ﻋﺒﺎرت ﺑﺎﻻ ﺷﺎﻣﻞ ﻳﻚ ﺟﻤﻠﻪ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f و ﻳﻚ ﺟﻤﻠﻪ ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ آﻧﭽﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺻﻮرت ﻣﻲ ﭘﺬﻳﺮد در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺿﺮب ﻧﻤﻮدن ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎﻧﻲ در ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ اﺳﺖ ﻛﻪ در واﻗﻊ ﺗﺮﻛﻴﺒﻲ از دو ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. در ﮔﺎم ﺑﻌﺪ، از اﻳﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮي زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻲ ﺷﻮد. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن ﺑﻬﺘﺮ، ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎط اﻳﻦ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺟﻤﻊ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. در ﻧﻬﺎﻳﺖ اﮔﺮ ﺣﺎﺻﻞ اﻳﻦ اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮي ،ﻛﻪ ﭼﻴﺰي ﺟﺰ ﻧﻮﻋﻲ ﺟﻤﻊ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﻧﻴﺴﺖ، ﻋﺪدي ﺑﺰرگ ﺑﺎﺷﺪ، آﻧﮕﺎه ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ ﺳﻴﮕﻨﺎل (x(t ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f دارد. اﮔﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻘﺪاري ﻛﻮﭼﻚ ﺑﺎﺷﺪ، میﮔﻮﺋﻴﻢ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ f در اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻏﺎﻟﺐ ﻧﻴﺴﺖ. ﺻﻔﺮ ﺑﻮدن ﺣﺎﺻﻞ اﻧﺘﮕﺮال ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎي ﻋﺪم وﺟﻮد ﭼﻨﻴﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ. ﺑﺮاي آن ﻛﻪ ﺑﺮرﺳﻲ دﻗﻴﻖﺗﺮی ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻋﻤﻠﻜﺮد اﻳﻦ اﻧﺘﮕﺮالﮔﻴﺮي داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ، ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل داراي ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻏﺎﻟﺐ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺸﺨﺺ f ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺎ ﺿﺮب اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﺟﻤﻠﻪ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻫﻤﺎن ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ، ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻏﺎﻟﺐ و ﺟﻤﻠﻪ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺮ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ اﻧﻄﺒﺎق ﻳﺎﻓﺘﻪ و ﻟﺬا ﻣﻘﺪار ﻋﺪدي ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ﻧﺴﺒﺘﺎً ﺑﺰرگ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ دارد. ﺷﺎﻳﺎن ذﻛﺮ اﺳﺖ، اﻧﺘﮕﺮال ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺮ روي ﻣﺘﻐﻴﺮ زﻣﺎن ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺣﺎل آنﻛﻪ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ، راﺑﻄﻪ (2-3) ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ازاي ﻛﻠﻴﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ f ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮔﺮدد. دﻗﺖ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻛﻪ ﺣﺪود اﻧﺘﮕﺮال راﺑﻄﻪ (2-3) از ∞− ﺗﺎ ∞+ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ از اﻫﻤﻴﺖ وﻳﮋه اي ﺑﺮﺧﻮردار اﺳﺖ. ﭼﺮا ﻛﻪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻌﺒﻴﺮ، ﻫﻴﭻ ﺗﻔﺎوﺗﻲ ﻧﺪارد ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f در ﻛﺠﺎي زﻣﺎن ﺣﻀﻮر داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ، ﻳﻚ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻏﺎﻟﺐ، ﺻﺮف ﻧﻈﺮ از اﻳﻦ ﻛﻪ در ﭼﻪ زﻣﺎنﻫﺎﻳﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻇﺎﻫﺮ ﺷﻮد، ﺣﺎﺻﻞ اﻧﺘﮕﺮال را ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﻴﺰان ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻗﺮار ﻣﻲدﻫﺪ. اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ، ﻧﺎﻛﺎرآﻣﺪي ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ را در آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺘﻐﻴﺮ دارﻧﺪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. اﻳﻦﮔﻮﻧﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎ در اﺻﻄﻼح ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ[32] ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ.
از ﺑﺤﺚ ﺑﺎﻻ ﻣﻲﺗﻮان ﭼﻨﻴﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮي ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻴﺎنﻛﻨﻨﺪه اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ وﺟﻮد دارد ﻳﺎ ﺧﻴﺮ، اﻣﺎ ﻫﻴﭻ ﻧﻮع اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ در ﻣﻮرد ﺑﺎزه زﻣﺎﻧﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﭘﺪﻳﺪاري آن ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در اﺧﺘﻴﺎر ﻧﻤﻲﮔﺬارد. ﻟﺬا ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﻳﺎ ﻧﺒﻮدن ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﭘﻴﺶ از اﻧﺠﺎم آﻧﺎﻟﻴﺰ ﻓﻮرﻳﻪ اﻟﺰاﻣﻲ اﺳﺖ. اﻛﻨﻮن ﺑﻪ دﻧﺒﺎل اﻳﻦ ﻫﺴﺘﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﻮﻋﻲ، اﻃﻼﻋﺎت زﻣﺎﻧﻲ را در ﻛﻨﺎر ﻣﺸﺨﺼﺎت ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل وارد ﻛﻨﻴﻢ. اوﻟﻴﻦ ﺗﻼش در اﻳﻦ زﻣﻴﻨﻪ ﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن ﻛﻮﺗﺎه ﺑﺮﻣﻲ ﮔﺮدد.
ﺑﺮاي آﺷﻨﺎﻳﻲ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﺎ ﻛﺎرﻛﺮد ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ و ﺿﻌﻒ آن در ﻣﺸﺨﺺ ﺳﺎزي ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ زﻣﺎﻧﻲ ﻓﺮﻛﺎ-نسﻫﺎي ﻣﻮﺟﻮد در ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﻣﺜﺎل زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل x1(t)ﻣﺨﻠﻮﻃﻲ از 4 ﺗﺎﺑﻊ ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎي 5، 20 ،10 و 50 ﻫﺮﺗﺰ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ در ﺗﻤﺎم زﻣﺎن ﻫﺎ ﺣﻀﻮر دارﻧﺪ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل x2(t)ﻣﺨﻠﻮﻃﻲ از ﻫﻤﺎن 4 ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻔﺎوت ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺪام از ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎ ﻓﻘﻂ در ﻳﻚ ﺑﺎزه زﻣﺎﻧﻲ ﺧﺎص ﺣﻀﻮر دارﻧﺪ. ﺷﻜﻞ (4-2) اﻳﻦ دو ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ آن ﻫﺎ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ. آﻧﭽﻨﺎﻧﻜﻪ دﻳﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد در ﻫﺮ دو ﻃﻴﻒ، 4 ﻗﻠﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎي 20 ،10 ،5 و 50 ﻫﺮﺗﺰ وﺟﻮد دارد. اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺼﺮي ﻣﻲﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﻃﻴﻒ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻟﻒ، ﻓﻘﻂ داراي 4 ﻗﻠﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﭘﻴﻚ ، ﺣﻮل ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺧﻮد ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. در ﺣﺎﻟﻲ ﻛﻪ ﻃﻴﻒ ﺳﻴﮕﻨﺎل ب، ﻋﻼوه ﺑﺮ 4 ﻗﻠﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ، داراي ﻧﻮﺳﺎﻧﺎت و ﻗﻠﻪ ﻫﺎي ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ دﻳﮕﺮي در ﺳﺎﻳﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎ ﻧﻴﺰ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ.
شکل 2 - 4 دو نمونه سیگنال شامل مخلوطی از فرکانس های 5 ، 10 ، 20 ، 50 هرتز و تبدیل فوریه آنها [4]
(اﻟﻒ) ﻣﺨﻠﻮط ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺷﺎﻣﻞ ﺗﻤﺎم ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎ در ﺗﻤﺎم زﻣﺎن ﻫﺎ، (ب) ﻣﺨﻠﻮط ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ ﻫﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻓﻘﻂ در ﻳﻚ ﺑﺎزه زﻣﺎﻧﻲ ﺑﻪ ﺧﺼﻮص ﺣﻀﻮر دارد، (پ) ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻟﻒ، (ت) ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ب.
3-3-2 ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه[33]
در ﺑﺨﺶ ﭘﻴﺶ دﻳﺪﻳﻢ ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ در آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎي ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ ﺿﻌﻒ دارد. ﺳﺎدهﺗﺮﻳﻦ اﻳﺪه اي ﻛﻪ ﺑﻪ ذﻫﻦ ﻣﻲرﺳﺪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺨﺶ ﻛﻮﺗﺎﻫﻲ از ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ را اﻳﺴﺘﺎ ﻓﺮض ﻧﻤﻮد. اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ در ﺷﻜﻞ (2-4 ب) ﻧﻴﺰ ﺑﻪ وﺿﻮح دﻳﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد، ﭼﺮا ﻛﻪ ﺑﻪ وﺿﻮح اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ در ﻫﺮ ﺑﺎزه 0.5 ﺛﺎﻧﻴﻪاي اﻳﺴﺘﺎ اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺎ ﭘﻨﺠﺮه ﻛﺮدن ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﺑﺨﺸﻲ از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻛﻪ ﻗﺮار اﺳﺖ اﻳﺴﺘﺎ ﻓﺮض ﺷﻮد را اﺳﺘﺨﺮاج ﻧﻤﻮد. اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ ﻛﻪ اﻧﺪازه ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻧﺤﻮي اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮد ﻛﻪ ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﺑﺮاي ﺗﻤﺎم ﺑﺨﺶﻫﺎي ﺟﺪا ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ آن، ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﻜﺎت ﺑﺎﻻ ﻣﻲ ﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﺑﻴﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ و ﻧﺴﺨﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه آن ﺗﻔﺎوت ﭼﻨﺪاﻧﻲ وﺟﻮد ﻧﺪارد. ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻔﺎوت اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ ﺑﺨﺶﻫﺎي ﺑﻪ ﺣﺪ ﻛﺎﻓﻲ کوچک ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ ﺑﺘﻮان اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖﻫﺎ را اﻳﺴﺘﺎ ﻓﺮض ﻧﻤﻮد. ﺑﺪﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر از ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه w اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻃﻮل آن ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ﻃﻮل ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز ﺑﺮاي آن ﻛﻪ ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﻗﻄﻌﺎت ﺟﺪاﺷﺪه ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻌﺘﺒﺮ ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﺳﻴﮕﻨﺎل (x(t ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ (w(t ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﺷﻮد:
(2-6)
ﻛﻪ در آن f ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ و τ ﻣﺘﻐﻴﺮ زﻣﺎﻧﻲ اﺳﺖ. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه، ﻫﻤﺎن ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه اﺳﺖ. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺑﺎ ﺷﺮوع از اﺑﺘﺪاي ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺿﺮب ﺷﺪه و ﺳﭙﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲ ﮔﺮدد. در ﮔﺎم ﺑﻌﺪ، ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻣﻴﺰان τ ﺷﻴﻔﺖ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ و روﻧﺪ ﻗﺒﻞ ﻣﺠﺪداً ﺗﻜﺮار ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻣﻘﺪار τ و f ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﮔﺮدد. ﻧﺤﻮه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه و ﻧﻘﺶ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه در ﺷﻜﻞ (2-5) ﺑﻪ ﺻﻮرت ﮔﺮاﻓﻴﻜﻲ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﺎ دﻗﺖ در راﺑﻄﻪ (2-6) درﻣﻲﻳﺎﺑﻴﻢ ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه ﻧﻮﻋﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ ﭼﺮا ﻛﻪ ﺧﺮوﺟﻲ آن داراي دو ﺑﻌﺪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f و ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ زﻣﺎﻧﻲ τ اﺳﺖ. ﻟﺬا ﺑﺎ اﺣﺘﺴﺎب داﻣﻨﻪ ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ، ﻣﻲ ﺗﻮان ﺷﻜﻞ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﻧﻤﻮدار ﺳﻪ ﺑﻌﺪي اراﺋﻪ ﻧﻤﻮد.
شکل 2 - 5 نمایش گرافیکی نحوه پنجره کردن سیگنال غیر ایستا به منظور محاسبه تبدیل فوریه زمان کوتاه[4]
ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ دارﻳﻢ ﻛﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﻴﭻ ﮔﻮﻧﻪ ﻣﺸﻜﻞ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻧﺪاﺷﺘﻴﻢ، ﭼﺮا ﻛﻪ دﻗﻴﻘﺎً ﻣﻲداﻧﺴﺘﻴﻢ ﭼﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎﻳﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮﺟﻮد ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ (اﻣﺎ از ﻣﺤﻞ زﻣﺎﻧﻲ آن ﻫﺎ اﻃﻼﻋﻲ در دﺳﺖ ﻧﺒﻮد). ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ، در ﺣﻮزه زﻣﺎن، ﻣﻘﺪار ﺳﻴﮕﻨﺎل را در ﻫﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻲداﻧﺴﺘﻴﻢ و ﻟﺬا ﻫﻴﭻ ﻣﺸﻜﻠﻲ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﻧﺪاﺷﺘﻴﻢ. ﺑﺎﻟﻌﻜﺲ، رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ و رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﺣﻮزه زﻣﺎن در تبدیل ﻓﻮرﻳﻪ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ، ﭼﺮا ﻛﻪ ﺣﻮزه ﻣﻮردﻧﻈﺮ، ﻫﻴﭻ ﮔﻮﻧﻪ اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ از آنﻫﺎ در اﺧﺘﻴﺎر ﻣﺎ ﻗﺮار ﻧﻤﻲ دﻫﺪ. از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ آﻧﭽﻪ ﻛﻪ ﺳﺒﺐ ﻣﻲ ﺷﻮد در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ را دارا ﺑﺎﺷﻴﻢ، در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻫﻤﺎن ﻫﺴﺘﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ(exp(− j2πft اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺗﻤﺎم زﻣﺎن ﻫﺎ، از ∞− ﺗﺎ ∞+ ﺣﻀﻮر دارد. ﺣﺎل آﻧﻜﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، ﻃﻮل ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺳﺒﺐ ﻛﺎﻫﺶ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻣﻲ ﮔﺮدد. ﺑﺪﻳﻦﺳﺎن در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، دﻗﻴﻘﺎً ﻧﻤﻲداﻧﻴﻢ ﭼﻪ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﺑﻠﻜﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻚ ﻣﺤﺪوده (ﻳﻚ ﺑﺎﻧﺪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ) ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ. ﻟﺬا ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻣﺤﺪود ﺑﻮدن ﻃﻮل ﭘﻨﺠﺮه، رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. دﻗﺖ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﻫﺮﭼﻪ ﻃﻮل ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﺑﺰرﮔﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ، ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﭘﻴﺶ ﻣﻲ روﻳﻢ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ ﺑﺰرگ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ. ﺣﺎل آنﻛﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﻳﻚ ﭘﻨﺠﺮه ﺑﺰرگ ﻛﻢ اﺳﺖ. در ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻘﺎﺑﻞ، ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ ﻛﻮﭼﻚ، رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺧﻮﺑﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ اﻣﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻧﺎﻣﻨﺎﺳﺐ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. از آﻧﺠﺎ ﻛﻪ ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ در ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ، ﻟﺬا ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ، ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﻧﻮﻋﻲ ﻣﺼﺎﻟﺤﻪ ﺑﻴﻦ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻗﺎﺋﻞ ﺷﻮﻳﻢ، ﭼﺮا ﻛﻪ ﻧﻤﻲﺗﻮان ﻫﻤﺰﻣﺎن ﻫﺮ دو را ﺧﻮب ﻛﺮد.
ﺑﺎ اﻓﺰودن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻓﺮﻣﻮل ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، ﺑﻪ ﻧﺴﺨﻪ ﺟﺪﻳﺪي رﺳﻴﺪﻳﻢ ﻛﻪ اﻃﻼﻋﺎت ﺗﻮأم زﻣﺎﻧﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ را درﺑﺮدارد. ﺗﻨﻬﺎ ﻣﺴﺄﻟﻪاي ﻛﻪ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﻲﻣﺎﻧﺪ، اﻧﺘﺨﺎب اﻧﺪازه ﭘﻨﺠﺮه اﺳﺖ. ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ ﻛﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﭘﻨﺠﺮه ﺑﺎ ﻃﻮل ﺑﺰرﮔﺘﺮ ﻫﺮﭼﻨﺪ ﺑﻪ اﻓﺰاﻳﺶ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻛﻤﻚ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ، اﻣﺎ ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﻗﻄﻌﻪﻫﺎي ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺗﺤﺖ اﻟﺸﻌﺎع ﻗﺮار ﻣﻲدﻫﺪ. ﭘﺎﺳﺦ اﻳﻦ ﻣﺴﺄﻟﻪ ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮد ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد و ﻏﺎﻟﺒﺎً ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﻲﺗﻮان ﻃﻮﻟﻲ از ﭘﻨﺠﺮه را اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻤﻮد ﻛﻪ در ﻋﻴﻦ ﺣﻔﻆ اﻋﺘﺒﺎر ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎﻳﻲ، رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮﻟﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. اﻣﺎ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ دﺷﻮاري اﻳﻦ روﻳﻜﺮد و واﺑﺴﺘﮕﻲ آن ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل، اﻳﺪه اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻮﻋﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑﻪ ذﻫﻦ رﺳﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﭘﻴﺪاﻳﺶ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺮدﻳﺪ. در اداﻣﻪ ﺑﺎ اﻳﺪه آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪرزوﻟﻮﺷﻨﻪ و ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک آﺷﻨﺎ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺷﺪ.
4-3-2 آﻧﺎﻟﻴﺰ چند رزولوشنه [34]
ﻣﺸﻜﻞ رزوﻟﻮﺷﻦ ﺛﺎﺑﺖ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه رﻳﺸﻪ در اﺻﻞ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ[35] دارد. ﻃﺒﻖ اﻳﻦ اﺻﻞ ﻧﻤﻲﺗﻮان ﺗﻮﺻﻴﻒ زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖ داﺷﺖ، ﻳﻌﻨﻲ ﻧﻤﻲ ﺗﻮان ﻓﻬﻤﻴﺪ ﻛﻪ در ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖ ﭼﻪ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﭼﻪ زﻣﺎن ﻫﺎﻳﻲ وﺟﻮد دارد، ﺑﻠﻜﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻣﻲﺗﻮان ﻓﻬﻤﻴﺪ ﻛﻪ در ﻛﺪام ﺑﺎزه ﻫﺎي زﻣﺎﻧﻲ، ﭼﻪ ﺑﺎﻧﺪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ. اﻳﻦ اﺻﻞ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم رزوﻟﻮﺷﻦ ﺑﺮﻣﻲﮔﺮدد.
اﮔﺮﭼﻪ ﻣﺸﻜﻼت رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎن و ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻳﻚ ﭘﺪﻳﺪه ﻓﻴﺰﻳﻜﻲ (اﺻﻞ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ) ﺑﻮده و رﺑﻄﻲ ﺑﻪ ﻧﻮع ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻧﺪارد، ﻣﻲ ﺗﻮان از ﻳﻚ روﻳﻜﺮد ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﺑﺮاي ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد ﻛﻪ اﺻﻄﻼﺣﺎً آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪرزوﻟﻮﺷﻨﻪ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد. در اداﻣﻪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﺑﻴﺸﺘﺮ آﺷﻨﺎ ﺷﺪه و ﻧﻬﺎﻳﺘﺎً از آن ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺳﻨﮓ ﺑﻨﺎي ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻬﺮه ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺑﺮد.
ﻣﻨﻈﻮر از آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ، ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻫﺎي ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، ﺑﺮ ﺧﻼف ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه، در آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ، ﺑﺎ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻳﻜﺴﺎن رﻓﺘﺎر ﻧﻤﻲﺷﻮد. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻫﺪف آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ، اراﺋﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻨﺎﺳﺐ و رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻧﺎدﻗﻴﻖ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﺑﺎﻻ و در ﻣﻘﺎﺑﻞ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺧﻮب و رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺿﻌﻴﻒ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ اﺳﺖ. اﻳﻦ روﻳﻜﺮد ﺑﻪ وﻳﮋه در ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ داراي ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﻻ در ﻣﺪت زﻣﺎن ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻮده و ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﭘﺎﺋﻴﻦ آنﻫﺎ ﺑﺮاي ﺑﺎزهﻫﺎي ﺑﻠﻨﺪ زﻣﺎﻧﻲ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﻲ ﻣﺎﻧﻨﺪ، ﻣﻔﻴﺪ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻪ وﻳﮋه اﻳﻦﻛﻪ اﻛﺜﺮ ﻗﺮﻳﺐ ﺑﻪ اﺗﻔﺎق ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ در ﻋﻤﻞ ﺑﺎ آن ﻫﺎ ﻣﻮاﺟﻪ ﻫﺴﺘﻴﻢ از اﻳﻦ ﻧﻮع ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل، ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻟﻜﺘﺮوﻛﺎردﻳﻮﮔﺮافی[36] ،ﻧﻮار ﻗﻠﺐ، را درﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل داراي ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻧﺴﺒﺘﺎً ﭘﺎﺋﻴﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺳﺮﺗﺎﺳﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل وﺟﻮد دارد ،ﺧﻂ ﭘﺎﻳﻪ و ﻗﻄﻌﺎت ﺑﻴﻦ ﻣﻮجﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻧﻮار ﻗﻠﺐ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل داراي ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﻻﻳﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺮاي ﻳﻚ دوره زﻣﺎﻧﻲ ﻛﻮﺗﺎه و در اواﺳﻂ ﻫﺮ ﺳﻴﻜﻞ از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻇﺎﻫﺮ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. اﻳﻦ ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎ ﻫﻤﺎن ﻣﻮجﻫﺎيPQRST ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. در اداﻣﻪ، ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺑﺰاري ﺑﺮاي آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ. اما قبل از آن با مفهوم موجک به عنوان پایه ای برای تبدیل موجک آشنا خواهیم شد .
5-3-2 آشنایی با موجک
واژه موجک ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎي ﻣﻮج ﻛﻮﭼﻚ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺑﺮﺧﻲ ﺗﺮﺟﻤﻪ ﻫﺎی فارسی ، ﺗﻌﺒﻴﺮ ویولت ﺑﺮاي آن آورده ﺷﺪه اﺳﺖ. دﻟﻴﻞ اﺳﺘﻔﺎده از واژه ﻛﻮﭼﻚ، ﻣﺤﺪود ﺑﻮدن و ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻮدن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ﻋﻠﺖ اﺳﺘﻔﺎده از واژه ﻣﻮج ﻧﻴﺰ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻧﻮﺳﺎﻧﻲ اﻳﻦ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ.[5]
موجک یک تابع نوسانی در یک زمان محدود می باشد که میانگین مقادیر آن در طول زمان صفر می باشد . به عبارت دقیقتر یک تابع وقتی موجک نامیده می شود که دارای شرایط زیر باشد .
-
- یک تابع با ماهیت نوسانی
-
- در یک بازه زمانی محدود
-
- میانگین مقادیر آن در طول زمان صفر باشد .
توابع موجک بسیار زیادی موجود می باشند که ساده ترین آنها موج هار می باشد .
اگر موجک را با سینوس که پایه تبدیل فوریه می باشد مقایسه کنیم می بینیم که سینوس یک دوره محدود ندارد بلکه از منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت ادامه می یاید . و در حالیکه رفتاری قابل حدث و لطیف دارد . اما در مقابل موجک دارای رفتاری نامنظم و شکلی نا متقارن می باشد .
شکل 2 - 6 موج سینوسی در مقایسه با موجک [10]
همانطور که در بخش قبل دیدیم آنالیز فوریه ، شامل شکستن یک سیگنال به مولفه های سینوسی با فرکانس های مختلف می باشد . به طور مشابه ، آنالیز موجک شامل شکستن سیگنال به نسخه های شیفت یافته شده و مقیاس شده از موجک مادر می باشد .
فقط با یک نگاه کلی به تصویر (6-2) موج سینوسی و موجک می توانید درک کنید که سیگنال های با تغییرا ت سریع می توانند به صورت بهتری توسط موجک نامنظم در مقابل موج سینوسی با رفتاری لطیف تجزیه و تحلیل شوند . [10]
6-3-2 تبدیل موجک پیوسته [37]
تبدیل موجک پیوسته به صورت مجموع حاصظرب سیگنال در تابع موجک در شیفت های زمانی و با مقیاس های متفاوت تعریف شده است .
(2-7)
حاصل تبدیل موجک پیوسته ضرایبی می باشند که تابعی از مقیاس و مکان می باشند. [10]
ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان روﺷﻲ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﺑﺮ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه اراﺋﻪ ﮔﺮدﻳﺪ و ﻫﺪف آن، ﻓﺎﺋﻖ آﻣﺪن ﺑﺮ ﻣﺸﻜﻼت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه اﺳﺖ. در آﻧﺎﻟﻴﺰ موجک، ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ در ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ (موجک) ﺿﺮب ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻧﻘﺶ ﻫﻤﺎن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه را دارد. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﻗﺒﻞ، ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮ روي ﻗﻄﻌﻪﻫﺎي زﻣﺎﻧﻲ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻧﺠﺎم ﻣﻲ ﺷﻮد. اﻣﺎ ﻣﺎﻫﻴﺘﺎً دو اﺧﺘﻼف ﻋﻤﺪه ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه دارد
1- در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻧﻤﻲ ﺷﻮد و ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﭘﻴﻚﻫﺎي ﻣﻨﻔﺮد ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻳﻚ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ، ﻳﺎ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎي ﻣﻨﻔﻲ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﻲ ﺷﻮد.
2- در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﻋﺮض ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻣﻮازات ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺣﺘﻢ این خاصیت ﻣﻬﻤﺘﺮﻳﻦ وﻳﮋﮔﻲ از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک اﺳﺖ.
ﺑﺮ اﻳﻦ اﺳﺎس، ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﮔﺮدد:
(2-8)
ﻛﻪ در آن τ وs ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎي اﻧﺘﻘﺎل و ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻣﻔﻬﻮم اﻧﺘﻘﺎل دﻗﻴﻘﺎً ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم اﻧﺘﻘﺎل زﻣﺎﻧﻲ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻴﺰان ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ﭘﻨﺠﺮه را ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻲ ﻛﻨﺪ و ﺑﻪ وﺿﻮح، اﻃﻼﻋﺎت زﻣﺎﻧﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ را درﺑﺮدارد. اﻣﺎ ﺑﺮ ﺧﻼف ﺗﺒﺪﻳﻞ فوریه زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ را ﻧﺪارﻳﻢ. در ﻋﻮض، ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎس را دارﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻌﻜﻮس ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ارﺗﺒﺎط دارد. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ s =1/ f. ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻘﻴﺎس ﺟﻠﻮﺗﺮ آﺷﻨﺎ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺷﺪ. در راﺑﻄﻪ (8-2) ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه اﺳﺖ ﻛﻪ اﺻﻄﻼﺣﺎً موجک ﻣﺎدر[38] ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد . واژه ﻣﺎدر ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺗﻤﺎﻣﻲ ﻧﺴﺨﻪﻫﺎي اﻧﺘﻘﺎل ﻳﺎﻓﺘﻪ و ﻣﻘﻴﺎس ﺷﺪه، ﻫﻤﮕﻲ از روي ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ اوﻟﻴﻪ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲآﻳﻨﺪ ﻛﻪ اﺻﻄﻼﺣﺎً موجک ﻣﺎدر ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن ﻋﻠﻤﻲ، موجک ﻣﺎدر، ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ اﻟﮕﻮ (proptotype) ﺟﻬﺖ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺳﺎﻳﺮ ﭘﻨﺠﺮه ﻫﺎ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ .
ما در حال حاضر با این واقعیت که آنالیز موجک یک دید زمان – مقیاس از سیگنال به ما می دهد آشنا هستیم . در بخش های بعدی می خواهیم با مفاهیم مقیاس و انتقال موجک آشنا شویم .
7-3-2 مقیاس[39]
مقیاس کردن موجک به طور ساده به معنی بسط دادن ،فشرده کردن ، آن می باشد موجک مادر می باشد . شکل (7-2) مفهوم مقیاس کردن را به خوبی نمایش می دهد.
شکل 2 - 7 مقیاس کردن موجک ، a بیانگر مقیاس می باشد .[10]
آﻧﭽﻨﺎﻧﻜﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﻋﻨﻮان ﺷﺪ، در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﺟﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ، ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎس وﺟﻮد دارد. ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ از ﻣﻌﻨﻲ اﻳﻦ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺑﺮﻣﻲ آﻳﺪ، ﻧﻮﻋﻲ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻘﻴﺎس درون آن ﻧﻬﻔﺘﻪ اﺳﺖ. درﺳﺖ ﺑﻪ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻘﻴﺎس در ﻧﻘﺸﻪ، در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻧﻴﺰ ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﺑﺰرگ، ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻳﻚ دﻳﺪ ﻛﻠﻲ و ﻓﺎرغ از ﺟﺰﺋﻴﺎت ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ (ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ) و ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﻛﻮﭼﻚ، ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻧﮕﺎه ﺑﻪ ﺟﺰﺋﻴﺎت ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ و ﻟﺬا در ﺗﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎي ﺑﺎﻻ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.
ﻣﻘﻴﺎس ﻛﺮدن، ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ اﭘﺮاﺗﻮر رﻳﺎﺿﻲ، ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﻣﻨﻘﺒﺾ ﻳﺎ ﻣﻨﺒﺴﻂ ﻣﻲﻛﻨﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، در مقیاس های ﺑﺎﻻ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻨﺒﺴﻂ ﻣﻲ ﺷﻮد، ﺟﺰﺋﻴﺎت را ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ و در ﻣﻘﻴﺎس ﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻨﻘﺒﺾ ﻣﻲ ﺷﻮد، ﻛﻠﻴﺎت را ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ. ﺗﻮﺟﻪ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﻘﻴﺎس در ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، در ﻣﺨﺮج ﻇﺎﻫﺮ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﻪ ازاي ﻣﻘﺎدﻳﺮs >1 ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻨﺒﺴﻂ ﺷﺪه و ﺑﻪ ازاي s <1 ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻓﺸﺮده ﻣﻲﮔﺮدد.[9]
8-3-2 انتقال [40]
در بخش قبل مفهوم مقیاس کردن را با نمایش یک شکل به خوبی نشان دادیم . در این بخش نیز می خواهیم مفهوم انتقال را با نمایش شکل بیان کنیم . شکل 2-8 مفهوم انتقال را به خوبی نمایش می دهد . [10]
شکل 2 - 8 انتقال تابع موجک[10]
9-3-2 پنج مرحله تا رسیدن به تبدیل موجک پیوسته
تبدیل موجک پیوسته به صورت مجموع حاصظرب سیگنال در تابع موجک در انتقال های زمانی و با مقیاس های متفاوت می باشد. این فرایند ضرایبی تولید می کند که تابعی از مقیاس و مکان می باشند.
آخرین نظرات