روش حل معادلات مقدار مرزی^[۵۱] در متلب

حضور جملات غیر خطی در معادلات تعادل استاتیک، انتخاب روش حل مسأله را بسیار سخت می‌کند. عوامل غیر خطی هم از حاصلضرب جابجایی در خودش و هم در مشتقاتش پدید آمده‌است. آنچه که مسلم است، و پیشتر در مرور کارهای گذشته بررسی شد، استفاده از روش‌های حل دقیق و تحلیلی برای حل معادلات دیفرانسیلی با حضور جملات کسری غیرخطی امکان پذیر نیست و از روش‌های نیمه‌تحلیلی و عددی بایستی استفاده کرد. روش‌های حل عددی گسترده‌ای در حوزه حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی وجود دارد، که اکثریت آن‌ها بر پایه اختلاف محدود بوجود ‌آمده‌‌اند. اما انتخاب روش ‌‌حل عددی درست، هم به معادله دیفرانسیل و هم به ارضا شدن شروط لازم در آنالیز معادلات اختلاف محدود بستگی دارد.

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

معادله اختلاف محدود از نوع مقدار مرزی، با معلوم بودن مقدار یک نقطه از اجزای آن، در یک سمت مرز، و جهتگیری به طرف مرز دیگر، یک مسأله مقدار اولیه^[۵۲] (IVP) را تعریف می‌کند. IVP ها حل منحصربه‌فردی دارند. اما برای مسائل‌مقدار‌مرزی (BVPs) اینطور نیست و مانند دستگاه‌های معادلات جبری خطی، ممکن است اصلاً حلی نداشته یا دارای حل یکتایی بوده، و یا ممکن است بیش از یک حل داشته باشد. به همین دلیل روش‌های حل عددی مسائل مقدار مرزی و همچنین روش‌های کدنویسی شده بر پایه آنها در نرم‌افزارهای محاسباتی، مانند روش bvp4c در متلب، نیاز به حدس اولیه‌ای برای جواب مدنظر دارند[۶۴].

نتایج و نمودارهای تحلیل استاتیک

کلیه نتایج این بخش از حل معادله ‏۳‑۱ و شرایط مرزی ‏۳‑۲ و ‏۳‑۳ بدست آمده است.
ابعاد هندسی، خواص مکانیکی نانولوله کربنی و ثابت ‌های نیرویی در جدول زیر آمده است.
جدول ‏۳‑۱: پارامترهای هندسی و خواص مکانیکی نانولوله کربنی وثابت‌های نیرویی

نمودار اعتبارسنجی: شکل ‏۳‑۱ برای بررسی صحت کار حاضر و مقایسه با مدل نانوسوییچ کربنی یکسرگیردار روتکین [۲۱] رسم شده است(تصویر نمودار مقاله داخل شکل قرار گرفته‌است). ولتاژ پولین استاتیک حدوداً ۱٫۰۲ بدست‌ آمده است. رفتار دو نمودار کاملاً شبیه هستند و ناپایدارشدن و ریزش هر دو نانولوله نزدیکی نقطه ۱ اتفاق می‌افتد. در این مقاله ولتاژ پولین با صرف‌نظر از اثر نیروی واندروالس ۰٫۹۸گزراش شده است. اختلاف ناچیز می‌تواند به خاطر مدل ریاضی متفاوت نیروی الکتریکی روی نانولوله استوانه‌ای در این مقاله با کار حاضر باشد.

شکل ‏۳‑۱: منحنی اعتبار سنجی. جابجایی ماکزیمم برحسب ولتاژ- مقایسه کار حاضر با مدل روتکین ]۲۱[
اثر پارامتر غیر موضعی روی ولتاژ ناپایداری استاتیکی: در شکل ‏۳‑۲ اثر پارامتر غیرموضعی در غیاب نیروی واندروالس نشان داده شده است. به خاطر اختلاف نسبتاً زیاد ولتاژ پولین از جهت حضور و عدم‌ حضور اثر پارامتر غیرموضعی بالا در معادلات، مقدار آن ۰٫۰۵ فرض می‌شود. در نزدیکی نقطه ناپایداری اختلاف رفتار دو منحنی محسوس‌تر است. منطقه بزرگنمایی ناپایداری نانولوله را با زیاد شدن اندک ولتاژ بخوبی نشان می‌دهد. با نزدیکی به ولتاژ پولین (قبل از ناپایداری)، روند افزایش جابجایی‌ها شدت می‌یابد تا جایی‌که به نقطه ناپایداری رسیده و ریزش می‌کند و بعد از ناپایداری با زیاد کردن ولتاژ رفتار تیر بهم ریخته و نظم صعودی پیشین خود را از دست می‌دهد. در پاسخ به علت چنین رفتاری می‌توان به چند دلیل اشاره کرد.
همانطور که پیشتر گفته‌ شد روش حل دقیق برای بدست آوردن نقطه دقیق ناپایداری وجود ندارد[۴۳]. از اینرو پیدا کردن الگوریتم و روش حل عددی مناسب برای حساب کردن خیز استاتیک در نزدیکی پولین و از اینرو تعیین محل دقیق ولتاژ پولین استاتیک بسیار سخت است. با نزدیکی به پولین الگوریتم‌های عددی قادر به همگرایی معادلات نیستند و جواب‌ها واگرا خواهند شد.
علت دیگر ذاتِ سختی^[۵۳] معادله دیفرانسیل به خاطر ترم‌های غیرخطی است. با افزایش ولتاژ و نزدیک شدن به نقطه ناپایداری ارضای شرایط مرزی همگن معادله دیفرانسیل و مشکل می‌شود، و مسأله مقدار مرزی به اصطلاح سختتر^[۵۴] می‌‌شود.
به همین خاطر بدست آوردن نقطه ناپایداری با دقت بالا در حد یک‌هزارم، با افزایش ۰٫۰۱ امی ولتاژ در کار حاضر امکان پذیر نیست.

شکل ‏۳‑۲: اثر پارامترغیرموضعی روی ولتاژ ناپایداری استاتیکی
با انتخاب مقدار ۰٫۱ برای پارامتر غیرموضعی، افزایش چشمگیر ۰٫۵امی ولتاژ پولین در تصویر کاملا واضح است(شکل ‏۳‑۳). البته حضور پارامتر غیرموضعی رفتار منحنی جابجایی را تغییر می‌دهد که در ادامه علت آن توضیح داده خواهد شد.

شکل ‏۳‑۳: نمودار جابجایی سر آزاد تیر- برحسب ولتاژ به ازای پارامتر غیر موضعی (۰٫۱)
اثر نیروی واندروالس روی ولتاژ ناپایداری استاتیکی: دو منحنی شکل ‏۳‑۴ حضور و عدم حضور نیروی واندروالس روی جابجایی سر نانولوله یکسرگیردار را در گپ^[۵۵] اولیه ۴ نانومتر نشان می‌دهند، هرچه نانولوله حین افزایش ولتاژ به طرف صفحه زیرین کشیده می‌شود و فاصله آن با صفحه کمتر و کمتر می‌شود، اثر نیروی واندروالس در نقش یک نیروی جاذب کششی روی تیر قویتر می‌شود. جدا شدن دو منحنی گویای چنین پدیده‌ای است. افزایش فاصله بین آن دو تا نزدیکی‌های پولین ادامه می‌یابد تا یکی از نانولوله ها در ولتاژ ۱٫۵۲ و دیگری در ۱٫۶۰ ریزش ‌کنند.

شکل ‏۳‑۴: اثر نیروی واندروالس روی ولتاژ ناپایداری استاتیکی
تاثیر گپ(فاصله اولیه) بین نانولوله و صفحه زیرین: در بخش قبل اشاره‌ای به شکل رفتار منحنی جابجایی تیرها با فرض تئوری تنش غیرمحلی شد. پیش‌بینی جابجایی تیرها با شرایط مرزی معین از روی ظاهر مسأله، مشابه با همان تابع جابجایی ‌است که با فرض تئوری تنش محلی از معادله دیفرانسیل حاکم بر تیر بدست می‌آید. ولیکن با درنظرگرفتن تئوری تنش غیرمحلی، معادله دیفرانسیل حاکم و همچنین شرایط مرزی طبیعی آن تغییر می‌کند. با حل معادلات و رسم تابع جابجایی تیر، تغییر رفتار خیز تیر به خاطر پارامتر غیرموضعی علیرغم آنچه که از ظاهر فیزیکی مسأله انتظار می‌رود قابل توجه خواهد بود().

شکل ‏۳‑۵: اثر پارامتر غیرموضعی در تغییر رفتار تیریکسرگیردار تحت بارگذاری سهموی
به عنوان مثال برای تیر یکسرگیردار، سر آزاد تیر حین بارگذاری همیشه بیشترین جابجایی را دارد، ولی فرض تئوری غیرمحلی می‌تواند، مکان نقطه ماکزیمم جابجایی را در طول تیر عوض کند(). شاید علت رفتار منحنی‌ها در شکل ‏۳‑۶ را بتوان در پارامتر غیرموضعی جستجو کرد. آنچه که از نمودار شکل ‏۳‑۶ و نمودارهای قبلی برداشت می‌شود، بدین شرح است: در منحنی با گپ ۱ نانومتر نقطه عطف منحنی(عوض شدن تقعر) که افزایش جابجایی در آن آشکار است(ولتاژ ۰٫۲۲)، در نبود اثر غیرموضعی به عنوان ولتاژ پولین معرفی شد(). ولی با فرض ، تیر در آن ولتاژ ناپایدار نمی‌شود و افزایش ولتاژ تا ۰٫۳۱ برای رسیدن به نقطه پولین ادامه می‌یابد. دلیل اصلی تغییر در رفتار نمودار و تاخیر قابل توجه در پولین حین زیاد کردن ولتاژ، حضور پارامتر غیرموضعی نسبتاً بزرگ در شرط مرزی انتهای تیر یکسرگیردار است.

شکل ‏۳‑۶: تغییر رفتار نمودار جابجایی انتهای تیریکسرگیردار برحسب ولتاژ با () در ازای گپ‌های ۱و۲و۳ نانومتری قبل از پولین
نیروی‌های واندروالسی در حالت‌های خاص غالب و تأثیرگذار هستند و در سایر حالت می‌توانند قابل‌صرف نظرکردن باشند. اهمیت نیروهای واندروالس به فاصله گپ بین نانولوله و صفحه زیرین بستگی دارد. مثلاً برای تیر دوسرگیردار در گپ‌های حدود ۲ تا ۳ نانومتر، صرف‌نظر کردن از نیروی واندروالس منجر به چند برابر شدن ولتاژ پولین استاتیک می‌شود. ولی در گپ‌های بالاتر از ۴ نانومتر، نیروهای واندروالس در در پدیده پولین چندان تأثیرگذار نیستند. ولی استفاده از تئوری غیر محلی می‌تواند مانند قبل نقش پارامتر غیرموضعی را در اختلاف میان ولتاژهای پولین در مسأله ای که حضور و عدم حضور نیروی واندروالس را بررسی می‌کند آشکارتر سازد. چناچه که در شکل ‏۳‑۷ مشاهده می‌شود، به ازای پارامتر غیرموضعی مشخص، ولتاژ پولین در نموداری که نیروی واندروالس حضور دارد، نسبت به نمودار مجاورش (بدون حضور این نیرو) تغییر قابل ملاحظه‌ای داشته ‌است. این درحالی است، که در دو نمودار رسم شده با پارامتر غیرموضعی صفر(تئوری کلاسیک) ولتاژ پولین تغییر چندانی نکرده است.