شکل 4- 4- تغییر مکان در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 56
شکل 4- 5 – تغییر مکان در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طولوعرض …..57
شکل 4- 6- تغییر مکان در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 58
شکل 4- 7- تغییر مکان در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طولوعرض 59
شکل 4- 8- تغییر مکان در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 60
شکل 4- 9- تنش در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طولوعرض 61
شکل 4- 10- تنش در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 62
شکل 4- 11- تنش در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طولوعرض 63
شکل 4- 12 - تنش در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 64
شکل 4-13- تنش در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طولوعرض 65
شکل 4-14- تنش در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 66
شکل 4- 15 - تنش در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طول وعرض 67
شکل 4- 16 - تنش در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 68
شکل 4- 17- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان افقی ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 69
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
شکل 4- 18- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان افقی ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 70
شکل 4- 19- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان افقی ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 71
شکل 4- 20- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان افقی ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 72
شکل 4- 21- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان قائم ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 73
شکل 4- 22- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان قائم ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 74
شکل 4- 23- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان قائم ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 75
شکل 4- 24- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان قائم ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 76
فهرست جدول‌ها
جدول 4- 1- ضرايب ارتجاعی مصالح انتخاب شده 49
جدول 4- 2- نحوه قرارگيري مصالح مختلف برای تعيين جواب عددی 50
جدول 4- 3- سختی یک صفحه مربعی به طول و عرض در محیط های متفاوت 52
مقدمه
در اين پايان نامه ابتدا پاسخ محيط نیم بینهایت لایه ای با رفتار ایزوتروپ جانبی تحت اثر نیروی متمرکز سطحی دلخواه در حالت استاتیکی در محدودهی خطی- ارتجاعی به دست میآید. سپس ماتریس سختی پی صلب مستطیلی مستقر بر محیط مذکور در حالت استاتیکی تعیین میشود. برای حل، ابتدا معادلات تعادل در فصل اول در دستگاه مختصات استوانه‌ای برای هریک از لایهها نوشته شده و سپس با بهره گرفتن از روابط تنش-كرنش و كرنش- تغييرمكان، معادلات برحسب تغييرمكان‌ها نوشته میشوند. این معادلات به صورت دستگاه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی می‌باشند. به منظور مجزاسازی آنها، از دو تابع پتانسيل اسكالر در هر لايه استفاده میشود. معادلات حاکم بر توابع پتانسیل، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی از مرتبه 4 و 2 می‌باشند. برای حل معادلات حاکم بر توابع پتانسيل در هر لايه با توجه به شرط منظم بودن از تبديل انتگرالی هنكل نسبت به مختصه شعاعی و تبدیل فوریه بر حسب مختصه آزیموتی استفاده كرده و جواب در حالت كلی برای كليه لايه‌ها تعميم داده میشود.
در ادامه، شرايط مرزی در سطح آزاد نیم فضا و شرایط پيوستگی بين لايه‌ها نوشته شده و با بهره گرفتن از شرایط پیوستگی، معادلات ارتباطی بین ضرایب مجهول توابع پتانسیل لایهها که خود ناشی از انتگرال گیری می باشند، بدست می‌آیند. با برقراری رابطه بازگشتی بین ضرایب لایهها، کلیه ضرایب به جز ضرایب نیم فضای تحتانی حذف شده و ضرایب نیم فضای تحتانی به کمک شرایط مرزی در سطح آزاد تعیین میشوند و از آن بقيه ثابت‌ها با بهره گرفتن از ارتباط بين لايه‌ها (شرايط پيوستگی) بدست می‌آیند. سپس، با بهره گرفتن از روابط تنش- تابع پتانسيل و تغيير مكان- تابع پتانسيل، تنش‌ها و تغييرمکان‌ها در فضای هنكل به دست آمده و با كمك تبديل معكوس هنكل و سری فوریه، تنش‌ها و تغيير مكان‌ها در فضای واقعی به دست می‌آيند.
در فصل دوم با تغییر دستگاه مختصات از استوانه‌ای به دکارتی، توابع گرین تغییرمکان و تنش در دستگاه مختصات دکارتی به‌دست آمده و با انتقال دستگاه مختصات از مبداء به یک نقطه سطحی دلخواه، توابع تغییرمکان و تنش برای بارگذاری خارج از مبداء مختصات بدست می‌آیند. بدین ترتیب توابع گرین برای بار دلخواه تعیین میشوند. با بهره گرفتن از توابع گرین تغییرمکان و تنش، این توابع برای نیروی موثر بر یک سطح مربع مستطیل تعیین میشوند.
در فصل سوم با نوشتن معادلات به فرمت اجزاء محدود و استفاده از المانی جدید به نام المان گرادیانی پویا، تنش تماسی قائم و افقی در هر گره مربوط به شالوده چنان تعیین میشوند که شرط تغییرمکان صلب و یا دوران صلب در هر نقطه از صفحه را ارضاء نماید. دستگاه معادلات حاکم بر تنش تماسی قائم و افقی به صورت عددی حل میشود. با بهره گرفتن از تنشهای تماسی نیروهای کل تماسی و گشتاور خمشی کل در محل تماس شالوده و نیم فضای لایه ای به دست میآید. ماتریس تبدیل بردار تغییر مکان‌ها و دوران صلب به نیروهای افقی، قائم و گشتاور خمشی را ماتریس سختی نیم فضا برای شالوده مینامیم. این ماتریس با برقراری ارتباط اخیرالذکر بدست میآید. ماتریس سختی میتواند جايگزين خاك زير شالوده شده و به افزايش دقت در آناليز سازههای سنگین مستقر بر محیطهای ایزوتروپ جانبی لایه ای کمک کند.
فصل اول
معادلات تعادل
در محيطهای ايزوتروپ جانبی لایه ای
1-1- مقدمه
تحليل استاتیکی و ديناميکی سازههای سنگين مستقر بر زمين (شکل 1-1) نياز به فهم چگونگی انتقال نیرو از سازه به خاک و جنبهه ای مختلف آن را دارد، چه در غير اين صورت نتايج تحليل سازه میتواند با دقت کم همراه باشد. در اين موارد، همواره برای داشتن طرح مطمئن نياز به ساده سازی‌های محافظه کارانه و در نتيجه غيراقتصادی میباشد. يکی از راه‌های در نظر گرفتن اندرکنش خاک و سازه، المان‌بندی محيط زمين زير ساختمان به روش اجزاء محدود (شکل 1-2) مي‌باشد. تحليل سازه به همراه محيط زيرين مطابق اين روش اولاً بسيار پرهزينه بوده و ثانياً به علت عدم توانايی المان‌بندی زمين تا بی‌نهايت ممکن است از دقت مناسب برخوردار نباشد. بسياری از مصالح در طبيعت و نيز ساختههای مصنوعی رفتار ايزوتروپ جانبي دارند. از آنجمله می توان به رفتار اعضای مستقيماً برگرفته از تنه درختان، محيط خاكی زير ساختمانها و صفحات چند لايه نام برد .اهميت بررسی پاسخ اين مصالح از دير باز مورد توجه بوده بطوری كه ميشل در سال 1900 ميلادی به بررسی يك نيم فضاي ايزوتروپ جانبي تحت نيروهاي سطحي دلخواه پرداخته است [19] . لخنيتسكي در سال 1940 محيط ايزوتروپ جانبي را در حالت متقارن محوري و بدون پيچش در نظر گرفته و معادلات درگير حاكم بر مسئله را با معرفي يك تابع پتانسيل به صورت مجزا و قابل حل درآورده است [17] . نواكي تابع پتانسيل لخنيتسكي را مجدداًٌ به دست آورده و ادعا كرده است كه اين جواب محدود به مسائل متقارن نيست [20] . هو محيط ايزوتروپ جانبي را در حالت كلي مورد توجه قرار داده و تابع پتانسيل لخنيسكي را برای حالت کلی تکمیل کرده است [15]. اين تابع هم اكنون در ادبيات مكانيك محيط پیوسته با رفتار ايزوتروپ جانبي به نام تابع لخنيسکی- هو- نواكی مشهور است. بررسی محيط با رفتار ايزوتروپ جانبي به وسيله ديگران همچون ونگ و ونگ [29] ، ایوبنکس و استرنبرگ [14] ، اليوت [7] و پن وچو [24] نیز در حالت استاتیکی بررسی شده است. این محیط در حالت دینامیکی توسط اسکندری قادی [8] ، رحیمیان و همکاران [25] و دیگران مورد توجه قرار گرفته است.
در واقعیت خواص محیط زیر شالوده بر حسب عمق میتواند تغییر کند. در نتيجه به منظور واقعی‌تر کردن تحليل فوق‌الذکر، در اين پايان نامه محيط ايزوتروپ جانبی به عنوان محيط مبنا در نظر گرفته شده و اجتماع لایه ای محیطهای ایزوتروپ جانبی با خواص متفاوت تحت اثر تغییر مکان صلب صفحه مستطیلی مورد تحليل قرار میگيرد. با این بررسی تنشهای تماسی بین شالوده مستطیلی و نیم فضای لایه ای ناشی از تغییر مکان یا دوران صلب شالوده به دست آیند. تنش تماسی در لبههای شالوده صلب رفتاری تکین از خود نشان میدهد و درک این مفهوم به طراحی سازههای سنگین و آنالیز نشیمن آن بسیار کمک میکند. به علاوه، با تعیین نیروهای تماسی کل بین شالوده و نیم فضا بردار مجموع نیروها و گشتاورهای تماسی بدست می‌آیند. مجموعه تغییر مکان‌ها و دوران صلب شالوده نیز یک بردار با همان بُعد بردار نیروها تشکیل میدهد. ماتریس تبدیل بردار تغییر مکان به بردار نیروها را ماتریس سختی و معکوس این ماتریس، یعنی ماتریس تبدیل بردار نیروها به بردار تغییر مکان را ماتریس نرمی مینامند. درایههای ماتریس سختی پارامترهای متمرکز جایگزین محیط لایه ای می‌باشند. این پارامترها که همان سختی فنرهای معرف محیط لایه ای می‌باشند (شکل 1- 3)، اثر محیط لایه ای روی شالوده و در نتیجه سازه روی شالوده را مدلسازی میکنند. این پارامترها در متون مرتبط فنر وینکلر نیز نام دارند.
شکل 1- 1- شكل شماتيك ساختمان، شالوده و زمين زير آنها
شکل 1- 2- شكل شماتيك مدل اجزاء محدود ساختمان، شالوده و زمين زير آنها
شکل 1- 3- شكل شماتيك مدل اجزاء محدود ساختمان و شالوده و سختی معادل خاك
1-2- بیان مساله و معادلات حاکم
يک محيط نيمه متناهی ارتجاعی شامل لايه موازی با خصوصيات مصالح مختلف كه همگی دارای رفتار ايزوتروپ جانبی می‌باشند در دستگاه مختصات استوانه‌اي چنان در نظر گرفته میشود که محور عمود بر صفحه ايزوتروپی تمامیلايهها بوده و جهت مثبت محور به سمت داخل نيم فضا میباشد (شكل 1-4).
شکل 1- 4- نيم فضاي لايهاي متشكل از لايه‌ها با رفتار ايزوتروپ جانبي
در اين‌صورت معادلات تعادل بر حسب تنش‌ها براي يک لايه عمومیدر غياب نيروهای حجمی به صورت زير نوشته میشوند[1] [17] :
(1-1)
که در آن با مؤلفه های تانسور تنش[2] می‌باشند.
رابطه کرنش- تنش در مصالح ايزوتروپ جانبی برای يک لايه عمومی بصورت زیر است [17] :
(1-2)
که در آن داريم:
(1-3)
اگر معرف مدول يانگ در صفحه ايزوتروپی، مدول يانگ عمود بر صفحه ايزوتروپی، ضريب پواسون در صفحه ايزوتروپی (جمع شدگی در امتداد دلخواه در صفحه ايزوتروپی به علت کشش عمود بر امتداد قبلی در همين صفحه)، ضريب پواسون عمود بر صفحه ايزوتروپی (جمع شدگی عمود بر صفحه ايزوتروپی به علت کشش در اين صفحه)، مدول برشی در صفحه ايزوتروپی و مدول برشی در صفحات عمود بر صفحه ايزوتروپی باشد، خواهيم داشت:
(1-4)
با بهره گرفتن از رابطه (1-2)، رابطه تنش- کرنش به صورت زير درمی‌آيد:
(1-5)
ضرايب با بر حسب به صورت زير هستند:
(1-6)
که در آن:
(1-7)
از ترکيب روابط (1-4) و (1-6) میتوان را برحسب ضرايب مهندسي ، ، ، ، و نوشت :
(1-8)
همچنين رابطه کرنش- تغيير مکان در دستگاه مختصات استوانه‌اي به شرح زير است [18] :
(1-9)
با قرار دادن رابطه (1-9) در رابطه (1-5)، تنشهابر حسب تغيير مکانهابه دست می‌آيند. با قرار دادن روابط تنش-تغيير مکان در معادلات (1-1)، معادلات تعادل بر حسب مولفه‌های بردار تغيير مکان بصورت زير به دست می‌آيند:
(1-10)
1-3- توابع پتانسيل[3]
معادلات تعادل مطابق (1-10) يک دستگاه معادلات ديفرانسيل درگير با مشتقات جزيی می‌باشند. به منظور مجزا سازی اين معادلات از دو تابع پتانسیل و که به توابع پتانسیل لخنیستکی- هو- نواکی شهرت دارند استفاده میشود. مولفه‌های بردار تغيير مکان بر حسب توابع پتانسيل و در دستگاه مختصات استوانه‌ای به صورت زير نوشته میشوند [8] :
(1-11)
که در آن:
(1-12)
(1-13)
با قرار دادن روابط (1-11) در معادلات حرکت (1-10)، دو معادله ديفرانسيل کاملاً مستقل از هم حاکم بر توابع پتانسيل و به صورت زير درمی‌آيند:
(1-14)
(1-15)
که در آن:
(1-16)
(1-17)
پارامترهای و ریشه های معادله زیر هستند:
(1-18)
و می‌توانند اعداد مختلط باشند اما نمیتوانند اعداد موهومیخالص باشند [17] .
به منظور حل معادلات (1- 14) و (1- 15) ، میتوان سری فوریه توابع و را نسبت به نوشت. سری فوریه مختلط این توابع به صورت زیر هستند [26] :
(1-19) (1-20)
که در آن و ضرایب ام سری فوریه توابع و هستند :
(1-21)
با قرار دادن روابط (1- 19) و (1- 20) به ترتیب در معادلات (1- 14) و (1- 15) این معادلات به صورت زیر نوشته میشوند:
(1-22)
(1-23)
که در آن:
(1-24)
با توجه به هندسه و شرايط مسأله در دور دست بسيار مناسب میباشد که از تبديل هنکل مرتبه ام نسبت به امتداد شعاعی به شرح زير استفاده شود [27] :
(1-25)
و تبديل معکوس هنکل آن عبارت است از [28] :
(1-26)
که در آن تابع بسل نوع اول از مرتبه میباشد. با قرار دادن رابطه (1-25) در معادلات (1-22) و (1-23)، اين معادلات به صورت زير درمی‌آيند:
(1-27)
(1-28)
که در آن:
(1-29)
معادله (1-27) يک معادله ديفرانسيل معمولی مرتبه 4 با ضرايب ثابت بوده و جواب آن به شکل زير میباشد:
(1-30)
با قرار دادن (1-30) در (1-27) میتوان به دست آورد:
(1-31)
که در آن:
(1-32)
بنابراين همانگونه که در رابطه (1-30) نشان داده شده، به صورت زير درمی‌آيد:
(1-33)
که در آن [4] :
(1-34)
به طور مشابه میتوان نشان داد که جواب معادله (1- 28) عبارت است از :
(1-35)
که در آن:
(1-36)
در معادلات (1-33) و (1-35) ، ، ، ، و توابعي مجهول می‌باشند که با نوشتن شرايط مرزی و شرايط پيوستگی به دست می‌آيند.
1-4 – شرایط مرزی :
مطابق شکل (1-5) محیطی سه بعدی، لایه ای و هر لایه با خاصیت ایزوتروپ جانبی متفاوت از بقیه لایه ها تحت اثر نیروی استاتیکی متمرکز دلخواه به شدت در سطح درنظر گرفته می شود.
شکل 1-5 – نیم فضای ایزوتروپ جانبی لایه ای تحت اثر نیروی دلخواه در سطح
را می توان به یک نیروی افقی و یک نیروی قائم تجزیه کرد:
(1-37)
که در رابطه بالا معرف امتداد افقی دلخواه و معرف امتداد قائم بوده و و مؤلفه های نیروی در این امتدادها هستند. بردار نیرویی می باشد. بر این اساس شرایط مرزی در سطح در دستگاه مختصات استوانه ای به صورت زیر می باشد:
(1-38)
که در آن ، و مؤلفه های تانسور تنش در لایه اول می باشند. ضخامت لایه ام مطابق شکل (1-6) را با نمایش می دهیم. در این صورت عمق مرز مشترک لایه ام و ام برابر خواهد بود. بنابراین شرایط پیوستگی در مرزهای مشترک دو لایه به فرم زیر نوشته می شود:
(1-39)
که در آن و بوده و ، و تغییر مکان های لایه ام می باشند. حال به منظور به دست آوردن توابع مجهول ، ، ، ، و در معادلات (1-33) و (1-35) باید تبدیل هنکل سری فوریه تنش ها را به دست آوریم. برای این منظور ابتدا باید تبدیل هنکل ضرایب سری فوریه تنش ها را به دست آورد. برای این کار، ابتدا طرفین رابطه (1-11) را بسط فوریه می دهیم که منجر به روابط زیر می شود:
(1-40)
که در آن ، و مؤلفه های بردار تغییر مکان لایه ام در فضای فوریه می باشند. از ترکیب روابط بالا و با توجه به خواص تبدیل هنکل، به روابط زیر می رسیم:
(1-41)
که در آن و به ترتیب تبدیل هنکل مرتبه و تابع ، و به ترتیب هنکل مرتبه و تابع و بالاخره ، و به ترتیب تبدیل مرتبه توابع ، و می باشند.
حال با توجه به روابط کرنش- تغییر مکان (1-9) و روابط تنش- کرنش (1-5) می توان مؤلفه های تانسور تنش را بر حسب توابع و به شرح زیر نوشت:
(1-42)
همچنین از ترکیب روابط (1-42) و (1-41) در سطح می توان نوشت:
(1-43)
که در آن:
(1-44)
به منظور راحتی در نوشتن معادلات، بردار را مطابق رابطه زیر تعریف می کنیم:
(1-45)
که در آن نشانگر شماره ی لایه و بالانویس معرف ترانهاده است. در این صورت در داریم:
(1-46)
جواب معادلات (1-33) و (1-35) برای لایه ام به صورت زیر نوشته می شود:
(1-47)
اندیس در شماره لایه بوده و . این جواب برای نیم فضای تحتانی به فرم زیر نوشته می شود:
(1-48)
در اینجا سعی می شود به کمک شرایط پیوستگی کلیه ضرایب مجهول در لایه ها حذف و تنها سه ضریب مربوط به نیم فضای تحتانی باقی بماند. این ارتباط به کمک بردار با تعریف (1-45) و ماتریس انتقال انجام می گیرد. لذا بردار در لایه ام بر حسب خواص لایه به صورت (1-49) نوشته می شود:
(1-49)
که در آن یک ماتریس 6 در 6 با تعریف زیر می باشد:
امiشکل 1- 6- خواص هندسی لایه
که در رابطه (1-50) داریم:
(1-51)
و شماره لایه است. در این صورت بردار برای بالا و پایین لایه ام به صورت زیر نوشته می شود (شکل 1-6):
(1-52)
(1-53)
با بدست آوردن از رابطه (1-49) مطابق زیر:
(1-54)
و با جایگذاری آن در رابطه (1-52) بردار مربوط به تراز فوقانی لایه ام بر حسب این بردار در تراز تحتانی همان لایه نوشته می شود:
(1-55)
به منظور سادگی، ماتریس در لایه ام را به صورت زیر تعریف کرده:
(1-56)
و آن را ماتریس انتقال لایه ام می نامیم. در این صورت رابطه (1-55) به صورت ساده زیر نوشته می شود:
(1-57)
از تلفیق معادلات فوق برای کلیه لایه ها، بردار در بالای لایه اول به بردار مربوط به لایه ام در انتهای نیم فضای تحتانی با رابطه زیر ارتباط داده می شود:
(1-58)
صحت رابطه بالا با بهره گرفتن از استقرا ریاضی توسط نبی زاده [28] به اثبات رسیده است. حال و را از رابطه (1-55) در رابطه (1-58) جایگذاری می کنیم:
(1-59)
اگر ماتریس را مطابق زیر تعریف کنیم:
(1-60)
آنگاه از رابطه (1-59) خواهیم داشت:
(1-61)
با جابجایی ستون سوم و پنجم ماتریس ها و سطر سوم و پنجم بردار مجهولات داریم:
(1-62)
لایه (نیم فضای تحتانی) از پایین نامحدود است و هنگامی که به سمت بینهایت میل می کند کلیه تغییر مکان ها و تنش ها در آن با توجه به اصل تشعشع صفر هستند.
در معادلات (1-62) ، ، ، ، و مجهولات مساله هستند. این معادلات برای ( ، ، ) و ( ، ، ) قابلیت جداسازی را دارند که در ادامه به حل این معادلات می پردازیم.
به منظور ارتباط ثابتهای انتگرالگيری در لايههای مختلف به ثابت‌ها در نيم فضای تحتانی و نيز ارتباط ثابتهای انتگرالگيری در نيم فضای تحتانی به شرايط مرزی در ، بردار را مطابق رابطه (1-58) بر حسب مینويسيم:
(1-58-تکراری)
كه در آن و در معادلات (1-46) و (1-45) داده شدهاند. با قرار دادن و از اين روابط در رابطه (1-57) میتوان نوشت:
(1-63)
ها و ها در اين رابطه مطابق روابط (1-56) و (1-50) می‌باشند. ماتريس مطابق رابطه (1-64) در به صورت زير نوشته مي‌شود:
(1-64)
آنگاه از رابطه (1- 63) داریم:
(1-65)
با این شرط که دترمینان ماتریس ضرایب در رابطه (1- 65) مخالف صفر باشد:
(1-66)
از حل معادله (1- 65) داریم:
(1-67)
که در آن:
(1-68)
بدین ترتیب ثابت های لایه ام بدست آمده و براي به دست آوردن ساير ثابت‌ها از جمله ثابتهای لايه اول از رابطه بازگشتي زير استفاده مي‌كنيم:
(1-69)
براي اثبات از رابطه (1-53) شروع میکنيم:
(1-54-تکراری)
به کمک اين رابطه میتوان نوشت:
(1-70)
که در آن از شرايط پيوستگي و رابطه (1-52) استفاده شده است. با قرار دادن اين رابطه در (1-70) داريم:
(1-71)
با قرار دادن و در (1-70) میتوان نوشت :
(1-72)
با تلفيق دو رابطه اخير داريم:
(1-73)
با تکرار اين روند به راحتی میتوان به رابطه (1-69) رسيد. اگر ماتريس که یک ماتریس6 در 6 می باشد را مطابق زير تعريف كنيم:
(1-74)
آنگاه رابطه (1-71) به صورت زير در ميآيد:
(1-75)
حال برای ساده تر شدن معادلات، مجهولات ، ، ، ، ، را به صورت زیر تجزیه می کنیم:
(1-76)
که در روابط بالا اندیس مربوط به شماره لایه، اندیس مربوط به ضرایب ، اندیس مربوط به ضرایب و اندیس مربوط به ضرایب می باشد که ، و در رابطه (1-44) مشخص شده اند. با بهره گرفتن از مقادیر بدست آمده از معادله (1-76) و با بهره گرفتن از معادله (1-75)، ثابتهای لایه اول بدست می‌آیند:
(1-77)
که در آن:
(1-78)
با مشخص شدن ثابت های تمامی لایه ها، توابع پتانسیل و و کلیه توابع تنش و جابجایی در فضای هنکل- فوریه با بهره گرفتن از معادلات (1-41) و (1-42) بدست می آیند. اگر از روابط بدست آمده تبدیل معکوس هنکل بگیریم، ضرایب ام سری فوریه مؤلفه های تغییر مکان لایه ام به شرح زیر است:
(1-79)
با جایگذاری ضرایب ام سری فوریه تغییر مکان در بسط فوریه مربوطه، دامنه های مؤلفه های تغییر مکان به شرح زیر بدست می آیند:
(1-80)
به منظور کنترل روابط بدست آمده در این بخش، در فصل بعدی نتایج برای حالت خاص نیم فضای همگن بدست می آیند.
فصل دوم
توابع گرین در حالت کلی
2-1- مقدمه
در این فصل ابتدا با بهره گرفتن از معادلات به دست آمده در فصل گذشته و ساده سازی روابط، مؤلفه های تغییر مکان لایه ام را می نویسیم. سپس برای کنترل نتایج بدست آمده، مساله را برای حالت ساده می کنیم. در بخش آخر از این فصل با انتقال دستگاه مختصات به یک نقطه دلخواه، تغییر مکان ها و تنش ها در هر نقطه از لایهها به دست می‌آیند و این توابع به عنوان توابع گرین مورد استفاده قرار میگیرند. با ترکیب روابط (1-44) و (1-76) و (1-64)، مؤلفه های بردار تغییر مکان لایه ام به صورت زیر بیان می شوند:
(2-1)
که در معادلات (2-1) داریم:
(2-2)
2-2- حالت
به منظور نشان دادن اثبات درستی معادلات به دست آمده، حالت نیم فضای همگن در اینجا به دقت بررسی میشود. این حالت در شکل (2- 1) نشان داده شده است:
شکل 2-1- نیم فضای همگن متشکل از مواد با رفتار ایزوتروپ جانبی تحت نیروی متمرکز دلخواه استاتیکی
با بهره گرفتن از رابطه (1-48) میتوان نوشت:
(2-3)
مؤلفه های ماتریس در بالای نیم فضا با استخراج از روابط فصل گذشته به صورت زیر نوشته می شود:
(2-4)
با توجه به روابط (1-52) و (1-51) در حالت داریم:
(2-5)
(2-6)
که در آن:
(2-7)
ماتریس را مطابق (2-8) تعریف می کنیم:
(2-8)
با ترکیب (2-8) و (2-7) داریم:
(2-9)
از طرفی میدانیم:
(2-10)
که در آن ماتریس همانی 6 در 6 می باشد. از ترکیب روابط (2-9) و (2-10) داریم:
(2-11)
از طرفی می دانیم ، بنابراین:
(2-12)
با ترکیب روابط (2-12) و (1-50) داریم :
(2-13)
از حل معادله (2-13) داریم:
(2-14)
در اینجا:
(2-15)
با ترکیب معادله (2-14) و (2-2) داریم:
(2-16)
(2-17)
با جایگذاری روابط (2-16) و (2-17) در معادلات (2-1)، مؤلفه های جابجایی برای حالت بدست می آیند، که اگر خواص نیم فضا ایزوتروپ باشد آنگاه تغییر مکان لایه ای (2-1) منطبق بر نتایج ارائه شده توسط بوسینسک می باشد.
2-3- تبدیل دستگاه مختصات قطبی به دستگاه مختصات دکارتی و انتقال محورها:
کلیه نتایج ارائه شده تا کنون در دستگاه مختصات استوانه ای بوده و به منظور استفاده از این جوابها به عنوان توابع گرین معادلات حاکم، راحت تر آن است که ابتدا این جوابها به دستگاه مختصات دکارتی آورده شوند و سپس با انتقال دستگاه مختصات به نقطه دلخواه نتایج برای نیروی متمرکز در محل دلخواه استخراج شوند. با توجه به شکل (2- 2) روابط تبدیل برای مختصات از دستگاه مختصات قطبی به دستگاه مختصات دکارتی به صورت زیر است :
شکل 2-2- تبدیل مختصات از دستگاه استوانه ای به دستگاه مختصات دکارتی و انتقال محورها
(2-18)
به همین ترتیب با بهره گرفتن از روابط تبدیل مختصات برای تانسورها، تبدیل تنش‌ها از یک دستگاه مختصات قائم به دستگاه مختصات قائم دیگر به صورت زیر می‌باشند:
(2-19)
با انتقال مبدا مختصات دکارتی به نقطه با مختصات نسبت به دستگاه جدید ، ارتباط بین دستگاه جدید و دستگاه قدیم به صورت زیر در می آیند:
(2-20)
که از روابط بالا، تغییر مکان ها و تنش ها در دستگاه مختصات جدید به دست می آیند. این توابع را با نشان می دهیم:
(2-21)
با توجه به این نکته که این توابع مقادیر تغییر مکان ها و تنش ها، ناشی از نیروی متمرکز مؤثر بر نقطه با مختصات می باشند. با تعریف سطح به عنوان سطح محل اثر نیروی سطحی، تغییر مکان ها وتنش های کل در هر نقطه با انتگرال گیری سطحی روی به دست می آیند. در صورتی که معرف سطح مستطیلی به ابعاد و با تعریف باشد، آنگاه:
(2-22)
معرف تغییر مکان ها و تنش ها در هر نقطه می باشند.
فصل سوم
ماتریس سختی شالوده صلب مستطیلی
با بهره گرفتن از توابع گرین
3-1- مقدمه
در این فصل با بهره گرفتن از توابع گرین به دست آمده در فصل گذشته تغییر مکان ها و تنش ها در هر نقطه از محیط لایه ای به علت تغییر مکان صلب شالوده مستطیلی سطحی بدست می آید. بدین منظور ابتدا شرایط مرزی برای هریک از تغییر مکان های افقی، قائم و دورانی به صورت جداگانه نوشته شده و در آن تنش تماسی بین صفحه (شالوده) صلب و محیط زیرین به عنوان مجهول در نظر گرفته می شود. با توجه به این موضوع و نتایج ارائه شده در انتهای فصل دوم، مجهولات مساله (تنش های تماسی) در زیر علامت انتگرال قرار دارند. این بدان معنی است که تعیین مجهولات مساله نیاز به حل معادلات انتگرالی دارد. از طرفی تنش های تماسی به علت صلب بودن شالوده و نیز به علت تیزگوشه آن با تکینگی همراه است. لذا در این فصل با بهره گرفتن از معادلات بدست آمده در فصل گذشته و با به کارگیری المان کارا در اینگونه مسائل با رفتار سینگولار موسوم به المان گرادیانی پویا و اعمال شرایط مرزی تغییر مکانی، نتایج برای پی صلب مستطیلی مستقر بر نیم فضای ایزوتروپ جانبی لایه ای ، که تحت تغییر مکان افقی ، قائم و خمشی قرار گرفته است به دست آمده و الگوریتم برنامه نویسی مرتبط با آن آورده میشود.
3-2- بیان مسأله ومعادلات حاکم در حالت شالوده صلب مستطیلی
پس از فرمول‌بندي مسأله برای حالت نيرويی كه در فصل دوم آمده است، در اينجا میتوان معادلات را برای حالتی كه يك شالوده صلب مستطیلی به ابعاد در مستقر بر سطح نيم‌فضاي لايه‌ای تحت تغییر مکان قائم، افقی و خمشی قرار دارد، مرتب نمود. بدين منظور همان نيم‌فضای لايه‌ای شامل لايه متفاوت ايزوتروپ جانبی هريک با ضخامت محدود مستقر بر يك نيم‌فضای ايزوتروپ جانبی با رفتاری متفاوت از بقيه لايه‌ها را در نظر می‌گيريم به طوری که محور ايزوتروپی همه لايه‌ها و نيم‌فضای تحتانی موازی هم و قائم باشند. دستگاه مختصات کارتزین را روی سطح آزاد در مركز ديسك صلب چنان نصب می‌كنيم كه محور در امتداد عمق باشد. در اين صورت روابط بدست آمده در فصل اول برای كليه لايه‌ها برقرارند. تفاوت اين فصل با فصل اول در شرايط مرزی مسأله در سطح است. در اينجا فرض میشود كه شالوده صلب چسبیده به لایه فوقانی تغییر مکان می دهد. در اين صورت مولفه‌های نيروی وارد بر نيم فضای لايه‌ای ناشی از شالوده صلب در سطح ، و می‌باشند. به طور واضح اين نيروها مجهول مسأله بوده و بايد تعيين شوند. شرایط مرزی تغییر مکانی در زیر شالوده صلب به صورت مجزا برای 3 حالت مختلف تعریف می شود:
1- شرایط مرزی برای حالت تغییر مکان صلب شالوده در جهت افق (شکل 3-1):
(3-1)
2- شرایط مرزی برای حالت تغییر مکان صلب شالوده در جهت قائم (شکل3-2):
(3-2)
3- شرایط مرزی برای حالت خمش صلب شالوده (شکل 3-3):
(3-3)
شکل 3-1- صفحه صلب تحت تغییر مکان صلب در امتداد
شکل 3-2- صفحه صلب تحت تغییر مکان صلب در امتداد
شکل 3-3- صفحه صلب تحت خمش
با قرار دادن ثابتهای لایه اول در معادلات (3-1)، (3-2) و (3-3) میتوان شرایط مرزی تغییر مکانی را ارضا نمود. اما همانطور که از این روابط دیده میشود، شرایط مرزی چند ضابطه ای هستند. برای تک ضابطه ای کردن این شرایط میتوان از تبدیلات انتگرالی استفاده کرد. استفاده از تبدیلات انتگرالی، این معادلات را به معادلات انتگرالی دوگانه تبدیل میکند و حل آن چندان آسان نمیباشد. همچنین با توجه به صلب بودن شالوده، تنشهادر لبهها تکین (سینگولار) میباشد و در نتیجه تغییرات تنش در زیر شالوده صلب با گرادیان شدید همراه است. لذا روشی را که برای حل مساله در نظر میگیریم، روش اجزا محدود با بکارگیری المان دو بعدی هشت گرهی موسوم به المان گرادیانی پویا به همراه توابع گرین به دست آمده در فصل گذشته میباشد. در ادامه به تفسیر المانهای نام برده میپردازیم.
3-2-1- توابع شکل مورد استفاده
برای المان بندی تابع تنش در زیر پی صلب مستطیلی از سه نوع توابع شکل شامل توابع شکل المانهای گوشه ای، توابع شکل المانهای لبه ای (کناری) و توابع شکل المانهای میانی استفاده میشود. هر یک از توابع شکل نام برده دارای ویژگیهای مخصوصی می‌باشند. به عنوان مثال توابع شکل مربوط به المانهای گوشه، در دو لبه مجاور از چهار لبه موجود، دارای رفتار سینگولار یا تکین می‌باشند و توابع شکل مربوط به المانهای لبه ای (کناری)، در یک لبه از چهار لبه موجود، دارای رفتار سینگولار بوده و توابع شکل المانهای میانی، فاقد رفتار سینگولار در لبهها میباشد. لازم به ذکر است که تمامیالمانهای مورد استفاده دوبعدی و هشت گرهی می‌باشند. در ادامه به تفسیر هریک از توابع شکل پرداخته میشود.
شکل 3-4- نحوه المان بندی تنشهادر زیر پی صلب
3-2-1-1- توابع شکل المانهای لبه ای 8 گره ای
توابع شکل المانهای لبه ای مطابق شماره گرههای نشان داده شده در شکل (3-4) به صورت زیر تعریف می شوند: (3-4)
که در آن و ثابت در روابط (3-6) ارائه شده اند. وابسته به اینکه m و n چه اعدادی باشند، رفتار این توابع متفاوت میباشد. در این پایان نامه m و n به ترتیب برابر واحد و 10 اختیار شده اند. لذا این توابع برای این مقادیر m و n در شکل (3-5) نشان داده شده اند. این المانهاچنان در لبه شالوده مستقر میشوند که گرههای 1، 8 و 4 در لبه شالوده قرار گرفته و در نتیجه چگونگی تکنیکی در امتداد میباشد.
شکل 3-5- توابع شکل المانهای لبه 8 گرهی به ازای
3-2-1-2- توابع شکل المانهای میانی 8 گره ای
اگر در توابع شکل المانهای لبه ای مقادیر و برابر واحد باشند، دیگر این توابع سینگولار نخواهد بود. بنابراین توابع شکل المانهای میانی همانند المانهای لبه ای می‌باشند با این تفاوت که می‌باشند. ثابت و به ازای عبارتند از:
3-2-1-3- توابع شکل المانهای گوشه 8 گره ای
توابع شکل برای المانهای گوشه با این شرط که در گوشه شالوده باشد به فرم زیر میباشد:
(3-5)
که در آن ، وثابتهای ، و در روابط (3-6) داده شده اند.
شکل 3-6- توابع شکل المانهای میانی 8 گرهی به ازای
شکل 3-7- توابع شکل المانهای گوشه 8 گرهی به ازای
(3-6)
شکل 3-8- تابع به ازای (m,n) = (1,1) , (1,10)
3-2-1-4- فلوچارت برنامه نویسی برای تحلیل مساله
گام اول- تعیین توابع گرین روابط (2-1) برای نیروی متمرکز مجهول در محل دلخواه، به اندازه واحد.
گام دوم- نوشتن رابطه تغییر مکان در مختصات اصلی برای نیروی دلخواه . به طور مثال تغییر مکان در راستای داریم:
که در آن نیروی مؤثر در نقطه می باشد.
گام سوم – نوشتن گام دوم در مختصات محلی:
که در آن از رابطه زیر استفاده شده است:
از آنجایی که تبدیل مختصات اصلی به محلی راحت تر است، مختصات اصلی را به مختصات محلی تبدیل می کنیم. بنابراین از آنجایی که:
و که آن را دترمینان ژاکوبین می نامیم برابر است با:
برای برقراری شرط تغییر مکانی، مقادیر مجهول فرض شده و با بهره گرفتن از دستگاه معادلات ناشی از شرط مرزی تغییر مکانی بدست می آیند.
گام چهارم – حل معادلات گام سوم برای :
با بدست آمدن ها، مقدار برای هر المان بدست می آید که از آن از رابطه زیر محاسبه می شود:
در این رابطه:
به طوری که تعداد کل گره های موجود در مدلسازی شالوده می باشد.
گام پنجم – تعیین تابع امپدانس
با بدست آمدن و تقسیم آن بر ، مقدار سختی از رابطه زیر بدست می آید:
فصل چهارم
نتایج عددی
4-1- مقدمه
