه بر نوکلئون­ها دیگر باریون­ها را نیز تشکیل دهند. با در نظر گرفتن خصوصیات معلوم دوترون، باریون­هایی که احتمال تشکیل آنها در دوترون وجود دارد را مشخص می­کنیم و بر این اساس گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون را محاسبه می­کنیم.

 

محاسبه گشتاور دو قطبی دوترون با در نظر گرفتن امکان تشکیل باریون­های ، ، ، ، p و n

دوترون که از سه کوارک up و سه کوارک down تشکیل شده است فرض می­ شود که این شش کوارک کاملاً در درون دو نوکلئون مقید نیستند بلکه فرض می­ شود که این دو باریون به کوارک­های سازنده­یشان شکسته می­شوند و سپس دو باریون دیگر تشکیل می­ شود این دو باریون لزوماً دو نوکلئون یا دو باریون قبلی نیستند. تعداد زوج باریون­هایی که که می­توان از این شش کوارک تولید کرد شامل زوج­های ذیل می­باشد.

(۴-۵۱)

دوترون دارای بار الکتریکی واحد است و این شرط در نوشتن زوج باریون­های تشکیل شده دخالت داده شده است. اگر چه جرم باریون­های دلتا بیشتر از جرم نوکلئون­هاست و انرژی بستگی دوترون تنها کمی بیشتر از  است و نمی­تواند جواب­گوی این اضافه جرم باریون­های دلتا به نسبت نوکلئون­ها باشد، اما با در نظر گرفتن اصل عدم قطعیت هایزنبرگ^[۳۴] بین تغییرات انرژی و تغییرات زمان چنین امکانی عملی خواهد شد. باریون­های دلتا از طریق نیروی قوی واپاشی می­ کنند و نیمه عمر آنها برابر با  است و بنابراین تغییر انرژی آنها، با در نظر گرفتن رابطه  ، می ­تواند چند صد مگا الکترون ولت باشد. حال تابع موج دوترون طوری باید نوشته شود که تمام حالت­های ممکن تشکیل دو باریون در آن لحاظ شود. بنابراین تابع موج دوترون به شکل زیر است.

(۴-۵۲) 

در اینجا مربع ضریب هر جمله بیانگر احتمال تشکیل دوترونی است که از زوج باریون مورد نظر ساخته شده است به عنوان نمونه  احتمال تشکیل دوترون ساخته شده از باریون­های  و  است و . . . . این ضرایب در ادامه محاسبه شده ­اند. مشابه معادله (۴-۲۷) تابع موج هر زوج باریون رابه شکل زیر می­نویسیم

(۴-۵۳) 

در اینجا  و  تابع موج هر کدام از باریون­های تشکیل شده در درون دوترون می ­تواند باشد. بنابراین تابع موج دوترون به صورت زیر گسترده می­ شود.

(۴-۵۴) 

این تابع موج طوری نوشته شده است که نسبت به جابجایی هر دو باریون پاد متقارن می­باشد. تابع موج دوترون همچنین از چهار قسمت اسپین، طعم، فضا و رنگ ساخته شده است؛ مانند معادله (۴-۲۵). بنابراین هر جمله از معادله (۴-۵۲) باید به صورت معادله (۴-۲۵) نوشته شود. در اینجا بحث­هایی که در قسمت قبل راجع به قسمت فضایی و قسمت رنگ تابع موج گفته شد نیز صادق است. با فرض اینکه دوترون در حالت پایه است، یعنی  بنابراین قسمت فضایی تابع موج متقارن است. قسمت رنگ تابع موج به خاطر یگانه بودن رنگ برای هر باریون پاد متقارن خواهد بود. بنابراین حاصلضرب قسمت اسپین و قسمت طعم تابع موج هر باریون باید متقارن باشد. بنابراین انتخاب تابع موج اسپینی و طعم باید این امر را برآورده سازد. در مورد نوکلئون­ها این قسمت از تابع موج در قسمت­ های قبلی این فصل محاسبه شده است. به خاطر اینکه نوکلئون­ها دارای اسپین  هستند از ترکیب­های آمیخته اسپینی و طعمی استفاده شد، تا یک تابع متقارن به دست بیاید. در مورد باریون­های دلتا، ، شرایط متفاوت است. این باریون­ها دارای اسپین  هستند و در ساخت تابع موج اسپینی آنها از رابطه (۴-۲۹) استفاده خواهد شد. همانطور که از این رابطه مشاهده می­ شود نسبت به جابجایی هر دو ذره­ای متقارن می­باشد. بنابراین قسمت طعم تابع موج برای باریون­های دلتا نیز باید متقارن در نظر گرفته شود؛ تا حاصلضرب این دو قسمت از تابع موج متقارن باشد. در نظر داشته باشیم که قسمت رنگ تابع موج پاد متقارن است. حال حاصلضرب  برای باریون  به شکل زیر است.

(۴-۵۵) 

در اینجا تابع طعمی که برای باریون  استفاده شده به صورت  است. سادگی آن به خاطر یکسان بودن سه کوارک تشکیل دهنده آن می­باشد. برای سه باریون دیگر به همین طریق حاصلضرب  را حساب می­کنیم  آنها در زیر آورده شده است. برای قسمت  آنها از رابطه (۲۹-۴) استفاده می­ شود.

(۴-۵۶) 

حال معادله (۴-۵۴) را برحسب اسپین و طعم کوارک­های تشکیل دهنده آن گسترش می­دهیم. برای این منظور باید در نظر داشته باشیم که اسپین دوترون برابر با یک است. این شرط محدودیتی بر روی ساخت تابع موج اعمال خواهد کرد. دو باریون دلتا که هر کدام دارای اسپین  هستند وقتی که با هم یک سیستم تشکیل می­ دهند می­توانند دارای اسپین ۰، ۱، ۲ و ۳ باشند. تنها حالتی را در نظر می­گیریم که اسپین برایند برابر با یک شود. همانطور که قبلاً در این فصل بیان شد، در مکانیک کوانتومی، گشتاور مغناطیسی قابل مشاهده را به طور عملیاتی در راستای بزرگ­ترین مؤلفه تکانه زاویه­ای تعریف می­ کنند. چون هدف به دست آوردن گشتاور دو قطبی مغناطیسی است، بنابراین تنها مؤلفه­ای از تابع موج دوترون را محاسبه می­کنیم، که مؤلفه اسپین آن یک باشد. بنابراین با در نظر گرفتن تابع موج دوترون که مؤلفه z آن برابر با یک باشد، جملات معادله (۴-۵۲) به صورت زیر در می ­آید.

(۴-۵۷) 

(۴-۵۸) 

(۴-۵۹) 

(۴-۶۰) 

(۴-۶۱) 

در این روابط ضرایب قبل از هر جمله ضرایب کلبش- گوردون^[۳۵] هستند، که از اعمال عملگر نردبانی  بر روی ماکسیمم اسپینی به دست می­آیند. مقدار ویژه­ی این عملگر از رابطه زیر به دست می ­آید و یک واحد از مؤلفه z تکانه زاویه­ای کم می­ کند.

(۴-۶۲) 

به عنوان نمونه برای به دست آوردن رابطه (۴-۵۷) مراحل زیر طی شده است. (به منظور خلاصه نویسی جملات تقارنی نوشته نشده­اند)

 

 

 

 

 

 

حال می­توانیم جمله اول تابع موج در معادله (۴-۵۲) را به صورت زیر بنویسیم.

(۴-۶۳)

بقیه جملات را به همین طریق به دست خواهیم آورد که در پیوست آورده شده است. جمله مربوط به زوج نوکلئون­ها در قسمت قبلی به دست آمده است.

حال ضرایب موجود در رابطه (۴-۵۲) را به دست می­آوریم. با در نظر گرفتن اینکه اسپین دوترون برابر با یک است و بنابراین مؤلفه z اسپین دوترون می ­تواند اعداد ۱، ۰، ۱- باشد. تعداد حالت­هایی که از زوج باریون­های داده شده در معادله (۴-۵۲) منجر به تشکیل دوترون می­ شود را می­شماریم.

 

به همین طریق محاسبات را برای زوج­های دیگر باریون­ها انجام می­دهیم و تعداد حالت­های تشکیل دوترون را می­شماریم. سپس حالت­هایی که اسپین برایند مخالف با یک باشد را از مجموع کم می­کنیم. (در شمارش بالا فقط مولفه اسپین در نظر گرفته شد، که مجاز به انتخاب اعداد ۱، ۰، ۱- بود، با این حال ممکن است اسپین کل مخالف یک باشد. به عنوان مثال اگر اسپین کل ۲ باشد مولفه­های آن اعداد ۱، ۰، ۱- هم می ­تواند باشد. باید سهم این اسپین­ها در شمارش کم شود.) نتایج حاصل در جدول (۴-۱) نشان داده شده ­اند.

جدول (۴-۱): تعداد راه­های ممکن تشکیل دوترون توسط هر زوج باریون

Baryon pair
Number of states	۱۵	۴۵	۲۷۰	۲۷۰	۴۳۲

با توجه به جدول شماره (۴-۱) ضرایب موجود در رابطه (۴-۵۲) را به دست می­آوریم. این نتایج در رابطه زیر آورده شده ­اند.

(۴-۶۴)

با قرار دادن این نتایج در رابطه (۴-۵۴) تابع موج دوترون به شکل زیر در می ­آید.

(۴-۶۵)

اکنون با بهره گرفتن از رابطه (۴-۶۳) تابع موج دوترون بر حسب کوارک­های سازنده آن و اسپین وابسته به آنها به دست خواهد آمد. با بهره گرفتن از این تابع موج گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون به دست خواهد آمد. در غیاب حرکت اربیتال مقدار حرکت گشتاور مغناطیسی دوترون به طور ساده مجموع برداری شش کوارک تشکیل دهنده آن می­باشد، معادله (۴-۴۳). گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون از رابطه (۴-۴۷) به دست خواهد آمد. با داشتن تابع موج دوترون و جایگذاری در این رابطه مقدار انتظاری عملگر دوقطبی مغناطیسی به دست خواهد آمد. با جایگذاری جمله اول تابع موج،  ، در معادله (۴-۴۷) نتیجه زیر به دست می ­آید.

(۴-۶۶)

محاسبات مشابه برای دیگر جمله­های تابع موج نیز به همین صورت انجام می­ شود؛ و سرانجام گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون به صورت زیر به دست می ­آید.

(۴-۶۷)

در این رابطه، کمیت­های زیر مورد استفاده قرار گرفته­اند.

(۴-۶۸)

(۴-۶۹)

(۴-۷۰)

(۴-۷۱)

در معادلات (۴-۶۷) تا (۴-۷۱)  ، مگنتون هسته­ای است،  ،  و  [۴۹ و ۵۰]. با مقایسه مقدار به دست آمده، یعنی  ، با مقدار آزمایشگاهی آن،  ، سازگاری خوبی مشاهده می­ شود. در اینجا مناسب است که نتایج حاصل از روش­های مختلف برای اندازه ­گیری یا محاسبه گشتاور دوقطبی مغناطیسی دوترون را به منظور مقایسه بیان کنیم.

جدول ۴-۲:مقایسه گشتاور مغناطیسی دوترون در روش­های مختلف

روش مورد استفاده	مقدار به دست آمده
اندازه ­گیری تجربی
استفاده از مدل پوسته­ای با حالت پایه l=0
در نظر گرفتن محتوای کوارکی نوکلئون­های سازنده دوترون
در نظر گرفتن محتوای کوارکی باریون­های سازنده دوترون (شامل نوکلئون­ها و باریون­های دلتا)

۵- بررسی پایداری هسته­ها در مدل شبه کوارکی هسته

۱-۵- مقدمه

بیشتر تلاش­ های صورت گرفته در زمینه فیزیک هسته­ای به منظور شناخت بهتر خواص هسته­ها است. یکی از خاصیت­های مهم هسته­ها پایداری آنهاست، چه هسته­هایی پایدار هستند و چه هسته­هایی ناپایدار. عامل پایداری هسته­ها تحت تأثیر چه نیروها و خصوصیاتی است. بعضی هسته­ها نسبت به بعضی دیگر پایدارترند. به عنوان نمونه، هسته­هایی که تعداد پروتون یا نوترون برابر با اعداد جادویی دارند، پایدارترند. در هسته­های سنگین نسبت نوترون­ها به پروتون­ها بیشتر می­ شود، در حالی که در هسته­های سبک، تعداد پروتون­ها و نوترون­ها تقریباً برابر است.

در مدل پوسته­ای، که می­توان آن را موفق­ترین مدل در زمینه فیزیک هسته­ای نامید، سعی شده است که الگویی برای پایداری و خصوصیات هسته­ها طرح­ریزی شود. به منظور به دست آوردن اعداد جادویی پتانسیل اسپین- مدار معرفی شده است، که به خوبی توانسته است این اعداد را تولید کند، و اسپین و پاریته حالت پایه هسته­های پایدار را به خوبی به دست آورد. در این مدل با در نظر گرفتن اصل طرد پائولی انتظار می­رود که در هر تراز دو پروتون و دو نوترون به خاطر اسپین ذرات جای گیرد، و بنابراین انتظار می­رود که در حالت پایه، تعداد پروتون­ها و نوترون­های هسته­های پایدار یکسان باشد. البته در این مدل این اختلاف موجود بین تعداد پروتون­ها و نوترون­ها تا حدی توسط نیروی کولمبی توجیه می­ شود، چرا که پروتون­ها طبق نیروی کولمب همدیگر را دفع می­ کنند. اما در عمل پتانسیل کولمبی نتوانسته است به اندازه کافی ترازها را جابجا کند، طوری که نسبت پروتون­ها به نوترون­ها در هسته­های پایدار را تولید کند. از طرفی شواهدی در دست است که نیروی تزویج بین پروتون­ها اندکی از نیروی تزویج بین نوترون­ها بیشتر است. به عنوان مثال دو هسته  و  هر دو دارای سه نوکلئون هستند، اما با وجود دافعه کولمبی بین پروتون­های هلیوم-۳ نسبت به تریتیم، هلیوم-۳ پایدار و تریتیم ناپایدار است. در واقع هلیوم-۳ تنها عنصر پایداری است که تعداد پروتون­های آن از نوترون­هایش بیشتر است.

در به دست آوردن انرژی بستگی هسته­ها، بیشتر، هسته­های پایدار مدنظر بوده و سعی شده رابطه­ای برای این دسته عناصر به دست آورده شود. در رابطه انرژی بستگی جمله­ای تحت عنوان جمله تقارن یا پاد تقارن وجود دارد، که به تفاوت بین پروتون­ها و نوترون­ها در هسته وابسته است. در مدل گاز فرمی سعی شده است، که به منظور به دست آوردن ضریب این جمله از تفاوت ترازهای انرژی بین پروتون­ها و نوترون­ها استفاده شود.

در واقع چرا، به عنوان نمونه، تعداد پروتون­ها و نوترون­ها در هسته طلا به ترتیب ۱۱۸ و ۷۹ است. چرا این نسبت اعداد دیگری نیست. آیا راهی هست که بتوان این اعداد را توجیه کرد. برای به دست آوردن توجیهی برای پایداری این هسته­های موجود، در اینجا ما تشکیل هسته را از ابتدا مورد بررسی قرار داده­ایم. فرض کرده­ایم که در ابتدا کوارک­های آزاد وجود داشته و این کوارک­ها با همدیگر برهم­کنش داشته اند. در واقع این حالت پس از انفجار بزرگ یا مهبانگ وجود داشته است. هر گاه دما بالاتر از دمای هاگدورن^[۳۶] باشد، کوارک­ها به صورت آزاد خواهند بود. دمای هاگدورن حدوداً معادل  می­باشد. برهم­کنش کوارک­ها بیشتر از طریق نیروی قوی است. این کوارک­ها سعی در تشکیل نوکلئون و به تبع آن تشکیل هسته دارند. با شمارش تعداد حالاتی که منجر به تشکیل نوکلئون­های یک هسته می­ شود، که آن را با NWN^[37] نشان می­دهیم، هسته­ای که تعداد حالات تشکیل آن بیشتر باشد قاعدتاً پایداری آن نیز بیشتر است. البته در شمارش تعداد حالات باید برهم­کنش الکترومغناطیسی بین ذرات باردار را نیز در نظر گرفت. در نهایت ماکزیمم­های به دست آمده، با هسته­های پایدار شناخته شده در طبیعت، که در شکل (۵-۱) نشان داده شده است، مقایسه شده ­اند شکل­های (۵-۲) و (۵-۳).

 

شکل (۵-۱): هسته­های پایدار موجود در طبیعت

۵-۲- پایداری هسته­ها حول محور N=Z

دیدگاه کنونی در مورد هسته این است که هسته از پروتون و نوترون­ها ساخته شده است. از طرفی نوکلئون­ها خود از کوارک­ها ساخته شده ­اند. قبل از اینکه هسته­ها در لحظات اولیه جهان تشکیل شوند کوارک­های آزاد وجود داشته و این کوارک­ها با همدیگر برهم­کنش داشته اند. در اینجا ما شرایط تشکیل هسته­ها را از کوارک­های اولیه در نظر می­گیریم، و شرایط پایداری هسته­ها را بررسی می­کنیم. ساده­ترین هسته موجود در جهان هیدروژن است که البته فراوان­ترین هسته موجود در جهان نیز همین هیدروژن است. از طرف دیگر هیدروژن تنها از یک نوکلئون، که پروتون می­باشد ساخته شده است. اگر چه از دیدگاه اتمی هیدروژن یک عنصر است، ولی از دیدگاه فیزیک هسته­ای، که با هسته اتم سروکار دارد، هسته اتم هیدروژن تنها یک نوکلئون است و قابلیت بررسی هسته­ای ندارد. بنابراین ساده­ترین هسته که می­توان در نظر گرفت، می ­تواند از دو نوکلئون تشکیل شده باشد. خوشبختانه چنین هسته­ی دو نوکلئونی در طبیعت وجود دارد و پایدار هم هست. بنابراین برای شروع کار، هسته­ای را در نظر می­گیریم که از دو نوکلئون تشکیل شده باشد. این هسته دو نوکلئونی در واقع از ۶ کوارک تشکیل شده است. اگر هر دو نوکلئون پروتون باشد، آنگاه این هسته شامل ۴ کوارک بالا، up، و دو کوارک پایین، down، می باشد. حال فرض می­کنیم که اگر ۴ کوارک بالا و ۲ کوارک پایین وجود داشته باشد، این کوارک­ها به چند طریق قادر خواهند بود که یک هسته دو نوکلئونی تشکیل دهند. اگر آنها را به صورت u₁,u₂,u₃,u₄ و d_1,d₂ نام گذاری کنیم، تعداد حالت­هایی که منجر به تولید دو پروتون می­شوند عبارتند از:

(۵-۱)

که جمعاً شش حالت می باشند و هیچ حالت دیگری وجود ندارد. در اینجا هر {} نماینده تشکیل یک هسته و هر پرانتز، ()، نماینده تشکیل یک نوکلئون است. همانطور که دیده می­ شود در درون هر هسته، {}، دو نوکلئون وجود دارد، (عامل رنگ در ادامه بحث می شود).

اکنون با در نظر گرفتن هسته­ای دو نوکلئونی، که شامل یک نوترون و یک پروتون باشد یعنی هسته­ای که از سه کوارک بالا و سه کوارک پایین تشکیل شده باشد، (u₁,u₂,u₃ و d₁,d₂,d₃) مانند حالت قبل تعداد حالت­های تشکیل هسته را می­شماریم. در این حالت، ۹ حالت مختلف وجود دارد که عبارتند از:

(۵-۲)

در اینجا نیز هر () نشان دهنده یک نوکلئون و هر {} نشان دهنده یک هسته است. هسته­ای که از دو نوترون تشکیل شده باشد، شامل ۴ کوارک پایین و ۲ کوارک بالا خواهد بود. تعداد راه­های قابل تشکیل چنین هسته­ای در پایین آورده شده است.

(۵-۳)

اگر عامل رنگ کوارک­ها را در نظر بگیریم هر نوکلئون به تنهایی ۳ حالت مختلف قابل شکل­ گیری است. که در معادله زیر برای یک پروتون نشان داده شده است. نوترون نیز مشابه پروتون است.

(۵-۴)

در اینجا r، b و g به ترتیب بیان کننده رنگ­های قرمز، آبی و سبز است. بنابراین تعداد راه­های تشکیل هر نوکلئون را باید به خاطر عامل رنگ در ۳ ضرب کنیم. این عدد برای یک هسته دونوکلئونی برابر با  است و برای هسته­ای با A نوکلئون برابر است با:  . بنابراین نتایج زیر به دست می آید.

برای تشکیل هسته­ای با دو نوترون  حالت مختلف

برای تشکیل هسته­ای با یک پروتون و یک نوترون  حالت مختلف

برای تشکیل هسته­ای با دو پروتون  حالت مختلف

هم­چنان­که می­بینیم، تعداد فرایندهای تشکیل یک هسته مرکب از یک پروتون و یک نوترون بیشتر از دو حالت دیگر است. در نظر گرفتن عامل رنگ باعث می شود که تعداد فرایندهای وقوع در یک عدد ثابت ضرب شود که می­توان آن را نادیده گرفت، چرا که تنها فراوانی نسبی برای ما مهم است. اکنون تعداد فرایندهای وقوع تشکیل هسته­ای با سه نوکلئون را بررسی می­کنیم.

الف- هسته­ای با ۳ پروتون (هسته­ای با ۶ کوارک بالا و ۳ کوارک پایین)

(۵-۵)

در این رابطه، از رابطه ترکیباتی  استفاده می­ شود. در رابطه (۵-۵) عامل  تعداد حالات تشکیل نوکلئون اول که در اینجا  تعداد حالات انتخاب دو کوارک بالا از بین ۶ کوارک بالای موجود می­باشد و عدد ۳ تعداد حالات انتخاب تک کوارک پایین از بین ۳ کوارک پایین موجود می­باشد،  تعداد حالات تشکیل نوکلئون دوم و …. و عامل  به خاطر تمیز ناپذیری پروتون­ها و مهم نبودن ترتیب تشکیل پروتون­ها آمده است.

b- هسته­ای با دو پروتون و یک نوترون (هسته ای با ۵ کوارک بالا و ۴ کوارک پایین)

(۵-۶)

در اینجا عامل  ، تعداد حالات تشکیل تک نوترون می­باشد.

c- هسته­ای با یک پروتون و دو نوترون (هسته­ای با ۴ کوارک بالا و ۵ کوارک پایین)

(۵-۷)

d- هسته­ای با ۳ نوترون (هسته­ای با ۳ کوارک بالا و ۶ کوارک پایین)

(۵-۸) 

در حالت کلی از رابطه زیر برای شمارش تعداد حالت­ها می­توان استفاده کرد.

(۵-۹) 

در اینجا A تعداد کل نوکلئون­های هسته و Z تعداد پروتون­هاست. به منظور ساده سازی این رابطه جمله­های ترکیباتی را بسط می­دهیم، و از رابطه  استفاده می­کنیم. بنابراین رابطه بالا به صورت زیر دوباره نویسی می­ شود.

(۵-۱۰)

(۵-۱۱)

که با ساده­سازی به رابطه زیر تبدیل می­ شود.

(۵-۱۲)

چون فقط بزرگی نسبی این کمیت برای ما مهم است، رابطه را بر  تقسیم می­کنیم. و بهتر است کمیت زیر را محاسبه کنیم.

(۵-۱۳)

در هسته­های با A یکسان، هسته­ای که تعداد حالت­های ممکن بیشتری برای تشکیل دارد، احتمال وجود آن نیز باید بیشتر است. نتایج عددی برای چندین هسته در جدول (۵-۱) و پیوست ج، نشان داده شده است.

۵-۳- بررسی اثر نیروی الکترومغناطیسی در پایداری هسته­ها

در هسته­های سبک پایدار تقریباً تعداد پروتون­ها و نوترون­ها برابر است، اما هر چه هسته­ها سنگین­تر می­شوند، و عدد جرمی آنها بیشتر می­ شود، تفاوت بین تعداد پروتون­ها و نوترون­ها بیشتر می­ شود تا جایی که تعداد نوترون­ها تقریباً به ۵_/۱ برابر تعداد پروتون­ها می­رسد. این اختلاف بین پروتون­ها و نوترون­ها را به نیروی کولمبی پروتون­ها ربط می­ دهند، که با افزایش عدد اتمی سریعاً افزایش می­یابد. بنابراین و به همین منظور در اینجا تأثیر نیروی الکترومغناطیسی را بر تشکیل هسته­ها مد نظر قرار می­دهیم، و انتظار داریم که بتوانیم انحراف هسته­های پایدار را از خط  توضیح دهیم. تاثیر نیروی الکترومغناطیسی را در دو مرحله زمانی بررسی می کنیم. ۱- در هنگام فرایند تشکیل نوکلئون و هسته، ۲- پس از تشکیل نوکلئون و هسته.

قبل از تشکیل نوکلئون­ها کوارک­ها هستند که با هم برهم­کنش دارند، که در نهایت تبدیل به پروتون و نوترون می­شوند. نوترون ذره­ای خنثی است و نیروی الکترومغناطیسی همواره موافق تشکیل ذره­­ای خنثی از یک سری ذرات باردار است، به عبارتی دیگر ذرات ناهمنام همدیگر را جذب می­ کنند، پس این تأثیر، موافق نیروی جاذبه­ی قوی است و بنابراین باید با تأثیر نیروی قوی جمع شود. ولی در مورد پروتون که ذره­ای با بار مثبت است، نیروی الکترومغناطیسی با تشکیل پروتون مخالف است. بنابراین در این مورد تأثیر نیروی الکترومغناطیسی باید از تأثیر نیروی قوی کسر شود. در جمع این دو نیرو باید در نظر داشته باشیم که اندازه نیروی الکترومغناطیسی به مراتب از نیروی قوی ضعیف­تر است. در واقع نیروی الکترومغناطیسی به نسبت ثابت جفتیدگی،  ، از نیروی قوی ضعیف­تر است. با این اوصاف تشکیل هر نوترون را باید در عامل  و تشکیل هر پروتون را در عامل  ضرب کنیم. حال چون هر نوکلئون با در نظر گرفتن رنگ کوارک­های آن به ۳ حالت می ­تواند وجود داشته باشد (به عنوان مثال برای پروتون u_ru_gd_b , u_gu_bd_r , u_bu_rd_g )، بنابراین تشکیل هر پروتون در عامل  و تشکیل هر نوترون در عامل  ضرب می­ شود و تا این مرحله رابطه (۵-۱۳) به صورت زیر تعمیم می­یابد.

(۵-۱۴)

در اینجا  ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی است و مقدار رابطه جدید را با حرف R نشان داده­ایم. حال نوکلئون­ها شکل گرفته­اند و هسته تشکیل شده است. اما همچنان نیروی الکترومغناطیسی بین پروتون­ها و نیروی هسته­ای بین نوکلئون­ها وجود دارند و بر روی پایداری هسته تاثیر می­گذارند. برای اینکه تأثیر نیروی الکترومغناطیسی و هسته­ای در این مرحله را وارد محاسباتمان بکنیم، خصوصیات زیر را در نظر می­گیریم.

نیروی الکترومغناطیسی (کولنی) بلند برد است.

نیروی هسته­ای (نیروی بین نوکلئون­ها) کوتاه برد است.

قدرت نیروی الکترومغناطیسی  برابر نیروی هسته­ای است. (  ، ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی یا ثابت ساختار ریز)

فرض می کنیم که نوکلئون­ها در درون هسته شبکه­ ای منظم تشکیل داده­اند. این شبکه را همانند اتم­های کربن در الماس در نظر می­گیریم (شکل (۵-۱))، و فرض می­کنیم که هر نوکلئون تنها با نوکلئون­های همسایه­اش برهم­کنش هسته­ای دارد.

هسته­ها دارای چگالی ثابت هستند، طوری که رابطه  بین شعاع هسته و تعداد نوکلئون­های تشکیل دهنده هسته برقرار باشد.

شکل(۵-۲): شبکه چهار وجهی منتظم که نوکلئون­ها تشکیل می­ دهند

حال تعداد برهم­کنش­هایی که هر نوکلئون با دیگر نوکلئون­ها دارد را هم از دیدگاه الکترومغناطیسی و هم از دیدگاه هسته­ای شمرده و تأثیر آن را در محاسبات دخیل می­کنیم. هسته­ای با Z پروتون را در نظر می­گیریم، هر پروتون با (Z-1) پروتون دیگر برهم­کنش الکترومغناطیسی دارد و برای جلوگیری از دو باره شمرده شدن، تعداد برهم­کنش­­های الکترومغناطیسی آن برابر با  خواهد بود. چون برهم­کنش هسته­ای کوتاه برد است، فرض می­کنیم که هر پروتون تنها با نوکلئون­های همسایه­اش برهم­کنش دارد. بر این اساس هر پروتون با چهار نوکلئون همسایه­اش برهم­کنش هسته­ای دارد، که برای جلوگیری از دوبار شمرده شدن تعداد برهم­کنش­های هسته­ای نیز برابر با  خواهد بود. بنابراین وجود هر پروتون باعث می شود که رابطه (۵-۱۴) را به ازای هر پروتون در عبارت  ضرب کنیم. در این عبارت عدد ۲ نماینده تعداد برهم­کنش­های هسته­ای هر پروتون است، عدد  نشان دهنده تعداد برهم­کنش­های الکترومغناطیسی است که هر پروتون دارد،  ثابت جفتیدگی الکترومغناطیسی به خاطر ضعیف بودن نیروی الکترومغناطیسی در مقابل نیروی هسته­ای وارد شده است و علامت منها نشان دهنده دافعه بودن نیروی الکترومغناطیسی در میان پروتون­هاست. اگر هسته­ای دارای Z پروتون باشد، آنگاه عامل  وارد محاسبه می شود. به ازای هر نوترون چون عامل الکترومغناطیسی وجود ندارد فقط عامل  در رابطه (۵-۱۴) ضرب خواهد شد. بنابراین در مجموع با در نظر گرفتن هم پروتون­ها و هم نوترون­ها، رابطه (۵-۱۴) در عامل  ضرب خواهد شد. عامل  برای هسته­های با A یکسان ثابت است، چون فقط بزرگی نسبی این عامل برای ما مهم است، می­توان آن را از محاسبات حذف کرد. بنابراین به رابطه زیر می­رسیم.

(۵-۱۵)

با A ثابت، ماکزیمم مقداری که برای R به دست خواهد آمد، نشان دهنده پایداری هسته خواهد بود. نتایج حاصله از این رابطه برای برخی از هسته­ها در جدول (۵-۱) آورده شده است. که نشان دهنده سازگاری بسیار خوب با هسته های پایدار کشف شده در طبیعت است. (به خصوص برای هسته­های  ) در شکل (۵-۳) نمودار ماکزیمم R برای هسته­های مختلف رسم شده است.

 

شکل (۵-۳): پیش بینی رابطه (۵-۱۵) برای هسته های پایدار، در هسته­های با تعداد نوکلئون بالا انحراف از هسته­های پایدار موجود در طبیعت مشاهده می­ شود.

در به دست آورد معادله (۵-۱۵)، نیروی برهم­کنش الکترومغناطیسی بین دو پروتون بدون در نظر گرفتن فاصله بین آنها یکسان در نظر گرفته شده، در حالی که نیروی الکترومغناطیسی به فاصله بین دو بار بستگی دارد. در هسته­های سبک چون تعداد نوکلئون­های هسته کم است می­توان با تقریب فاصله هر دو پروتون در هسته را یکسان در نظر گرفت. در هسته های سنگین، چون شعاع هسته بزرگ شده است دیگر نمی­ توان انتظار داشت که برهم­کنش الکترومغناطیسی بین هر دو پروتونی را یکسان در نظر گرفت. بنابراین باید وابستگی نیروی الکترومغناطیسی به شعاع را در نظر گرفت. انتظار داریم که در هسته­های سنگین تاثیر نیروی الکترومغناطیسی با شعاع کاهش یابد. اگر این کاهش را به صورت یک ضریب که وابسته به شعاع است، وارد رابطه کنیم، تأثیر نیروی الکترومغناطیسی به صورت  در می ­آید. در اینجا  ، ضریبی است که تأثیر نیروی الکترومغناطیسی را بر حسب شعاع نشان می­دهد. این ضریب برای هسته­های سنگین کوچک­تر از یک است. به عنوان مثال این ضریب برای U-238 باید برابر با ۰.۸۳ باشد. اگر قرار دهیم  ، (که ۱۲۰ عدد اتمی یک هسته میان وزن است) سازگاری با مقادیر تجربی بسیار خوب می­ شود. بنابراین با وارد کردن این ضریب در معادله (۵-۱۵)، تعداد حالت­های تشکیل یک هسته با تعداد مشخص پروتون و نوترون به دست خواهد آمد.

(۵-۱۶)

با مقایسه ماکزیمم مقدار به دست آمده به ازای مقادیر ثابت A با هسته­هایی که در طبیعت وجود دارد، سازگاری خوبی مشاهده می­ شود. نتایج حاصل از مقادیر ماکزیمم که از این رابطه به دست می ­آید به همراه هسته­های پایدار موجود در طبیعت در شکل (۵-۴) رسم شده است. همان­گونه که در شکل (۵-۴) نشان داده شده، سازگاری خوبی بین مقادیری که ما به دست آورده­ایم و هسته­های پایدار موجود در طبیعت ملاحظه می­ شود [۵۱].

 

شکل (۵-۴): نمودار هسته­های پایدار موجود در طبیعت و ماکزیمم­های به دست آمده از رابطه (۵-۱۵) و مقایسه آنها با همدیگر

نتیجه گیری و پیشنهادات

مدل شبه کوارکی هسته سعی دارد با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده نوکلئون­ها برخی خواص هسته را استخراج نماید. نوکلئون­ها در درون هسته با همدیگر هم­پوشانی دارند و در این ناحیه به خاطر نزدیکی زیاد کوارک­های دو نوکلئون با همدیگر برهم­کنش قوی دارند و بنابراین احتمال اینکه این کوارک­ها که با همدیگر برهم­کنش دارند، تشکیل نوکلئونی جدید بدهند وجود دارد. و همین امر باعث می­ شود که نوکلئون­های هسته به کوارک­های سازنده­یشان شکسته شده و سپس نوکلئون­های جدید تشکیل گردند. همین امر مستلزم این است که در بررسی ساختار هسته­ها، کوارک­های سازنده آنها را نیز در نظر بگیریم. در همین راستا در فصل دوم برهم­کنش­های مواد بخصوص برهم­کنش بین کوارک­ها و نوکلئون­ها بررسی شد. با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده هسته­ها، اعداد جادویی هسته­ای استخراج شده، انرژی بستگی به ازای هر پیوند کوارکی مشخص گردیده و رابطه­ای برای انرژی بستگی هسته­ها استخراج شده است.

گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون بر اساس ساختار کوارکی آن مورد بررسی قرار گرفته است. با به دست آوردن تابع موج دوترون بر اساس کوارک­های سازنده­ی دو نوکلئون آن و محاسبه مقدار انتظاری عمگر گشتاور دو قطبی مغناطیسی آن بر اساس این تابع موج، مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون را به دست آورده­ایم، که با مقایسه با محاسبات مدل پوسته­ای نتایج قابل ملاحظه است و به مقدار اندازه ­گیری شده همخوانی بهتری دارد. در مرحله بعد با فرض اینکه کوارک­های دوترون تنها تشکیل دو نوکلئون نمی­دهند بلکه ممکن است تشکیل باریون­های دلتا نیز بدهند دوباره تابع موج دوترون بر اساس احتمال تشکیل باریون­های دلتا محاسبه شده و بر اساس این تابع موج، دوباره مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی دوترون محاسبه شده است. با مقایسه این مقدار به دست آمده با مقدار اندازه ­گیری شده ملاحظه می­ شود که در این حالت سازگاری بهتری نسبت به مقدار قبلی با مقدار اندازه ­گیری شده وجود دارد.

پایداری هسته­ها موضوعی است که در فیزیک هسته­ای همیشه مد نظر بوده و سعی شده که دلیلی برای نسبت بین پروتون­ها و نوترون­ها در هسته­های پایدار بیان شود. در این پایان نامه، به منظور پیدا کردن خط پایداری هسته­ها، تشکیل هسته­ها را از کوارک­های سازنده­ی آنها در نظر گرفته­ایم، تعداد راه­های تشکیل هسته را از کوارک­های سازنده­اش شمرده­ایم. ترکیبی خاص از پروتون­ها و نوترون­ها که بیشترین فراوانی را دارد، احتمال تشکیل بیشتری نیز دارد. سپس با اعمال برهم­کنش الکترومغناطیسی در دو مرحله (یک مرحله قبل از تشکیل نوکلئون­ها بین کوارک­های باردار و مرحله دیگر پس از تشکیل نوکلئون­ها به خاطر برهم­کنش الکترومغناطیسی بین پروتون­ها)، روابط را اصلاح کردیم و در نهایت ترکیب خاص پروتون­ها و نوترون­های هسته­های پایدار را استخراج نمودیم که با مقایسه با هسته­های پایدار موجود در طبیعت، سازگاری بسیار خوبی مشاهده می­ شود.

در نظر گرفتن ساختار کوارکی هسته­ها می ­تواند بعضی خواص هسته­ها رابه خوبی بیان و باز تولید کند. مواردی در این رساله ذکر گردیدند، موارد دیگری که می­ شود بر اساس این مدل مورد پیگیری و تحقیق قرار داد در زیر بیان شده ­اند؛

محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های هلیوم-۳ و تریتیم؛

محاسبه گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته­های سنگین­تر با در نظر گرفتن مدل پوسته­ای و در نظر گرفتن ساختار کوارکی نوکلئون­هایی که در لایه آخر یا همان لایه ظرفیت قرار دارند؛

محاسبه گشتاور چارقطبی الکتریکی دوترون با در نظر گرفتن کوارک­های سازنده آن و پتانسیل بین کوارک­های آن؛

بررسی نیروی تزویج بین نوکلئون­ها با در نظر گرفتن راه­های مختلف تشکیل زوج­های نوکلئونی، همانند روش استخراج خط پایداری هسته­ها که در این رساله انجام گرفت؛

ایجاد رابطه­ای برای انرژی بستگی هسته­ها با بهره گرفتن از تعداد پیوند­های کوارکی موجود در هر هسته و برخی دیگر از خواص هسته­ای همچون انرژی زوجیت و هسته­های با لایه­ های پر یا همان هسته­های جادویی.

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۲] [۰] [۲] [ ۱] [ ۱]

[۲] [۱] [۱] [ ۱.۵۰۰۰e+000] [1.4357e+000]

[۲] [۲] [۰] [ ۱] [۹.۵۳۶۶e-001]

[۳] [۰] [۳] [ ۱] [ ۱]

[۳] [۱] [۲] [ ۲] [۱.۹۱۴۳e+000]

[۳] [۲] [۱] [ ۲] [۱.۹۰۷۳e+000]

[۳] [۳] [۰] [ ۱] [۹.۴۶۷۱e-001]

[۴] [۰] [۴] [ ۱] [ ۱]

[۴] [۱] [۳] [ ۲.۵۰۰۰e+000] [2.3929e+000]

[۴] [۲] [۲] [ ۳.۲۱۴۳e+000] [3.0653e+000]

[۴] [۳] [۱] [ ۲.۵۰۰۰e+000] [2.3668e+000]

[۴] [۴] [۰] [ ۱] [۹.۳۶۳۶e-001]

[۵] [۰] [۵] [ ۱] [ ۱]

[۵] [۱] [۴] [ ۳] [۲.۸۷۱۴e+000]

[۵] [۲] [۳] [ ۴.۶۶۶۷e+000] [4.4504e+000]

[۵] [۳] [۲] [ ۴.۶۶۶۷e+000] [4.4180e+000]

[۵] [۴] [۱] [ ۳] [۲.۸۰۹۱e+000]

[۵] [۵] [۰] [ ۱] [۹.۲۲۷۲e-001]

[۶] [۰] [۶] [ ۱] [ ۱]

[۶] [۱] [۵] [ ۳.۵۰۰۰e+000] [3.3500e+000]

[۶] [۲] [۴] [ ۶.۳۶۳۶e+000] [6.0687e+000]

[۶] [۳] [۳] [ ۷.۶۳۶۴e+000] [7.2294e+000]

[۶] [۴] [۲] [ ۶.۳۶۳۶e+000] [5.9587e+000]

[۶] [۵] [۱] [ ۳.۵۰۰۰e+000] [3.2295e+000]

[۶] [۶] [۰] [ ۱] [۹.۰۵۹۳e-001]

[۷] [۰] [۷] [ ۱] [ ۱]

[۷] [۱] [۶] [ ۴] [۳.۸۲۸۶e+000]

[۷] [۲] [۵] [ ۸.۳۰۷۷e+000] [7.9227e+000]

[۷] [۳] [۴] [ ۱.۱۵۳۸e+001] [1.0924e+001]

[۷] [۴] [۳] [ ۱.۱۵۳۸e+001] [1.0804e+001]

[۷] [۵] [۲] [ ۸.۳۰۷۷e+000] [7.6657e+000]

[۷] [۶] [۱] [ ۴] [۳.۶۲۳۷e+000]

[۷] [۷] [۰] [ ۱] [۸.۸۶۱۶e-001]

[۸] [۰] [۸] [ ۱] [ ۱]

[۸] [۱] [۷] [ ۴.۵۰۰۰e+000] [4.3072e+000]

[۸] [۲] [۶] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [1.0013e+001]

[۸] [۳] [۵] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [1.5621e+001]

[۸] [۴] [۴] [ ۱.۹۰۳۸e+001] [1.7827e+001]

[۸] [۵] [۳] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [1.5225e+001]

[۸] [۶] [۲] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [9.5123e+000]

[۸] [۷] [۱] [ ۴.۵۰۰۰e+000] [3.9877e+000]

[۸] [۸] [۰] [ ۱] [۸.۶۳۶۰e-001]

[۹] [۰] [۹] [ ۱] [ ۱]

[۹] [۱] [۸] [ ۵] [۴.۷۸۵۷e+000]

[۹] [۲] [۷] [ ۱.۲۹۴۱e+001] [1.2341e+001]

پیوست الف: تعداد راه­های تشکیل هسته­ها

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۹] [۳] [۶] [ ۲.۲۶۴۷e+001] [2.1440e+001]

[۹] [۴] [۵] [ ۲.۹۴۴۱e+001] [2.7568e+001]

[۹] [۵] [۴] [ ۲.۹۴۴۱e+001] [2.7166e+001]

[۹] [۶] [۳] [ ۲.۲۶۴۷e+001] [2.0517e+001]

[۹] [۷] [۲] [ ۱.۲۹۴۱e+001] [1.1468e+001]

[۹] [۸] [۱] [ ۵.۰۰۰۰e+000] [4.3180e+000]

[۹] [۹] [۰] [ ۱] [۸.۳۸۴۹e-001]

[۱۰] [ ۰] [۱۰] [ ۱] [ ۱]

[۱۰] [ ۱] [ ۹] [ ۵.۵۰۰۰e+000] [5.2643e+000]

[۱۰] [ ۲] [ ۸] [ ۱.۵۶۳۲e+001] [1.4907e+001]

[۱۰] [ ۳] [ ۷] [ ۳.۰۱۰۵e+001] [2.8501e+001]

[۱۰] [ ۴] [ ۶] [ ۴.۳۳۸۷e+001] [4.0626e+001]

[۱۰] [ ۵] [ ۵] [ ۴.۸۸۱۰e+001] [4.5038e+001]

[۱۰] [ ۶] [ ۴] [ ۴.۳۳۸۷e+001] [3.9306e+001]

[۱۰] [ ۷] [ ۳] [ ۳.۰۱۰۵e+001] [2.6678e+001]

[۱۰] [ ۸] [ ۲] [ ۱.۵۶۳۲e+001] [1.3499e+001]

[۱۰] [ ۹] [ ۱] [ ۵.۵۰۰۰e+000] [4.6117e+000]

[۱۰] [۱۰] [ ۰] [ ۱] [۸.۱۱۰۸e-001]

[۱۱] [ ۰] [۱۱] [ ۱] [ ۱]

[۱۱] [ ۱] [۱۰] [ ۶] [۵.۷۴۲۹e+000]

[۱۱] [ ۲] [ ۹] [ ۱.۸۵۷۱e+001] [1.7711e+001]

[۱۱] [ ۳] [ ۸] [ ۳.۹۰۰۰e+001] [3.6922e+001]

[۱۱] [ ۴] [ ۷] [ ۶.۱۵۷۹e+001] [5.7660e+001]

[۱۱] [ ۵] [ ۶] [ ۷.۶۶۳۲e+001] [7.0710e+001]

[۱۱] [ ۶] [ ۵] [ ۷.۶۶۳۲e+001] [6.9423e+001]

[۱۱] [ ۷] [ ۴] [ ۶.۱۵۷۹e+001] [5.4569e+001]

[۱۱] [ ۸] [ ۳] [ ۳۹] [۳.۳۶۸۰e+001]

[۱۱] [ ۹] [ ۲] [ ۱.۸۵۷۱e+001] [1.5572e+001]

[۱۱] [۱۰] [ ۱] [ ۶] [۴.۸۶۶۵e+000]

[۱۱] [۱۱] [ ۰] [ ۱] [۷.۸۱۶۲e-001]

[۱۲] [ ۰] [۱۲] [ ۱] [ ۱]

[۱۲] [ ۱] [۱۱] [ ۶.۵۰۰۰e+000] [6.2215e+000]

[۱۲] [ ۲] [۱۰] [ ۲.۱۷۶۱e+001] [2.0752e+001]

[۱۲] [ ۳] [ ۹] [ ۴.۹۴۵۷e+001] [4.6821e+001]

[۱۲] [ ۴] [ ۸] [ ۸.۴۷۸۳e+001] [7.9387e+001]

[۱۲] [ ۵] [ ۷] [ ۱.۱۵۳۰e+002] [1.0639e+002]

[۱۲] [ ۶] [ ۶] [ ۱.۲۷۴۴e+002] [1.1545e+002]

[۱۲] [ ۷] [ ۵] [ ۱.۱۵۳۰e+002] [1.0218e+002]

[۱۲] [ ۸] [ ۴] [ ۸.۴۷۸۳e+001] [7.3218e+001]

[۱۲] [ ۹] [ ۳] [ ۴.۹۴۵۷e+001] [4.1469e+001]

[۱۲] [۱۰] [ ۲] [ ۲.۱۷۶۱e+001] [1.7650e+001]

[۱۲] [۱۱] [ ۱] [ ۶.۵۰۰۰e+000] [5.0806e+000]

[۱۲] [۱۲] [ ۰] [ ۱] [۷.۵۰۴۲e-001]

[۱۳] [ ۰] [۱۳] [ ۱] [ ۱]

[۱۳] [ ۱] [۱۲] [ ۷] [۶.۷۰۰۰e+000]

[۱۳] [ ۲] [۱۱] [ ۲.۵۲۰۰e+001] [2.4032e+001]

[۱۳] [ ۳] [۱۰] [ ۶.۱۶۰۰e+001] [5.8317e+001]

[۱۳] [ ۴] [ ۹] [ ۱.۱۳۸۳e+002] [1.0658e+002]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۳] [ ۸] [ ۵] [ ۱.۶۷۶۳e+002] [1.4477e+002]

[۱۳] [ ۹] [ ۴] [ ۱.۱۳۸۳e+002] [9.5442e+001]

[۱۳] [۱۰] [ ۳] [ ۶.۱۶۰۰e+001] [4.9962e+001]

[۱۳] [۱۱] [ ۲] [ ۲.۵۲۰۰e+001] [1.9697e+001]

[۱۳] [۱۲] [ ۱] [ ۷.۰۰۰۰e+000] [5.2529e+000]

[۱۳] [۱۳] [ ۰] [ ۱] [۷.۱۷۷۵e-001]

[۱۴] [ ۰] [۱۴] [ ۱] [ ۱]

[۱۴] [ ۱] [۱۳] [ ۷.۵۰۰۰e+000] [7.1786e+000]

[۱۴] [ ۲] [۱۲] [ ۲.۸۸۸۹e+001] [2.7550e+001]

[۱۴] [ ۳] [۱۱] [ ۷.۵۵۵۶e+001] [7.1529e+001]

[۱۴] [ ۴] [۱۰] [ ۱.۴۹۶۰e+002] [1.4008e+002]

[۱۴] [ ۵] [ ۹] [ ۲.۳۶۸۷e+002] [2.1856e+002]

[۱۴] [ ۶] [ ۸] [ ۳.۰۸۹۶e+002] [2.7989e+002]

[۱۴] [ ۷] [ ۷] [ ۳.۳۷۰۴e+002] [2.9867e+002]

[۱۴] [ ۸] [ ۶] [ ۳.۰۸۹۶e+002] [2.6682e+002]

[۱۴] [ ۹] [ ۵] [ ۲.۳۶۸۷e+002] [1.9861e+002]

[۱۴] [۱۰] [ ۴] [ ۱.۴۹۶۰e+002] [1.2134e+002]

[۱۴] [۱۱] [ ۳] [ ۷.۵۵۵۶e+001] [5.9056e+001]

[۱۴] [۱۲] [ ۲] [ ۲.۸۸۸۹e+001] [2.1679e+001]

[۱۴] [۱۳] [ ۱] [ ۷.۵۰۰۰e+000] [5.3831e+000]

[۱۴] [۱۴] [ ۰] [ ۱] [۶.۸۳۹۲e-001]

[۱۵] [ ۰] [۱۵] [ ۱] [ ۱]

[۱۵] [ ۱] [۱۴] [ ۸] [۷.۶۵۷۲e+000]

[۱۵] [ ۲] [۱۳] [ ۳.۲۸۲۸e+001] [3.1306e+001]

[۱۵] [ ۳] [۱۲] [ ۹.۱۴۴۸e+001] [8.6575e+001]

[۱۵] [ ۴] [۱۱] [ ۱.۹۳۰۶e+002] [1.8077e+002]

[۱۵] [ ۵] [۱۰] [ ۳.۲۶۷۱e+002] [3.0147e+002]

[۱۵] [ ۶] [ ۹] [ ۴.۵۷۴۰e+002] [4.1437e+002]

[۱۵] [ ۷] [ ۸] [ ۵.۳۹۰۸e+002] [4.7771e+002]

[۱۵] [ ۸] [ ۷] [ ۵.۳۹۰۸e+002] [4.6555e+002]

[۱۵] [ ۹] [ ۶] [ ۴.۵۷۴۰e+002] [3.8352e+002]

[۱۵] [۱۰] [ ۵] [ ۳.۲۶۷۱e+002] [2.6499e+002]

[۱۵] [۱۱] [ ۴] [ ۱.۹۳۰۶e+002] [1.5090e+002]

[۱۵] [۱۲] [ ۳] [ ۹.۱۴۴۸e+001] [6.8625e+001]

[۱۵] [۱۳] [ ۲] [ ۳.۲۸۲۸e+001] [2.3562e+001]

[۱۵] [۱۴] [ ۱] [ ۸.۰۰۰۰e+000] [5.4714e+000]

[۱۵] [۱۵] [ ۰] [ ۱] [۶.۴۹۲۲e-001]

[۱۶] [ ۰] [۱۶] [ ۱] [ ۱]

[۱۶] [ ۱] [۱۵] [ ۸.۵۰۰۰e+000] [8.1358e+000]

[۱۶] [ ۲] [۱۴] [ ۳.۷۰۱۶e+001] [3.5301e+001]

[۱۶] [ ۳] [۱۳] [ ۱.۰۹۴۰e+002] [1.0357e+002]

[۱۶] [ ۴] [۱۲] [ ۲.۴۵۲۱e+002] [2.2961e+002]

[۱۶] [ ۵] [۱۱] [ ۴.۴۱۳۹e+002] [4.0728e+002]

[۱۶] [ ۶] [۱۰] [ ۶.۵۹۳۵e+002] [5.9733e+002]

[۱۶] [ ۷] [ ۹] [ ۸.۳۳۲۵e+002] [7.3839e+002]

[۱۶] [ ۸] [ ۸] [ ۸.۹۹۹۱e+002] [7.7716e+002]

[۱۶] [ ۹] [ ۷] [ ۸.۳۳۲۵e+002] [6.9867e+002]

[۱۶] [۱۰] [ ۶] [ ۶.۵۹۳۵e+002] [5.3479e+002]

[۱۶] [۱۱] [ ۵] [ ۴.۴۱۳۹e+002] [3.4500e+002]

[۱۶] [۱۲] [ ۴] [ ۲.۴۵۲۱e+002] [1.8401e+002]

[۱۶] [۱۳] [ ۳] [ ۱.۰۹۴۰e+002] [7.8524e+001]

[۱۶] [۱۴] [ ۲] [ ۳.۷۰۱۶e+001] [2.5316e+001]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۶] [۱۵] [ ۱] [ ۸.۵۰۰۰e+000] [5.5183e+000]

[۱۶] [۱۶] [ ۰] [ ۱] [۶.۱۳۹۴e-001]

[۱۷] [ ۰] [۱۷] [ ۱] [ ۱]

[۱۷] [ ۱] [۱۶] [ ۹] [۸.۶۱۴۳e+000]

[۱۷] [ ۲] [۱۵] [ ۴.۱۴۵۵e+001] [3.9533e+001]

[۱۷] [ ۳] [۱۴] [ ۱.۲۹۵۵e+002] [1.2264e+002]

[۱۷] [ ۴] [۱۳] [ ۳.۰۷۱۵e+002] [2.8760e+002]

[۱۷] [ ۵] [۱۲] [ ۵.۸۵۶۳e+002] [5.4037e+002]

[۱۷] [ ۶] [۱۱] [ ۹.۲۸۹۳e+002] [8.4155e+002]

[۱۷] [ ۷] [۱۰] [ ۱.۲۵۱۲e+003] [1.1088e+003]

[۱۷] [ ۸] [ ۹] [ ۱.۴۴۸۲e+003] [1.2506e+003]

[۱۷] [ ۹] [ ۸] [ ۱.۴۴۸۲e+003] [1.2143e+003]

[۱۷] [۱۰] [ ۷] [ ۱.۲۵۱۲e+003] [1.0148e+003]

[۱۷] [۱۱] [ ۶] [ ۹.۲۸۹۳e+002] [7.2607e+002]

[۱۷] [۱۲] [ ۵] [ ۵.۸۵۶۳e+002] [4.3947e+002]

[۱۷] [۱۳] [ ۴] [ ۳.۰۷۱۵e+002] [2.2046e+002]

[۱۷] [۱۴] [ ۳] [ ۱.۲۹۵۵e+002] [8.8599e+001]

[۱۷] [۱۵] [ ۲] [ ۴.۱۴۵۵e+001] [2.6913e+001]

[۱۷] [۱۶] [ ۱] [ ۹.۰۰۰۰e+000] [5.5255e+000]

[۱۷] [۱۷] [ ۰] [ ۱] [۵.۷۸۳۷e-001]

[۱۸] [ ۰] [۱۸] [ ۱] [ ۱]

[۱۸] [ ۱] [۱۷] [ ۹.۵۰۰۰e+000] [9.0929e+000]

[۱۸] [ ۲] [۱۶] [ ۴.۶۱۴۳e+001] [4.4005e+001]

[۱۸] [ ۳] [۱۵] [ ۱.۵۲۰۰e+002] [1.4390e+002]

[۱۸] [ ۴] [۱۴] [ ۳۸۰] [۳.۵۵۸۲e+002]

[۱۸] [ ۵] [۱۳] [ ۷.۶۴۷۵e+002] [7.0565e+002]

[۱۸] [ ۶] [۱۲] [ ۱.۲۸۲۸e+003] [1.1621e+003]

[۱۸] [ ۷] [۱۱] [ ۱.۸۳۲۶e+003] [1.6240e+003]

[۱۸] [ ۸] [۱۰] [ ۲.۲۵۹۱e+003] [1.9510e+003]

[۱۸] [ ۹] [ ۹] [ ۲.۴۲۰۵e+003] [2.0296e+003]

[۱۸] [۱۰] [ ۸] [ ۲.۲۵۹۱e+003] [1.8323e+003]

[۱۸] [۱۱] [ ۷] [ ۱.۸۳۲۶e+003] [1.4324e+003]

[۱۸] [۱۲] [ ۶] [ ۱.۲۸۲۸e+003] [9.6264e+002]

[۱۸] [۱۳] [ ۵] [ ۷.۶۴۷۵e+002] [5.4890e+002]

[۱۸] [۱۴] [ ۴] [ ۳۸۰] [۲.۵۹۸۹e+002]

[۱۸] [۱۵] [ ۳] [ ۱.۵۲۰۰e+002] [9.8681e+001]

[۱۸] [۱۶] [ ۲] [ ۴.۶۱۴۳e+001] [2.8329e+001]

[۱۸] [۱۷] [ ۱] [ ۹.۵۰۰۰e+000] [5.4945e+000]

[۱۸] [۱۸] [ ۰] [ ۱.۰۰۰۰e+000] [5.4279e-001]

[۱۹] [ ۰] [۱۹] [ ۱] [ ۱]

[۱۹] [ ۱] [۱۸] [ ۱۰] [۹.۵۷۱۵e+000]

[۱۹] [ ۲] [۱۷] [ ۵.۱۰۸۱e+001] [4.8714e+001]

[۱۹] [ ۳] [۱۶] [ ۱.۷۶۸۹e+002] [1.6746e+002]

[۱۹] [ ۴] [۱۵] [ ۴.۶۴۹۷e+002] [4.3538e+002]

[۱۹] [ ۵] [۱۴] [ ۹.۸۴۶۵e+002] [9.0856e+002]

[۱۹] [ ۶] [۱۳] [ ۱.۷۴۰۵e+003] [1.5768e+003]

[۱۹] [ ۷] [۱۲] [ ۲.۶۲۶۴e+003] [2.3274e+003]

[۱۹] [ ۸] [۱۱] [ ۳.۴۳۱۲e+003] [2.9632e+003]

[۱۹] [ ۹] [۱۰] [ ۳.۹۱۴۱e+003] [3.2819e+003]

[۱۹] [۱۰] [ ۹] [ ۳.۹۱۴۱e+003] [3.1746e+003]

[۱۹] [۱۱] [ ۸] [ ۳.۴۳۱۲e+003] [2.6819e+003]

[۱۹] [۱۲] [ ۷] [ ۲.۶۲۶۴e+003] [1.9709e+003]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۹] [۱۳] [ ۶] [ ۱.۷۴۰۵e+003] [1.2493e+003]

[۱۹] [۱۴] [ ۵] [ ۹.۸۴۶۵e+002] [6.7342e+002]

[۱۹] [۱۵] [ ۴] [ ۴.۶۴۹۷e+002] [3.0187e+002]

[۱۹] [۱۶] [ ۳] [ ۱.۷۶۸۹e+002] [1.0860e+002]

[۱۹] [۱۷] [ ۲] [ ۵.۱۰۸۱e+001] [2.9544e+001]

[۱۹] [۱۸] [ ۱] [ ۱.۰۰۰۰e+001] [5.4279e+000]

[۱۹] [۱۹] [ ۰] [ ۱] [۵.۰۷۴۵e-001]

[۲۰] [ ۰] [۲۰] [ ۱] [ ۱]

[۲۰] [ ۱] [۱۹] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [1.0050e+001]

[۲۰] [ ۲] [۱۸] [ ۵.۶۲۶۹e+001] [5.3662e+001]

[۲۰] [ ۳] [۱۷] [ ۲.۰۴۳۵e+002] [1.9346e+002]

[۲۰] [ ۴] [۱۶] [ ۵.۶۳۳۳e+002] [5.2748e+002]

[۲۰] [ ۵] [۱۵] [ ۱.۲۵۱۹e+003] [1.1551e+003]

[۲۰] [ ۶] [۱۴] [ ۲.۳۲۴۹e+003] [2.1062e+003]

[۲۰] [ ۷] [۱۳] [ ۳.۶۹۲۴e+003] [3.2721e+003]

[۲۰] [ ۸] [۱۲] [ ۵.۰۹۱۱e+003] [4.3967e+003]

[۲۰] [ ۹] [۱۱] [ ۶.۱۵۱۷e+003] [5.1582e+003]

[۲۰] [۱۰] [۱۰] [ ۶.۵۴۸۶e+003] [5.3114e+003]

[۲۰] [۱۱] [ ۹] [ ۶.۱۵۱۷e+003] [4.8083e+003]

[۲۰] [۱۲] [ ۸] [ ۵.۰۹۱۱e+003] [3.8204e+003]

[۲۰] [۱۳] [ ۷] [ ۳.۶۹۲۴e+003] [2.6503e+003]

[۲۰] [۱۴] [ ۶] [ ۲.۳۲۴۹e+003] [1.5900e+003]

[۲۰] [۱۵] [ ۵] [ ۱.۲۵۱۹e+003] [8.1272e+002]

[۲۰] [۱۶] [ ۴] [ ۵.۶۳۳۳e+002] [3.4585e+002]

[۲۰] [۱۷] [ ۳] [ ۲.۰۴۳۵e+002] [1.1819e+002]

[۲۰] [۱۸] [ ۲] [ ۵.۶۲۶۹e+001] [3.0542e+001]

[۲۰] [۱۹] [ ۱] [ ۱.۰۵۰۰e+001] [5.3282e+000]

[۲۰] [۲۰] [ ۰] [ ۱] [۴.۷۲۵۹e-001]

[۲۴] [ ۰] [۲۴] [ ۱ [ ۱]

[۲۴] [ ۱] [۲۳] [ ۱.۲۵۰۰e+001] [1.1964e+001]

[۲۴] [ ۲] [۲۲] [ ۷.۹۵۲۱e+001] [7.5836e+001]

[۲۴] [ ۳] [۲۱] [ ۳.۴۲۲۹e+002] [3.2405e+002]

[۲۴] [ ۴] [۲۰] [ ۱.۱۱۸۱e+003] [1.0470e+003]

[۲۴] [ ۵] [۱۹] [ ۲.۹۴۷۸e+003] [2.7200e+003]

[۲۴] [ ۶] [۱۸] [ ۶.۵۱۲۶e+003] [5.9000e+003]

[۲۴] [ ۷] [۱۷] [ ۱.۲۳۶۱e+004] [1.0954e+004]

[۲۴] [ ۸] [۱۶] [ ۲.۰۵۰۱e+004] [1.7704e+004]

[۲۴] [ ۹] [۱۵] [ ۳.۰۰۶۸e+004] [2.5211e+004]

[۲۴] [۱۰] [۱۴] [ ۳.۹۳۱۹e+004] [3.1891e+004]

[۲۴] [۱۱] [۱۳] [ ۴.۶۰۹۲e+004] [3.6027e+004]

[۲۴] [۱۲] [۱۲] [ ۴.۸۵۸۳e+004] [3.6458e+004]

[۲۴] [۱۳] [۱۱] [ ۴.۶۰۹۲e+004] [3.3083e+004]

[۲۴] [۱۴] [۱۰] [ ۳.۹۳۱۹e+004] [2.6891e+004]

[۲۴] [۱۵] [ ۹] [ ۳.۰۰۶۸e+004] [1.9520e+004]

[۲۴] [۱۶] [ ۸] [ ۲.۰۵۰۱e+004] [1.2586e+004]

[۲۴] [۱۷] [ ۷] [ ۱.۲۳۶۱e+004] [7.1491e+003]

[۲۴] [۱۸] [ ۶] [ ۶.۵۱۲۶e+003] [3.5350e+003]

[۲۴] [۱۹] [ ۵] [ ۲.۹۴۷۸e+003] [1.4959e+003]

[۲۴] [۲۰] [ ۴] [ ۱.۱۱۸۱e+003] [5.2842e+002]

[۲۴] [۲۱] [ ۳] [ ۳.۴۲۲۹e+002] [1.5007e+002]

[۲۴] [۲۲] [ ۲] [ ۷.۹۵۲۱e+001] [3.2220e+001]

[۲۴] [۲۳] [ ۱] [ ۱.۲۵۰۰e+001] [4.6624e+000]

[۲۴] [۲۴] [ ۰] [ ۱] [۳.۴۲۰۳e-001]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۳۲] [ ۰] [۳۲] [ ۱] [ ۱]

[۳۲] [ ۱] [۳۱] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [1.5793e+001]

[۳۲] [ ۲] [۳۰] [ ۱.۳۸۰۲e+002] [1.3163e+002]

[۳۲] [ ۳] [۲۹] [ ۷.۷۹۱۷e+002] [7.3764e+002]

[۳۲] [ ۴] [۲۸] [ ۳.۳۳۳۸e+003] [3.1217e+003]

[۳۲] [ ۵] [۲۷] [ ۱.۱۵۱۳e+004] [1.0623e+004]

[۳۲] [ ۶] [۲۶] [ ۳.۳۳۶۷e+004] [3.0229e+004]

[۳۲] [ ۷] [۲۵] [ ۸.۳۳۳۷e+004] [7.3849e+004]

[۳۲] [ ۸] [۲۴] [ ۱.۸۲۷۶e+005] [1.5783e+005]

[۳۲] [ ۹] [۲۳] [ ۳.۵۶۸۱e+005] [2.9918e+005]

[۳۲] [۱۰] [۲۲] [ ۶.۲۶۶۹e+005] [5.0829e+005]

[۳۲] [۱۱] [۲۱] [ ۹.۹۸۰۵e+005] [7.8010e+005]

[۳۲] [۱۲] [۲۰] [ ۱.۴۵۰۰e+006] [1.0881e+006]

[۳۲] [۱۳] [۱۹] [ ۱.۹۳۰۵e+006] [1.3856e+006]

[۳۲] [۱۴] [۱۸] [ ۲.۳۶۳۱e+006] [1.6162e+006]

[۳۲] [۱۵] [۱۷] [ ۲.۶۶۵۶e+006] [1.7305e+006]

[۳۲] [۱۶] [۱۶] [ ۲.۷۷۴۴e+006] [1.7033e+006]

[۳۲] [۱۷] [۱۵] [ ۲.۶۶۵۶e+006] [1.5417e+006]

[۳۲] [۱۸] [۱۴] [ ۲.۳۶۳۱e+006] [1.2827e+006]

[۳۲] [۱۹] [۱۳] [ ۱.۹۳۰۵e+006] [9.7962e+005]

[۳۲] [۲۰] [۱۲] [ ۱.۴۵۰۰e+006] [6.8525e+005]

[۳۲] [۲۱] [۱۱] [ ۹.۹۸۰۵e+005] [4.3758e+005]

[۳۲] [۲۲] [۱۰] [ ۶.۲۶۶۹e+005] [2.5392e+005]

[۳۲] [۲۳] [ ۹] [ ۳.۵۶۸۱e+005] [1.3309e+005]

[۳۲] [۲۴] [ ۸] [ ۱.۸۲۷۶e+005] [6.2509e+004]

[۳۲] [۲۵] [ ۷] [ ۸.۳۳۳۷e+004] [2.6037e+004]

[۳۲] [۲۶] [ ۶] [ ۳.۳۳۶۷e+004] [9.4853e+003]

[۳۲] [۲۷] [ ۵] [ ۱.۱۵۱۳e+004] [2.9661e+003]

[۳۲] [۲۸] [ ۴] [ ۳.۳۳۳۸e+003] [7.7539e+002]

[۳۲] [۲۹] [ ۳] [ ۷.۷۹۱۷e+002] [1.6296e+002]

[۳۲] [۳۰] [ ۲] [ ۱.۳۸۰۲e+002] [2.5855e+001]

[۳۲] [۳۱] [ ۱] [ ۱.۶۵۰۰e+001] [2.7573e+000]

[۳۲] [۳۲] [ ۰] [ ۱.۰۰۰۰e+000] [1.4849e-001]

[۴۸] [ ۰] [۴۸] [ ۱] [ ۱]

[۴۸] [ ۱] [۴۷] [ ۲.۴۵۰۰e+001] [2.3450e+001]

[۴۸] [ ۲] [۴۶] [ ۳.۰۳۰۳e+002] [2.8898e+002]

[۴۸] [ ۳] [۴۵] [ ۲.۵۲۰۹e+003] [2.3866e+003]

[۴۸] [ ۴] [۴۴] [ ۱.۵۸۵۷e+004] [1.4848e+004]

[۴۸] [ ۵] [۴۳] [ ۸.۰۳۹۰e+004] [7.4178e+004]

[۴۸] [ ۶] [۴۲] [ ۳.۴۱۸۸e+005] [3.0972e+005]

[۴۸] [ ۷] [۴۱] [ ۱.۲۵۳۶e+006] [1.1108e+006]

[۴۸] [ ۸] [۴۰] [ ۴.۰۴۲۴e+006] [3.4910e+006]

[۴۸] [ ۹] [۳۹] [ ۱.۱۶۳۷e+007] [9.7576e+006]

[۴۸] [۱۰] [۳۸] [ ۳.۰۲۵۷e+007] [2.4540e+007]

[۴۸] [۱۱] [۳۷] [ ۷.۱۷۰۷e+007] [5.6048e+007]

[۴۸] [۱۲] [۳۶] [ ۱.۵۶۰۷e+008] [1.1712e+008]

[۴۸] [۱۳] [۳۵] [ ۳.۱۳۸۵e+008] [2.2527e+008]

[۴۸] [۱۴] [۳۴] [ ۵.۸۶۱۱e+008] [4.0085e+008]

[۴۸] [۱۵] [۳۳] [ ۱.۰۲۰۷e+009] [6.6265e+008]

[۴۸] [۱۶] [۳۲] [ ۱.۶۶۳۳e+009] [1.0212e+009]

[۴۸] [۱۷] [۳۱] [ ۲.۵۴۳۹e+009] [1.4713e+009]

[۴۸] [۱۸] [۳۰] [ ۳.۶۶۰۳e+009] [1.9868e+009]

[۴۸] [۱۹] [۲۹] [ ۴.۹۶۴۳e+009] [2.5191e+009]

[۴۸] [۲۰] [۲۸] [ ۶.۳۵۶۹e+009] [3.0042e+009]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC [48] [21] [27] [ 7.6952e+009] [3.3738e+009]

[۴۸] [۲۲] [۲۶] [ ۸.۸۱۴۵e+009] [3.5714e+009]

[۴۸] [۲۳] [۲۵] [ ۹.۵۶۰۳e+009] [3.5659e+009]

[۴۸] [۲۴] [۲۴] [ ۹.۸۲۲۲e+009] [3.3595e+009]

[۴۸] [۲۵] [۲۳] [ ۹.۵۶۰۳e+009] [2.9869e+009]

[۴۸] [۲۶] [۲۲] [ ۸.۸۱۴۵e+009] [2.5057e+009]

[۴۸] [۲۷] [۲۱] [ ۷.۶۹۵۲e+009] [1.9826e+009]

[۴۸] [۲۸] [۲۰] [ ۶.۳۵۶۹e+009] [1.4785e+009]

[۴۸] [۲۹] [۱۹] [ ۴.۹۶۴۳e+009] [1.0382e+009]

[۴۸] [۳۰] [۱۸] [ ۳.۶۶۰۳e+009] [6.8564e+008]

[۴۸] [۳۱] [۱۷] [ ۲.۵۴۳۹e+009] [4.2512e+008]

[۴۸] [۳۲] [۱۶] [ ۱.۶۶۳۳e+009] [2.4699e+008]

[۴۸] [۳۳] [۱۵] [ ۱.۰۲۰۷e+009] [1.3414e+008]

[۴۸] [۳۴] [۱۴] [ ۵.۸۶۱۱e+008] [6.7899e+007]

[۴۸] [۳۵] [۱۳] [ ۳.۱۳۸۵e+008] [3.1922e+007]

[۴۸] [۳۶] [۱۲] [ ۱.۵۶۰۷e+008] [1.3881e+007]

[۴۸] [۳۷] [۱۱] [ ۷.۱۷۰۷e+007] [5.5546e+006]

[۴۸] [۳۸] [۱۰] [ ۳.۰۲۵۷e+007] [2.0330e+006]

[۴۸] [۳۹] [ ۹] [ ۱.۱۶۳۷e+007] [6.7549e+005]

[۴۸] [۴۰] [ ۸] [ ۴.۰۴۲۴e+006] [2.0189e+005]

[۴۸] [۴۱] [ ۷] [ ۱.۲۵۳۶e+006] [5.3645e+004]

[۴۸] [۴۲] [ ۶] [ ۳.۴۱۸۸e+005] [1.2485e+004]

[۴۸] [۴۳] [ ۵] [ ۸.۰۳۹۰e+004] [2.4951e+003]

[۴۸] [۴۴] [ ۴] [ ۱.۵۸۵۷e+004] [4.1657e+002]

[۴۸] [۴۵] [ ۳] [ ۲.۵۲۰۹e+003] [5.5820e+001]

[۴۸] [۴۶] [ ۲] [ ۳.۰۳۰۳e+002] [5.6322e+000]

[۴۸] [۴۷] [ ۱] [ ۲.۴۵۰۰e+001] [3.8066e-001]

[۴۸] [۴۸] [ ۰] [ ۱.۰۰۰۰e+000] [1.2934e-002]

[۵۶] [ ۰] [۵۶] [ ۱] [ ۱]

[۵۶] [ ۱] [۵۵] [ ۲.۸۵۰۰e+001] [2.7279e+001]

[۵۶] [ ۲] [۵۴] [ ۴.۰۹۵۳e+002] [3.9055e+002]

[۵۶] [ ۳] [۵۳] [ ۳.۹۵۳۸e+003] [3.7431e+003]

[۵۶] [ ۴] [۵۲] [ ۲.۸۸۳۷e+004] [2.7002e+004]

[۵۶] [ ۵] [۵۱] [ ۱.۶۹۳۹e+005] [1.5630e+005]

[۵۶] [ ۶] [۵۰] [ ۸.۳۴۳۰e+005] [7.5582e+005]

[۵۶] [ ۷] [۴۹] [ ۳.۵۴۱۸e+006] [3.1386e+006]

[۵۶] [ ۸] [۴۸] [ ۱.۳۲۲۳e+007] [1.1419e+007]

[۵۶] [ ۹] [۴۷] [ ۴.۴۰۷۶e+007] [3.6957e+007]

[۵۶] [۱۰] [۴۶] [ ۱.۳۲۷۴e+008] [1.0766e+008]

[۵۶] [۱۱] [۴۵] [ ۳.۶۴۶۳e+008] [2.8500e+008]

[۵۶] [۱۲] [۴۴] [ ۹.۲۰۵۹e+008] [6.9083e+008]

[۵۶] [۱۳] [۴۳] [ ۲.۱۴۹۹e+009] [1.5431e+009]

[۵۶] [۱۴] [۴۲] [ ۴.۶۶۹۰e+009] [3.1932e+009]

[۵۶] [۱۵] [۴۱] [ ۹.۴۷۱۵e+009] [6.1491e+009]

[۵۶] [۱۶] [۴۰] [ ۱.۸۰۱۵e+010] [1.1060e+010]

[۵۶] [۱۷] [۳۹] [ ۳.۲۲۳۳e+010] [1.8643e+010]

[۵۶] [۱۸] [۳۸] [ ۵.۴۴۰۱e+010] [2.9528e+010]

[۵۶] [۱۹] [۳۷] [ ۸.۶۸۱۰e+010] [4.4051e+010]

[۵۶] [۲۰] [۳۶] [ ۱.۳۱۲۴e+011] [6.2023e+010]

[۵۶] [۲۱] [۳۵] [ ۱.۸۸۳۰e+011] [8.2558e+010]

[۵۶] [۲۲] [۳۴] [ ۲.۵۶۷۸e+011] [1.0404e+011]

[۵۶] [۲۳] [۳۳] [ ۳.۳۳۱۹e+011] [1.2428e+011]

[۵۶] [۲۴] [۳۲] [ ۴.۱۱۸۱e+011] [1.4085e+011]

[۵۶] [۲۵] [۳۱] [ ۴.۸۵۱۸e+011] [1.5158e+011]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC [56] [26] [30] [ 5.4524e+011] [1.5500e+011]

[۵۶] [۲۷] [۲۹] [ ۵.۸۴۶۹e+011] [1.5064e+011]

[۵۶] [۲۸] [۲۸] [ ۵.۹۸۴۵e+011] [1.3919e+011]

[۵۶] [۲۹] [۲۷] [ ۵.۸۴۶۹e+011] [1.2228e+011]

[۵۶] [۳۰] [۲۶] [ ۵.۴۵۲۴e+011] [1.0213e+011]

[۵۶] [۳۱] [۲۵] [ ۴.۸۵۱۸e+011] [8.1080e+010]

[۵۶] [۳۲] [۲۴] [ ۴.۱۱۸۱e+011] [6.1150e+010]

[۵۶] [۳۳] [۲۳] [ ۳.۳۳۱۹e+011] [4.3788e+010]

[۵۶] [۳۴] [۲۲] [ ۲.۵۶۷۸e+011] [2.9747e+010]

[۵۶] [۳۵] [۲۱] [ ۱.۸۸۳۰e+011] [1.9153e+010]

[۵۶] [۳۶] [۲۰] [ ۱.۳۱۲۴e+011] [1.1673e+010]

[۵۶] [۳۷] [۱۹] [ ۸.۶۸۱۰e+010] [6.7245e+009]

[۵۶] [۳۸] [۱۸] [ ۵.۴۴۰۱e+010] [3.6553e+009]

[۵۶] [۳۹] [۱۷] [ ۳.۲۲۳۳e+010] [1.8710e+009]

[۵۶] [۴۰] [۱۶] [ ۱.۸۰۱۵e+010] [8.9973e+008]

[۵۶] [۴۱] [۱۵] [ ۹.۴۷۱۵e+009] [4.0533e+008]

[۵۶] [۴۲] [۱۴] [ ۴.۶۶۹۰e+009] [1.7051e+008]

[۵۶] [۴۳] [۱۳] [ ۲.۱۴۹۹e+009] [6.6729e+007]

[۵۶] [۴۴] [۱۲] [ ۹.۲۰۵۹e+008] [2.4184e+007]

[۵۶] [۴۵] [۱۱] [ ۳.۶۴۶۳e+008] [8.0738e+006]

[۵۶] [۴۶] [۱۰] [ ۱.۳۲۷۴e+008] [2.4672e+006]

[۵۶] [۴۷] [ ۹] [ ۴.۴۰۷۶e+007] [6.8481e+005]

[۵۶] [۴۸] [ ۸] [ ۱.۳۲۲۳e+007] [1.7102e+005]

[۵۶] [۴۹] [ ۷] [ ۳.۵۴۱۸e+006] [3.7974e+004]

[۵۶] [۵۰] [ ۶] [ ۸.۳۴۳۰e+005] [7.3841e+003]

[۵۶] [۵۱] [ ۵] [ ۱.۶۹۳۹e+005] [1.2324e+003]

[۵۶] [۵۲] [ ۴] [ ۲.۸۸۳۷e+004] [1.7174e+002]

[۵۶] [۵۳] [ ۳] [ ۳.۹۵۳۸e+003] [1.9193e+001]

[۵۶] [۵۴] [ ۲] [ ۴.۰۹۵۳e+002] [1.6136e+000]

[۵۶] [۵۵] [ ۱] [ ۲.۸۵۰۰e+001] [9.0756e-002]

[۵۶] [۵۶] [ ۰] [ ۱] [۲.۵۶۲۷e-003]

[۹۵] [ ۰] [۹۵] [ ۱] [ ۱]

[۹۵] [ ۱] [۹۴] [ ۴۸] [۴.۵۹۴۳e+001]

[۹۵] [ ۲] [۹۳] [ ۱.۱۵۷۸e+003] [1.1042e+003]

[۹۵] [ ۳] [۹۲] [ ۱.۸۷۱۰e+004] [1.7713e+004]

[۹۵] [ ۴] [۹۱] [ ۲.۲۷۸۲e+005] [2.1333e+005]

[۹۵] [ ۵] [۹۰] [ ۲.۲۲۹۳e+006] [2.0570e+006]

[۹۵] [ ۶] [۸۹] [ ۱.۸۲۵۶e+007] [1.6538e+007]

[۹۵] [ ۷] [۸۸] [ ۱.۲۸۶۷e+008] [1.1402e+008]

[۹۵] [ ۸] [۸۷] [ ۷.۹۶۶۲e+008] [6.8796e+008]

[۹۵] [ ۹] [۸۶] [ ۴.۴۰۰۴e+009] [3.6897e+009]

[۹۵] [۱۰] [۸۵] [ ۲.۱۹۵۳e+010] [1.7806e+010]

[۹۵] [۱۱] [۸۴] [ ۹.۹۸۹۹e+010] [7.8083e+010]

[۹۵] [۱۲] [۸۳] [ ۴.۱۸۰۱e+011] [3.1368e+011]

[۹۵] [۱۳] [۸۲] [ ۱.۶۱۹۳e+012] [1.1623e+012]

[۹۵] [۱۴] [۸۱] [ ۵.۸۴۰۷e+012] [3.9946e+012]

[۹۵] [۱۵] [۸۰] [ ۱.۹۷۱۲e+013] [1.2798e+013]

[۹۵] [۱۶] [۷۹] [ ۶.۲۵۱۷e+013] [3.8381e+013]

[۹۵] [۱۷] [۷۸] [ ۱.۸۷۰۰e+014] [1.0816e+014]

[۹۵] [۱۸] [۷۷] [ ۵.۲۹۲۹e+014] [2.8729e+014]

[۹۵] [۱۹] [۷۶] [ ۱.۴۲۱۷e+015] [7.2144e+014]

[۹۵] [۲۰] [۷۵] [ ۳.۶۳۳۳e+015] [1.7170e+015]

[۹۵] [۲۱] [۷۴] [ ۸.۸۵۴۱e+015] [3.8819e+015]

[۹۵] [۲۲] [۷۳] [ ۲.۰۶۱۸e+016] [8.3540e+015]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC [95] [23] [72] [ 4.5965e+016] [1.7144e+016]

[۹۵] [۲۴] [۷۱] [ ۹.۸۲۵۹e+016] [3.3608e+016]

[۹۵] [۲۵] [۷۰] [ ۲.۰۱۷۳e+017] [6.3025e+016]

[۹۵] [۲۶] [۶۹] [ ۳.۹۸۲۸e+017] [1.1322e+017]

[۹۵] [۲۷] [۶۸] [ ۷.۵۷۱۷e+017] [1.9507e+017]

[۹۵] [۲۸] [۶۷] [ ۱.۳۸۷۶e+018] [3.2273e+017]

[۹۵] [۲۹] [۶۶] [ ۲.۴۵۳۸e+018] [5.1320e+017]

[۹۵] [۳۰] [۶۵] [ ۴.۱۹۱۳e+018] [7.8512e+017]

[۹۵] [۳۱] [۶۴] [ ۶.۹۲۰۸e+018] [1.1565e+018]

[۹۵] [۳۲] [۶۳] [ ۱.۱۰۵۶e+019] [1.6417e+018]

[۹۵] [۳۳] [۶۲] [ ۱.۷۰۹۹e+019] [2.2471e+018]

[۹۵] [۳۴] [۶۱] [ ۲.۵۶۲۰e+019] [2.9680e+018]

[۹۵] [۳۵] [۶۰] [ ۳.۷۲۰۹e+019] [3.7846e+018]

[۹۵] [۳۶] [۵۹] [ ۵.۲۴۱۳e+019] [4.6617e+018]

[۹۵] [۳۷] [۵۸] [ ۷.۱۶۳۸e+019] [5.5492e+018]

[۹۵] [۳۸] [۵۷] [ ۹.۵۰۵۰e+019] [6.3865e+018]

[۹۵] [۳۹] [۵۶] [ ۱.۲۲۴۷e+020] [7.1088e+018]

[۹۵] [۴۰] [۵۵] [ ۱.۵۳۲۹e+020] [7.6555e+018]

[۹۵] [۴۱] [۵۴] [ ۱.۸۶۴۴e+020] [7.9785e+018]

[۹۵] [۴۲] [۵۳] [ ۲.۲۰۴۰e+020] [8.0490e+018]

[۹۵] [۴۳] [۵۲] [ ۲.۵۳۳۰e+020] [7.8618e+018]

[۹۵] [۴۴] [۵۱] [ ۲.۸۳۰۶e+020] [7.4360e+018]

[۹۵] [۴۵] [۵۰] [ ۳.۰۷۶۲e+020] [6.8115e+018]

[۹۵] [۴۶] [۴۹] [ ۳.۲۵۱۵e+020] [6.0434e+018]

[۹۵] [۴۷] [۴۸] [ ۳.۳۴۲۸e+020] [5.1936e+018]

[۹۵] [۴۸] [۴۷] [ ۳.۳۴۲۸e+020] [4.3234e+018]

[۹۵] [۴۹] [۴۶] [ ۳.۲۵۱۵e+020] [3.4861e+018]

[۹۵] [۵۰] [۴۵] [ ۳.۰۷۶۲e+020] [2.7227e+018]

[۹۵] [۵۱] [۴۴] [ ۲.۸۳۰۶e+020] [2.0595e+018]

[۹۵] [۵۲] [۴۳] [ ۲.۵۳۳۰e+020] [1.5085e+018]

[۹۵] [۵۳] [۴۲] [ ۲.۲۰۴۰e+020] [1.0699e+018]

[۹۵] [۵۴] [۴۱] [ ۱.۸۶۴۴e+020] [7.3459e+017]

[۹۵] [۵۵] [۴۰] [ ۱.۵۳۲۹e+020] [4.8813e+017]

[۹۵] [۵۶] [۳۹] [ ۱.۲۲۴۷e+020] [3.1385e+017]

[۹۵] [۵۷] [۳۸] [ ۹.۵۰۵۰e+019] [1.9519e+017]

[۹۵] [۵۸] [۳۷] [ ۷.۱۶۳۸e+019] [1.1738e+017]

[۹۵] [۵۹] [۳۶] [ ۵.۲۴۱۳e+019] [6.8224e+016]

[۹۵] [۶۰] [۳۵] [ ۳.۷۲۰۹e+019] [3.8312e+016]

[۹۵] [۶۱] [۳۴] [ ۲.۵۶۲۰e+019] [2.0775e+016]

[۹۵] [۶۲] [۳۳] [ ۱.۷۰۹۹e+019] [1.0873e+016]

[۹۵] [۶۳] [۳۲] [ ۱.۱۰۵۶e+019] [5.4888e+015]

[۹۵] [۶۴] [۳۱] [ ۶.۹۲۰۸e+018] [2.6708e+015]

[۹۵] [۶۵] [۳۰] [ ۴.۱۹۱۳e+018] [1.2518e+015]

[۹۵] [۶۶] [۲۹] [ ۲.۴۵۳۸e+018] [5.6470e+014]

[۹۵] [۶۷] [۲۸] [ ۱.۳۸۷۶e+018] [2.4496e+014]

[۹۵] [۶۸] [۲۷] [ ۷.۵۷۱۷e+017] [1.0208e+014]

[۹۵] [۶۹] [۲۶] [ ۳.۹۸۲۸e+017] [4.0828e+013]

[۹۵] [۷۰] [۲۵] [ ۲.۰۱۷۳e+017] [1.5653e+013]

[۹۵] [۷۱] [۲۴] [ ۹.۸۲۵۹e+016] [5.7453e+012]

[۹۵] [۷۲] [۲۳] [ ۴.۵۹۶۵e+016] [2.0162e+012]

[۹۵] [۷۳] [۲۲] [ ۲.۰۶۱۸e+016] [6.7540e+011]

[۹۵] [۷۴] [۲۱] [ ۸.۸۵۴۱e+015] [2.1562e+011]

[۹۵] [۷۵] [۲۰] [ ۳.۶۳۳۳e+015] [6.5480e+010]

[۹۵] [۷۶] [۱۹] [ ۱.۴۲۱۷e+015] [1.8876e+010]

[۹۵] [۷۷] [۱۸] [ ۵.۲۹۲۹e+014] [5.1536e+009]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۹۵] [۷۸] [۱۷] [ ۱.۸۷۰۰e+014] [1.3291e+009]

[۹۵] [۷۹] [۱۶] [ ۶.۲۵۱۷e+013] [3.2288e+008]

[۹۵] [۸۰] [۱۵] [ ۱.۹۷۱۲e+013] [7.3638e+007]

[۹۵] [۸۱] [۱۴] [ ۵.۸۴۰۷e+012] [1.5709e+007]

[۹۵] [۸۲] [۱۳] [ ۱.۶۱۹۳e+012] [3.1209e+006]

[۹۵] [۸۳] [۱۲] [ ۴.۱۸۰۱e+011] [5.7466e+005]

[۹۵] [۸۴] [۱۱] [ ۹.۹۸۹۹e+010] [9.7504e+004]

[۹۵] [۸۵] [۱۰] [ ۲.۱۹۵۳e+010] [1.5141e+004]

[۹۵] [۸۶] [ ۹] [ ۴.۴۰۰۴e+009] [2.1346e+003]

[۹۵] [۸۷] [ ۸] [ ۷.۹۶۶۲e+008] [2.7051e+002]

[۹۵] [۸۸] [ ۷] [ ۱.۲۸۶۷e+008] [3.0440e+001]

[۹۵] [۸۹] [ ۶] [ ۱.۸۲۵۶e+007] [2.9947e+000]

[۹۵] [۹۰] [ ۵] [ ۲.۲۲۹۳e+006] [2.5237e-001]

[۹۵] [۹۱] [ ۴] [ ۲.۲۷۸۲e+005] [1.7714e-002]

[۹۵] [۹۲] [ ۳] [ ۱.۸۷۱۰e+004] [9.9435e-004]

[۹۵] [۹۳] [ ۲] [ ۱.۱۵۷۸e+003] [4.1857e-005]

[۹۵] [۹۴] [ ۱] [ ۴.۸۰۰۰e+001] [1.1747e-006]

[۹۵] [۹۵] [ ۰] [ ۱] [۱.۶۴۸۷e-008]

[۱۵۹] [ ۰] [۱۵۹] [ ۱] [ ۱]

[۱۵۹] [ ۱] [۱۵۸] [ ۸۰] [۷.۶۵۷۲e+001]

[۱۵۹] [ ۲] [۱۵۷] [ ۳.۲۰۹۸e+003] [3.0611e+003]

[۱۵۹] [ ۳] [۱۵۶] [ ۸.۶۱۱۷e+004] [8.1528e+004]

[۱۵۹] [ ۴] [۱۵۵] [ ۱.۷۳۷۹e+006] [1.6273e+006]

[۱۵۹] [ ۵] [۱۵۴] [ ۲.۸۱۳۹e+007] [2.5964e+007]

[۱۵۹] [ ۶] [۱۵۳] [ ۳.۸۰۷۳e+008] [3.4491e+008]

[۱۵۹] [ ۷] [۱۵۲] [ ۴.۴۲۷۶e+009] [3.9235e+009]

[۱۵۹] [ ۸] [۱۵۱] [ ۴.۵۱۷۲e+010] [3.9011e+010]

[۱۵۹] [ ۹] [۱۵۰] [ ۴.۱۰۷۳e+011] [3.4439e+011]

[۱۵۹] [ ۱۰] [۱۴۹] [ ۳.۳۶۹۶e+012] [2.7330e+012]

[۱۵۹] [ ۱۱] [۱۴۸] [ ۲.۵۱۹۲e+013] [1.9691e+013]

[۱۵۹] [ ۱۲] [۱۴۷] [ ۱.۷۳۰۶e+014] [1.2987e+014]

[۱۵۹] [ ۱۳] [۱۴۶] [ ۱.۱۰۰۰e+015] [7.8951e+014]

[۱۵۹] [ ۱۴] [۱۴۵] [ ۶.۵۰۶۶e+015] [4.4500e+015]

[۱۵۹] [ ۱۵] [۱۴۴] [ ۳.۶۰۰۱e+016] [2.3372e+016]

[۱۵۹] [ ۱۶] [۱۴۳] [ ۱.۸۷۱۳e+017] [1.1489e+017]

[۱۵۹] [ ۱۷] [۱۴۲] [ ۹.۱۷۳۶e+017] [5.3058e+017]

[۱۵۹] [ ۱۸] [۱۴۱] [ ۴.۲۵۵۶e+018] [2.3099e+018]

[۱۵۹] [ ۱۹] [۱۴۰] [ ۱.۸۷۳۸e+019] [9.5086e+018]

[۱۵۹] [ ۲۰] [۱۳۹] [ ۷.۸۵۲۵e+019] [3.7110e+019]

[۱۵۹] [ ۲۱] [۱۳۸] [ ۳.۱۳۹۵e+020] [1.3764e+020]

[۱۵۹] [ ۲۲] [۱۳۷] [ ۱.۲۰۰۲e+021] [4.8627e+020]

[۱۵۹] [ ۲۳] [۱۳۶] [ ۴.۳۹۵۵e+021] [1.6395e+021]

[۱۵۹] [ ۲۴] [۱۳۵] [ ۱.۵۴۵۱e+022] [5.2849e+021]

[۱۵۹] [ ۲۵] [۱۳۴] [ ۵.۲۲۱۹e+022] [1.6315e+022]

[۱۵۹] [ ۲۶] [۱۳۳] [ ۱.۶۹۹۳e+023] [4.8305e+022]

[۱۵۹] [ ۲۷] [۱۳۲] [ ۵.۳۳۱۹e+023] [1.3737e+023]

[۱۵۹] [ ۲۸] [۱۳۱] [ ۱.۶۱۵۳e+024] [3.7569e+023]

[۱۵۹] [ ۲۹] [۱۳۰] [ ۴.۷۳۰۲e+024] [9.8929e+023]

[۱۵۹] [ ۳۰] [۱۲۹] [ ۱.۳۴۰۵e+025] [2.5110e+024]

[۱۵۹] [ ۳۱] [۱۲۸] [ ۳.۶۸۰۱e+025] [6.1498e+024]

[۱۵۹] [ ۳۲] [۱۲۷] [ ۹.۷۹۶۴e+025] [1.4547e+025]

[۱۵۹] [ ۳۳] [۱۲۶] [ ۲.۵۳۱۰e+026] [3.3262e+025]

[۱۵۹] [ ۳۴] [۱۲۵] [ ۶.۳۵۱۸e+026] [7.3584e+025]

[۱۵۹] [ ۳۵] [۱۲۴] [ ۱.۵۴۹۶e+027] [1.5761e+026]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۵۹] [ ۳۶] [۱۲۳] [ ۳.۶۷۷۸e+027] [3.2711e+026]

[۱۵۹] [ ۳۷] [۱۲۲] [ ۸.۴۹۷۷e+027] [6.5825e+026]

[۱۵۹] [ ۳۸] [۱۲۱] [ ۱.۹۱۲۷e+028] [1.2851e+027]

[۱۵۹] [ ۳۹] [۱۲۰] [ ۴.۱۹۶۳e+028] [2.4358e+027]

[۱۵۹] [ ۴۰] [۱۱۹] [ ۸.۹۷۹۱e+028] [4.4844e+027]

[۱۵۹] [ ۴۱] [۱۱۸] [ ۱.۸۷۴۹e+029] [8.0236e+027]

[۱۵۹] [ ۴۲] [۱۱۷] [ ۳.۸۲۲۴e+029] [1.3959e+028]

[۱۵۹] [ ۴۳] [۱۱۶] [ ۷.۶۱۱۹e+029] [2.3625e+028]

[۱۵۹] [ ۴۴] [۱۱۵] [ ۱.۴۸۱۴e+030] [3.8915e+028]

[۱۵۹] [ ۴۵] [۱۱۴] [ ۲.۸۱۸۵e+030] [6.2410e+028]

[۱۵۹] [ ۴۶] [۱۱۳] [ ۵.۲۴۵۲e+030] [9.7491e+028]

[۱۵۹] [ ۴۷] [۱۱۲] [ ۹.۵۵۰۹e+030] [1.4839e+029]

[۱۵۹] [ ۴۸] [۱۱۱] [ ۱.۷۰۲۲e+031] [2.2016e+029]

[۱۵۹] [ ۴۹] [۱۱۰] [ ۲.۹۷۰۶e+031] [3.1850e+029]

[۱۵۹] [ ۵۰] [۱۰۹] [ ۵.۰۷۷۷e+031] [4.4941e+029]

[۱۵۹] [ ۵۱] [۱۰۸] [ ۸.۵۰۳۶e+031] [6.1869e+029]

[۱۵۹] [ ۵۲] [۱۰۷] [ ۱.۳۹۵۷e+032] [8.3122e+029]

[۱۵۹] [ ۵۳] [۱۰۶] [ ۲.۲۴۵۷e+032] [1.0902e+030]

[۱۵۹] [ ۵۴] [۱۰۵] [ ۳.۵۴۳۳e+032] [1.3961e+030]

[۱۵۹] [ ۵۵] [۱۰۴] [ ۵.۴۸۳۳e+032] [1.7461e+030]

[۱۵۹] [ ۵۶] [۱۰۳] [ ۸.۳۲۴۷e+032] [2.1334e+030]

[۱۵۹] [ ۵۷] [۱۰۲] [ ۱.۲۴۰۲e+033] [2.5467e+030]

[۱۵۹] [ ۵۸] [۱۰۱] [ ۱.۸۱۳۳e+033] [2.9710e+030]

[۱۵۹] [ ۵۹] [۱۰۰] [ ۲.۶۰۲۷e+033] [3.3878e+030]

[۱۵۹] [ ۶۰] [ ۹۹] [ ۳.۶۶۷۹e+033] [3.7766e+030]

[۱۵۹] [ ۶۱] [ ۹۸] [ ۵.۰۷۶۱e+033] [4.1163e+030]

[۱۵۹] [ ۶۲] [ ۹۷] [ ۶.۸۹۹۶e+033] [4.3874e+030]

[۱۵۹] [ ۶۳] [ ۹۶] [ ۹.۲۱۲۳e+033] [4.5736e+030]

[۱۵۹] [ ۶۴] [ ۹۵] [ ۱.۲۰۸۴e+034] [4.6636e+030]

[۱۵۹] [ ۶۵] [ ۹۴] [ ۱.۵۵۷۶e+034] [4.6520e+030]

[۱۵۹] [ ۶۶] [ ۹۳] [ ۱.۹۷۲۸e+034] [4.5401e+030]

[۱۵۹] [ ۶۷] [ ۹۲] [ ۲.۴۵۵۹e+034] [4.3355e+030]

[۱۵۹] [ ۶۸] [ ۹۱] [ ۳.۰۰۵۰e+034] [4.0514e+030]

[۱۵۹] [ ۶۹] [ ۹۰] [ ۳.۶۱۴۳e+034] [3.7050e+030]

[۱۵۹] [ ۷۰] [ ۸۹] [ ۴.۲۷۳۷e+034] [3.3161e+030]

[۱۵۹] [ ۷۱] [ ۸۸] [ ۴.۹۶۸۴e+034] [2.9051e+030]

[۱۵۹] [ ۷۲] [ ۸۷] [ ۵.۶۷۹۱e+034] [2.4911e+030]

[۱۵۹] [ ۷۳] [ ۸۶] [ ۶.۳۸۳۱e+034] [2.0909e+030]

[۱۵۹] [ ۷۴] [ ۸۵] [ ۷.۰۵۴۸e+034] [1.7180e+030]

[۱۵۹] [ ۷۵] [ ۸۴] [ ۷.۶۶۷۸e+034] [1.3819e+030]

[۱۵۹] [ ۷۶] [ ۸۳] [ ۸.۱۹۵۹e+034] [1.0882e+030]

[۱۵۹] [ ۷۷] [ ۸۲] [ ۸.۶۱۵۵e+034] [8.3886e+029]

[۱۵۹] [ ۷۸] [ ۸۱] [ ۸.۹۰۷۰e+034] [6.3308e+029]

[۱۵۹] [ ۷۹] [ ۸۰] [ ۹.۰۵۶۴e+034] [4.6774e+029]

[۱۵۹] [ ۸۰] [ ۷۹] [ ۹.۰۵۶۴e+034] [3.3831e+029]

[۱۵۹] [ ۸۱] [ ۷۸] [ ۸.۹۰۷۰e+034] [2.3955e+029]

[۱۵۹] [ ۸۲] [ ۷۷] [ ۸.۶۱۵۵e+034] [1.6605e+029]

[۱۵۹] [ ۸۳] [ ۷۶] [ ۸.۱۹۵۹e+034] [1.1267e+029]

[۱۵۹] [ ۸۴] [ ۷۵] [ ۷.۶۶۷۸e+034] [7.4839e+028]

[۱۵۹] [ ۸۵] [ ۷۴] [ ۷.۰۵۴۸e+034] [4.8657e+028]

[۱۵۹] [ ۸۶] [ ۷۳] [ ۶.۳۸۳۱e+034] [3.0963e+028]

[۱۵۹] [ ۸۷] [ ۷۲] [ ۵.۶۷۹۱e+034] [1.9284e+028]

[۱۵۹] [ ۸۸] [ ۷۱] [ ۴.۹۶۸۴e+034] [1.1754e+028]

[۱۵۹] [ ۸۹] [ ۷۰] [ ۴.۲۷۳۷e+034] [7.0107e+027]

[۱۵۹] [ ۹۰] [ ۶۹] [ ۳.۶۱۴۳e+034] [4.0916e+027]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۵۹] [ ۹۱] [ ۶۸] [ ۳.۰۰۵۰e+034] [2.3364e+027]

[۱۵۹] [ ۹۲] [ ۶۷] [ ۲.۴۵۵۹e+034] [1.3052e+027]

[۱۵۹] [ ۹۳] [ ۶۶] [ ۱.۹۷۲۸e+034] [7.1320e+026]

[۱۵۹] [ ۹۴] [ ۶۵] [ ۱.۵۵۷۶e+034] [3.8118e+026]

[۱۵۹] [ ۹۵] [ ۶۴] [ ۱.۲۰۸۴e+034] [1.9923e+026]

[۱۵۹] [ ۹۶] [ ۶۳] [ ۹.۲۱۲۳e+033] [1.0182e+026]

[۱۵۹] [ ۹۷] [ ۶۲] [ ۶.۸۹۹۶e+033] [5.0876e+025]

[۱۵۹] [ ۹۸] [ ۶۱] [ ۵.۰۷۶۱e+033] [2.4849e+025]

[۱۵۹] [ ۹۹] [ ۶۰] [ ۳.۶۶۷۹e+033] [1.1862e+025]

[۱۵۹] [۱۰۰] [ ۵۹] [ ۲.۶۰۲۷e+033] [5.5333e+024]

[۱۵۹] [۱۰۱] [ ۵۸] [ ۱.۸۱۳۳e+033] [2.5217e+024]

[۱۵۹] [۱۰۲] [ ۵۷] [ ۱.۲۴۰۲e+033] [1.1226e+024]

[۱۵۹] [۱۰۳] [ ۵۶] [ ۸.۳۲۴۷e+032] [4.8802e+023]

[۱۵۹] [۱۰۴] [ ۵۵] [ ۵.۴۸۳۳e+032] [2.0715e+023]

[۱۵۹] [۱۰۵] [ ۵۴] [ ۳.۵۴۳۳e+032] [8.5829e+022]

[۱۵۹] [۱۰۶] [ ۵۳] [ ۲.۲۴۵۷e+032] [3.4705e+022]

[۱۵۹] [۱۰۷] [ ۵۲] [ ۱.۳۹۵۷e+032] [1.3691e+022]

[۱۵۹] [۱۰۸] [ ۵۱] [ ۸.۵۰۳۶e+031] [5.2681e+021]

[۱۵۹] [۱۰۹] [ ۵۰] [ ۵.۰۷۷۷e+031] [1.9765e+021]

[۱۵۹] [۱۱۰] [ ۴۹] [ ۲.۹۷۰۶e+031] [7.2287e+020]

[۱۵۹] [۱۱۱] [ ۴۸] [ ۱.۷۰۲۲e+031] [2.5762e+020]

[۱۵۹] [۱۱۲] [ ۴۷] [ ۹.۵۵۰۹e+030] [8.9438e+019]

[۱۵۹] [۱۱۳] [ ۴۶] [ ۵.۲۴۵۲e+030] [3.0235e+019]

[۱۵۹] [۱۱۴] [ ۴۵] [ ۲.۸۱۸۵e+030] [9.9494e+018]

[۱۵۹] [۱۱۵] [ ۴۴] [ ۱.۴۸۱۴e+030] [3.1856e+018]

[۱۵۹] [۱۱۶] [ ۴۳] [ ۷.۶۱۱۹e+029] [9.9202e+017]

[۱۵۹] [۱۱۷] [ ۴۲] [ ۳.۸۲۲۴e+029] [3.0032e+017]

[۱۵۹] [۱۱۸] [ ۴۱] [ ۱.۸۷۴۹e+029] [8.8343e+016]

[۱۵۹] [۱۱۹] [ ۴۰] [ ۸.۹۷۹۱e+028] [2.5239e+016]

[۱۵۹] [۱۲۰] [ ۳۹] [ ۴.۱۹۶۳e+028] [6.9993e+015]

[۱۵۹] [۱۲۱] [ ۳۸] [ ۱.۹۱۲۷e+028] [1.8831e+015]

[۱۵۹] [۱۲۲] [ ۳۷] [ ۸.۴۹۷۷e+027] [4.9119e+014]

[۱۵۹] [۱۲۳] [ ۳۶] [ ۳.۶۷۷۸e+027] [1.2415e+014]

[۱۵۹] [۱۲۴] [ ۳۵] [ ۱.۵۴۹۶e+027] [3.0384e+013]

[۱۵۹] [۱۲۵] [ ۳۴] [ ۶.۳۵۱۸e+026] [7.1951e+012]

[۱۵۹] [۱۲۶] [ ۳۳] [ ۲.۵۳۱۰e+026] [1.6474e+012]

[۱۵۹] [۱۲۷] [ ۳۲] [ ۹.۷۹۶۴e+025] [3.6442e+011]

[۱۵۹] [۱۲۸] [ ۳۱] [ ۳.۶۸۰۱e+025] [7.7810e+010]

[۱۵۹] [۱۲۹] [ ۳۰] [ ۱.۳۴۰۵e+025] [1.6022e+010]

[۱۵۹] [۱۳۰] [ ۲۹] [ ۴.۷۳۰۲e+024] [3.1784e+009]

[۱۵۹] [۱۳۱] [ ۲۸] [ ۱.۶۱۵۳e+024] [6.0683e+008]

[۱۵۹] [۱۳۲] [ ۲۷] [ ۵.۳۳۱۹e+023] [1.1138e+008]

[۱۵۹] [۱۳۳] [ ۲۶] [ ۱.۶۹۹۳e+023] [1.9627e+007]

[۱۵۹] [۱۳۴] [ ۲۵] [ ۵.۲۲۱۹e+022] [3.3163e+006]

[۱۵۹] [۱۳۵] [ ۲۴] [ ۱.۵۴۵۱e+022] [5.3656e+005]

[۱۵۹] [۱۳۶] [ ۲۳] [ ۴.۳۹۵۵e+021] [8.2993e+004]

[۱۵۹] [۱۳۷] [ ۲۲] [ ۱.۲۰۰۲e+021] [1.2252e+004]

[۱۵۹] [۱۳۸] [ ۲۱] [ ۳.۱۳۹۵e+020] [1.7230e+003]

[۱۵۹] [۱۳۹] [ ۲۰] [ ۷.۸۵۲۵e+019] [2.3038e+002]

[۱۵۹] [۱۴۰] [ ۱۹] [ ۱.۸۷۳۸e+019] [2.9221e+001]

[۱۵۹] [۱۴۱] [ ۱۸] [ ۴.۲۵۵۶e+018] [3.5072e+000]

[۱۵۹] [۱۴۲] [ ۱۷] [ ۹.۱۷۳۶e+017] [3.9727e-001]

[۱۵۹] [۱۴۳] [ ۱۶] [ ۱.۸۷۱۳e+017] [4.2338e-002]

[۱۵۹] [۱۴۴] [ ۱۵] [ ۳.۶۰۰۱e+016] [4.2307e-003]

[۱۵۹] [۱۴۵] [ ۱۴] [ ۶.۵۰۶۶e+015] [3.9487e-004]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۱۵۹] [۱۴۶] [ ۱۳] [ ۱.۱۰۰۰e+015] [3.4272e-005]

[۱۵۹] [۱۴۷] [ ۱۲] [ ۱.۷۳۰۶e+014] [2.7521e-006]

[۱۵۹] [۱۴۸] [ ۱۱] [ ۲.۵۱۹۲e+013] [2.0328e-007]

[۱۵۹] [۱۴۹] [ ۱۰] [ ۳.۳۶۹۶e+012] [1.3715e-008]

[۱۵۹] [۱۵۰] [ ۹] [ ۴.۱۰۷۳e+011] [8.3827e-010]

[۱۵۹] [۱۵۱] [ ۸] [ ۴.۵۱۷۲e+010] [4.5955e-011]

[۱۵۹] [۱۵۲] [ ۷] [ ۴.۴۲۷۶e+009] [2.2318e-012]

[۱۵۹] [۱۵۳] [ ۶] [ ۳.۸۰۷۳e+008] [9.4522e-014]

[۱۵۹] [۱۵۴] [ ۵] [ ۲.۸۱۳۹e+007] [3.4201e-015]

[۱۵۹] [۱۵۵] [ ۴] [ ۱.۷۳۷۹e+006] [1.0279e-016]

[۱۵۹] [۱۵۶] [ ۳] [ ۸.۶۱۱۷e+004] [2.4634e-018]

[۱۵۹] [۱۵۷] [ ۲] [ ۳.۲۰۹۸e+003] [4.4140e-020]

[۱۵۹] [۱۵۸] [ ۱] [ ۸.۰۰۰۰e+001] [5.2562e-022]

[۱۵۹] [۱۵۹] [ ۰] [ ۱] [۳.۱۱۹۹e-024]

[۲۳۸] [ ۰] [۲۳۸] [ ۱] [ ۱]

[۲۳۸] [ ۱] [۲۳۷] [ ۱.۱۹۵۰e+002] [1.1438e+002]

[۲۳۸] [ ۲] [۲۳۶] [ ۷.۱۵۴۹e+003] [6.8233e+003]

[۲۳۸] [ ۳] [۲۳۵] [ ۲.۸۶۱۸e+005] [2.7092e+005]

[۲۳۸] [ ۴] [۲۳۴] [ ۸.۶۰۱۹e+006] [8.0545e+006]

[۲۳۸] [ ۵] [۲۳۳] [ ۲.۰۷۲۶e+008] [1.9124e+008]

[۲۳۸] [ ۶] [۲۳۲] [ ۴.۱۶۹۵e+009] [3.7772e+009]

[۲۳۸] [ ۷] [۲۳۱] [ ۷.۲۰۳۴e+010] [6.3833e+010]

[۲۳۸] [ ۸] [۲۳۰] [ ۱.۰۹۱۰e+012] [9.4218e+011]

[۲۳۸] [ ۹] [۲۲۹] [ ۱.۴۷۱۵e+013] [1.2338e+013]

[۲۳۸] [ ۱۰] [۲۲۸] [ ۱.۷۸۹۵e+014] [1.4514e+014]

[۲۳۸] [ ۱۱] [۲۲۷] [ ۱.۹۸۱۹e+015] [1.5491e+015]

[۲۳۸] [ ۱۲] [۲۲۶] [ ۲.۰۱۵۷e+016] [1.5126e+016]

[۲۳۸] [ ۱۳] [۲۲۵] [ ۱.۸۹۵۶e+017] [1.3605e+017]

[۲۳۸] [ ۱۴] [۲۲۴] [ ۱.۶۵۸۱e+018] [1.1340e+018]

[۲۳۸] [ ۱۵] [۲۲۳] [ ۱.۳۵۶۰e+019] [8.8031e+018]

[۲۳۸] [ ۱۶] [۲۲۲] [ ۱.۰۴۱۳e+020] [6.3928e+019]

[۲۳۸] [ ۱۷] [۲۲۱] [ ۷.۵۳۷۹e+020] [4.3597e+020]

[۲۳۸] [ ۱۸] [۲۲۰] [ ۵.۱۶۱۷e+021] [2.8017e+021]

[۲۳۸] [ ۱۹] [۲۱۹] [ ۳.۳۵۳۸e+022] [1.7019e+022]

[۲۳۸] [ ۲۰] [۲۱۸] [ ۲.۰۷۳۲e+023] [9.7979e+022]

[۲۳۸] [ ۲۱] [۲۱۷] [ ۱.۲۲۲۴e+024] [5.3595e+023]

[۲۳۸] [ ۲۲] [۲۱۶] [ ۶.۸۹۰۰e+024] [2.7917e+024]

[۲۳۸] [ ۲۳] [۲۱۵] [ ۳.۷۱۹۹e+025] [1.3875e+025]

[۲۳۸] [ ۲۴] [۲۱۴] [ ۱.۹۲۷۴e+026] [6.5922e+025]

[۲۳۸] [ ۲۵] [۲۱۳] [ ۹.۵۹۹۶e+026] [2.9992e+026]

[۲۳۸] [ ۲۶] [۲۱۲] [ ۴.۶۰۳۵e+027] [1.3086e+027]

[۲۳۸] [ ۲۷] [۲۱۱] [ ۲.۱۲۸۶e+028] [5.4840e+027]

[۲۳۸] [ ۲۸] [۲۱۰] [ ۹.۵۰۲۸e+028] [2.2102e+028]

[۲۳۸] [ ۲۹] [۲۰۹] [ ۴.۱۰۱۲e+029] [8.5772e+028]

[۲۳۸] [ ۳۰] [۲۰۸] [ ۱.۷۱۳۰e+030] [3.2088e+029]

[۲۳۸] [ ۳۱] [۲۰۷] [ ۶.۹۳۲۳e+030] [1.1585e+030]

[۲۳۸] [ ۳۲] [۲۰۶] [ ۲.۷۲۰۸e+031] [4.0402e+030]

[۲۳۸] [ ۳۳] [۲۰۵] [ ۱.۰۳۶۷e+032] [1.3624e+031]

[۲۳۸] [ ۳۴] [۲۰۴] [ ۳.۸۳۷۸e+032] [4.4460e+031]

[۲۳۸] [ ۳۵] [۲۰۳] [ ۱.۳۸۱۶e+033] [1.4053e+032]

[۲۳۸] [ ۳۶] [۲۰۲] [ ۴.۸۴۰۵e+033] [4.3052e+032]

[۲۳۸] [ ۳۷] [۲۰۱] [ ۱.۶۵۱۷e+034] [1.2794e+033]

[۲۳۸] [ ۳۸] [۲۰۰] [ ۵.۴۹۲۶e+034] [3.6905e+033]

[۲۳۸] [ ۳۹] [۱۹۹] [ ۱.۷۸۱۳e+035] [1.0340e+034]

A Z N NWN/NWN(Z=0) NWNC

[۲۳۸] [ ۴۰] [۱۹۸] [ ۵.۶۳۷۷e+035] [2.8156e+034]

[۲۳۸] [ ۴۱] [۱۹۷] [ ۱.۷۴۲۲e+036] [7.4558e+034]

[۲۳۸] [ ۴۲] [۱۹۶] [ ۵.۲۶۰۰e+036] [1.9210e+035]

[۲۳۸] [ ۴۳] [۱۹۵] [ ۱.۵۵۲۴e+037] [4.8182e+035]

[۲۳۸] [ ۴۴] [۱۹۴] [ ۴.۴۸۰۶e+037] [1.1770e+036]

[۲۳۸] [ ۴۵] [۱۹۳] [ ۱.۲۶۵۴e+038] [2.8019e+036]

[۲۳۸] [ ۴۶] [۱۹۲] [ ۳.۴۹۸۴e+038] [6.5024e+036]

[۲۳۸] [ ۴۷] [۱۹۱] [ ۹.۴۷۲۲e+038] [1.4717e+037]

[۲۳۸] [ ۴۸] [۱۹۰] [ ۲.۵۱۲۸e+039] [3.2499e+037]

[۲۳۸] [ ۴۹] [۱۸۹] [ ۶.۵۳۳۵e+039] [7.0050e+037]

[۲۳۸] [ ۵۰] [۱۸۸] [ ۱.۶۶۵۷e+040] [1.4743e+038]

[۲۳۸] [ ۵۱] [۱۸۷] [ ۴.۱۶۵۶e+040] [3.0307e+038]

[۲۳۸] [ ۵۲] [۱۸۶] [ ۱.۰۲۲۲e+041] [6.0876e+038]

[۲۳۸] [ ۵۳] [۱۸۵] [ ۲.۴۶۲۰e+041] [1.1952e+039]

[۲۳۸] [ ۵۴] [۱۸۴] [ ۵.۸۲۲۵e+041] [2.2941e+039]

[۲۳۸] [ ۵۵] [۱۸۳] [ ۱.۳۵۲۴e+042] [4.3068e+039]

[۲۳۸] [ ۵۶] [۱۸۲] [ ۳.۰۸۶۴e+042] [7.9094e+039]

[۲۳۸] [ ۵۷] [۱۸۱] [ ۶.۹۲۱۸e+042] [1.4214e+040]

[۲۳۸] [ ۵۸] [۱۸۰] [ ۱.۵۲۶۰e+043] [2.5002e+040]

[۲۳۸] [ ۵۹] [۱۷۹] [ ۳.۳۰۷۹e+043] [4.3057e+040]

[۲۳۸] [ ۶۰] [۱۷۸] [ ۷.۰۵۲۳e+043] [7.2612e+040]

[۲۳۸] [ ۶۱] [۱۷۷] [ ۱.۴۷۹۱e+044] [1.1994e+041]

[۲۳۸] [ ۶۲] [۱۷۶] [ ۳.۰۵۲۵e+044] [1.9410e+041]

[۲۳۸] [ ۶۳] [۱۷۵] [ ۶.۲۰۰۰e+044] [3.0781e+041]

[۲۳۸] [ ۶۴] [۱۷۴] [ ۱.۲۳۹۷e+045] [4.7841e+041]